מתכונת במתמטיקה 471 - מתכונת 3 מעל רמת בגרות

בסך הכול $900+600=1500$ משתתפים, ולכן מספר מי שאינם צופים: $0.24\cdot1500=360$.

צעירים שאינם צופים: $0.2\cdot900=180$.

מבוגרים שאינם צופים: $360-180=180$, כלומר $\frac{180}{600}=30\%$ מהמבוגרים.

לכן אחוז המבוגרים הצופים: $100\%-30\%=70\%$.

טעות נפוצה: להניח ש-24% הוא ממוצע פשוט של שתי הקבוצות, $\frac{20\%+q}{2}=24\%$, ולקבל $q=28\%$ שאינם צופים, כלומר 72% צופים. הקבוצות בגדלים שונים, ולכן צריך לספור אנשים.

מבין 360 המשתתפים שאינם צופים, 180 צעירים (סעיף א).

טעות נפוצה: לענות $0.2$ - זו ההסתברות שצעיר אינו צופה, $P(\text{לא צופה}\mid\text{צעיר})$, כלומר ההתניה ההפוכה.

הקבוצה הנבדקת: 360 המשתתפים שאינם צופים. לפי סעיף ב, חצי מהם צעירים וחצי מבוגרים.

האחוזים שווים, ולכן אחוז המבוגרים אינו גבוה מאחוז הצעירים - האמירה אינה נכונה.

טעות נפוצה: להשוות 30% מהמבוגרים שאינם צופים ל-20% מהצעירים ולקבוע שהאמירה נכונה. האחוזים האלה מחושבים מקרב כל קבוצת גיל, לא מקרב מי שאינם צופים.

צעירים שאינם צופים: $0.2\cdot900=180$, כמו קודם. מבוגרים שאינם צופים: $0.3n$.

מקרב מי שאינם צופים, אחוז המבוגרים גבוה מאחוז הצעירים בדיוק כשמספר המבוגרים שאינם צופים גדול ממספר הצעירים שאינם צופים (המכנה, $180+0.3n$, משותף לשני האחוזים):

בסקר הראשון $n=600$ - בדיוק הגבול, ולכן שם יצא שוויון (סעיף ג).

טעות נפוצה: לחשוב שצריך יותר מבוגרים מצעירים ולענות $n>900$. מה שקובע הוא מספר מי שאינם צופים בכל קבוצה, ומבוגר "שווה" כאן יותר כי אחוז מי שאינם צופים אצל המבוגרים גבוה יותר.

טעות נפוצה: לחלק ב-5 כי ביום ד' חסר נתון, ולקבל 30. הנתון החסר הוא מספר הארגזים; יש 6 טמפרטורות.

הסטיות מהממוצע 25: $-7,\ -4,\ -1,\ 1,\ 3,\ 8$.

ריבועי הסטיות: $49,\ 16,\ 1,\ 1,\ 9,\ 64$, וסכומם $140$.

טעות נפוצה: לחלק ב-5 ולקבל $S_x^2=28$. מחלקים במספר הנתונים, 6.

נסמן ב-$a$ את מספר הארגזים ביום ד'; גם הממוצע הוא $a$:

טעות נפוצה: לכתוב $\frac{75}{6}=a$ (לשכוח את $a$ במונה) ולקבל 12.5 ארגזים.

ככל שהטמפרטורה עולה, מספר הארגזים עולה - הקשר חיובי, ולכן $r>0$. זה פוסל את $-0.93$ ואת $-0.28$.

$r=1$ פירושו שכל הנקודות על ישר אחד. בין ימים א' ו-ב' הטמפרטורה עלתה ב-3 והמכירות ב-3, ובין ב' ל-ג' הטמפרטורה עלתה ב-3 והמכירות רק ב-1 - הנקודות אינן על ישר אחד.

נשאר $r=0.98$: קשר חיובי חזק מאוד אך לא מושלם.

טעות נפוצה: לבחור $r=1$ "כי המכירות עולות בכל יום". עלייה בכל יום אינה מספיקה; $r=1$ רק כשהנקודות בדיוק על ישר.

הישר עובר בנקודת הממוצעים $(25,15)$:

(עם $r$ המדויק, $0.9825$, מקבלים $y=0.664x-1.61$ - הפרש של עיגול.)

טעות נפוצה: להפוך את היחס, $b=0.98\cdot\frac{S_x}{S_y}$, ולקבל שיפוע $1.45$ וישר $y=1.45x-21.2$. בניבוי $y$ על פי $x$, $S_y$ במונה.

טעות נפוצה: להציב $y=20$ ולפתור עבור $x$ (מקבלים כ-32.5). הטמפרטורה היא $x$.

בשלוש הדיאגרמות לישר אותו שיפוע חיובי, ולכן השיפוע אינו מכריע.

ישר הרגרסיה עובר בנקודת הממוצעים $(25,15)$, ולכן חלק מהנקודות מעליו וחלק מתחתיו.

בדיאגרמה I כל הנקודות מתחת לישר, ובדיאגרמה II כל הנקודות מעליו. רק בדיאגרמה III הישר עובר בין הנקודות.

טעות נפוצה: לבחור דיאגרמה I כי "הישר שם הכי קרוב לראשית הצירים". הקרבה לראשית אינה רלוונטית; הישר חייב לעבור בנקודת הממוצעים.

נסמן $P(\text{בן})=p$. לפי עץ ההסתברויות:

טעות נפוצה: להשתמש ב-$\frac13$ כאילו זו ההסתברות שתלמיד כלשהו הוא בן, ולענות $\approx33.3\%$ - אבל $\frac13$ היא הסתברות בתוך הלהקה בלבד.

טעות נפוצה: לענות $\frac23$ - זו ההסתברות שבת אינה בלהקה, כלומר התניה בכיוון ההפוך.

נסמן ב-$N$ את מספר התלמידים. בנים בלהקה: $0.4\cdot\frac14N=0.1N$; בנות בלהקה: $0.6\cdot\frac13N=0.2N$.

טעות נפוצה: לקחת את $\frac13$ ואת $\frac14$ כחלקים מכל התלמידים ($\frac N3-\frac N4=6$) ולקבל $N=72$.

בלהקה $0.1\cdot60=6$ בנים ו-$0.2\cdot60=12$ בנות; אחרי ההצטרפות יש $18+k$ חברי להקה.

$k=-42$ נפסל, ולכן $k=7$. (בדיקה: $25\cdot24=600$.)

טעות נפוצה: לא לעדכן את הבחירה השנייה, $\left(\frac{6}{18+k}\right)^2=\frac{1}{20}$, ולקבל $k\approx8.83$ (לא מספר שלם).

$\angle AOB=90^\circ$ (בין הצירים), ו-$\angle CDA=90^\circ$ ($CD$ אנך לציר ה-y).

הנקודות $O$, $A$, $D$ על ציר ה-y, ולכן ב-$A$ זווית שטוחה:

במשולש $AOB$: $\angle OAB+\angle OBA=90^\circ$. לכן $\angle OBA=\angle DAC$.

לפי ז.ז. $\Delta AOB\sim\Delta CDA$, בהתאמה $A\leftrightarrow C$, $O\leftrightarrow D$, $B\leftrightarrow A$.

טעות נפוצה: לטעון ש-$\angle OAB=\angle DAC$ "כי שתיהן ב-A" ולכתוב $\Delta AOB\sim\Delta ADC$. הזוויות האלה משלימות זו את זו ל-$90^\circ$, לא שוות.

$A$ היא נקודת החיתוך של $AB$ עם ציר ה-y: מציבים $x=0$ ומקבלים $y=3$, כלומר $A(0,3)$ ו-$OA=3$.

טעות נפוצה: לקחת את החיתוך עם ציר ה-x, $OB=4$, בתור $OA$, ולקבל $CD=8$.

חיתוך $AB$ עם ציר ה-x: $0=-\frac34x+3$, ולכן $B(4,0)$ ו-$OB=4$.

מהדמיון (לפי סדר הקודקודים $AOB\leftrightarrow CDA$):

$D$ על ציר ה-y, מעל $A$: $OD=3+8=11$, $D(0,11)$. $C$ מימין ל-$D$ במרחק $CD=6$: $C(6,11)$.

טעות נפוצה: התאמה שגויה $\frac{AO}{DA}=\frac{OB}{CD}$ נותנת $DA=4.5$, ומשם $D(0,7.5)$, $C(6,7.5)$.

הזווית הישרה ב-A, ולכן $AC$ הוא הניצב שמול הזווית $B$ ו-$AB$ הניצב שלידה:

טעות נפוצה: $\tan\angle ABC=\frac{AB}{AC}=0.5$, ומתקבל $26.57^\circ$ - זו הזווית $ACB$.

הקרן $CA$ נמצאת בין $CD$ ל-$CB$, ולכן $\angle BCD=\angle BCA+\angle ACD$.

במשולש $CDA$ (ישר זווית ב-D): $\tan\angle ACD=\frac{DA}{CD}=\frac86$, ולכן $\angle ACD\approx53.13^\circ$.

טעות נפוצה: לעצור אחרי $\angle ACD\approx53.13^\circ$ ולענות אותה - הזווית $BCD$ כוללת גם את $\angle BCA$.

במרובע $ABCD$ הזוגות הנגדיים הם $A$ ו-$C$, $B$ ו-$D$.

סכום זוג זוויות נגדיות שונה מ-$180^\circ$, ולכן אי אפשר לחסום את המרובע במעגל.

טעות נפוצה: לחשוב ש-$\angle BAC=90^\circ$ היא זווית המרובע ב-A, לחבר אותה עם $\angle ADC=90^\circ$ ולקבוע שאפשר. זווית המרובע ב-A היא $\angle DAB$ (גדולה מ-$90^\circ$), ו-A ו-D סמוכים.

$B(b,0)$: $b^2+64=100$, $b=\pm6$, ו-$B$ על החלק השלילי: $B(-6,0)$.

$m_{AB}=\frac{8}{6}=\frac43$, ולכן $m_{BC}=-\frac34$: $y=-\frac34(x+6)$.

$y=10+8=18$: $C(-30,18)$.

טעות נפוצה: לכתוב את $BC$ עם השיפוע של $AB$, $y=\frac43(x+6)$. החיתוך עם $AC$ יוצא $(0,8)$ - הנקודה $A$ עצמה, כי זה הישר $AB$.

$\triangle DMA\sim\triangle BMC$ (זוויות מתחלפות בין המקבילים $AD$ ו-$BC$), ויחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון:

$BC=\sqrt{24^2+18^2}=30$, ולכן $AD=10$.

$AD\parallel BC$ ובאותו כיוון (מ-$A$ לכיוון $D$ כמו מ-$B$ לכיוון $C$). וקטור הכיוון $\overrightarrow{BC}=(-24,18)$, ושליש ממנו הוא $(-8,6)$, שאורכו 10:

טעות נפוצה: לקחת את יחס השטחים כיחס הדמיון, $AD=\frac{30}{9}=\frac{10}{3}$, ולקבל $D\left(-\frac{8}{3},10\right)$.

מהדמיון: $\frac{AM}{MC}=\frac{AD}{BC}=\frac13$, כלומר $M$ נמצאת ברבע הדרך מ-$A$ ל-$C$:

בדיקה: $M$ על $BD$ - בין $B(-6,0)$ ל-$D(-8,14)$ שיפוע $-7$, ו-$\frac{10.5-0}{-7.5+6}=-7$.

טעות נפוצה: לקחת את $\frac13$ כחלק של $AC$ כולו: $M=A+\frac13(C-A)=\left(-10,\frac{34}{3}\right)$ - נקודה שאינה על $BD$.

שטח המשולש $ABC$ (ישר זווית ב-$B$): $\frac12\cdot AB\cdot BC=\frac12\cdot10\cdot30=150$.

למשולשים $ABM$ ו-$ABC$ אותו גובה מ-$B$ לישר $AC$, ולכן יחס השטחים הוא $\frac{AM}{AC}=\frac14$: $S_{ABM}=37.5$.

למשולשים $ABD$ ו-$ACD$ אותו בסיס $AD$ ואותו גובה (המרחק בין המקבילים), ולכן $S_{ABD}=S_{ACD}$. מחסירים מכל אחד את $S_{AMD}$:

דרך נוספת: $S_{BMC}=\frac34S_{ABC}=112.5$, ולמשולשים $DMC$ ו-$BMC$ גובה משותף מ-$C$, ולכן $S_{DMC}=\frac{DM}{MB}\cdot S_{BMC}=\frac13\cdot112.5=37.5$.

טעות נפוצה: להתייחס ל-$DMC$ כאילו הוא דומה ל-$BMC$ ולחשב $S_{DMC}=\frac19S_{BMC}=12.5$ (זה שטח $DMA$). ל-$DMC$ ול-$BMC$ יש גובה משותף, ולכן היחס ביניהם הוא $\frac{DM}{MB}=\frac13$, לא ריבועו.

טעות נפוצה: להציב $4^2=8$ ולקבל $8-a=7$, כלומר $a=1$.

$f(x)=\frac{x+1}{x^2-9}$, והמכנה מתאפס כש-$x^2=9$:

טעות נפוצה: לכתוב גם $x\ne-1$, כאילו אסור שהמונה יתאפס - מונה שמתאפס נותן נקודת חיתוך עם ציר ה-$x$, לא נקודת אי-הגדרה.

ב-$x=3$ המונה 4 וב-$x=-3$ המונה $-2$ - שניהם שונים מ-0, ולכן $x=3$ ו-$x=-3$ אסימפטוטות אנכיות.

מעלת המונה קטנה ממעלת המכנה, ולכן $y=0$ אסימפטוטה אופקית.

טעות נפוצה: לכתוב $y=1$ (יחס המקדמים של $x$ במונה ו-$x^2$ במכנה) - כשמעלת המכנה גבוהה יותר, האסימפטוטה היא $y=0$.

המונה: $-x^2-2x-9=-\left[(x+1)^2+8\right]<0$ לכל $x$ (או: הדיסקרימיננטה של $x^2+2x+9$ היא $4-36<0$).

לכן $f'(x)<0$ בכל תחום ההגדרה: הפונקציה יורדת בכל אחד מהקטעים $x<-3$, $-3<x<3$, $x>3$, ואין נקודות קיצון.

טעות נפוצה: להחליף את סדר המחוברים במונה של נגזרת המנה, $(x+1)\cdot2x-1\cdot(x^2-9)$, ולקבל $f'(x)=\frac{x^2+2x+9}{(x^2-9)^2}>0$ - ולהסיק בטעות שהפונקציה עולה בכל התחום.

חיתוכים: $f(x)=0\iff x=-1$, הנקודה $(-1,0)$; $f(0)=\frac{1}{-9}$, הנקודה $\left(0,-\frac19\right)$.

$x<-3$: מונה שלילי ומכנה חיובי - $f<0$; הגרף יורד מקרוב ל-0 אל $-\infty$.

$-3<x<3$: יורד מ-$+\infty$ אל $-\infty$, חוצה את ציר ה-$x$ ב-$x=-1$.

$x>3$: $f>0$; יורד מ-$+\infty$ ומתקרב ל-0.

טעות נפוצה: להעביר את הענף האמצעי דרך הראשית, כמו בפונקציה $\frac{x}{x^2-9}$ - האפס כאן הוא ב-$x=-1$.

השיקוף $-f(x)$ הופך כל ענף יורד לעולה; ההזזה $+2$ מעלה הכול בשתי יחידות.

האסימפטוטה האופקית עוברת ל-$y=2$; האנכיות נשארות $x=\pm3$; הנקודה $(-1,0)$ עוברת ל-$(-1,2)$.

טעות נפוצה: לשקף ביחס לציר ה-$y$ (לצייר $f(-x)+2$) - אז הנקודה על האסימפטוטה עוברת ל-$(1,2)$ במקום $(-1,2)$.

הפתרון היחיד: $x=-1$ (בתחום ההגדרה).

בגרף: הישר $y=2$ הוא האסימפטוטה האופקית של $g$; רק הענף האמצעי חוצה אותו, בנקודה $(-1,2)$.

טעות נפוצה: לענות "אין פתרונות" כי $y=2$ היא אסימפטוטה - הגרף מתקרב אליה רק באינסוף, ובאמצע הוא יכול לחצות אותה.