בגרות במתמטיקה 471 - קיץ 2023 מועד ב'

העקומה הנורמלית סימטרית סביב הממוצע, ולכן בדיוק מחצית מהאוכלוסייה נמצאת מתחת לממוצע (הממוצע שווה לחציון).

לפי נתון 1, ל-50% מהנבדקים השיער התארך בפחות מ-12 ס"מ, ולכן 12 הוא הממוצע:

טעות נפוצה: לחשב ממוצע של שני הערכים שבנתונים, $\frac{12+12.56}{2}=12.28$. הערך 12.56 שייך לנתון של 33%, והוא לא קשור לממוצע.

ל-33% מהנבדקים השיער התארך ביותר מ-12.56 ס"מ, ולכן ל-67% התארך בפחות מ-12.56 (השטח המצטבר משמאל):

מחפשים בתוך טבלת ההתפלגות הנורמלית את הערך 0.67: $\Phi(0.44)=0.6700$, ולכן ציון התקן של 12.56 הוא $Z=0.44$.

מציבים בנוסחת ציון התקן:

טעות נפוצה: להשתמש באחוז עצמו במקום בציון התקן - $\sigma=\frac{0.56}{0.33}\approx1.697$. 0.33 הוא שטח, וציון התקן נקרא בשולי הטבלה.

הגברה ב-10% פירושה שכל ערך מוכפל ב-1.1.

כשכל הנתונים מוכפלים בקבוע חיובי, גם הממוצע וגם סטיית התקן מוכפלים באותו קבוע (המרחקים מהממוצע גדלים פי 1.1):

טעות נפוצה: להכפיל את סטיית התקן בריבוע הקבוע, $1.273\cdot1.21\approx1.54$ - בריבוע הקבוע מוכפלת השונות, לא סטיית התקן.

גם אחרי השימוש בשמפו ההתפלגות נורמלית (כל ערך מוכפל ב-1.1).

"בין הממוצע לסטיית תקן אחת מעליו" הוא תמיד התחום של ציוני התקן 0 עד 1, בכל התפלגות נורמלית - לפני השמפו ואחריו:

לכן האחוז לא ישתנה: 34.13% לפני ואחרי.

טעות נפוצה: לענות "יגדל" כי סטיית התקן גדלה והעקומה רחבה יותר. התחום גדל יחד עם סטיית התקן, והשטח מעליו נשאר 34.13%.

ממוצעים:

סטיית התקן היא שורש של ממוצע ריבועי הסטיות מהממוצע.

ב-$x$ כל ערך רחוק 1 מהממוצע:

ב-$y$ רק שני ערכים שונים מהממוצע: $2-10=-8$ ו-$18-10=8$:

טעות נפוצה: לשכוח להוציא שורש ולכתוב $S_y=16$ - זו השונות, לא סטיית התקן.

מקדם המתאם:

רק בשני דגמים גם $x$ וגם $y$ שונים מהממוצע, ובשאר המכפלה 0:

$(9,2)$: $(-1)\cdot(-8)=8$; $(11,18)$: $1\cdot8=8$. סכום המכפלות: 16.

טעות נפוצה: לשכוח את $n$ במכנה ולקבל $r=\frac{16}{1\cdot4}=4$ - מקדם מתאם תמיד בין $-1$ ל-1.

שיפוע ישר הרגרסיה של $y$ לפי $x$:

הישר עובר בנקודת הממוצעים $(\bar x,\bar y)=(10,10)$:

טעות נפוצה: להפוך את היחס, $m=0.5\cdot\frac{1}{4}=0.125$, ולקבל $y=0.125x+8.75$. בניבוי $y$ לפי $x$ סטיית התקן של $y$ במונה.

מציבים $x=10$ בישר הרגרסיה:

אפשר גם בלי הצבה: 10 הוא ממוצע ה-$x$, וישר הרגרסיה תמיד עובר בנקודת הממוצעים, ולכן הניבוי הוא ממוצע ה-$y$.

טעות נפוצה: להציב בנוסחה בלי להחסיר את ממוצע ה-$x$, $\hat y=\bar y+m\cdot x=10+2\cdot10=30$ דקות. בישר $y-\bar y=m(x-\bar x)$ מציבים את המרחק מהממוצע, $x-\bar x=0$.

קיצור ב-20% פירושו שכל ערך של $y$ מוכפל ב-0.8.

(1) מקדם המתאם לא משתנה כשמכפילים משתנה בקבוע חיובי (הקשר "חזק" באותה מידה, רק ביחידות אחרות): $r=0.5$.

(2) סטיית התקן מוכפלת ב-0.8: $S_y=0.8\cdot4=3.2$ - תקטן.

(3) השיפוע $r\cdot\frac{S_y}{S_x}$: $r$ ו-$S_x$ לא השתנו ו-$S_y$ קטנה, ולכן $m=0.5\cdot\frac{3.2}{1}=1.6$ - יקטן.

טעות נפוצה: לחשוב שגם מקדם המתאם קטן ב-20% (ל-0.4). מקדם המתאם לא תלוי ביחידות המדידה.

בהוצאה הראשונה: $P(\text{צהוב})=\frac{6}{25}$.

עיפרון צהוב לא חוזר לקלמר, ולכן בהוצאה השנייה נשארו 24 עפרונות, ומהם 5 צהובים.

טעות נפוצה: להתעלם מכך שהצהוב נשאר בחוץ ולחשב כמו עם החזרה: $\left(\frac{6}{25}\right)^2=\frac{36}{625}=0.0576$.

"באותו צבע" הוא איחוד של שלושה מסלולים זרים: כחול-כחול, אדום-אדום, צהוב-צהוב.

כחול ואדום מוחזרים, ולכן בהוצאה השנייה ההרכב לא השתנה:

צהוב-צהוב חושב בסעיף א: $0.05$.

טעות נפוצה: לחשב גם את הצהוב-צהוב עם החזרה: $\frac{225+16+36}{625}=\frac{277}{625}=0.4432$.

זו הסתברות מותנית: התנאי הוא "אותו צבע" (סעיף ב(1)).

החיתוך של "אדום-אדום או צהוב-צהוב" עם "אותו צבע" הוא פשוט "אדום-אדום או צהוב-צהוב": $0.0256+0.05=0.0756$.

טעות נפוצה: לא לחלק בהסתברות התנאי ולענות $0.0756$ - זו ההסתברות להוציא שני אדומים או שני צהובים בלי המידע ששני העפרונות באותו צבע.

מה נשאר בקלמר: $15-x$ כחולים, $4-2=2$ אדומים, $6-2=4$ צהובים. בסך הכול $25-x-4=21-x$ עפרונות.

צהוב ואחריו אדום, ללא החזרה:

$x=36$ נפסל, כי היו רק 15 עפרונות כחולים. לכן $x=5$.

טעות נפוצה: להתייחס לעפרונות שניתנו לאח כאילו הם מה שנשאר בקלמר ($x$ כחולים, 2 אדומים, 2 צהובים): $\frac{2}{x+4}\cdot\frac{2}{x+3}=\frac{1}{30}$, כלומר $(x+4)(x+3)=120$, ומתקבל $x\approx7.47$ - לא מספר שלם.

הצירים מאונכים זה לזה, ולכן $\angle FOB=90^\circ$, כלומר $\angle COF+\angle COB=90^\circ$.

$CF$ מאונך לציר ה-$x$, ולכן המשולש $OCF$ ישר זווית ב-$F$, וסכום שתי הזוויות החדות בו $90^\circ$: $\angle OCF+\angle COF=90^\circ$.

שתי הזוויות $\angle COB$ ו-$\angle OCF$ משלימות את אותה זווית $\angle COF$ ל-$90^\circ$, ולכן $\angle OCF=\angle COB$.

לפי הנתון $\angle COB=\angle AOE$, ולכן $\angle AOE=\angle OCF$.

טעות נפוצה: לבלבל בין $\angle OCF$ (הזווית שבקודקוד $C$) ובין $\angle COF$ (שבקודקוד $O$) ו"להוכיח" ש-$\angle AOE=\angle COF$ - טענה שגויה: הזוויות האלה משלימות זו את זו ל-$90^\circ$.

$\angle OFC=\angle AEO=90^\circ$ (שני האנכים לציר ה-$x$).

$\angle OCF=\angle AOE$ (סעיף א(1)).

לפי משפט הדמיון ז.ז., $\triangle OCF\sim\triangle AOE$, בהתאמה $O\leftrightarrow A$, $C\leftrightarrow O$, $F\leftrightarrow E$.

טעות נפוצה: לכתוב את ההתאמה $O\leftrightarrow O$ (המשולשים $OCF$ ו-$OAE$) רק כי לשניהם יש קודקוד ב-$O$. ההתאמה נקבעת לפי הזוויות השוות, וההתאמה השגויה תיתן בהמשך $CF=2\cdot AE$ במקום $CF=2\cdot OE$.

יחס השטחים של משולשים דומים שווה לריבוע יחס הדמיון:

טעות נפוצה: לענות שיחס הדמיון הוא $4:1$ - זה יחס השטחים, ויחס הדמיון הוא השורש שלו.

$E$ נמצאת על הישר $x=4$ ועל ציר ה-$x$, ולכן $E(4,0)$ ו-$OE=4$.

לפי ההתאמה $C\leftrightarrow O$, $F\leftrightarrow E$, הצלע $CF$ מתאימה לצלע $OE$:

טעות נפוצה: להפוך את היחס ולכתוב $CF=\frac{OE}{2}=2$. המשולש $OCF$ הוא הגדול, ולכן הצלעות שלו כפולות.

$F$ על הישר $x=-4$, ולכן $F(-4,0)$ ו-$OF=4$. $C$ נמצאת מעל $F$ במרחק $CF=8$: $C(-4,8)$.

לפי ההתאמה $O\leftrightarrow A$, $F\leftrightarrow E$, הצלע $OF$ מתאימה לצלע $AE$:

$A$ נמצאת מעל $E(4,0)$ במרחק 2: $A(4,2)$.

טעות נפוצה: לכפול במקום לחלק, $AE=2\cdot OF=8$, ולקבל $A(4,8)$.

במקבילית האלכסונים חוצים זה את זה, ולכן לאלכסונים $AC$ ו-$OB$ אותה נקודת אמצע.

$(0,5)$ הוא גם אמצע $OB$, ו-$O=(0,0)$, ולכן $B(0,10)$.

טעות נפוצה: לענות שהקודקוד $B$ הוא $(0,5)$ - זו נקודת מפגש האלכסונים, ו-$B$ רחוקה ממנה מ-$O$ פי 2.

שיפועי שתי הצלעות שיוצאות מ-$O$:

$m_{OA}\cdot m_{OC}=\frac12\cdot(-2)=-1$, ולכן $OA\perp OC$ ו-$\angle AOC=90^\circ$.

מקבילית שיש בה זווית ישרה היא מלבן.

טעות נפוצה: לשכוח את הסימן של שיעור ה-$x$ של $C$ ולחשב $m_{OC}=2$. אז המכפלה יוצאת 1, ו"מוכיחים" שהמקבילית אינה מלבן.

שני המשולשים ישרי זווית, והניצבים שלהם ידועים:

שטח המלבן הוא מכפלת שתי צלעות סמוכות:

האלכסונים מחלקים מקבילית (ובפרט מלבן) לארבעה משולשים שווי שטח, ולכן $S_{ABM}=\frac{40}{4}=10$.

$S_{AOE}+S_{CFO}=20=2\cdot10$ - הטענה נכונה.

טעות נפוצה: לחשוב שהמשולש $ABM$ הוא מחצית המלבן ($S_{ABM}=20$), ולענות שהטענה לא נכונה כי $20\ne40$.

$M$ על ציר ה-$y$, ולכן $M(0,k)$. $A$ ו-$B$ על המעגל, ולכן הן במרחק שווה מהמרכז: $MA=MB$.

משווים את ריבועי המרחקים:

לכן $M(0,3)$.

טעות נפוצה: להשוות סכומי הפרשים במקום מרחקים, $5+(k-3)=3+(7-k)$, ולקבל $k=4$, כלומר $M(0,4)$. המרחק מחושב בפיתגורס, לא בחיבור ההפרשים.

הרדיוס הוא המרחק מהמרכז לנקודה על המעגל:

טעות נפוצה: לכתוב $x^2+(y+3)^2=25$ - במשוואה מופיע $y$ פחות שיעור המרכז.

על ציר ה-$x$: $y=0$. מציבים במשוואת המעגל:

לפי הסרטוט $C$ מימין: $C(4,0)$, $D(-4,0)$.

טעות נפוצה: להציב $x=0$ במקום $y=0$ ולקבל $(0,8)$ ו-$(0,-2)$ - אלה נקודות החיתוך עם ציר ה-$y$.

טעות נפוצה: לחשב את ההפרש $4-(-5)$ כ-$-1$ ולקבל $\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$.

המשולש $ABC$ חסום במעגל שרדיוסו 5, ולפי משפט הסינוסים:

לסינוס הזה שתי זוויות: $71.565^\circ$ או $108.435^\circ$. המשולש חד זוויות, ולכן $\angle ABC\approx71.565^\circ$.

טעות נפוצה: לקחת את 25 מהמשוואה כרדיוס, $2R=50$, ולקבל $\sin\angle ABC\approx0.19$, כלומר $\angle ABC\approx10.94^\circ$.

הנקודות $A$, $B$, $C$, $E$ כולן על המעגל, ו-$E$ על הקשת שאין עליה את $B$. לכן $ABCE$ הוא מרובע חסום במעגל, ו-$B$ ו-$E$ קודקודים נגדיים בו.

במרובע חסום סכום זוויות נגדיות $180^\circ$:

טעות נפוצה: לחשוב ש-$\angle AEC$ היא זווית מרכזית ולענות $2\cdot71.565^\circ=143.13^\circ$. הקודקוד $E$ על המעגל, לא במרכז.

המשולש $AEC$ חסום באותו מעגל, ולכן גם בו $\frac{EC}{\sin\angle EAC}=2R$:

(הזווית חדה, כי הזווית $AEC$ כבר קהה.)

זו הזווית שבין $AC$ ל-$EC$, ושתי הצלעות ידועות:

טעות נפוצה: להציב את $\angle EAC$ במקום הזווית שבין $AC$ ו-$EC$: $\frac12\cdot\sqrt{90}\cdot7\cdot0.7\approx23.24$.

פונקציה רציונלית מוגדרת בכל מקום שבו המכנה שונה מאפס:

טעות נפוצה: להוציא מהתחום גם את האפסים של המונה, $x\ne\pm\frac43$. מונה שמתאפס לא מפריע להגדרה - שם הפונקציה פשוט שווה 0.

אסימפטוטות אנכיות: בנקודות שבהן המכנה מתאפס והמונה לא. ב-$x=\pm1$ המונה $16-9=7\ne0$, ולכן $x=1$ ו-$x=-1$ אסימפטוטות.

אסימפטוטה אופקית: המעלות של המונה והמכנה שוות (2), ולכן היא יחס המקדמים של $x^2$:

טעות נפוצה: להתעלם מהסימן של $-x^2$ במכנה ולכתוב $y=-9$.

חיתוך עם ציר ה-$x$: שבר מתאפס כשהמונה מתאפס (והמכנה לא):

חיתוך עם ציר ה-$y$: $f(0)=\frac{16}{1}=16$.

טעות נפוצה: לאפס את המכנה במקום המונה ולקבל $(1,0)$ ו-$(-1,0)$ - שם הפונקציה כלל לא מוגדרת.

גוזרים לפי כלל המנה, $\left(\frac uv\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$, עם $u=16-9x^2$, $v=1-x^2$:

$f'(x)=0$ רק ב-$x=0$. המכנה חיובי תמיד, ולכן הסימן של $f'$ הוא הסימן של $x$: שלילי משמאל ל-0, חיובי מימין.

הפונקציה יורדת ואחר כך עולה: מינימום ב-$(0,f(0))=(0,16)$.

טעות נפוצה: להפוך את הסדר במונה של כלל המנה ($uv'-u'v$), לקבל $f'=\frac{-14x}{(1-x^2)^2}$ ולסווג את $(0,16)$ כמקסימום.

הסימן של $f'$ נקבע לפי $x$, אבל צריך לחלק את התחום גם בנקודות שאינן בתחום ההגדרה, $x=\pm1$:

$x<-1$: $f'<0$, יורדת. $-1<x<0$: $f'<0$, יורדת. $0<x<1$: $f'>0$, עולה. $x>1$: $f'>0$, עולה.

טעות נפוצה: לכתוב "עולה עבור $x>0$" כתחום אחד. הפונקציה לא מוגדרת ב-$x=1$ וקופצת שם מ-$+\infty$ ל-$-\infty$, ולכן אלה שני תחומי עלייה נפרדים.

מרכזים את הנתונים: אסימפטוטות $x=\pm1$, $y=9$; חיתוכים $\left(\pm\frac43,0\right)$, $(0,16)$; מינימום $(0,16)$; תחומי עלייה וירידה מ-א(5). הפונקציה זוגית, והגרף סימטרי לציר ה-$y$.

בין האסימפטוטות: מ-$x=-1$ הגרף יורד מ-$+\infty$ עד $(0,16)$ ועולה שוב ל-$+\infty$ ליד $x=1$ (שם המונה חיובי, 7, והמכנה חיובי וקטן).

מימין ל-$x=1$: המכנה שלילי והמונה 7, ולכן הגרף מתחיל ב-$-\infty$, עולה, חוצה את ציר ה-$x$ ב-$\frac43$ ומתקרב לאסימפטוטה $y=9$. למשל $f(2)=\frac{-20}{-3}\approx6.67<9$ - מלמטה.

משמאל ל-$x=-1$ - תמונת מראה.

טעות נפוצה: לצייר את הענפים החיצוניים מעל $y=9$, מתקרבים לאסימפטוטה מלמעלה. הענף עולה כל הזמן ומתחיל ב-$-\infty$, ולכן הוא נשאר מתחת ל-9.

$f$ היא הנגזרת של $g$. ל-$g$ יש קיצון היכן ש-$g'=f$ מתאפסת ומחליפה סימן: ב-$x=\pm\frac43$ (נקודות החיתוך של $f$ עם ציר ה-$x$). ב-$x=\pm1$ אין קיצון - הן לא בתחום.

סימן $f$ מהסקיצה: עבור $1<x<\frac43$ הגרף מתחת לציר ($f<0$) ועבור $x>\frac43$ מעליו ($f>0$). $g$ יורדת ואחר כך עולה: מינימום ב-$x=\frac43$.