שאלות פתוחות: בעיות אחוזים - כיתה ט'

בחוג הרובוטיקה של בית ספר היו $50$ תלמידים. בכל אחת משתי השנים הבאות מספר התלמידים בחוג גדל באותו אחוז (בכל פעם מהמספר שהיה בתחילת אותה שנה). אחרי שנתיים היו בחוג $72$ תלמידים. בכמה אחוזים גדל מספר התלמידים בכל שנה?

המספר $200$ הוגדל ב-$p$ אחוזים ($p>0$), והמספר שהתקבל הוגדל ב-$2p$ אחוזים. התקבל המספר $264$. מצאו את $p$.

מחיר של קונסולת משחקים עלה ב-$20\%$. אחר כך, במבצע, המחיר החדש ירד ב-$20\%$, ועכשיו הקונסולה עולה $1{,}728$ ש"ח. מה היה המחיר לפני שני השינויים?

מחיר של זוג נעליים הוא $400$ ש"ח. בחנות נתנו עליו הנחה של $30\%$, ובקופה נתנו עוד הנחה של $20\%$ מהמחיר המוזל. נועה אומרת: "בסך הכול קיבלתי הנחה של $50\%$." האם נועה צודקת? מה אחוז ההנחה הכולל?

בכמה אחוזים גדל מספר התושבים בכל שנה, וכמה תושבים היו ביישוב בהתחלה? נמקו.

ביישוב אחר מספר התושבים גדל פעמיים באותו אחוז, $p$ אחוזים. הסבירו למה, לכל מספר תושבים התחלתי, התוספת בשנה השנייה גדולה פי $\left(1+\frac{p}{100}\right)$ מהתוספת בשנה הראשונה.

בכמה אחוזים ירד ערכו של המוצר בתחילה?

מהו מחיר המכירה של המזגן?

במבצע החנות נתנה הנחה של $10\%$ על מחיר המכירה. מה מחיר המזגן במבצע? כמה ש"ח הרוויחה החנות על מזגן שנמכר במבצע, וכמה אחוזים זה ממחיר הקנייה?

מהי ההנחה הגדולה ביותר, באחוזים ממחיר המכירה, שהחנות יכולה לתת בלי להפסיד? דני אומר: "$25\%$, כי זה האחוז שהוסיפו למחיר הקנייה." הסבירו למה דני טועה.

מה הייתה המשכורת ההתחלתית של גלעד?

בכמה אחוזים העלו ליאיר את המשכורת כעבור שנה?

הביעו בעזרת $x$: כמה ליטר מיץ טבעי יש בכד אחרי הפעם הראשונה, ואיזה אחוז מהנוזל שבכד הוא מיץ טבעי.

בפעם השנייה מוציאים $x$ ליטר מהתערובת. הסבירו למה יוצאים איתם $x\cdot\frac{20-x}{20}$ ליטר מיץ טבעי. כתבו ביטוי לכמות המיץ הטבעי בכד בסוף, והראו שהוא שווה ל-$\frac{(20-x)^2}{20}$.

בסוף, $64\%$ מהנוזל שבכד הם מיץ טבעי. מצאו את $x$. כמה ליטר מיץ טבעי הוציאו מהכד בפעם הראשונה, וכמה בפעם השנייה?

מה היה שכר הדירה החודשי בשנה השנייה, ומה בשנה השלישית?

בכמה ש"ח גדל שכר הדירה החודשי מהשנה הראשונה עד השנה השלישית? כמה אחוזים זה מ-$4{,}000$ ש"ח? הסבירו למה התשובה אינה $10\%$.

בתחילת השנה הרביעית בעל הדירה הוריד את שכר הדירה ב-$5\%$ (משכר הדירה של השנה השלישית). האם שכר הדירה חזר להיות $4{,}200$ ש"ח? חשבו והסבירו.

שכר הדירה של משפחת דהן עלה השנה ב-$8\%$, ועכשיו הוא $4{,}860$ ש"ח לחודש. מה היה שכר הדירה של משפחת דהן לפני ההעלאה?

בשנה הבאה שכר הדירה של משפחת דהן יעלה שוב, ב-$p$ אחוזים מ-$4{,}860$ ש"ח. כתבו ביטוי לשכר הדירה החדש. המשפחה יכולה לשלם לכל היותר $5{,}103$ ש"ח לחודש. מהו אחוז ההעלאה הגדול ביותר שהמשפחה תוכל לעמוד בו?

מחיר של אוזניות היה $300$ ש"ח. המחיר ירד ב-$20\%$, ואחר כך המחיר החדש עלה ב-$20\%$. מה המחיר עכשיו? ומה היה המחיר הסופי אילו המחיר היה קודם עולה ב-$20\%$ ואחר כך יורד ב-$20\%$?

מחיר של מוצר הוא $P$ ש"ח. המחיר ירד ב-$p$ אחוזים, ואחר כך המחיר החדש עלה ב-$p$ אחוזים ($0<p<100$). הראו שהמחיר הסופי הוא $P\left(1-\frac{p^2}{10000}\right)$. הסבירו למה המחיר הסופי נמוך מ-$P$ לכל $p$ כזה, ולמה סדר השינויים (קודם עלייה או קודם ירידה) לא משנה את התוצאה.

מחיר של מוצר ירד ב-$p$ אחוזים ואחר כך עלה ב-$p$ אחוזים, והמחיר הסופי נמוך ב-$1\%$ מהמחיר המקורי. מצאו את $p$.

מחיר של מוצר אחר עלה ב-$p$ אחוזים. כדי שהמחיר יחזור בדיוק למה שהיה, צריך להוריד את המחיר החדש באחוז שקטן ב-$5$ מ-$p$. מצאו את $p$ ואת אחוז ההורדה. בדקו בעזרת מחיר של $400$ ש"ח.

בסעיף ד אחוז ההורדה קטן מאחוז ההעלאה, אבל המחיר חזר בדיוק למה שהיה. הסבירו בלי חישוב חדש למה כך צריך להיות בכל העלאה ובכל הורדה שמחזירה את המחיר.

מה ההכנסה היומית עכשיו? מה יהיו מחיר הכוס, מספר הכוסות ביום וההכנסה היומית, אם המחיר יעלה ב-$10\%$?

הביעו בעזרת $p$ את מחיר הכוס, את מספר הכוסות ביום ואת ההכנסה היומית $R$ אחרי ההעלאה.

בעל בית הקפה רוצה הכנסה יומית של $3{,}888$ ש"ח. בכמה אחוזים עליו להעלות את המחיר? מצאו את כל האפשרויות, ולכל אחת כתבו את מחיר הכוס ואת מספר הכוסות ביום.

הכנת כל כוס קפה עולה לבעל בית הקפה $3$ ש"ח. איזו משתי האפשרויות שבסעיף ג משאירה לו יותר כסף בכל יום (ההכנסה פחות עלות ההכנה)? בכמה ש"ח?

ההכנסה $R$ היא פונקציה ריבועית של $p$. באיזה אחוז העלאה ההכנסה היומית היא הגדולה ביותר? מה ההכנסה הזאת, ומה יהיו אז מחיר הכוס ומספר הכוסות?