בגרות במתמטיקה 471 - קיץ 2023 מועד מיוחד

לשבור את השיא פירושו לשחות בפחות מ-51 שניות. מחשבים את ציון התקן של 51:

ההסתברות לזמן קטן מ-51 היא השטח המצטבר משמאל ל-$Z=-3$:

טעות נפוצה: לקחת את $\Phi(3)=0.9987$ - זו ההסתברות לשחות לאט יותר מ-63 שניות, לא מהר יותר מהשיא.

הממוצע של כל השחיינים הוא סכום כל הזמנים חלקי מספר השחיינים.

סכום הזמנים בכל קבוצה הוא הממוצע כפול מספר השחיינים בה:

(הקבוצות שוות בגודלן, ולכן הממוצע המשוקלל יוצא באמצע בין 57 ל-58.)

טעות נפוצה: לחבר את הממוצעים בלי לחלק ב-2 ($57+58=115$), או לחלק את סכום הזמנים ב-150 ולקבל 115 שניות - צריך לחלק במספר כל השחיינים, 300.

השיעור של השחיינים ששוחים פחות מ-54 שניות:

מחפשים בתוך הטבלה המצטברת את $0.1667$: הוא נמצא בין $\Phi(-0.97)=0.1660$ ל-$\Phi(-0.96)=0.1685$, ולכן $Z\approx-0.965$ (שלילי, כי 54 מתחת לממוצע).

הממוצע של כל 300 השחיינים הוא 57.5 (סעיף ב). מציבים בהגדרת ציון התקן:

אם מעגלים ל-$Z=-0.97$ (הערך הקרוב ביותר בטבלה) מתקבל $\sigma=\frac{3.5}{0.97}\approx3.61$.

טעות נפוצה: להשתמש בממוצע של הקבוצה הראשונה, 57, במקום בממוצע של כל השחיינים: $\sigma=\frac{3}{0.965}\approx3.11$.

עכשיו ההתפלגות היא של כל 300 השחיינים: ממוצע 57.5 וסטיית תקן 3.627 (סעיף ג).

(עם $\sigma=3.608$: $Z\approx-1.80$ ו-$\Phi(-1.80)=0.0359$.)

ההסתברות גבוהה בהרבה מסעיף א, כי הפיזור של כל 300 השחיינים גדול יותר.

טעות נפוצה: להשאיר את סטיית התקן של הקבוצה הראשונה, 2: $Z=\frac{51-57.5}{2}=-3.25$, ולקבל $\Phi(-3.25)\approx0.0006$.

מחברים את חמשת הציונים (שלושה תלמידים קיבלו 60) ומחלקים ב-5:

טעות נפוצה: להשמיט את התלמיד החמישי כי ציון ההגשה שלו חסר, ולחשב $\frac{59+60+60+60}{4}=59.75$ - הסעיף שואל על ציוני הבגרות, וציון הבגרות של התלמיד החמישי ידוע.

ישר הרגרסיה הוא ישר רגיל: שיפוע 0.5, והוא עובר דרך הנקודה $(60,80)$.

טעות נפוצה: להציב את הערך המנובא 80 כנקודת החיתוך עם ציר ה-$y$ ולכתוב $\hat y=0.5x+80$.

ישר הרגרסיה עובר תמיד דרך נקודת הממוצעים $(\bar x,\bar y)$.

לפי סעיף א $\bar x=60$, ולכן $\bar y$ הוא הערך המנובא ב-$x=60$: $\bar y=0.5\cdot60+50=80$.

נסמן ב-$y_5$ את הציון החסר. ממוצע חמשת ציוני ההגשה הוא 80:

טעות נפוצה: לנבא את הציון החסר בעזרת הישר, $\hat y(61)=0.5\cdot61+50=80.5$. ישר הרגרסיה נותן ציון מנובא, לא את הציון האמיתי של התלמיד.

הציון של כל תלמיד שווה לציון המנובא לו, כלומר כל הנקודות של דיאגרמת הפיזור נמצאות על ישר הרגרסיה.

כשכל הנקודות על ישר אחד, הקשר הלינארי מושלם: $r=1$ אם הישר עולה ו-$r=-1$ אם הוא יורד.

לא נתון אם הישר עולה או יורד, ולכן שתי הטענות האפשריות הן (2) ו-(4).

טעות נפוצה: לבחור רק בטענה (2), מתוך הנחה שציון גבוה בבגרות מלווה תמיד בציון הגשה גבוה - הנתונים לא קובעים את כיוון הקשר.

בונים עץ. בהוצאה הראשונה: $P(\text{אדום})=\frac47$, $P(\text{כחול})=\frac37$.

אם יצא אדום הוא לא מוחזר: בקופסה נשארים 3 אדומים ו-3 כחולים (6 כפתורים).

אם יצא כחול הוא מוחזר: בקופסה שוב 4 אדומים ו-3 כחולים (7 כפתורים).

"צבעים שונים" הם שני מסלולים - אדום ואז כחול, או כחול ואז אדום:

טעות נפוצה: לחשב את שני המסלולים בלי החזרה, $\frac47\cdot\frac36+\frac37\cdot\frac46=\frac27+\frac27=\frac47$ - אחרי כפתור כחול הקופסה חוזרת למצבה ההתחלתי.

"לכל היותר אדום אחד" = אפס או אחד אדומים. המאורע המשלים הוא "שני כפתורים אדומים".

טעות נפוצה: לחשב את "שני אדומים" כאילו האדום הוחזר, $\frac47\cdot\frac47=\frac{16}{49}$, ולקבל $1-\frac{16}{49}=\frac{33}{49}$.

בענף A (דנה) ההסתברות לצבעים שונים היא $\frac{26}{49}$ (סעיף א).

בענף B (רותי, עם החזרה) הקופסה זהה בשתי ההוצאות. שני סדרים אפשריים:

נוסחת ההסתברות השלמה - כל ענף של המטבע בהסתברות $\frac12$:

טעות נפוצה: לספור אצל רותי רק את הסדר "אדום ואז כחול", $\frac47\cdot\frac37=\frac{12}{49}$, ולקבל $\frac12\cdot\frac{26}{49}+\frac12\cdot\frac{12}{49}=\frac{19}{49}$.

הסתברות מותנית: $P(\text{ראשון אדום}\mid\text{שונים})=\frac{P(\text{ראשון אדום וגם שונים})}{P(\text{שונים})}$.

"ראשון אדום וגם שונים" = אדום ואז כחול - בשני הענפים של המטבע:

טעות נפוצה: לקחת במונה רק את המסלול של דנה, $\frac12\cdot\frac27=\frac17$, ולקבל $\frac{1/7}{25/49}=\frac{7}{25}$.

$BD$ מונח על ציר ה-$x$ ו-$A$ על ציר ה-$y$, ולכן $AO$ הוא הגובה מ-$A$ לצלע $BD$ במשולש $ABD$. $AO=6$.

טעות נפוצה: לשכוח לחלק ב-2 בנוסחת השטח, $BD\cdot6=45$, ולקבל $BD=7.5$.

$OD=AO=6$, ו-$D$ על החלק השלילי של ציר ה-$x$ (לפי הסרטוט): $D(-6,0)$.

$OB=BD-OD=15-6=9$, ו-$B$ על החלק החיובי: $B(9,0)$.

טעות נפוצה: לשים את $D$ ב-$(6,0)$ - הסרטוט מראה ש-$D$ משמאל לראשית, ולכן השיעור שלילי.

$CD\parallel AB$, ולכן לשני הישרים אותו שיפוע:

ישר בשיפוע $-\frac23$ דרך $D(-6,0)$:

טעות נפוצה: לחשב את השיפוע בסימן הפוך ($\frac{6-0}{9-0}=\frac23$) ולקבל $y=\frac23x+4$ - ישר שעובר מעל $D$ ולא חותך את ציר ה-$y$ השלילי.

$C$ הוא החיתוך של $CD$ עם ציר ה-$y$: מציבים $x=0$ ומקבלים $C(0,-4)$, כלומר $OC=4$.

המשולש $OBC$ ישר-זווית ב-$O$ (הצירים מאונכים), עם ניצבים $OC=4$ ו-$OB=9$:

טעות נפוצה: להפוך את היחס, $\tan\angle OBC=\frac94$, ולקבל $66.04^\circ$ - זו הזווית $OCB$.

הזווית $ABC$ מורכבת משתי זוויות משני צדי ציר ה-$x$: $\angle ABC=\angle ABO+\angle OBC$.

במשולש ישר-הזווית $AOB$: $\tan\angle ABO=\frac{AO}{OB}=\frac69$, ולכן $\angle ABO\approx33.69^\circ$.

טעות נפוצה: לחסר את הזוויות במקום לחבר אותן ($33.69^\circ-23.96^\circ=9.73^\circ$) - $A$ ו-$C$ נמצאים משני צדי ציר ה-$x$.

$AB\parallel CD$ ו-$BC$ חותך אותם, ולכן הזוויות $ABC$ ו-$BCD$ חד-צדדיות: $\angle BCD=180^\circ-57.65^\circ=122.35^\circ$.

$\angle DCE$ צמודה ל-$\angle BCD$: $\angle DCE=180^\circ-122.35^\circ=57.65^\circ$ (שווה ל-$\angle ABC$).

$DE=DC$, ולכן המשולש $CDE$ שווה-שוקיים: $\angle DEC=\angle DCE=57.65^\circ$, ו-$\angle CDE=180^\circ-2\cdot57.65^\circ=64.7^\circ$.

$DC$ ממרחק בין $D(-6,0)$ ל-$C(0,-4)$:

משפט הסינוסים במשולש $CDE$ (הצלע $CE$ מול הזווית $D$, הצלע $DC$ מול הזווית $E$):

טעות נפוצה: להחליף בין הזוויות במשפט הסינוסים ($CE=\frac{7.211\cdot\sin57.65^\circ}{\sin64.7^\circ}\approx6.74$) ולקבל היקף $\approx21.16$ - הצלע $CE$ נמצאת מול הזווית $D$.

$AC$ קוטר, ו-$\angle ABC$ היא זווית היקפית שנשענת עליו, ולכן $\angle ABC=90^\circ$.

המעגל משיק לציר ה-$y$ בנקודה $C$, ו-$MC$ רדיוס לנקודת ההשקה, ולכן $MC$ מאונך לציר ה-$y$. $M$ נמצא על $AC$, ולכן $AC\perp CD$: $\angle DCA=90^\circ$.

נתון $\angle BAC=\angle ADC$.

במשולשים $ABC$ ו-$DCA$ יש שתי זוויות שוות בהתאמה ($\angle B=\angle C=90^\circ$, $\angle A=\angle D$), ולכן $\Delta ABC\sim\Delta DCA$ (ז.ז.), בהתאמה $A\leftrightarrow D$, $B\leftrightarrow C$, $C\leftrightarrow A$.

טעות נפוצה: לכתוב את הדמיון בסדר $\Delta ABC\sim\Delta DAC$ (להתאים את $B$ ל-$A$) - בסדר הזה הזוויות הישרות אינן מתאימות זו לזו, והיחסים שייכתבו בסעיף ד יהיו שגויים.

מהדמיון בסעיף א, הזווית ב-$C$ במשולש $ABC$ מתאימה לזווית ב-$A$ במשולש $DCA$: $\angle ACB=\angle CAD$.

הזוויות $ACB$ ו-$CAD$ הן זוויות מתחלפות בין הישרים $BC$ ו-$AD$ עם החותך $AC$ (משני צדי $AC$).

זוויות מתחלפות שוות, ולכן $BC\parallel AD$.

טעות נפוצה: לענות "לא", כי הזוויות הנתונות $\angle BAC$ ו-$\angle ADC$ אינן מתחלפות - צריך לחפש את הזוגות שהדמיון נותן, לא רק את הזוג הנתון.

$\angle ABC=90^\circ$ (סעיף א), ולכן $AB\perp BC$.

טעות נפוצה: לקחת את ההופכי בלי הסימן, $m_{AB}=\frac12$, ולקבל $y=\frac12x+1$.

$AC\perp$ ציר ה-$y$ (סעיף א), ולכן $AC$ אופקי ועובר דרך $C(0,4)$: $AC$ הוא הישר $y=4$.

$A$ הוא החיתוך של $AB$ עם $y=4$:

טעות נפוצה: לחלק ב-2 במקום לכפול ב-2 ולקבל $x=-2.5$, כלומר $A(-2.5,4)$.

$AC$ קוטר, ולכן המרכז $M$ הוא אמצע $AC$: $M\left(\frac{-10+0}{2},4\right)=(-5,4)$.

הרדיוס הוא חצי הקוטר: $R=\frac{10}{2}=5$ (וגם $R=MC=5$).

טעות נפוצה: להציב את הקוטר כרדיוס ולכתוב $(x+5)^2+(y-4)^2=100$.

לפי ההתאמה $B\leftrightarrow C$, $C\leftrightarrow A$, הצלע $BC$ מתאימה לצלע $CA$.

יחס הדמיון $\Delta ABC:\Delta DCA=1:\sqrt5$.

טעות נפוצה: להפוך את הסדר ולענות $\sqrt5:1$ - המשולש $DCA$ הוא הגדול, כי הצלע $CA$ שלו היא היתר של $ABC$.

שטח $ABC$: הבסיס $AC=10$ אופקי, והגובה מ-$B$ אליו הוא ההפרש בשיעורי ה-$y$, 4:

יחס השטחים של משולשים דומים שווה לריבוע יחס הדמיון:

טעות נפוצה: להכפיל את השטח ביחס הדמיון עצמו ולא בריבועו: $S_{DCA}=20\sqrt5\approx44.7$, ושטח המרובע $\approx64.7$.

הנקודה על הגרף, ולכן $f(3)=1.2$:

טעות נפוצה: להציב $3^2=6$ ולקבל $6-a=5$, כלומר $a=1$.

$f(x)=\frac{2x}{x^2-4}$. המכנה אסור שיתאפס:

טעות נפוצה: לפתור $x^2=4$ רק עם הפתרון החיובי ולכתוב $x\ne2$ בלבד.

אסימפטוטות אנכיות - בנקודות שבהן המכנה מתאפס והמונה לא: ב-$x=2$ המונה 4, וב-$x=-2$ המונה $-4$. לכן $x=2$ ו-$x=-2$.

אסימפטוטה אופקית: מעלת המונה (1) קטנה ממעלת המכנה (2), ולכן כש-$x\to\pm\infty$ הפונקציה שואפת ל-0: $y=0$.

טעות נפוצה: לחלק את המקדמים המובילים ($\frac21$) ולכתוב אסימפטוטה אופקית $y=2$ - זה נכון רק כשמעלות המונה והמכנה שוות.

נגזרת של מנה:

$x^2+4>0$ תמיד והמכנה חיובי, ולכן $f'(x)<0$ בכל תחום ההגדרה: אין נקודות קיצון.

הפונקציה יורדת בכל אחד משלושת הקטעים שבין האסימפטוטות האנכיות: $x<-2$, $-2<x<2$, $x>2$. אין תחומי עלייה.

טעות נפוצה: להחליף את סדר המחוברים במונה של נגזרת המנה ($2x\cdot2x-2(x^2-4)$) ולקבל $f'(x)=\frac{2x^2+8}{(x^2-4)^2}>0$ - פונקציה "עולה בכל תחום ההגדרה".

מאספים: אסימפטוטות $x=\pm2$, $y=0$; חיתוך עם הצירים רק ב-$(0,0)$; יורדת בכל קטע.

$x<-2$: $f(x)<0$ (מונה שלילי, מכנה חיובי) - הגרף יורד מקרוב ל-0 אל $-\infty$ ליד $x=-2$.

$-2<x<2$: יורד מ-$+\infty$ אל $-\infty$ ועובר דרך הראשית.

$x>2$: $f(x)>0$ - יורד מ-$+\infty$ ליד $x=2$ ומתקרב ל-0.

טעות נפוצה: לחבר את הענף האמצעי לענפים החיצוניים מעל האסימפטוטות, כאילו לפונקציה יש מקסימום ב-$x=2$ - בנקודה זו היא אינה מוגדרת.

$-f(x)$ הוא שיקוף של הגרף ביחס לציר ה-$x$: כל ענף יורד הופך לעולה.

$+1$ מזיז את הגרף יחידה אחת למעלה: האסימפטוטה האופקית עוברת ל-$y=1$, והנקודה $(0,0)$ עוברת ל-$(0,1)$. האסימפטוטות האנכיות לא משתנות.

טעות נפוצה: לשקף ואז להזיז למטה (כאילו $g(x)=-(f(x)+1)$), ולקבל אסימפטוטה אופקית $y=-1$.

הפתרון היחיד: $x=0$ (והוא בתחום ההגדרה).

בגרף: הישר $y=1$ הוא האסימפטוטה האופקית של $g$. הענפים החיצוניים רק מתקרבים אליו, והענף האמצעי חוצה אותו פעם אחת, ב-$(0,1)$.

טעות נפוצה: לענות "אין פתרונות" כי "גרף לא חותך את האסימפטוטה שלו" - אסימפטוטה אופקית מתארת רק את ההתנהגות כש-$x\to\pm\infty$, והגרף יכול לחתוך אותה.

$\sqrt x$ מוגדר רק כש-$x\ge0$, ושאר הביטוי ($6x$, $m$) מוגדר לכל $x$.

תחום ההגדרה: $x\ge0$.

טעות נפוצה: לכתוב $x>0$ - $\sqrt0=0$ מוגדר, והנקודה $x=0$ שייכת לתחום (בה הפונקציה מקבלת 0).

פותחים סוגריים כדי לגזור בקלות: $f(x)=6x\sqrt x-6mx=6x^{\frac32}-6mx$.

בנקודת קיצון פנימית הנגזרת מתאפסת:

טעות נפוצה: לגזור את $x\sqrt x$ כמכפלת הנגזרות, $1\cdot\frac{1}{2\sqrt x}$; אז $f'(x)=\frac{3}{\sqrt x}-6m$, $f'(4)=1.5-6m=0$ ו-$m=0.25$.

$f(x)=6x(\sqrt x-3)$.

ציר ה-$x$: $6x(\sqrt x-3)=0$, כלומר $x=0$ או $\sqrt x=3$, $x=9$.