מתכונת במתמטיקה 472 - מתכונת 3 מעל רמת בגרות

$\overrightarrow{SC}=\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\underline w+\underline u+\underline v$, ולכן $\overrightarrow{SE}=k(\underline u+\underline v+\underline w)$.

$\overrightarrow{EB}=\overrightarrow{ES}+\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{AB}=-k(\underline u+\underline v+\underline w)+\underline w+\underline u=(1-k)\underline u-k\underline v+(1-k)\underline w$.

$\overrightarrow{ED}=\overrightarrow{ES}+\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{AD}=-k(\underline u+\underline v+\underline w)+\underline w+\underline v=-k\underline u+(1-k)\underline v+(1-k)\underline w$.

הבסיס מלבן, ולכן $\underline u\cdot\underline v=0$. $SA$ מאונך לבסיס, ולכן $\underline u\cdot\underline w=\underline v\cdot\underline w=0$.

$\overrightarrow{EB}\cdot\overrightarrow{ED}=-k(1-k)\underline u^2-k(1-k)\underline v^2+(1-k)^2\underline w^2=-16k(1-k)-9k(1-k)+100(1-k)^2$

$=(1-k)\left(-25k+100(1-k)\right)=25(1-k)(4-5k)$.

המכפלה שווה ל-0 כאשר $k=1$ או $k=0.8$.

עבור $k=1$ הנקודה $E$ מתלכדת עם $C$, ואז $\overrightarrow{EB}=\overrightarrow{CB}$ ו-$\overrightarrow{ED}=\overrightarrow{CD}$. אלה צלעות סמוכות במלבן, ולכן הן מאונכות בלי חישוב.

לפי סעיף ב, $\overrightarrow{EB}\cdot\overrightarrow{ED}=25(1-k)(4-5k)$.

עבור $k=0.5$: $\overrightarrow{EB}\cdot\overrightarrow{ED}=25\cdot0.5\cdot1.5=18.75$.

המכפלה הסקלרית חיובית, ולכן הזווית $BED$ חדה.

$AD=|\underline v|=3$ ו-$DC=AB=4$, ולכן $A(3,0,0)$, $C(0,4,0)$ ו-$B(3,4,0)$. $S$ נמצאת מעל $A$ בגובה $10$: $S(3,0,10)$.

עבור $k=0.8$: $\overrightarrow{SE}=0.8\cdot\overrightarrow{SC}=0.8\cdot(-3,4,-10)=(-2.4,3.2,-8)$.

$E=S+\overrightarrow{SE}=(0.6,\,3.2,\,2)$.

$\overrightarrow{ED}=(-0.6,-3.2,-2)$, $\overrightarrow{EB}=(2.4,0.8,-2)$.

לפי סעיף ב, עבור $k=0.8$ הווקטורים מאונכים (בדיקה: $-1.44-2.56+4=0$), ולכן המשולש ישר זווית ב-$E$.

$|\overrightarrow{ED}|=\sqrt{0.36+10.24+4}=\sqrt{14.6}$, $|\overrightarrow{EB}|=\sqrt{5.76+0.64+4}=\sqrt{10.4}$.

$S_{DEB}=\frac12\sqrt{14.6\cdot10.4}=\frac12\sqrt{151.84}=\frac{\sqrt{949}}5\approx6.16$.

D אמצע BC, ולכן $\overrightarrow{AD}=\frac12\underline u+\frac12\underline v$, ו:

N נמצאת שליש מהדרך מ-S ל-D:

טעות נפוצה: לכפול ב-$\frac13$ רק את $\frac12\underline u+\frac12\underline v$ ולשכוח את $-\underline w$ שבתוך $\overrightarrow{SD}$, ולקבל $\overrightarrow{AN}=\frac16\underline u+\frac16\underline v+\underline w$.

$\angle BAC=90^\circ$, ולכן $\underline u\cdot\underline v=0$. AS גובה, כלומר מאונך למישור הבסיס ולכל ישר בו, ולכן $\underline w\cdot\underline u=\underline w\cdot\underline v=0$.

$\underline u\cdot\underline u=\underline v\cdot\underline v=36$, $\underline w\cdot\underline w=9$.

לכן $\overrightarrow{AN}\perp\overrightarrow{SD}$.

טעות נפוצה: להציב 36 גם עבור $\underline w\cdot\underline w$, כאילו כל המקצועות שווים; מתקבל $3+3-24\ne0$ והמסקנה השגויה שאין ניצבות.

מספיק להראות ש-$\overrightarrow{AN}$ מאונך לשני ישרים נחתכים במישור BSC. אחד מהם, SD, טופל בסעיף ב(1). השני - BC:

SD ו-BC נחתכים ב-D, ולכן $\overrightarrow{AN}$ מאונך למישור BSC.

טעות נפוצה: להסתפק בניצבות ל-SD בלבד. ניצבות לישר אחד במישור אינה מספיקה - צריך שני ישרים נחתכים.

AB, AC ו-AS מאונכים זה לזה ויוצאים מהראשית, ולכן הם מונחים על הצירים, כל אחד באורכו:

טעות נפוצה: לתת ל-S את השיעור 6 כמו לשאר הקודקודים. אורך הגובה AS הוא 3.

N: מסעיף א, $\overrightarrow{AN}=\frac16\underline u+\frac16\underline v+\frac23\underline w$:

(בדיקה: $S+\frac13(D-S)=(0,0,3)+\frac13(3,3,-3)=(1,1,2)$.)

טעות נפוצה: לחשב $D+\frac13(S-D)=(2,2,1)$ - הנקודה שבשליש הקטע מ-D, ולא מ-S.

לפי סעיף ב(1) $\overrightarrow{AN}\perp\overrightarrow{SD}$, ו-D על הישר SD, ולכן הזווית ב-N במשולש AND ישרה.

טעות נפוצה: לחשב $\frac12\cdot|\overrightarrow{AN}|\cdot|\overrightarrow{AD}|$ - AD הוא היתר של המשולש, לא ניצב.

גידול של 72.8% פירושו הכפלה ב-$1.728$. אם $q$ היא המנה השנתית, אז בשלוש שנים הכמות מוכפלת ב-$q^3$:

מספר המנויים של B עולה ב-20% בכל שנה.

טעות נפוצה: לחלק $72.8\%$ ב-3 ולקבל כ-24.3% בשנה - אחוזים מצטברים בכפל, לא בחיבור.

B מתחיל נמוך יותר (15 מול 40 מיליון) וגדל מהר יותר (20% מול 8%), ולכן הוא גרף II - הגרף שמתחיל נמוך ועוקף.

כדי להסביר למה העקיפה סופית, בודקים את היחס בין המנויים אחרי $t$ שנים:

הבסיס $\frac{1.2}{1.08}\approx1.11$ גדול מ-1, לכן היחס הוא פונקציה עולה של $t$. בנקודת החיתוך היחס שווה ל-1, ואחריה הוא רק גדל - כלומר גדול מ-1 לתמיד, ו-B נשאר גדול מ-A.

טעות נפוצה: להסתמך רק על הסרטוט ("רואים שהגרף נשאר מעל") - הסרטוט מראה טווח סופי, וההסבר צריך לנבוע מהמונוטוניות של היחס.

משווים:

$t\approx9.31$ שנים אחרי תחילת 2025, כלומר במהלך שנת 2034 (בין $t=9$, תחילת 2034, ל-$t=10$, תחילת 2035).

טעות נפוצה: לענות "שנת 2035" על ידי עיגול 9.31 כלפי מעלה והוספה ל-2025 - $t=9.31$ נמצא בתוך השנה שמתחילה ב-$t=9$.

מתחילת 2025 עד תחילת 2031 עוברות 6 שנים. מספר המנויים של A אז:

מחפשים מנה $q$ שעבורה B יגיע לאותו מספר אחרי 6 שנים:

מספר המנויים של B צריך לעלות בכ-27.2% בשנה.

בדיקה: $15\cdot1.2718^6\approx63.5$.

טעות נפוצה: להשאיר את המנה של A כ-1 (כאילו A לא גדל עד 2031), ולפתור $15q^6=40$.

בין שתי נקודות מקסימום יש נקודת מינימום, והיא היחידה. לכן הסדר משמאל לימין: מקסימום, מינימום, מקסימום.

מקסימום = הנגזרת עוברת מ-$+$ ל-$-$; מינימום = מ-$-$ ל-$+$. לכן הסימנים של $f'(x)$ משמאל לימין: $+$, $-$, $+$, $-$.

בגרף II: חיובי משמאל, שלילי, חיובי, ושלילי מימין - מתאים. בגרף I הסימנים הפוכים, וזה היה מתאים למינימום-מקסימום-מינימום.

הגרף של $f'(x)$ הוא גרף II.

טעות נפוצה: להסתכל על הגבעות של הגרף במקום על הסימנים שלו בין נקודות החיתוך עם ציר ה-$x$.

המכנה $e^{x^2}$ חיובי תמיד, ולכן $f(x)=0$ רק כשהמונה 0:

נקודות החיתוך: $(-1,0)$ ו-$(1,0)$.

טעות נפוצה: לשכוח את הפתרון השלילי $x=-1$.

השוויון מתקיים לכל $x$ (התחום הוא כל המספרים), ולכן $f(x)$ זוגית.

טעות נפוצה: לכתוב $(-x)^2=-x^2$. ריבוע של מספר נגדי שווה לריבוע של המספר.

כלל המנה, עם $(e^{x^2})'=2x\cdot e^{x^2}$:

$f'(x)=0$: $x=0$ או $x^2=2$, כלומר $x=\pm\sqrt2$.

נקודות הקיצון: $\max(-\sqrt2,0.271)$, $\min(0,-2)$, $\max(\sqrt2,0.271)$.

טעות נפוצה: לטעות בסימן בפתיחת $-(2x^2-2)\cdot2x$ ולקבל $4x-4x^3-4x$, כלומר נגזרת שמתאפסת רק ב-$x=0$.

מרכזים את הממצאים:

•הגרף סימטרי ביחס לציר ה-$y$ (סעיף ג), וחותך את ציר ה-$y$ ב-$(0,-2)$, שהיא גם נקודת המינימום.

•חיתוכים עם ציר ה-$x$ ב-$(\pm1,0)$; בין $-1$ ל-1 הגרף מתחת לציר, ומחוץ לתחום הזה מעליו.

•מקסימום ב-$(\pm\sqrt2,0.271)$, נמוך מאוד ביחס לעומק המינימום.

•כש-$x\to\pm\infty$ המכנה $e^{x^2}$ גדל הרבה יותר מהר מהמונה, ולכן $f(x)\to0$ (מצד החיוביים): $y=0$ אסימפטוטה אופקית.

הסקיצה: "עמק" עמוק סביב הראשית עד $-2$, עולה דרך $\pm1$ לשתי גבעות נמוכות ב-$\pm\sqrt2$, ויורד לאט אל ציר ה-$x$ בלי לחתוך אותו שוב.

טעות נפוצה: לסרטט את הגרף ממשיך לעלות אחרי $x=\sqrt2$, או חותך שוב את ציר ה-$x$ בקצוות.

הנגזרת מתאפסת ב-$x=-\sqrt2,0,\sqrt2$, ומחוץ ל-$[-\sqrt2,\sqrt2]$ היא רק מתקרבת לציר. לכן השטח הסגור הוא בתחום $-\sqrt2\le x\le\sqrt2$.

ב-$-\sqrt2<x<0$ הנגזרת שלילית, וב-$0<x<\sqrt2$ חיובית. $f(x)$ היא פונקציה קדומה של $f'(x)$:

השטח הוא כ-4.541 יחידות שטח.

טעות נפוצה: לכתוב את השטח כ-$2f(\sqrt2)$ כמו כשהמינימום בגובה 0. כאן $f(0)=-2$, וההפרש $f(\sqrt2)-f(0)$ כולל אותו.

$x>0$, ו-$\ln x-a\ne0$, כלומר $x\ne e^a$.

ב-$x=e^a$ המכנה מתאפס והמונה $e^{2a}\ne0$, ולכן $x=e^a$ אסימפטוטה אנכית.

טעות נפוצה: לכתוב $x\ne a$ או $x\ne\ln a$ במקום $x\ne e^a$.

$f'=0$: $\ln x=a+\frac12$, כלומר $x=e^{a+0.5}$. הסימן הוא סימן $2\ln x-2a-1$: שלילי לפני, חיובי אחרי - מינימום.

טעות נפוצה: לכתוב $\left(e^{a+0.5}\right)^2=e^{a^2+0.25}$ - מעלים בריבוע את החזקה כולה: $e^{2a+1}$.

גרף $f'$ חותך את ציר ה-x ב-$x=e^{a+0.5}$, ובין נקודה זו לבין $e^{a+1}$ מתקיים $f'\ge0$ (סעיף ב). לכן:

משווים לנתון: $e^{2a+1}(e-2)=(e-2)e^3$, כלומר $e^{2a+1}=e^3$, ולכן $2a+1=3$ ו-$a=1$.

טעות נפוצה: לבחור את גבול האינטגרציה התחתון באסימפטוטה $e^a$. משמאל לנקודת האפס של $f'$ הגרף מתחת לציר, והשטח שם אינו חסום.

עבור $a=1$: $f(x)=\frac{x^2}{\ln x-1}$, אסימפטוטה $x=e$, מינימום $(e^{1.5},2e^3)\approx(4.48,40.17)$.

הענף השמאלי ($0<x<e$): המכנה שלילי, ולכן $f<0$. שם $f'<0$, כלומר $f$ יורדת. כאשר $x\to0^+$, $x^2\to0$ והמכנה $\to-\infty$, ולכן $f\to0$ (לא מגיעה ל-0). כאשר $x\to e^-$, $f\to-\infty$. טווח הענף: $(-\infty,0)$, וכל ערך מתקבל פעם אחת.

הענף הימני ($x>e$): $f$ יורדת מ-$+\infty$ עד המינימום $2e^3$ ועולה חזרה ל-$+\infty$ (כאשר $x\to\infty$, $x^2$ גדל מהר יותר מ-$\ln x$). טווח: $[2e^3,\infty)$; כל ערך גדול מ-$2e^3$ מתקבל פעמיים, ו-$2e^3$ פעם אחת.

מסקנה:

- $m<0$: פתרון אחד (בענף השמאלי).

- $0\le m<2e^3$: אין פתרון.

- $m=2e^3$: פתרון אחד ($x=e^{1.5}$).

- $m>2e^3$: שני פתרונות (בענף הימני).

טעות נפוצה: לכלול את $m=0$ בפתרון אחד - $f$ שואפת ל-0 כאשר $x\to0^+$ אבל לא מקבלת את הערך 0.