מתכונת במתמטיקה 471 - מתכונת 4 מעל רמת בגרות

18.41% מן התפוחים קלים מ-162 גרם, ולכן $\Phi(z)=0.1841$, כאשר $z$ הוא ציון התקן של 162.

ההסתברות קטנה מ-0.5, ולכן $z$ שלילי. בטבלה מחפשים את המשלים $1-0.1841=0.8159$, ומוצאים $\Phi(0.9)=0.8159$. לכן $z=-0.9$.

סטיית התקן היא 20 גרם.

טעות נפוצה: לפרש את 18.41% כשטח שבין הממוצע ל-162 ולחפש בטבלה $0.5+0.1841=0.6841$. מתקבל $z\approx0.48$ ו-$S=\frac{18}{0.48}=37.5$ גרם. 18.41% הם כל התפוחים שקלים מ-162 גרם - השטח משמאל ל-162.

בטבלה: $\Phi(1.3)=0.9032$ - החלק של התפוחים שקלים מ-206 גרם.

לייצוא נשלחים התפוחים הכבדים מ-206 גרם, ולכן:

9.68% מן התפוחים נשלחו לייצוא.

טעות נפוצה: לענות 90.32% - זה $\Phi(1.3)$, אחוז התפוחים הקלים מ-206 גרם, ולא הכבדים ממנו.

4,840 תפוחים הם 9.68% מכל התפוחים במטע:

התפוחים שלא נשלחו לייצוא ולא למפעל המיץ הם אלה שמשקלם בין 162 ל-206 גרם:

35,955 תפוחים לא נשלחו לייצוא ולא נשלחו למפעל המיץ.

טעות נפוצה: להחסיר רק את התפוחים שנשלחו לייצוא, $50{,}000-4{,}840=45{,}160$, ולשכוח את 18.41% שנשלחו למפעל המיץ.

החלק של התפוחים שנשלחו למפעל המיץ: $\frac{12000}{60000}=0.2$.

$\Phi(z)=0.2$, ולכן $z$ שלילי. בטבלה $\Phi(0.84)=0.7995\approx0.8$, ולכן $z=-0.84$.

המשקל הממוצע הוא 174.6 גרם.

טעות נפוצה: לטעות בסימן ולקבל $\bar x=162-12.6=149.4$ גרם. אם רק 20% מן התפוחים קלים מ-162 גרם, הממוצע גדול מ-162.

הטבלה נותנת את השטח משמאל לציון תקן.

15.87% רצים פחות מ-14 דקות: $\Phi(z_1)=0.1587$. האחוז קטן מ-50%, ולכן ציון התקן שלילי: $\Phi(1)=0.8413$ ו-$1-0.8413=0.1587$, כלומר $z_1=-1$.

2.28% רצים יותר מ-20 דקות, ולכן 97.72% רצים פחות מ-20 דקות: $\Phi(z_2)=0.9772\Rightarrow z_2=2$.

שתי משוואות ציון תקן:

מחסרים את המשוואה הראשונה מהשנייה: $6=3\sigma$, כלומר $\sigma=2$. מציבים: $\mu=14+2=16$.

טעות נפוצה: לקחת $z_1=+1$ (לשכוח שאחוז קטן מ-50% מתאים לציון תקן שלילי). אז $14=\mu+\sigma$ ו-$20=\mu+2\sigma$, ומתקבל $\sigma=6$ ו-$\mu=8$ - ממוצע שנמוך מ-14, אף שרק 15.87% רצים מתחת ל-14.

ציוני התקן של שני הגבולות:

השטח בין שני ציוני תקן הוא הפרש הערכים המצטברים:

טעות נפוצה: להתעלם מהסימן של $-1.5$ ולחסר $\Phi(1.5)-\Phi(0.5)=0.9332-0.6915=0.2417$, כלומר 24.17% - זה האחוז בין 17 ל-19 דקות, לא בין 13 ל-17.

המהירים ביותר הם בעלי הזמנים הקטנים ביותר, כלומר 10% שמשמאל לזמן הסף $T$: $\Phi(z)=0.10$.

בטבלה $\Phi(1.28)=0.8997\approx0.90$, ולכן מהסימטריה $\Phi(-1.28)\approx0.10$, כלומר $z\approx-1.28$.

טעות נפוצה: לקחת $z=+1.28$ ולקבל $T=16+2.56=18.56$ דקות - זה הסף של 10% האיטיים ביותר. בזמני ריצה "מהיר" פירושו זמן קצר.

$\Phi(z)=0.0668$. האחוז קטן מ-50%, ולכן $z$ שלילי: $\Phi(1.5)=0.9332$ ו-$1-0.9332=0.0668$, כלומר $z=-1.5$.

טעות נפוצה: לקחת $z=+1.5$ ולקבל $\mu=12-3=9$ דקות. בממוצע 9 דקות רוב התלמידים, ולא 6.68%, היו רצים מתחת ל-12 דקות - סימן שהסימן הפוך.

הממוצע הקודם הוא 16 דקות (סעיף א). בהתפלגות החדשה ($\mu=15$, $\sigma=2$):

לפני התוכנית חצי מהתלמידים רצו מתחת ל-16 דקות, ועכשיו 69.15%.

טעות נפוצה: לענות 50% - "פחות מהממוצע" נכון רק לממוצע של אותה התפלגות. כאן 16 הוא ערך רגיל בהתפלגות החדשה.

הדרך הקצרה: המשלים של "מספרים שונים" הוא "אותו מספר".

בדיקה ישירה: כל זוג שונה יכול לצאת בשני סדרים: $2\cdot(20\cdot15+20\cdot5+15\cdot5)=950$.

טעות נפוצה: בחישוב הישיר לספור כל זוג בסדר אחד בלבד ($\frac{475}{1560}\approx0.304$) - הכדור עם 1 יכול לצאת ראשון או שני.

הזוגות השונים: $\{1,2\}$ סכום 3, $\{1,4\}$ סכום 5, $\{2,4\}$ סכום 6. סכום גדול מ-4: $\{1,4\}$ או $\{2,4\}$.

מחלקים בהסתברות התנאי מסעיף א:

טעות נפוצה: לא לחלק בהסתברות התנאי ולענות $\frac{350}{1560}\approx0.224$.

אחרי ההוספה יש $40+x$ כדורים, ומספר הכדורים עם 2 נשאר 15.

$x=10$ או $x=-89$, ולכן $x=10$.

טעות נפוצה: להשאיר במכנה השני 39 במקום $39+x$: $\frac{210}{39(40+x)}=\frac3{35}$ נותן $x\approx22.8$ - לא מספר שלם.

אחרי ההוספה: 30 כדורים עם 1, 15 עם 2, 5 עם 4, ובסך הכול 50.

לפני ההוספה ההסתברות הייתה 0.609, ולכן קטנה: הכד נעשה פחות מגוון, כי יותר מחצי הכדורים נושאים את אותו מספר.

טעות נפוצה: לעדכן את המכנה ל-$50\cdot49$ אבל להשאיר במונה $20\cdot19$; מקבלים $1-\frac{610}{2450}\approx0.751$ וקובעים שההסתברות גדלה.

$AC$ מקביל ל-$y=2x$ ועובר ב-$C$: $y-1=2(x+5)$, כלומר $y=2x+11$.

$A$ היא החיתוך של $AC$ ו-$AB$: $2x+11=-2x+15$, $x=1$, $A(1,13)$.

$E$ אמצע $AC$: $E(-2,7)$. $BD\perp AC$, ולכן $m_{BD}=-\frac12$ ו-$BD$: $y=-\frac12x+6$.

$B$: $-2x+15=-\frac12x+6$, $x=6$, $B(6,3)$.

$D=2E-B=(-4-6,\ 14-3)=(-10,11)$.

טעות נפוצה: להניח ש-$A$ על הישר $y=2x$ עצמו (ולא על ישר מקביל לו), ולקבל $A(3.75,7.5)$ - נקודה שה-$AC$ שלה כלל אינו עובר ב-$C$.

$AE=\sqrt{3^2+6^2}=\sqrt{45}$, $BE=\sqrt{8^2+4^2}=\sqrt{80}$, והזווית $E$ ישרה:

במעוין האלכסון חוצה את זווית הקודקוד, ולכן $\angle ABC=2\cdot36.87^\circ=73.74^\circ$.

טעות נפוצה: לענות $36.87^\circ$ - זו רק מחצית הזווית $ABC$, הזווית שבין הצלע לאלכסון.

כש-$G$ נעה על $BD$ מ-$B$ לכיוון $D$, הזווית $GAB$ גדלה.

כש-$G=E$: $\alpha=\angle BAE=90^\circ-36.87^\circ=53.13^\circ$.

כש-$G=D$: $\alpha=\angle BAD=180^\circ-73.74^\circ=106.26^\circ$ (זוויות סמוכות במעוין משלימות ל-$180^\circ$).

לכן $G$ על הקטע $DE$ (ולא ב-$E$) בדיוק כאשר $53.13^\circ<\alpha\le106.26^\circ$.

טעות נפוצה: להפוך את הכיוון ולענות $0^\circ<\alpha<53.13^\circ$. בזוויות האלה $G$ נמצאת בין $B$ ל-$E$.

$80^\circ$ בתחום שמצאנו, ולכן $G$ על $DE$.

$\angle GAE=80^\circ-53.13^\circ=26.87^\circ$, והמשולש $AEG$ ישר זווית ב-$E$:

(או במשפט הסינוסים במשולש $GAB$: $GB=\frac{\sqrt{125}\sin80^\circ}{\sin63.13^\circ}\approx12.34$, ו-$GE=GB-\sqrt{80}\approx3.40$.)

טעות נפוצה: לחסר את $\angle ABE$ במקום את $\angle BAE$: $\tan(80^\circ-36.87^\circ)$, ולקבל $GE\approx6.28$.

$AC$ קוטר, ו-$\angle ABC$ היא זווית היקפית שנשענת עליו, ולכן $\angle ABC=90^\circ$.

המעגל משיק לציר ה-$y$ בנקודה $C$, ו-$MC$ רדיוס לנקודת ההשקה, ולכן $MC$ מאונך לציר ה-$y$. $M$ נמצא על $AC$, ולכן $AC\perp CD$: $\angle DCA=90^\circ$.

נתון $\angle BAC=\angle ADC$.

במשולשים $ABC$ ו-$DCA$ יש שתי זוויות שוות בהתאמה ($\angle B=\angle C=90^\circ$, $\angle A=\angle D$), ולכן $\Delta ABC\sim\Delta DCA$ (ז.ז.), בהתאמה $A\leftrightarrow D$, $B\leftrightarrow C$, $C\leftrightarrow A$.

טעות נפוצה: לכתוב את הדמיון בסדר $\Delta ABC\sim\Delta CDA$ - בהתאמה הזאת הזווית הישרה $B$ מותאמת לזווית $D$, שאינה ישרה, ובסעיף ד יחס הדמיון יחושב בין צלעות שאינן מתאימות.

מהדמיון: $\angle ACB=\angle CAD$ (הזווית ב-$C$ במשולש $ABC$ מתאימה לזווית ב-$A$ במשולש $DCA$).

אלה זוויות מתחלפות בין $BC$ ל-$AD$ עם החותך $AC$, ולכן $BC\parallel AD$.

טעות נפוצה: להשוות את $\angle ABC$ ל-$\angle DAC$ (שתי זוויות שאינן מתאימות) ולענות "לא" כי $90^\circ\ne\angle DAC$.

$AB\perp BC$ (זווית היקפית על קוטר).

טעות נפוצה: לשכוח את הסימן ולקחת $m_{AB}=2$, ולקבל $y=2x+24$.

$AC$ מאונך לציר ה-$y$ ועובר דרך $C(0,6)$: הישר $y=6$.

טעות נפוצה: להעביר את 24 אגף בלי להחליף סימן ($-2x=6-24=-18$) ולקבל $A(9,6)$ - נקודה מימין לציר ה-$y$, שאינה יכולה להיות על המעגל.

המרכז באמצע הקוטר $AC$: $M\left(\frac{-15+0}{2},6\right)=(-7.5,6)$. הרדיוס: $\frac{AC}{2}=\frac{15}{2}=7.5$.

בדיקה עם $B(-12,0)$: $(-4.5)^2+(-6)^2=20.25+36=56.25$.

טעות נפוצה: לקחת את הקוטר $AC=15$ כרדיוס ולכתוב $(x+7.5)^2+(y-6)^2=225$.

לפי ההתאמה $B\leftrightarrow C$, $C\leftrightarrow A$, הצלע $BC$ מתאימה לצלע $CA$:

יחס הדמיון $\Delta ABC:\Delta DCA=2:\sqrt5$.

טעות נפוצה: להתאים את $AB$ ל-$CA$ (ולא את $BC$): $AB=\sqrt{3^2+6^2}=3\sqrt5$, $\frac{AB}{CA}=\frac{3\sqrt5}{15}=\frac1{\sqrt5}$, ולענות $1:\sqrt5$.

שטח $ABC$: הבסיס $AC=15$ אופקי, והגובה מ-$B$ אליו הוא ההפרש בשיעורי ה-$y$, 6:

יחס השטחים של משולשים דומים שווה לריבוע יחס הדמיון:

טעות נפוצה: להכפיל ביחס הדמיון ולא בריבועו: $S_{DCA}=45\cdot\frac{\sqrt5}{2}\approx50.31$, ושטח המרובע $\approx95.31$.

$x^2-4\ne0$: $x\ne\pm2$; המונה שם $8\ne0$, ולכן $x=\pm2$ אסימפטוטות אנכיות.

$\frac{2x^2}{x^2-4}\to2$, ולכן $y=2+a$.

טעות נפוצה: לכתוב $y=a$ (לחשוב שהשבר שואף ל-0).

התחום סימטרי, ו-$f(-x)=\frac{2(-x)^2}{(-x)^2-4}+a=f(x)$.

$f'=0$ רק ב-$x=0$; $f'>0$ משמאל ו-$f'<0$ מימין - מקסימום. $f(0)=a$: $\max(0,a)$.

טעות נפוצה: לחשב $f(0)=\frac{0}{-4}+a=-\frac a4$ (לחלק גם את $a$ במכנה). $a$ מחובר לשבר, לא חלק ממנו.

ענף אמצעי ($-2<x<2$): עולה מ-$-\infty$ עד $(0,a)$ ויורד ל-$-\infty$. טווח הערכים שלו: $y\le a$.

ענפים חיצוניים ($|x|>2$): בענף הימני $f$ יורדת מ-$+\infty$ ושואפת ל-$2+a$ בלי להגיע אליו; טווח: $y>2+a$. הענף השמאלי - שיקוף.

הענף האמצעי חותך את ציר ה-$x$ פעמיים אם $a>0$, נוגע בו פעם אחת אם $a=0$ (בראשית), ואינו מגיע אליו אם $a<0$.

כל ענף חיצוני חותך את ציר ה-$x$ פעם אחת אם $0>2+a$, כלומר $a<-2$, ואחרת לא (גם לא כש-$a=-2$: הערך $0$ אינו מתקבל).

מסכמים: $a>0$ - שתי נקודות; $a=0$ - אחת; $-2\le a<0$ - אין; $a<-2$ - שתיים (אחת בכל ענף חיצוני).

טעות נפוצה: לבדוק רק את הענף האמצעי ולענות: $a>0$ - שתיים, $a=0$ - אחת, $a<0$ - אין. כך מפספסים את שתי נקודות החיתוך של הענפים החיצוניים כש-$a<-2$.

לפי סעיף ג, הגרף מקבל את הערכים $y\le a$ (בענף האמצעי) ואת הערכים $y>2+a$ (בענפים החיצוניים).

הישר $y=1$ אינו חותך את הגרף אם 1 אינו באף אחד מהטווחים: $1>a$ וגם $1\le2+a$.

ב-$a=-1$: האסימפטוטה האופקית היא בדיוק $y=1$, והענפים החיצוניים שואפים אליה ואינם מגיעים - אין חיתוך. ב-$a=1$: הישר נוגע בנקודת המקסימום $(0,1)$ - יש חיתוך.

טעות נפוצה: לכתוב $-1<a<1$ ולפסול את $a=-1$, מתוך הנחה שהגרף "מגיע" לאסימפטוטה. ערך האסימפטוטה האופקית אינו מתקבל כאן.

מעלים בריבוע: $12+a=9$, ולכן $a=-3$.

טעות נפוצה: לשכוח להעלות בריבוע: מ-$\sqrt{12+a}=3$ לכתוב $12+a=3$ ולקבל $a=-9$.

$f(x)=4\sqrt{x-3}-x$:

טעות נפוצה: לענות $x\ge-3$ - הביטוי בשורש הוא $x-3$ אחרי ההצבה $a=-3$.

כש-$3<x<7$: $\sqrt{x-3}<2$, ולכן $f'>0$ (עולה); כש-$x>7$: $f'<0$ (יורדת). $(7,1)$ מקסימום.

נקודת הקצה: $f(3)=-3$, ומימינה הפונקציה עולה - $(3,-3)$ מינימום (קצה).

טעות נפוצה: להסתפק ב-$f'=0$ ולענות רק $\max(7,1)$, בלי נקודת הקצה.

חיתוכים עם ציר ה-$x$: $4\sqrt{x-3}=x$; מעלים בריבוע: $16(x-3)=x^2$, כלומר $x^2-16x+48=0$, ו-$x=4$ או $x=12$ (שניהם מקיימים את המשוואה המקורית).

אין חיתוך עם ציר ה-$y$ (0 מחוץ לתחום).

מ-$(3,-3)$ הגרף עולה, חותך את ציר ה-$x$ ב-$(4,0)$, מגיע למקסימום $(7,1)$, יורד, חותך ב-$(12,0)$ וממשיך לרדת.

טעות נפוצה: לעצור את הגרף ב-$(12,0)$ - הפונקציה מוגדרת לכל $x\ge3$ וממשיכה לרדת.

$f'(x)=\frac{2}{\sqrt{x-3}}-1$ מוגדרת רק ל-$x>3$, ולכן גרפים II ו-IV, שמתחילים בנקודת קצה, נפסלים.

כש-$x\to3^+$, $f'\to+\infty$ - אסימפטוטה אנכית שהגרף יורד ממנה מלמעלה.