מתכונת במתמטיקה 472 - מתכונת 4 בדרך לבגרות

הכמויות השבועיות הן סדרה חשבונית עם $a_1=500$ ו-$d=40$.

לפי האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d$ מחפשים $n$ שעבורו $a_n=1300$:

בשבוע ה-21 ייצרו 1,300 אופניים.

טעות נפוצה: לפתור $500+40n=1300$ (בלי ה-1) ולקבל את השבוע ה-20.

מחפשים את סכום 30 האיברים הראשונים בסדרה החשבונית.

בכל תקופת הייצור ייצרו 32,400 אופניים.

טעות נפוצה: לחשב $30\cdot40$ במקום $29\cdot40$ בתוך הסוגריים, ולקבל 33,000.

הכמויות החודשיות הן סדרה הנדסית עם מנה $q=2$.

בחודש הראשון נמכרו 40 אופניים.

טעות נפוצה: לכתוב $a_4=a_1\cdot q^4$ ולקבל $a_1=20$. מהחודש הראשון לרביעי יש 3 הכפלות.

לפני החודש האמצעי ואחריו יש אותו מספר חודשים.

לפני החודש ה-5 יש 4 חודשים, ולכן גם אחריו 4 חודשים.

טעות נפוצה: לענות 10 חודשים ($2\cdot5$), כלומר לספור את החודש האמצעי פעמיים.

מספר האופניים שנמכרו הוא סכום 9 האיברים הראשונים של הסדרה ההנדסית, עם $a_1=40$ ו-$q=2$:

לפי סעיף א(2) ייצרו 32,400 אופניים, ולכן לא נמכרו:

טעות נפוצה: להחסיר רק את מה שנמכר בחודש האחרון ($a_9=40\cdot2^8=10240$) במקום את סכום כל החודשים.

($\vec{A'D'}=\overrightarrow{BC}=\underline v$, כי בריבוע הצלעות הנגדיות שוות ומקבילות.)

$E$ היא גם אמצע האלכסון השני $A'C'$ (האלכסונים בריבוע חוצים זה את זה), ולכן $\vec{C'E}=\frac12\vec{C'A'}=-\frac12(\underline u+\underline v)$.

טעות נפוצה: לכתוב $\vec{C'E}=+\frac12(\underline u+\underline v)$. הווקטור מ-$C'$ למרכז הפאה מכוון אחורה, נגד $\underline u$ ונגד $\underline v$.

בקובייה $\underline u$, $\underline v$, $\underline w$ ניצבים זה לזה ואורך כל אחד 6, ולכן המכפלות המעורבות הן 0:

טעות נפוצה: לחבר את המקדמים בלי ריבוע ($\frac12+\frac12+1$) ולכפול ב-6.

המכפלות המעורבות הן 0, ונשאר:

לכן $\overrightarrow{CE}\perp\vec{B'D'}$.

טעות נפוצה: לטעות בסימן של $\left(-\frac12\underline u\right)\cdot(-\underline u)$ - מינוס כפול מינוס נותן פלוס.

$E$ נמצאת על הצלע $B'D'$ ו-$CE\perp B'D'$ (סעיף ג), ולכן $CE$ הוא הגובה לצלע $B'D'$.

$|B'D'|=\sqrt{36+36}=6\sqrt2$ (אלכסון ריבוע שצלעו 6).

בדיקה: כל צלעות המשולש הן אלכסוני פאות באורך $6\sqrt2$, והשטח של משולש שווה צלעות כזה הוא $\frac{\sqrt3}{4}\cdot72=18\sqrt3$.

טעות נפוצה: להשתמש בחצי האלכסון $B'E$ כבסיס במקום בכל הצלע $B'D'$.

הגלגל קטן ב-5% בכל יום, ולכן מנת הדעיכה היא $1-0.05=0.95$:

טעות נפוצה: לחשב $4000-10\cdot0.05\cdot4000=2000$, כאילו בכל יום יורדים 5% מהנפח ההתחלתי. האחוז מחושב בכל יום מהנפח של היום הקודם.

כעבור 10 ימים נפח המזרן שווה לנפח הגלגל שמצאנו בסעיף א. נסמן ב-$q$ את מנת המזרן:

המזרן קטן בכל יום ב-$1-0.8864=0.1136$, כלומר כ-11.36%.

טעות נפוצה: לחלק את 0.95 ב-2 (בלי השורש העשירי) ולקבל $q=0.475$. היחס 2 בין הנפחים מתחלק על פני 10 ימים.

לפי סעיף ב, $\frac q{0.95}=2^{-\frac1{10}}$, ולכן:

(עם $q\approx0.8864$: $t=\frac{\log0.25}{\log\frac{0.8864}{0.95}}\approx20$.)

טעות נפוצה: לפתור $\left(\frac q{0.95}\right)^t=\frac12$ ולשכוח שהמזרן התחיל גדול פי 2; מתקבל $t=10$, שהוא יום ההשוואה.

מנת הגדילה $1.2$, ו-$V_0$ מצטמצם:

טעות נפוצה: לחשב $\frac{3}{0.2}=15$ דקות, כאילו בכל דקה מתווספים 20% מהנפח ההתחלתי.

$f$ היא מכפלה של $6-2x$ ב-$e^{x-1}$. נגזרת $6-2x$ היא $-2$, ונגזרת $e^{x-1}$ היא $e^{x-1}$ (נגזרת המעריך היא 1):

מוציאים את $e^{x-1}$ כגורם משותף:

כנדרש.

טעות נפוצה: לגזור מכפלה כמכפלת הנגזרות: $(-2)\cdot e^{x-1}$.

$f(x)=0$: $e^{x-1}$ לא מתאפס, ולכן $6-2x=0$, כלומר $x=3$.

נקודות החיתוך: $\left(0,\frac6e\right)$ ו-$(3,0)$.

טעות נפוצה: לחפש פתרון גם ל-$e^{x-1}=0$ - למשוואה הזו אין פתרון.

$f'(x)=0$ כאשר $4-2x=0$, כלומר $x=2$.

עבור $x<2$ הנגזרת חיובית ועבור $x>2$ שלילית, ולכן ב-$x=2$ יש מקסימום.

טעות נפוצה: לחשב $f(2)$ על ידי הצבה בנגזרת (ולקבל 0) במקום בפונקציה.

כאשר $x\to-\infty$, $e^{x-1}\to0$ מהר יותר משהגורם $6-2x$ גדל, ולכן $f(x)\to0$ מלמעלה ($6-2x>0$ שם).

הגרף עולה דרך $(0,2.21)$ עד המקסימום $(2,5.44)$, יורד, חותך את ציר ה-$x$ ב-$(3,0)$ ושואף ל-$-\infty$.

טעות נפוצה: לסרטט את הגרף חוצה את ציר ה-$x$ משמאל - עד $x=3$ הפונקציה חיובית.

חזקה של $e$ חיובית לכל מעריך, ולכן $e^{x-1}>0$; כפל ב-4 שומר על הסימן. לכן $g(x)>0$ לכל $x$.

טעות נפוצה: לנמק בעזרת הצבת ערך אחד - הנימוק צריך להיות תקף לכל $x$.

מחלקים ב-$e^{x-1}\neq0$:

$A(1,4)$.

טעות נפוצה: לחשב $g(1)=4e$ - המעריך ב-$x=1$ הוא 0.

$g$ חיובית, ולכן השטח בין $x=0$ ל-$x=1$ הוא:

טעות נפוצה: לשכוח להחסיר את הערך בגבול התחתון ($4e^{-1}$), כאילו הקדומה מתאפסת ב-0.

$\ln x$ מוגדר עבור $x>0$ בלבד. התחום: $x>0$.

טעות נפוצה: לכתוב "כל $x$" כי אחרי פתיחת הסוגריים מתקבל $\ln^2x-1$ שנראה "תמיד מוגדר" - $\ln x$ עצמו דורש $x>0$.

ציר ה-$y$: $x=0$ מחוץ לתחום - אין חיתוך.

ציר ה-$x$: $\ln x=1\Rightarrow x=e$, או $\ln x=-1\Rightarrow x=e^{-1}$.

טעות נפוצה: לפתור רק $\ln x=1$ ולשכוח את הגורם השני.

פותחים סוגריים (הפרש ריבועים): $f(x)=\ln^2x-1$.

לפי כלל השרשרת, הנגזרת של $(\ln x)^2$ היא $2\ln x\cdot(\ln x)'$:

טעות נפוצה: לגזור $(\ln x)^2$ כ-$2\ln x$ בלי לכפול בנגזרת הפנימית $\frac1x$.

$f'(x)=0\Rightarrow\ln x=0\Rightarrow x=1$.

$0<x<1$: $\ln x<0$, $f'<0$; $x>1$: $f'>0$ - מינימום.

$f(1)=(0-1)(0+1)=-1$.

טעות נפוצה: לפתור $\ln x=0$ כ-$x=0$ - $\ln1=0$, ולכן $x=1$.

כש-$x\to0^+$: $\ln^2x\to+\infty$, ולכן $f\to+\infty$. כש-$x\to\infty$: $f\to+\infty$.

טעות נפוצה: לצייר את הגרף עולה מהראשית - ליד $x=0$ הוא גבוה מאוד ויורד.

$f'(x)=\frac{2\ln x}x$ מוגדרת רק עבור $x>0$, שלילית ב-$0<x<1$ וחיובית ב-$x>1$.

גרף I: סימן הפוך (חיובי ואז שלילי) - נפסל.

גרף II: ממשיך גם משמאל לציר ה-$y$ - נפסל, כי $f'$ מוגדרת רק עבור $x>0$.

גרף III: מתאים.

טעות נפוצה: לבחור את גרף II כי גם הוא שלילי ואז חיובי - בודקים גם את התחום.

$f'$ מתאפסת ב-$x=1$, ובתחום $1<x<e$ היא חיובית - השטח מעל הציר, בין $x=1$ ל-$x=e$.

$f$ פונקציה קדומה של $f'$:

טעות נפוצה: לחשב את $\int_1^e f(x)\,dx$ במקום את האינטגרל של $f'$ - השטח הוא מתחת לגרף הנגזרת, ולכן הקדומה היא $f$ עצמה.