מתכונת במתמטיקה 472 - מתכונת 3 בדרך לבגרות

הפיקדונות יוצרים סדרה חשבונית: $a_1=800$, $d=300$.

לפי האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d$:

בחודש השישי הפקידה שירה 2,300 שקלים.

טעות נפוצה: לחשב $800+6\cdot300=2600$. בין החודש הראשון לשישי יש 5 הוספות של 300.

סכום הפיקדונות אחרי $n$ חודשים הוא סכום $n$ האיברים הראשונים בסדרה:

כופלים ב-2 ופותחים סוגריים:

מחלקים ב-100: $3n^2+13n-296=0$.

$n=8$ או $n=-\frac{37}{3}$. מספר חודשים הוא מספר טבעי, לכן $n=8$.

בדיקה: $S_8=4\cdot(1600+7\cdot300)=4\cdot3700=14{,}800$.

טעות נפוצה: לחלק את 14,800 בפיקדון הראשון (800) כאילו כל הפיקדונות שווים.

מחיר האופניים שווה לפיקדון של החודש ה-10:

מחיר האופניים 3,500 שקלים.

טעות נפוצה: לחשב את סכום עשרת הפיקדונות $S_{10}$ במקום הפיקדון של החודש העשירי בלבד.

התשלומים יוצרים סדרה הנדסית עם $q=2$. נסמן ב-$p$ את התשלום הראשון. שלושת התשלומים הם $p$, $2p$, $4p$, וסכומם הוא מחיר האופניים:

(בנוסחת הסכום: $S_3=\frac{p(2^3-1)}{2-1}=7p$.)

התשלום הראשון היה 500 שקלים.

טעות נפוצה: לחלק את המחיר ב-3 כאילו שלושת התשלומים שווים, או לכתוב $p+2p+3p$ - התשלום השלישי גדול פי 2 מהשני, לא מהראשון.

במעוין הצלע $BC$ מקבילה ושווה ל-$AD$ ובאותו כיוון, ולכן $\overrightarrow{BC}=\underline v$.

$E$ אמצע $SC$, ולכן $\overrightarrow{SE}=\frac12\overrightarrow{SC}$:

טעות נפוצה: לכתוב $\overrightarrow{SC}=\underline u+\underline v+\underline w$. מ-$S$ ל-$C$ יורדים קודם ל-$A$ (וקטור $-\underline w$) ורק אז הולכים $\underline u+\underline v$.

הולכים מ-$E$ אל $A$ (הווקטור $-\overrightarrow{AE}$) ומשם לקודקוד:

טעות נפוצה: לחשב $\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AB}$ - זה הווקטור $\overrightarrow{BE}$, בכיוון ההפוך.

הזווית בין $\underline u$ ל-$\underline v$ היא $\angle BAD=60^\circ$:

$AS$ מאונך למישור הבסיס, ולכן מאונך לכל ישר בבסיס שעובר דרך $A$, ובפרט ל-$AB$ ול-$AD$. מכפלה סקלרית של וקטורים מאונכים היא 0:

$\underline u\cdot\underline w=0$, $\underline v\cdot\underline w=0$.

טעות נפוצה: להשתמש ב-$\sin60^\circ$ במקום ב-$\cos60^\circ$ ולקבל $18\sqrt3$.

מוציאים $\frac12$ מכל וקטור ופותחים לפי חוק הפילוג:

מציבים $\underline u^2=\underline v^2=\underline w^2=36$ ו-$\underline u\cdot\underline v=18$:

ולכן $\overrightarrow{EB}\perp\overrightarrow{ED}$.

טעות נפוצה: להציב $\underline u^2=6$ במקום $|\underline u|^2=36$.

$AS$ מאונך לבסיס, ולכן הוא הגובה: $h=6$.

טעות נפוצה: לחשב את שטח הבסיס כ-$6\cdot6=36$, כאילו הבסיס ריבוע.

מנת הגדילה של A היא $1.1$, ומ-2024 עד 2028 עוברות 4 שנים:

בתחילת 2028 היו באפליקציה A 2,928,200 משתמשים.

טעות נפוצה: לחשב $2\cdot1.4=2.8$ - כלומר להוסיף 10% מהכמות ההתחלתית בכל שנה במקום להכפיל ב-1.1 בכל שנה.

באפליקציה B היו בהתחלה פחות משתמשים (0.5 מיליון לעומת 2 מיליון), אבל היא גדלה מהר יותר (30% לעומת 10%).

גרף II מתחיל נמוך יותר, חותך את גרף I ועוקף אותו - בדיוק כך מתנהג B.

לכן גרף II מתאר את B.

טעות נפוצה: לנמק רק לפי אחד הנתונים; כדאי לבדוק גם את נקודת ההתחלה וגם את הגרף שעוקף, ושניהם מתאימים ל-II.

מספר המשתמשים אחרי $t$ שנים: ב-A $2\cdot1.1^t$, ב-B $0.5\cdot1.3^t$. משווים:

מחלקים את שני האגפים ב-$0.5\cdot1.1^t$ (ביטוי חיובי):

כנדרש.

טעות נפוצה: לחבר את הבסיסים או להחסיר אותם; כינוס החזקות עובד רק כשמחלקים, כי $\frac{a^t}{b^t}=\left(\frac ab\right)^t$.

מוציאים לוגריתם משני האגפים של המשוואה מסעיף ג(1):

מספר המשתמשים ישתווה כעבור כ-8.3 שנים.

טעות נפוצה: לחשב $\frac{\ln4}{\ln1.3-1.1}$ - המכנה הוא $\ln\frac{1.3}{1.1}=\ln1.3-\ln1.1$.

השוויון מתקבל ב-$t\approx8.3$, כלומר במהלך שנת 2032. אחרי נקודת השוויון B גדל מהר יותר ולכן נשאר גדול מ-A.

תחילת שנה מתאימה ל-$t$ שלם: בתחילת 2032 ($t=8$) עדיין לא הגענו לשוויון, ולכן הפעם הראשונה היא $t=9$ - תחילת שנת 2033.

בדיקה: ב-$t=8$: A $\approx4.29$ מיליון, B $\approx4.08$ מיליון; ב-$t=9$: A $\approx4.72$ מיליון, B $\approx5.30$ מיליון.

טעות נפוצה: לענות 2032 כי $t\approx8.3$ "שייך" לשנה השמינית - בתחילת 2032 ($t=8$) A עדיין גדול יותר.

המכנה מתאפס ב-$x=2$, ולכן התחום $x\neq2$.

ב-$x=2$ המונה $e^2\neq0$, ולכן יש שם אסימפטוטה אנכית: $x=2$.

טעות נפוצה: לכתוב את האסימפטוטה כ-$y=2$.

כלל המנה: $\left(\frac uv\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$, עם $u=e^x$, $u'=e^x$, $v=x-2$, $v'=1$:

מוציאים $e^x$ כגורם משותף:

טעות נפוצה: להחליף את סדר האיברים במונה ($uv'-u'v$) ולקבל $\frac{e^x(3-x)}{(x-2)^2}$ - הסימן של הנגזרת מתהפך.

$e^x>0$ ו-$(x-2)^2>0$, ולכן הסימן של $f'$ הוא הסימן של $x-3$. $f'=0\Rightarrow x=3$.

טבלה: $x<2$: $f'<0$; $2<x<3$: $f'<0$; $x>3$: $f'>0$.

ב-$x=3$ מעבר ממינוס לפלוס - מינימום. $f(3)=\frac{e^3}{1}=e^3$.

טעות נפוצה: לשכוח לבדוק את הסימן ולהכריז על מקסימום - נקודת קיצון מסווגים לפי סימן הנגזרת משני צדדיה.

לפי הטבלה מסעיף ג(1):

ירידה: $x<2$ או $2<x<3$ (שני תחומים נפרדים, כי $x=2$ מחוץ לתחום).

עלייה: $x>3$.

טעות נפוצה: לכתוב ירידה ב-$x<3$ - התחום עובר דרך האסימפטוטה $x=2$.

$f(0)=\frac{e^0}{0-2}=\frac1{-2}=-\frac12$.

ציר ה-$x$: $e^x>0$ לכל $x$, ולכן $f(x)\neq0$ - אין חיתוך.

טעות נפוצה: לכתוב $e^0=0$ ולקבל את הראשית כנקודת חיתוך - $e^0=1$.

מסכמים: אסימפטוטה $x=2$, מינימום $(3,e^3)\approx(3,20.1)$, חיתוך $\left(0,-\frac12\right)$.

כש-$x\to-\infty$: $e^x\to0$ והמכנה שלילי, ולכן $f\to0$ מלמטה.

משמאל ל-2 $f<0$; מימין ל-2 $f>0$.

טעות נפוצה: לצייר את הגרף חוצה את ציר ה-$x$ - הגרף אף פעם לא מגיע ל-0 (רק מתקרב אליו משמאל).

$g(x)>0\iff f(x)<15$.

$x<2$: $f(x)<0<15$ - $g>0$.

$x>2$: $f(x)\ge e^3\approx20.09>15$ - $g<0$.

חיוביות: $x<2$; שליליות: $x>2$.

טעות נפוצה: לחשב את ערך המינימום כ-$e\cdot3\approx8.15$ במקום $e^3$, ולהסיק בטעות ש-$f<15$ סביב המינימום, כלומר ש-$g$ חיובית שם.

$\ln x$ מוגדר עבור $x>0$, והמכנה מתאפס ב-$x=1$. תחום: $x>0$, $x\ne1$.

ב-$x=1$ המכנה 0 והמונה $1\ne0$, ולכן $x=1$ אסימפטוטה אנכית.

טעות נפוצה: לכתוב אסימפטוטה $x=0$. כאשר $x\to0^+$, $\ln x\to-\infty$ ו-$f\to0$.

כלל המנה:

$f'=0\iff\ln x=1\iff x=e$.

המכנה $(\ln x)^2$ חיובי בכל התחום, ולכן סימן $f'$ הוא סימן $\ln x-1$: שלילי עבור $x<e$ ($x\ne1$) וחיובי עבור $x>e$.

ב-$x=e$ מינימום: $f(e)=\frac e1=e$.

טעות נפוצה: לכתוב במונה $x\cdot\frac1x-\ln x$ (סדר הפוך בכלל המנה) ולקבל מקסימום במקום מינימום.

מסעיף ב: $f'<0$ עבור $0<x<1$ ועבור $1<x<e$, ו-$f'>0$ עבור $x>e$.

ירידה: $0<x<1$ ו-$1<x<e$. עלייה: $x>e$.

טעות נפוצה: לכתוב ירידה ב-$0<x<e$ כתחום אחד. $x=1$ אינו בתחום, ולכן אלה שני תחומים נפרדים.

ב-$0<x<1$: $x>0$ ו-$\ln x<0$, ולכן $f<0$. הגרף מתחיל ליד הראשית (נקודה ריקה), יורד, ושואף ל-$-\infty$ כאשר $x\to1^-$.

ב-$x>1$: $f>0$. הגרף יורד מ-$+\infty$ (ליד האסימפטוטה) עד המינימום $(e,e)\approx(2.72,2.72)$, ואחריו עולה לאינסוף.

טעות נפוצה: לצייר את הענף השמאלי מעל ציר ה-$x$. שם $\ln x$ שלילי ולכן גם $f$.

נקודת קיצון של $g$ היא נקודה שבה $g'=0$ ומחליפה סימן. $g'(x)=0\iff f(x)=4$, וסימן $g'$ הוא סימן $f(x)-4$: חיובי כשהגרף של $f$ מעל הישר $y=4$ ושלילי כשמתחתיו.

ב-$0<x<1$: $f<0<4$, ולכן $g'<0$ ואין שם קיצון.

ב-$1<x<e$: $f$ יורדת מאינסוף עד $e\approx2.72<4$, ולכן חוצה את $y=4$ פעם אחת, מלמעלה למטה: $g'$ עוברת מחיובית לשלילית - מקסימום.

ב-$x>e$: $f$ עולה מ-$e$ לאינסוף וחוצה את $y=4$ מלמטה למעלה: $g'$ עוברת משלילית לחיובית - מינימום.

טעות נפוצה: לחפש קיצון של $g$ בנקודת הקיצון של $f$ ($x=e$). הקיצון של $g$ הוא היכן ש-$f$ שווה ל-4, לא היכן ש-$f$ מינימלית.