מתכונת במתמטיקה 472 - מתכונת 2 מעל רמת בגרות

הפאה $ABB'A'$ היא מלבן, והאלכסונים שלו חוצים זה את זה, ולכן $E$ אמצע האלכסון $AB'$.

מ-$D$ ל-$B'$: חוזרים מ-$D$ ל-$A$, הולכים ל-$B$ ועולים ל-$B'$ ($\vec{BB'}=\vec{AA'}=\underline w$):

טעות נפוצה: לכתוב $\overrightarrow{DA}=\underline v$. הווקטור $\underline v$ הולך מ-$A$ ל-$D$, ולכן $\overrightarrow{DA}=-\underline v$.

הולכים מ-$D$ ל-$F$ דרך $A$ ו-$E$:

הביטויים זהים, ולכן $\overrightarrow{DF}=\frac12\vec{DB'}$ ו-$F$ היא אמצע האלכסון $DB'$.

טעות נפוצה: לחבר $-\underline v+\frac12\underline v$ ולקבל $-\frac32\underline v$, ואז להסיק בטעות שהשוויון לא מתקיים.

נתון $\overrightarrow{EF}=\frac12\underline v=\frac12\overrightarrow{AD}$ - כפולה בסקלר של $\overrightarrow{AD}$.

וקטורים שאחד מהם כפולה בסקלר של השני הם קולינאריים, ולכן $EF\parallel AD$ ($E$ אינה על הישר $AD$, כך שאלה שני ישרים שונים).

טעות נפוצה: לחשב מכפלה סקלרית ולקבל 0 - זו בדיקה של ניצבות, לא של מקבילות.

בתיבה המקצועות שיוצאים מ-$A$ מאונכים זה לזה: $\underline u\cdot\underline v=0$ ו-$\underline v\cdot\underline w=0$.

המכפלה הסקלרית 0, ולכן $\overrightarrow{AD}\perp\overrightarrow{AE}$.

טעות נפוצה: להכניס $\underline v^2$ לחישוב (כאילו $\overrightarrow{AE}$ מכיל את $\underline v$) ולקבל תוצאה שונה מ-0.

נפח תיבה = שטח הבסיס כפול הגובה, והגובה הוא המקצוע הצדדי.

שטח הבסיס: $2\cdot4=8$.

טעות נפוצה: לחשב את שטח הבסיס כ-$\frac12\cdot2\cdot4$ (נוסחת משולש) ולקבל 12.

לפי א(2) $|\overrightarrow{DF}|=\frac12|\vec{DB'}|$.

$|\underline u|=2$, $|\underline v|=4$, $|\underline w|=6$, וכל המכפלות המעורבות 0:

טעות נפוצה: לחבר את האורכים במקום את הריבועים ($2+4+6=12$) - זה אורך מסלול לאורך המקצועות, לא אורך האלכסון.

הזווית בקודקוד $D$, ולכן משתמשים בווקטורים שיוצאים מ-$D$: $\overrightarrow{DA}=-\underline v$ ו-$\overrightarrow{DF}=\frac12\underline u-\frac12\underline v+\frac12\underline w$.

$\angle ADF\approx57.69^\circ$.

טעות נפוצה: להציב במכנה את אורך האלכסון $|\vec{DB'}|=\sqrt{56}$ במקום $|\overrightarrow{DF}|=\sqrt{14}$: מתקבל $\cos\angle ADF=\frac{8}{4\sqrt{56}}=\frac2{\sqrt{56}}$ והזווית השגויה $74.50^\circ$.

$\angle DAE=90^\circ$ לפי ב(2).

$\angle AEF=90^\circ$: $EF\parallel AD$ (ב(1)) ו-$AE\perp AD$, ולכן $AE\perp EF$.

סכום הזוויות במרובע $360^\circ$:

טעות נפוצה: לחשב $180^\circ-90^\circ-57.69^\circ$ כאילו זה משולש, ולקבל $32.31^\circ$.

$\overrightarrow{BS}=\underline w-\underline u$ ו-$\overrightarrow{BC}=\underline v-\underline u$ (הסוף פחות ההתחלה, שניהם מ-$A$).

טעות נפוצה: לכתוב $\overrightarrow{AF}=t\underline u+(1-t)\underline v$ - כאשר $t$ קטן, $F$ קרובה ל-$B$, ולכן המקדם של $\underline u$ צריך להיות הגדול.

נתוני המכפלות: $\underline u^2=36$, $\underline u\cdot\underline v=6\cdot4\cdot\cos120^\circ=-12$, ו-$\underline w\cdot\underline u=\underline w\cdot\underline v=0$ כי $AS$ מאונך למישור הבסיס.

דורשים מכפלה סקלרית אפס:

הערך בתחום $0<t<1$, ולכן $F$ נמצאת על המקצוע ו-$BF=\frac34BC$.

טעות נפוצה: להציב $\underline u\cdot\underline v=+12$ (קוסינוס חיובי) ולקבל $t$ שלילי, בלי לשים לב שהוא מחוץ לתחום.

עבור $t=\frac34$: $\overrightarrow{AF}=\frac14\underline u+\frac34\underline v$.

בודקים ניצבות לשני וקטורים לא מקבילים במישור $ABS$:

וקטור שמאונך לשני וקטורים לא מקבילים במישור מאונך למישור כולו, ולכן $\overrightarrow{AF}$ מאונך למישור $ABS$.

כל נקודה $P$ על $BS$ נמצאת במישור $ABS$, ולכן גם $\overrightarrow{AP}$ נמצא במישור, ו-$\overrightarrow{AF}\perp\overrightarrow{AP}$. באופן מפורש: $\overrightarrow{AP}=(1-s)\underline u+s\underline w$, ו-$\overrightarrow{AF}\cdot\overrightarrow{AP}=(1-s)\cdot0+s\cdot0=0$.

לכן הניצבות בסעיף ב לא תלויה בכך ש-$E$ היא דווקא אמצע $BS$.

טעות נפוצה: להסתפק בניצבות לווקטור אחד במישור ($\underline u$ בלבד) - כדי להסיק ניצבות למישור צריך שני וקטורים לא מקבילים.

הזווית $EAF$ ישרה (סעיף ב), ולכן השטח הוא חצי מכפלת הניצבים.

טעות נפוצה: לשכוח את האיבר האמצעי בריבוע של $\overrightarrow{AF}$ ולקבל $|\overrightarrow{AF}|^2=\frac{180}{16}$.

$f$ היא מכפלה של פולינום ב-$e^{2x}$. שני הגורמים מוגדרים לכל $x$, ואין מכנה, שורש או $\ln$.

תחום ההגדרה: כל $x$.

טעות נפוצה: לדרוש $2x>0$ כאילו מדובר ב-$\ln(2x)$. הפונקציה $e^{2x}$ מוגדרת לכל $x$.

ציר ה-$y$: $f(0)=5\cdot e^0=5$, הנקודה $(0,5)$.

ציר ה-$x$: $(5-2x)e^{2x}=0$. הגורם $e^{2x}$ חיובי תמיד, ולכן $5-2x=0$, $x=2.5$. הנקודה $(2.5,0)$.

טעות נפוצה: לכתוב $f(0)=5\cdot e^{2}$ - בהצבת $x=0$ המעריך הוא $2\cdot0=0$, ו-$e^0=1$.

כלל המכפלה, עם $(e^{2x})'=2e^{2x}$:

$f'(x)=0\Rightarrow8-4x=0\Rightarrow x=2$.

עבור $x<2$: $f'>0$; עבור $x>2$: $f'<0$. לכן ב-$x=2$ מקסימום.

טעות נפוצה: לשכוח את האיבר $-2e^{2x}$ (הנגזרת של הגורם $5-2x$) ולקבל $f'=2(5-2x)e^{2x}$, שמתאפסת ב-$x=2.5$ - נקודת החיתוך, לא הקיצון.

$f'(x)=e^{2x}(8-4x)$, ו-$e^{2x}>0$, ולכן הסימן הוא הסימן של $8-4x$.

$x<2$: חיובי - עלייה. $x>2$: שלילי - ירידה.

טעות נפוצה: לכלול את $x=2$ בשני התחומים כאילו הפונקציה "עולה ויורדת" בו, או לסמן תחומים לפי נקודת החיתוך $x=2.5$ במקום לפי נקודת הקיצון.

כאשר $x\to-\infty$: $e^{2x}\to0$, והמכפלה שואפת ל-0; עבור $x<2.5$ הפונקציה חיובית, ולכן הגרף מתקרב לציר ה-$x$ מלמעלה.

הגרף עולה דרך $(0,5)$ עד המקסימום $(2,e^4)$, ואז יורד, חותך את ציר ה-$x$ ב-$(2.5,0)$ ושואף ל-$-\infty$.

טעות נפוצה: לצייר את הגרף שואף ל-$-\infty$ גם משמאל, כאילו הגורם הפולינומי קובע לבד. כש-$x\to-\infty$ הגורם המעריכי שואף ל-0 ו"מנצח".

$g'(x)=-3f'(x)$, ולכן $g'$ מתאפסת רק ב-$x=2$.

הכפל ב-$-3$ הופך את סימן הנגזרת: לפני 2 $g'<0$, אחרי 2 $g'>0$ - מינימום.

טעות נפוצה: לחשב $g(2)=-3(e^4+2)$ - ההזזה $+2$ מתווספת אחרי הכפל, לא בתוך הסוגריים.

ל-$g$ נקודת מינימום (ה(1)), ולכן גרף III, שיש בו מקסימום, נפסל.

כאשר $x\to-\infty$: $f(x)\to0$, ולכן $g(x)\to-3\cdot0+2=2$. לגרף $g$ אסימפטוטה אופקית $y=2$ - מעל ציר ה-$x$.

בגרף I הגרף מתקרב משמאל לישר שמתחת לציר ה-$x$, ולכן הוא נפסל. בגרף II האסימפטוטה מעל הציר, יש מינימום, והגרף עולה בתלילות מימין ($f\to-\infty$, ולכן $g\to+\infty$).

בדיקה נוספת: $g(0)=-3\cdot5+2=-13<0$ - גם בגרף II החיתוך עם ציר ה-$y$ מתחת לציר ה-$x$, והגרף חוצה את ציר ה-$x$ משמאל לציר ה-$y$.

התשובה: גרף II.

טעות נפוצה: לשכוח שהכפל ב-$-3$ הופך את הגרף של $f$, ולבחור את גרף III, שיש בו מקסימום כמו ל-$f$. לפי ה(1) ל-$g$ יש מינימום.

המכנה מתאפס כאשר $x=k$, ולכן תחום ההגדרה: $x\ne k$.

ב-$x=k$ המונה הוא $e^k\ne0$, ולכן הישר $x=k$ הוא אסימפטוטה מאונכת לציר ה-$x$.

$f'(x)=\frac{e^x(x-k)-e^x}{(x-k)^2}=\frac{e^x(x-k-1)}{(x-k)^2}$.

$f'(x)=0$ כאשר $x=k+1$. עבור $x<k$ ועבור $k<x<k+1$: $f'(x)<0$; עבור $x>k+1$: $f'(x)>0$.

לכן ב-$x=k+1$ מינימום: $f(k+1)=\frac{e^{k+1}}{1}=e^{k+1}$.

ירידה: $x<k$ או $k<x<k+1$; עלייה: $x>k+1$.

לפי סעיף ב, שיעור ה-$y$ של נקודת הקיצון הוא $e^{k+1}$.

$e^{k+1}=e^3$, ולכן $k+1=3$, כלומר $k=2$.

$g(x)=0$ כאשר $f(x)=25$, עם $f(x)=\frac{e^x}{x-2}$.

בתחום $x<2$: $e^x>0$ ו-$x-2<0$, ולכן $f(x)<0$ ואין פתרון.

בתחום $2<x<3$: $f$ יורדת. ליד האסימפטוטה $x=2$ (מימין) היא מקבלת ערכים חיוביים גדולים מאוד, וב-$x=3$ ערכה $e^3\approx20.09<25$. לכן יש בתחום הזה פתרון אחד בדיוק.

בתחום $x>3$: $f$ עולה מ-$e^3\approx20.09$, ו-$f(5)=\frac{e^5}3\approx49.47>25$. לכן יש בתחום הזה פתרון אחד בדיוק.

בסך הכול לגרף $g(x)$ יש שתי נקודות חיתוך עם ציר ה-$x$ (בערך ב-$x\approx2.48$ וב-$x\approx3.81$).

$\ln x$ מוגדר עבור $x>0$.

המכנה אינו אפס:

תחום ההגדרה: $x>0$, $x\neq\sqrt e$ (בערך $1.65$).

טעות נפוצה: לכתוב $x\neq\frac12$ - זה הערך של $\ln x$, לא של $x$.

המונה $x^2$ מתאפס רק ב-$x=0$, וזו נקודה שאינה בתחום ההגדרה.

לכן $f(x)\neq0$ לכל $x$ בתחום, והגרף לא חותך את ציר ה-$x$.

טעות נפוצה: לבדוק אם המכנה מתאפס כדי למצוא חיתוך עם ציר ה-$x$. איפוס המכנה נותן אסימפטוטה, לא אפס של הפונקציה.

המכנה מתאפס ב-$x=\sqrt e$, ושם המונה $e\neq0$.

לכן ליד $x=\sqrt e$ הערך $|f(x)|$ גדל לאינסוף, והאסימפטוטה היא $x=\sqrt e$.

ליד $x=0$ המונה שואף ל-0 והמכנה ל-$-\infty$, ולכן $f(x)\to0$ - אין שם אסימפטוטה.

טעות נפוצה: לכתוב את האסימפטוטה כ-$y=\sqrt e$. אסימפטוטה מאונכת לציר ה-$x$ היא ישר מהצורה $x=c$.

כלל המנה, עם $(x^2)'=2x$ ו-$(2\ln x-1)'=\frac2x$: