בגרות במתמטיקה 471 - חורף 2023

העקומה הנורמלית סימטרית סביב הממוצע, ולכן בדיוק חצי מהעצים מניבים פחות מהממוצע וחצי יותר ממנו.

בהתפלגות נורמלית הממוצע, החציון והשכיח מתלכדים:

טעות נפוצה: לבלבל בין החציון לבין האחוז שהוא מגדיר ולענות "50%". החציון הוא ערך של המשתנה (משקל בק"ג) - הערך שחצי מהעצים מניבים פחות ממנו - ולא אחוז.

נסמן ב-$z$ את ציון התקן של 30 ק"ג. לפי הנתון $\Phi(z)=0.181$.

ההסתברות קטנה מ-0.5, ולכן $z$ שלילי (30 קטן מהממוצע). בטבלה $\Phi(0.91)\approx0.819$, ולכן מהסימטריה:

מציבים בהגדרת ציון התקן:

טעות נפוצה: להכפיל במקום לחלק - $\sigma=10\cdot0.91=9.1$. בציון התקן $\sigma$ נמצאת במכנה, ולכן מבודדים אותה בחילוק.

ציון התקן של 55 ק"ג (עם $\sigma\approx11$):

הטבלה נותנת את השטח משמאל: $\Phi(1.36)=0.9131$. אנחנו צריכים את העצים שמניבים יותר מ-55, כלומר את השטח מימין:

מספר העצים:

טעות נפוצה: לשכוח את המשלים ולחשב $300\cdot0.9131\approx274$ - זה מספר העצים שמניבים פחות מ-55 ק"ג.

ירידה ב-20% פירושה שנשארו 80% מהממוצע:

סטיית התקן נשארת 11. ציון התקן של 55 ק"ג בשנה זו:

טעות נפוצה: להוריד 20 ק"ג במקום 20% - ממוצע 20, $z=\frac{35}{11}\approx3.18$, ולקבל שאף עץ (0) לא הניב יותר מ-55 ק"ג.

"זהים" = שני מטבעות של 2, או שני מטבעות של 5, או שני מטבעות של 10. שלושה מסלולים זרים בעץ, ולכן מחברים.

ללא החזרה: אחרי שהוציאו מטבע אחד נשארו 35 מטבעות, ומאותו סוג נשאר אחד פחות.

טעות נפוצה: לחשב כאילו מחזירים - $\frac{18^2+12^2+6^2}{36^2}=\frac{504}{1296}=\frac{7}{18}\approx0.389$.

זוג זהה שסכומו גבוה מ-5: שני מטבעות של 5 (סכום 10) או שני מטבעות של 10 (סכום 20). שני מטבעות של 2 נותנים 4.

הסתברות מותנית - החיתוך חלקי התנאי. החיתוך הוא "זהים וסכום מעל 5", כלומר שני המסלולים האלה:

טעות נפוצה: לשכוח את התנאי ולענות $\frac{162}{1260}=\frac{9}{70}\approx0.129$ - זו ההסתברות ששני המטבעות זהים וגם סכומם מעל 5, מתוך כל ההוצאות.

אחרי ההוספה יש בקופה $36+x$ מטבעות, ומספר מטבעות ה-5 לא השתנה (12).

$x=9$ או $x=-80$. מספר מטבעות אינו שלילי, ולכן $x=9$.

טעות נפוצה: לשכוח שגם במכנה השני נוסף $x$ ולכתוב $\frac{12\cdot11}{(36+x)^2}=\frac1{15}$; מקבלים $x\approx8.5$ - לא מספר שלם, סימן לטעות.

אחרי ההוספה: 18 מטבעות של 2, 12 של 5, $6+9=15$ של 10, ובסך הכול 45.

לפני ההוספה (סעיף א) ההסתברות הייתה 0.3714, ולכן היא קטנה.

טעות נפוצה: לעדכן את מטבעות ה-10 אבל להשאיר את המכנה הישן $36\cdot35$: $\frac{648}{1260}\approx0.514$, ולקבוע שההסתברות גדלה.

$\angle AOB=90^\circ$ (הזווית בין הצירים), ו-$\angle BDC=90^\circ$ ($CD$ אנך לציר ה-x).

הנקודות $O$, $B$, $D$ על ישר אחד (ציר ה-x), ולכן ב-$B$ יש זווית שטוחה:

במשולש $AOB$: $\angle OAB+\angle OBA=90^\circ$. לכן $\angle OAB=\angle CBD$ (שתיהן משלימות את $\angle OBA$ ל-$90^\circ$).

שתי זוויות שוות, ולכן $\Delta AOB\sim\Delta BDC$ לפי ז.ז., בהתאמה $A\leftrightarrow B$, $O\leftrightarrow D$, $B\leftrightarrow C$.

טעות נפוצה: לכתוב את הדמיון בהתאמה $\Delta AOB\sim\Delta CDB$ (A מול C). ההתאמה הזאת שגויה - הזווית ב-A שווה לזווית ב-B של המשולש השני - והיא תוביל ליחסים שגויים בסעיף ב.

$B$ היא נקודת החיתוך של הישר $AB$ עם ציר ה-x, ולכן מציבים $y=0$:

טעות נפוצה: לקחת את 4 (החיתוך עם ציר ה-y, כלומר $OA$) בתור $OB$ ולקבל $CD=10$.

מהישר: $A(0,4)$, כלומר $AO=4$.

מהדמיון בסעיף א (לפי סדר הקודקודים):

$OD=OB+BD=6+10=16$, ולכן $D(16,0)$. הנקודה $C$ נמצאת מעל $D$ בגובה $CD=15$: $C(16,15)$.

טעות נפוצה: התאמה שגויה $\frac{AO}{DC}=\frac{OB}{BD}$ נותנת $BD=22.5$ ו-$D(28.5,0)$, $C(28.5,15)$.

במשולש ישר הזווית $ABC$ (הזווית הישרה ב-B), $BC$ הוא הניצב שמול הזווית $A$ ו-$AB$ הניצב שלידה:

(בקיצור: יחס הדמיון הוא $\frac{BC}{AB}=\frac{DC}{OB}=\frac52$.)

טעות נפוצה: להפוך את היחס, $\tan\angle BAC=\frac{AB}{BC}=0.4$, ולקבל $21.8^\circ$ - זו הזווית $ACB$.

הקרן $CB$ נמצאת בין $CA$ ל-$CD$, ולכן $\angle ACD=\angle ACB+\angle BCD$.

במשולש $BDC$ (ישר זווית ב-D): $\tan\angle BCD=\frac{BD}{CD}=\frac{10}{15}$, ולכן $\angle BCD\approx33.69^\circ$.

טעות נפוצה: לקחת $\tan\angle BCD=\frac{CD}{BD}=1.5$ ($56.31^\circ$ - זו הזווית $CBD$) ולקבל $\angle ACD\approx78.11^\circ$.

במרובע $ABDC$ הזוגות הנגדיים הם $A$ ו-$D$, $B$ ו-$C$.

מרובע ניתן לחסימה במעגל אם ורק אם סכום זוג זוויות נגדיות הוא $180^\circ$.

לכן אי אפשר לחסום את המרובע במעגל.

טעות נפוצה: לחבר את $\angle ABC=90^\circ$ ואת $\angle BDC=90^\circ$, לקבל $180^\circ$ ולקבוע שאפשר. $\angle ABC$ אינה זווית של המרובע (זווית המרובע ב-B היא $\angle ABD$), ו-B ו-D הם קודקודים סמוכים.

ציר ה-x משיק למעגל ב-E, ו-$ME$ הוא רדיוס לנקודת ההשקה. רדיוס לנקודת ההשקה מאונך למשיק, ולכן $ME\perp$ ציר ה-x.

$A$ על המשך $ME$, ולכן גם $MA\perp$ ציר ה-x.

גם ציר ה-y מאונך לציר ה-x. שני ישרים המאונכים לאותו ישר מקבילים זה לזה, ולכן $MA\parallel$ ציר ה-y.

טעות נפוצה: לכתוב "$MA$ מאונך לציר ה-y" ולהסיק מקבילות - $MA$ מאונך לציר ה-x; האנך לשני הישרים הוא ציר ה-x.

$B$ ו-$C$ על ציר ה-y, ולכן לפי סעיף א(1) $BC\parallel MA$.

$BM$ חותך את שני הישרים המקבילים. $\angle CBM$ ו-$\angle BMA$ נמצאות משני צדי החותך ובין המקבילים - זוויות מתחלפות, ולכן שוות.

טעות נפוצה: לזהות אותן כזוויות חד-צדדיות ולכתוב $\angle CBM+\angle BMA=180^\circ$. C ו-A נמצאות משני צדי $BM$.

$MB=MC$ (רדיוסים), ולכן המשולש $MBC$ שווה שוקיים: $\angle MCB=\angle MBC$.

$AB=MB$ (שניהם שווים לרדיוס), ולכן המשולש $ABM$ שווה שוקיים עם בסיס $MA$: $\angle BMA=\angle BAM$.

לפי סעיף א(2) $\angle MBC=\angle BMA$. נסמן את הזווית הזאת $\alpha$: ארבע זוויות הבסיס שוות $\alpha$.

טעות נפוצה: לחשוב שהשוקיים במשולש $ABM$ הן $MB=MA$ ולכתוב $\angle MBA=\angle MAB$. $MA$ אינו רדיוס (A מחוץ למעגל); השוקיים הן $AB$ ו-$MB$.

$\angle CMB=\angle MBA$ (סעיף ב(1)), והן זוויות מתחלפות בין $CM$ ל-$AB$ עם החותך $MB$. לכן $CM\parallel AB$.

לפי סעיף א(1) גם $BC\parallel MA$.

מרובע ששני זוגות הצלעות הנגדיות בו מקבילים הוא מקבילית.

טעות נפוצה: לטעון שהמרובע מעוין כי "$MB=MC=AB$ רדיוסים". $MB$ הוא אלכסון ולא צלע; הצלעות $BC$ ו-$AB$ אינן שוות ($8$ לעומת $5$ בהמשך).

המעגל משיק לציר ה-x, ולכן הרדיוס שווה למרחק של המרכז מציר ה-x - שיעור ה-y של המרכז: $R=5$.

טעות נפוצה: לקחת את שיעור ה-x של המרכז כרדיוס, $R=3$, ולכתוב $(x-3)^2+(y-5)^2=9$ - זה המעגל שמשיק לציר ה-y.

על ציר ה-y $x=0$. מציבים במשוואת המעגל:

לפי הסרטוט B למטה: $B(0,1)$, $C(0,9)$.

טעות נפוצה: להציב $y=0$ במקום $x=0$, לקבל $(x-3)^2=0$ ולחשוב שהמעגל פוגש את הציר בנקודה אחת $(3,0)$ - זו נקודת ההשקה E עם ציר ה-x.

$ABCM$ מקבילית, ולכן $\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CM}$:

בדיקה: A על הישר $x=3$ (המשך $ME$), ו-$AB=\sqrt{3^2+4^2}=5=R$.

טעות נפוצה: להניח ש-E אמצע $MA$ ולקבל $A(3,-5)$ - אז $AB=\sqrt{9+36}\ne5$.

הצלע $BC$ על ציר ה-y: $BC=9-1=8$.

הגובה לצלע הזאת הוא המרחק בין הישרים המקבילים $x=0$ ו-$x=3$ (הצלע $MA$): 3.

טעות נפוצה: לקחת את הרדיוס 5 (האורך של $AB$ או $MB$) כגובה ולקבל $8\cdot5=40$. הגובה מאונך לבסיס.

פונקציה רציונלית מוגדרת בכל מקום שבו המכנה שונה מאפס.

$x^2\ge0$ ולכן $x^2+4\ge4>0$: המכנה אף פעם לא מתאפס.

תחום ההגדרה: כל $x$.

טעות נפוצה: "לפתור" $x^2+4=0$ כאילו זה $x^2-4=0$ ולכתוב $x\ne\pm2$.

אסימפטוטה אנכית: אין, כי המכנה לא מתאפס (סעיף א(1)).

אסימפטוטה אופקית: במנה $\frac{5x}{x^2+4}$ מעלת המונה (1) קטנה ממעלת המכנה (2), ולכן המנה שואפת ל-0 כאשר $x\to\pm\infty$.

טעות נפוצה: לשכוח את ה-$+1$ ולכתוב $y=0$ - האסימפטוטה של המנה בלבד.

ציר ה-y: $f(0)=0+1=1$, הנקודה $(0,1)$.

ציר ה-x: $f(x)=0$:

$(x+1)(x+4)=0$, ולכן $x=-1$ או $x=-4$: הנקודות $(-1,0)$, $(-4,0)$.

טעות נפוצה: להשוות לאפס רק את המונה $5x$ ולקבל $(0,0)$ - בגלל ה-$+1$ צריך קודם לבודד את השבר.

נגזרת של מנה (הנגזרת של הקבוע 1 היא 0):

$f'(x)=0$ כאשר $x^2=4$: $x=2$ או $x=-2$. המכנה חיובי, ולכן הסימן נקבע לפי $4-x^2$: שלילי ל-$x<-2$, חיובי ל-$-2<x<2$, שלילי ל-$x>2$.

ב-$x=-2$ ירידה ואז עלייה - מינימום; ב-$x=2$ עלייה ואז ירידה - מקסימום.

טעות נפוצה: להפוך את הסדר בנוסחת המנה ($u\cdot v'-u'\cdot v$) ולקבל $f'=\frac{5(x^2-4)}{(x^2+4)^2}$ - ואז הסוגים מתחלפים: "מקסימום $(-2,-0.25)$, מינימום $(2,2.25)$".

אוספים את תוצאות החקירה:

ל-$x<0$ המנה $\frac{5x}{x^2+4}$ שלילית, ולכן הגרף מתחת לישר $y=1$; ל-$x>0$ מעליו. כאשר $x\to-\infty$ הגרף מתקרב ל-$y=1$ מלמטה.

הגרף יורד, חותך את ציר ה-x ב-$(-4,0)$, מגיע למינימום $(-2,-0.25)$, עולה דרך $(-1,0)$, חוצה את האסימפטוטה ב-$(0,1)$, ממשיך למקסימום $(2,2.25)$.

משם יורד ומתקרב ל-$y=1$ מלמעלה כאשר $x\to\infty$.

טעות נפוצה: לחשוב שגרף לא חוצה אסימפטוטה אופקית ולצייר אותו כל הזמן מעל $y=1$ - אבל $f(-1)=0<1$; האסימפטוטה מתארת רק את ההתנהגות באינסוף.

לכן $g'$ מתאפסת ב-$x=\pm2$, חיובית ביניהן ושלילית מחוץ להן, ו-$g'(0)=\frac{40}{16}=2.5>0$. כאשר $x\to\pm\infty$, $g'\to0$ (מתחת לציר).

בנוסף $g'(-x)=g'(x)$ - הגרף סימטרי לציר ה-y.

הגרף המתאים: "פעמון" חיובי סביב $x=0$ עם זנבות מעט שליליים - גרף III.

גרף II הפוך בסימן (שלילי ב-0), וגרפים I ו-IV מתאפסים ב-$x=0$, שם $g'(0)\ne0$.

טעות נפוצה: לבחור את גרף I, שצורתו כמו הגרף של $g$ עצמה (עולה ויורדת, מעבר דרך הראשית) - מחפשים את הגרף של הנגזרת, לפי סימן השיפוע.

בקטע $0\le x\le1$: $g'(x)>0$ (סעיף ה), ולכן השטח שווה לאינטגרל.

$g(x)$ היא פונקציה קדומה של $g'(x)$:

טעות נפוצה: לחשב $f(1)-f(0)=1$ ולשכוח שהפונקציה הקדומה של $g'$ היא $g=2f$, לא $f$.

הביטוי שבתוך השורש חייב להיות אי-שלילי:

טעות נפוצה: לדרוש $4x+20>0$ (חיובי ממש) ולכתוב $x>-5$. השורש של 0 מוגדר, ו-$x=-5$ בתחום.

מכפלה שווה לאפס כשאחד הגורמים שווה לאפס:

$x^2=0\Rightarrow x=0$, או $\sqrt{4x+20}=0\Rightarrow x=-5$. שני הערכים בתחום.

החיתוך עם ציר ה-y: $f(0)=0$ - אותה נקודה $(0,0)$.

טעות נפוצה: לבדוק רק את הגורם $x^2$ ולענות $(0,0)$ בלבד - גם השורש מתאפס, בקצה התחום.

נגזרת מכפלה; הנגזרת של $\sqrt{4x+20}$ היא $\frac{4}{2\sqrt{4x+20}}=\frac{2}{\sqrt{4x+20}}$:

$f'(x)=0$ ב-$x=0$ וב-$x=-4$ (שניהם בתחום, $x>-5$).

סימן המונה $10x(x+4)$ בתחום: חיובי ל-$-5<x<-4$, שלילי ל-$-4<x<0$, חיובי ל-$x>0$.

$x=-4$: מקסימום, $f(-4)=16\cdot\sqrt4=32$. $x=0$: מינימום, $f(0)=0$.

קצה התחום $x=-5$: $f(-5)=0$, ומיד אחריו הפונקציה עולה - מינימום בקצה, $(-5,0)$.

טעות נפוצה: לבדוק רק את אפסי הנגזרת ולשכוח את קצה התחום - ולענות רק $\max(-4,32)$, $\min(0,0)$.

הגרף מתחיל בנקודת הקצה $(-5,0)$ ואינו קיים משמאל לה.

עולה בתלילות למקסימום $(-4,32)$, יורד למינימום $(0,0)$ - שם הוא נוגע בציר ה-x (הפונקציה אי-שלילית בכל התחום) - ואחר כך עולה ללא הגבלה.

טעות נפוצה: להמשיך את הגרף משמאל ל-$x=-5$, מחוץ לתחום ההגדרה.

$y=12$ ישר אופקי, ולכן הוא משיק לגרף רק בנקודה שבה $g'(x)=0$. $g'(x)=f'(x)$ - אותן נקודות: $x=-4$ ו-$x=0$.

$g$ היא הזזה אנכית של $f$ ב-$c$, ולכן ערכי הקיצון שלה $32+c$ ו-$0+c$.

(בקצה $x=-5$ הנגזרת אינה מתאפסת - שם אין משיק אופקי.)

טעות נפוצה: לטעות בכיוון ההזזה ($32-c=12$, $0-c=12$) ולקבל $c=20$ או $c=-12$.