מבחן לדוגמה: דמיון - כיתה ח'

חשבו את כל הזוויות של המשולש $ABC$ ושל המשולש $DEF$.

הסבירו מדוע המשולשים דומים. כתבו את הדמיון לפי סדר הקודקודים המתאימים, ורשמו את השוויון בין היחסים של הצלעות המתאימות.

נתון: $AB=10$ ס"מ, $BC=7$ ס"מ, $FE=15$ ס"מ. מצאו את יחס הדמיון של המשולש $FED$ למשולש $ABC$, וחשבו את אורך הצלע $ED$.

הוכיחו ש-$\triangle ADE\sim\triangle ABC$ ושגם $\triangle AFG\sim\triangle ABC$. מצאו את יחס הדמיון של כל משולש קטן למשולש $ABC$.

חשבו את $DE$ ואת $FG$. מה יחס הדמיון של $\triangle ADE$ ל-$\triangle AFG$? הראו שאפשר לקבל אותו גם משני היחסים של סעיף א.

נתון גם: $AE=4.5$ ס"מ. מצאו את $AC$, את $EG$ ואת $GC$.

הוכיחו: $\triangle CBA\sim\triangle CDE$

נתון גם:

$BD$ תיכון ל- $AC$

$\triangle ABE\sim\triangle CDE$ (בהתאמת הקודקודים)

הוכיחו: $AE$ חוצה זווית $A$

הוכיחו: $AB=AD$

בחנות הצילום מציעים להגדיל את התמונה לאחד משני גדלים: $20$ ס"מ על $30$ ס"מ, או $13$ ס"מ על $18$ ס"מ.

איזה מהגדלים דומה לתמונה המקורית? מהו יחס הדמיון שלו לתמונה המקורית? נמקו.

רוצים להדפיס כרזה הדומה לתמונה, והצלע הקצרה שלה $40$ ס"מ. מה אורך הצלע הארוכה של הכרזה?

גוזרים פס אחד כך שהצלע של $12$ ס"מ מתקצרת ל-$10$ ס"מ, והצלע של $8$ ס"מ לא משתנה. האם המלבן שנשאר דומה ללוח המקורי? נמקו.

רוצים לקבל מלבן הדומה ללוח המקורי, שהצלע הארוכה שלו $9$ ס"מ. בכמה ס"מ צריך לקצר כל אחת מצלעות הלוח?

נתון $AE=3$ ס"מ. הוכיחו: $\triangle AEF\sim\triangle ABC$, ומצאו את אורך $EF$.

הראו שהמלבן $AEFG$ דומה למלבן $ABCD$, ומצאו את יחס הדמיון.

הסבירו מדוע לכל מיקום של $F$ על האלכסון $AC$ (בין $A$ ל-$C$) המלבן $AEFG$ דומה למלבן $ABCD$.

תמר טוענת: "אם מלבן $AE'F'G'$ דומה למלבן $ABCD$, והנקודות $E'$ על $AB$ ו-$G'$ על $AD$, אז הקודקוד $F'$ בהכרח נמצא על האלכסון $AC$". האם תמר צודקת? אם לא, תנו דוגמה נגדית ונמקו.

המשולש $STU$ דומה למשולש $PQR$ (לפי סדר הקודקודים), ושטחו $216$ סמ"ר. חשבו את אורכי שלוש הצלעות של המשולש $STU$.

המשולש $XYZ$ דומה גם הוא למשולש $PQR$ (לפי סדר הקודקודים), ושטחו $6$ סמ"ר. חשבו את אורכי הניצבים $XY$ ו-$YZ$.

הסבירו מדוע כל אחד מהמשולשים $ADE$, $AFG$, $AHK$ דומה למשולש $ABC$, ומצאו את יחס הדמיון של כל אחד מהם ל-$ABC$.

חשבו את השטחים של המשולשים $ADE$, $AFG$, $AHK$.

המשולש מחולק לארבעה חלקים: המשולש $ADE$ ושלוש רצועות (טרפזים). חשבו את שטח כל רצועה. מהו היחס בין השטחים של ארבעת החלקים, מלמעלה למטה?

מחלקים עכשיו את $AB$ ל-$10$ קטעים שווים באותה דרך. איזה חלק משטח המשולש $ABC$ היא הרצועה התחתונה (הסמוכה ל-$BC$)? הסבירו.

רון טוען: "הרצועה התחתונה היא תמיד יותר ממחצית שטח המשולש, כי היא הרצועה הרחבה ביותר". האם הטענה נכונה תמיד, לפעמים או אף פעם, כשמחלקים את $AB$ ל-$2$ קטעים שווים או יותר? נמקו.