מתכונת במתמטיקה 471 - מתכונת 2 מעל רמת בגרות

$P(X<214)=0.9772$. בטבלה המצטברת $\Phi(2)=0.9772$, ולכן ציון התקן של 214 הוא $z=2$.

טעות נפוצה: להוסיף במקום להחסיר, $\mu=214+24=238$. ממוצע גדול מ-214 סותר את הנתון שכמעט כל התפוחים קלים מ-214 גרם.

מעל משקל הסף $30\%$, ולכן מתחתיו $70\%$: $\Phi(z)=0.70$.

בטבלה $\Phi(0.52)=0.6985$ הוא הערך הקרוב ביותר, ולכן $z\approx0.52$.

רק תפוחים שמשקלם מעל כ-196.2 גרם הם "סוג א'". $195<196.24$, ולכן התפוח אינו מסומן "סוג א'".

(דרך אחרת: ל-195 יש $z=\frac{5}{12}\approx0.42$, ומעליו $1-0.6628=33.7\%$ מן התפוחים - יותר מ-$30\%$, כלומר הוא אינו בין ה-$30\%$ הכבדים.)

טעות נפוצה: להשתמש ב-$\Phi(z)=0.30$ ולקבל $z=-0.52$ ומשקל סף 183.76 גרם, ואז לענות "כן". $30\%$ הם הזנב העליון, ולכן מתחת לסף נמצאים $70\%$.

ה"ענקיים": $z=\frac{211-190}{12}=1.75$.

כל תפוח "ענק" הוא גם "סוג א'" (211 גדול ממשקל הסף 196.24). לכן:

טעות נפוצה: לחבר במקום לחסר: $30\%+4.01\%=34.01\%$. ה"ענקיים" כבר כלולים ב-30% של "סוג א'", ולכן מוציאים אותם מהקבוצה ולא מוסיפים.

לפי סעיף ג, $25.99\%$ מן התפוחים הם "סוג א'" ואינם "ענקיים":

טעות נפוצה: לחלק ב-$0.30$ (כל ה"סוג א'") ולקבל כ-8,663 תפוחים. 2,599 הם רק ה"סוג א'" שאינם "ענקיים".

ציון התקן של התפוח מהפרדס הראשון:

בפרדס הנוסף ציון התקן זהה:

טעות נפוצה: לחשוב שאותו משקל ואותו ציון תקן מחייבים אותה סטיית תקן, ולענות 12 גרם. הממוצעים שונים, ולכן סטיית התקן נקבעת מחדש מהמשוואה.

$\bar x=\frac{4+9+10+15+12}{5}=10$.

ישר הרגרסיה עובר דרך נקודת הממוצעים, ולכן $\bar y=1.5\cdot10+52=67$.

סכום ההכנסות הוא $5\cdot67=335$:

טעות נפוצה: להציב $x=10$ (ימי השרב ביולי) בישר ולקבל $m=67$ - זה הניבוי ליולי, ולא ההכנסה בפועל. הנתונים אינם נמצאים על הישר.

הסטיות של $x$ מהממוצע: $-6,\,-1,\,0,\,5,\,2$; סכום הריבועים $36+1+0+25+4=66$.

משיפוע ישר הרגרסיה $b=r\cdot\frac{S_y}{S_x}$:

טעות נפוצה: לחשב את $S_x$ בחלוקה ב-4 ($\sqrt{16.5}\approx4.062$) ולקבל $r\approx0.797$.

ההכנסה בסניף הנוסף היא $1.1y$ בכל חודש. לכן $\bar y$ ו-$S_y$ מוכפלים ב-1.1, ומקדם המתאם לא משתנה (כפל בקבוע חיובי): $r\approx0.713$.

השיפוע $r\cdot\frac{S_y}{S_x}$ מוכפל ב-1.1, וכל ניבוי מוכפל ב-1.1:

טעות נפוצה: להכפיל ב-1.1 רק את החותך ולקבל $y=1.5x+57.2$ - אבל כפל של כל ההכנסות משנה גם את השיפוע.

בחודש יש לכל היותר 31 ימים, ולכן אין חודש כזה. (גם בלי זה - הנתונים נאספו בין 4 ל-15 ימי שרב, וניבוי רחוק כל כך מתחום הנתונים חסר משמעות.)

טעות נפוצה: לענות 'כן, בחודש עם 45.3 ימי שרב' - בלי לבדוק שהערך אפשרי.

ההסתברות לקלף כחול בהוצאה אחת היא $\frac{9}{x}$, ועם החזרה היא לא משתנה:

טעות נפוצה: לשכוח את הריבוע ולפתור $\frac{9}{x}=0.09$, ולקבל $x=100$.

בקופסה 30 קלפים: 9 כחולים ו-21 צהובים. בהוצאה הראשונה $P(\text{כחול})=0.3$, $P(\text{צהוב})=0.7$.

המשלים של "לפחות כחול אחד" הוא "שני הקלפים צהובים".

אם הראשון צהוב הוא נשאר בחוץ: בקופסה 29 קלפים ומהם 20 צהובים:

טעות נפוצה: לחשב את שתי ההוצאות כאילו הקלף הצהוב מוחזר: $1-0.7^2=0.51$.

כחול ואחריו צהוב: אחרי כחול יש בקופסה 31 קלפים (10 כחולים, 21 צהובים):

צהוב ואחריו כחול: הצהוב בחוץ, בקופסה 29 קלפים ומהם 9 כחולים:

בשני המסלולים יש כחול, ולכן החיתוך עם התנאי הוא הסכום $\frac{6.3}{31}+\frac{6.3}{29}=\frac{378}{899}$. מחלקים בהסתברות התנאי:

טעות נפוצה: לענות $\frac{378}{899}\approx0.42$ בלי לחלק בהסתברות התנאי.

שני מקרים זרים: ארבעה כחולים או ארבעה צהובים. הקופסאות בלתי תלויות, ולכן מכפילים.

ארבעה כחולים: בקופסה הראשונה כחול ואחריו כחול מתוך 31 קלפים שמהם 10 כחולים, ובקופסה השנייה $0.3^2=0.09$:

ארבעה צהובים: בקופסה הראשונה $\frac{14}{29}$ (סעיף ב), ובשנייה $0.7^2=0.49$:

טעות נפוצה: לחשב רק ארבעה כחולים ולענות $\frac{27}{3100}\approx0.0087$. "באותו הצבע" כולל גם ארבעה צהובים.

הרדיוס $MA$ מאונך למשיק $AD$.

הישר $MA$: $y-8=\frac43(x+12)$. $M$ על ציר ה-$x$, ולכן $y=0$: $-8=\frac43(x+12)$, $x=-18$. $M(-18,0)$.

משוואת המעגל: $(x+18)^2+y^2=100$.

טעות נפוצה: לחפש את $M$ כחיתוך של המשיק עצמו עם ציר ה-$x$ ולקבל $M\left(-\frac43,0\right)$. המרכז נמצא על הישר המאונך למשיק בנקודת ההשקה, לא על המשיק.

$B$: הישר $MA$ הוא $y=\frac43(x+18)$, ובציר ה-$y$: $B(0,24)$.

$C=2M-A=(-36+12,\ 0-8)=(-24,-8)$.

$BD=CD$, ולכן המשולש שווה שוקיים והשוקיים הן $BD$ ו-$CD$.

הסבר גאומטרי: $BA=\sqrt{12^2+16^2}=20=AC$, ולכן $A$ אמצע $BC$, ו-$DA\perp BC$ - $DA$ אנך אמצעי לבסיס $BC$.

טעות נפוצה: לקחת את $C$ כשיקוף של $A$ ביחס לציר ה-$x$, $(-12,-8)$, ולקבל $CD=\sqrt{144+49}\approx13.9$ - ואז נראה שאין שתי צלעות שוות.

$MK\parallel BD$ (שניהם מקבילים לציר ה-$y$), ולכן $\triangle CMK\sim\triangle CBD$ (זווית $C$ משותפת וזוויות מתאימות שוות).

יחס הדמיון: $\frac{CM}{CB}=\frac{10}{40}=\frac14$.

שטח $BCD$: $AD$ הוא הגובה לבסיס $BC$, $AD=\sqrt{12^2+9^2}=15$, ולכן $S_{BCD}=\frac12\cdot40\cdot15=300$.

יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון:

בדיקה בקואורדינטות: $K(-18,-6.25)$, $MK=6.25$, והמרחק של $C$ מהישר $x=-18$ הוא 6, ולכן $S=\frac12\cdot6.25\cdot6=18.75$.

טעות נפוצה: לקחת את היחס $\frac{CM}{MB}=\frac{10}{30}=\frac13$ כיחס הדמיון ולקבל $CK=\frac{25}{3}\approx8.33$. היחס הוא בין צלעות מתאימות - $CM$ ל-$CB$ כולו.

זווית הבסיס $\angle CBD$: הזווית בין $BC$ (שיפוע $\frac43$) לציר ה-$y$. $\tan$ של הזווית עם ציר ה-$x$ הוא $\frac43$, כלומר $53.13^\circ$, ולכן עם ציר ה-$y$: $90^\circ-53.13^\circ=36.87^\circ$.

במשולש שווה השוקיים $\angle BCD=\angle CBD=36.87^\circ$.

טעות נפוצה: לענות $36.87^\circ$ - זו זווית בסיס, לא זווית הראש שמול הבסיס $BC$.

$\angle ABC=90^\circ$ - זווית היקפית הנשענת על הקוטר $AC$.

$\angle DCA=90^\circ$ - ציר ה-$x$ משיק למעגל ב-$C$, והרדיוס $MC$ מאונך למשיק בנקודת ההשקה; $AC$ עובר דרך $M$, ולכן $AC\perp CD$.

$\angle BAC=\angle ADC$ - נתון.

לפי משפט הדמיון ז.ז.: $\Delta ABC\sim\Delta DCA$ (התאמה: $A\leftrightarrow D$, $B\leftrightarrow C$, $C\leftrightarrow A$).

טעות נפוצה: לנמק את $\angle DCA=90^\circ$ בכך ש"$AC$ קוטר" בלבד - קוטר לבדו לא יוצר זווית ישרה עם ציר; הזווית הישרה נובעת מכך שהציר משיק ב-$C$. בלי המשיק נשארת רק זווית ישרה אחת, ואז אין ז.ז.

מהדמיון בסעיף א, זוויות מתאימות שוות: $C\leftrightarrow A$, ולכן $\angle ACB=\angle CAD$.

אלה זוויות מתחלפות בין הישרים $BC$ ו-$AD$ עם החותך $AC$ ($B$ משמאל ל-$AC$ ו-$D$ מימינו).

זוויות מתחלפות שוות, ולכן $BC\parallel AD$.

טעות נפוצה: לחפש זוויות מתחלפות בחותך $AB$ (בין $\angle ABC$ ל-$\angle BAD$), לא למצוא שוויון, ולענות "לא". החותך שמתאים לדמיון הוא $AC$.

$AB\perp BC$ ($\angle ABC=90^\circ$), ולכן $m_{AB}\cdot\left(-\frac23\right)=-1$, כלומר $m_{AB}=\frac32$.

דרך $B(0,8)$: $y=\frac32x+8$.

טעות נפוצה: לקחת שיפוע מאונך כ"הנגדי" בלבד ($\frac23$) ולקבל $y=\frac23x+8$. שיפוע מאונך הוא הנגדי וההופכי: $\frac32$.

$AC\perp$ ציר ה-$x$ (סעיף א), ולכן $AC$ אנכי: הישר $x=12$.

$A$ הוא החיתוך של $x=12$ עם $AB$:

טעות נפוצה: לחתוך את $AB$ עם ציר ה-$x$ ($y=0$) ולקבל $\left(-\frac{16}{3},0\right)$ - הקודקוד $A$ נמצא על הישר $x=12$, לא על הציר.

המרכז $M$ הוא אמצע הקוטר $AC$: $M\left(\frac{12+12}{2},\frac{26+0}{2}\right)=(12,13)$.

הרדיוס הוא חצי מהקוטר: $R=\frac{AC}{2}=\frac{26}{2}=13$ (וגם המרחק של $M$ מציר ה-$x$, כי המעגל משיק לו).

בדיקה: $B(0,8)$: $144+25=169$.

טעות נפוצה: להציב את אורך הקוטר כרדיוס ולכתוב $(x-12)^2+(y-13)^2=676$.

לפי ההתאמה $A\leftrightarrow D$, $B\leftrightarrow C$, $C\leftrightarrow A$, הצלע $BC$ מתאימה לצלע $CA$.

טעות נפוצה: להשוות שתי צלעות של אותו משולש, $\frac{BC}{AB}=\frac{4\sqrt{13}}{6\sqrt{13}}=\frac23$, ולענות $2:3$.

האלכסון $AC$ מחלק את המרובע למשולשים $ABC$ ו-$ACD$.

$ABC$ ישר-זווית ב-$B$: $AB=\sqrt{12^2+18^2}=\sqrt{468}=6\sqrt{13}$, $BC=4\sqrt{13}$.

יחס השטחים של משולשים דומים הוא ריבוע יחס הדמיון: $\frac{S_{ABC}}{S_{DCA}}=\left(\frac{2}{\sqrt{13}}\right)^2=\frac{4}{13}$, ולכן $S_{DCA}=156\cdot\frac{13}{4}=507$.

(בדיקה: $DC=\frac{AB\cdot CA}{BC}=39$, ו-$S_{DCA}=\frac{39\cdot26}{2}=507$.)

טעות נפוצה: להשתמש ביחס הדמיון עצמו לשטחים: $S_{DCA}=156\cdot\frac{\sqrt{13}}{2}\approx281.23$, ולקבל שטח של כ-437.23.

המכנה מתאפס ב-$x=1$, ושם המונה $1-2+a=a-1\neq0$ (כי $a>1$): התחום $x\neq1$, והאסימפטוטה $x=1$.

חיתוך עם ציר ה-$x$: $x^2-2x+a=0$.

אין פתרון - אין חיתוך עם ציר ה-$x$.

טעות נפוצה: לחשב $\Delta=4+4a$ (סימן שגוי ב-$-4ac$), לקבל $\Delta>0$ ולענות שיש שתי נקודות חיתוך.

$f'(x)=0$: $x^2-2x+1=a-1$, כלומר $(x-1)^2=a-1$, ולכן $x=1\pm\sqrt{a-1}$.

הסימן לפי $(x-1)^2-(a-1)$: חיובי מחוץ לקטע $\left(1-\sqrt{a-1},\ 1+\sqrt{a-1}\right)$ ושלילי בתוכו (חוץ מ-$x=1$). לכן $x=1-\sqrt{a-1}$ מקסימום ו-$x=1+\sqrt{a-1}$ מינימום.

ערכים: המונה הוא $(x-1)^2+(a-1)$. בנקודות הקיצון $(x-1)^2=a-1$, ולכן המונה $2(a-1)$, והמכנה $\pm\sqrt{a-1}$:

טעות נפוצה: "לגזור" מונה ומכנה בנפרד ($\frac{2x-2}{1}$), לקבל $f'=0$ רק ב-$x=1$ - שאינו בתחום - ולענות שאין לפונקציה נקודות קיצון.

משמאל ל-$x=1$ המכנה שלילי והמונה חיובי (סעיף א), ולכן $f<0$; מימין $f>0$.

בערך המוחלט הענף השמאלי משתקף: המקסימום $-2\sqrt{a-1}$ הופך למינימום $2\sqrt{a-1}$. לכן לשני הענפים של $g$ מינימום באותו גובה, $2\sqrt{a-1}$, וכל ענף יורד מ-$+\infty$ אליו ועולה ל-$+\infty$.

הישר $y=4$ חותך כל ענף פעמיים אם הוא מעל המינימום, נוגע בו פעם אחת אם הוא בגובה המינימום, ולא פוגש אותו אם הוא מתחתיו. בדיוק שני פתרונות - רק כשהוא נוגע בשני המינימומים:

טעות נפוצה: לא להעלות בריבוע: מ-$\sqrt{a-1}=2$ לכתוב $a-1=2$, ולענות $a=3$.

לפי סעיף ג, הכול תלוי בגובה המינימומים $2\sqrt{a-1}$ ביחס ל-4.

ארבעה פתרונות (שני חיתוכים בכל ענף) כשהמינימום מתחת לישר:

אין פתרונות כשהמינימום מעל הישר: $2\sqrt{a-1}>4$, כלומר $a>5$.

טעות נפוצה: להפוך את הכיוון - "ככל ש-$a$ גדול, יש יותר פתרונות" - ולענות ארבעה פתרונות ל-$a>5$ ואף פתרון ל-$1<a<5$. כש-$a$ גדל המינימומים עולים, והישר $y=4$ "נשאר מתחתם".

הביטוי שבתוך השורש חייב להיות אי-שלילי:

טעות נפוצה: להעביר את 5 בלי להחליף את סימנו - $2x\ge5$ - ולקבל $x\ge2.5$.

מכפלה שווה 0 כשאחד הגורמים שווה 0:

$x^2=0\Rightarrow x=0$, או $\sqrt{2x+5}=0\Rightarrow2x+5=0\Rightarrow x=-2.5$.

שני הערכים בתחום ההגדרה: $(0,0)$ ו-$(-2.5,0)$.

טעות נפוצה: לפתור $2x+5=0$ כ-$x=2.5$ ולקבל את הנקודה $(2.5,0)$, שאינה מאפסת את הפונקציה ($f(2.5)=6.25\sqrt{10}\ne0$).

גזירה כמכפלה. נגזרת השורש לפי כלל השרשרת: $\left(\sqrt{2x+5}\right)'=\frac{2}{2\sqrt{2x+5}}=\frac{1}{\sqrt{2x+5}}$.

$f'(x)=0$: $x=0$ או $x=-2$. ב-$x=-2.5$ הנגזרת לא מוגדרת - זה קצה התחום.

טבלת סימנים (המכנה חיובי בתוך התחום, הסימן לפי $5x(x+2)$):