דילוג לתוכן המרכזי
GuyAI

מתכונת במתמטיקה 472 - מתכונת 4 מעל רמת בגרות

4 יח"ל · שאלון 035472 · 5 שאלות · פתרון מלא לכל סעיף

מבחן מתכונת במבנה של שאלון 472 (4 יח"ל), מעל רמת בגרות: 5 שאלות, כל אחת בנויה כמו השאלה באותו מקום בבחינת הבגרות. לכל סעיף יש תשובה סופית ופתרון מלא, מוסבר צעד אחרי צעד. נסו לפתור לבד, ואז פתחו את הפתרון של השאלה.

הורדה ב-PDF: שאלון תשובות סופיות פתרון מלא

שאלה 1 · וקטורים בפירמידה עם שלושה מקצועות ניצבים: זווית, שטח וניצבות

בפירמידה המשולשת ABCDABCD המקצועות ADAD, BDBD ו-CDCD מאונכים זה לזה (ראו סרטוט). הנקודה EE נמצאת על המישור ABCABC, ומתקיים: AE→=23AB→+16AC→\overrightarrow{AE}=\frac23\overrightarrow{AB}+\frac16\overrightarrow{AC}. נסמן: DA→=u‾\overrightarrow{DA}=\underline u, DB→=v‾\overrightarrow{DB}=\underline v, DC→=w‾\overrightarrow{DC}=\underline w.

uvwDABCE
א.

הביעו את הווקטורים AB→\overrightarrow{AB}, AC→\overrightarrow{AC}, DE→\overrightarrow{DE} באמצעות u‾\underline u, v‾\underline v ו-w‾\underline w.

נתון: ∣u‾∣=∣w‾∣=2|\underline u|=|\underline w|=2, ∣v‾∣=1|\underline v|=1.

ב(1).

חשבו את אורכי המקצועות ABAB ו-ACAC.

ב(2).

חשבו את גודל הזווית BACBAC.

ב(3).

חשבו את שטח המשולש ABCABC.

ג.

הוכיחו כי הווקטור DE→\overrightarrow{DE} מאונך למישור ABCABC.

ד.

חשבו את נפח הפירמידה ABCDABCD.

◂ פתרון מלא לשאלה 1

סעיף א

תשובה:

AB→=−u‾+v‾\overrightarrow{AB}=-\underline u+\underline v, AC→=−u‾+w‾\overrightarrow{AC}=-\underline u+\underline w, DE→=16u‾+23v‾+16w‾\overrightarrow{DE}=\frac16\underline u+\frac23\underline v+\frac16\underline w

DA→=u‾\overrightarrow{DA}=\underline u, ולכן AD→=−u‾\overrightarrow{AD}=-\underline u. מ-AA לכל קודקוד אחר עוברים דרך DD:

AB→=AD→+DB→=−u‾+v‾AC→=AD→+DC→=−u‾+w‾\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DB}=-\underline u+\underline v\qquad\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}=-\underline u+\underline w

ל-EE מגיעים מ-DD דרך AA:

DE→=DA→+AE→=u‾+23(v‾−u‾)+16(w‾−u‾)\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AE}=\underline u+\frac23(\underline v-\underline u)+\frac16(\underline w-\underline u)

המקדם של u‾\underline u: 1−23−16=161-\frac23-\frac16=\frac16.

DE→=16u‾+23v‾+16w‾\overrightarrow{DE}=\frac16\underline u+\frac23\underline v+\frac16\underline w

טעות נפוצה: לשכוח את ה-u‾\underline u שבהתחלה ולכתוב DE→=AE→\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{AE}. הווקטור AE→\overrightarrow{AE} יוצא מ-AA, ולא מ-DD.

סעיף ב(1)

תשובה:

AB=5AB=\sqrt5, AC=22AC=2\sqrt2

וקטורי הבסיס מאונכים זה לזה, ולכן המכפלות המעורבות הן 0.

∣AB→∣2=(v‾−u‾)2=v‾2−2u‾⋅v‾+u‾2=1−0+4=5|\overrightarrow{AB}|^2=(\underline v-\underline u)^2=\underline v^2-2\underline u\cdot\underline v+\underline u^2=1-0+4=5

AB=5AB=\sqrt5.

∣AC→∣2=(w‾−u‾)2=w‾2−2u‾⋅w‾+u‾2=4−0+4=8|\overrightarrow{AC}|^2=(\underline w-\underline u)^2=\underline w^2-2\underline u\cdot\underline w+\underline u^2=4-0+4=8

AC=8=22AC=\sqrt8=2\sqrt2.

טעות נפוצה: לחבר אורכים (AB=2+1=3AB=2+1=3) במקום לחשב ריבוע סקלרי. המקצועות DADA ו-DBDB ניצבים, ו-ABAB הוא היתר במשולש ADBADB.

סעיף ב(2)

תשובה:

∠BAC≈50.77∘\angle BAC\approx50.77^\circ

הזווית BACBAC היא הזווית בין AB→\overrightarrow{AB} ל-AC→\overrightarrow{AC}.

AB→⋅AC→=(v‾−u‾)⋅(w‾−u‾)=v‾⋅w‾−u‾⋅v‾−u‾⋅w‾+u‾2=0−0−0+4=4\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=(\underline v-\underline u)\cdot(\underline w-\underline u)=\underline v\cdot\underline w-\underline u\cdot\underline v-\underline u\cdot\underline w+\underline u^2=0-0-0+4=4
cos⁡∠BAC=45⋅22=440=210≈0.632\cos\angle BAC=\frac4{\sqrt5\cdot2\sqrt2}=\frac4{\sqrt{40}}=\frac2{\sqrt{10}}\approx0.632

∠BAC≈50.77∘\angle BAC\approx50.77^\circ.

טעות נפוצה: לחשב את המכפלה של AB→\overrightarrow{AB} עם CA→\overrightarrow{CA} במקום עם AC→\overrightarrow{AC}. שני הווקטורים צריכים לצאת מקודקוד הזווית AA; אחרת מתקבלת הזווית המשלימה, 129.23∘129.23^\circ.

סעיף ב(3)

תשובה:

6≈2.449\sqrt6\approx2.449

sin⁡∠BAC=1−cos⁡2∠BAC=1−410=0.6\sin\angle BAC=\sqrt{1-\cos^2\angle BAC}=\sqrt{1-\frac4{10}}=\sqrt{0.6}.

SABC=12⋅AB⋅AC⋅sin⁡∠BAC=12⋅5⋅22⋅0.6=1224=6≈2.449S_{ABC}=\frac12\cdot AB\cdot AC\cdot\sin\angle BAC=\frac12\cdot\sqrt5\cdot2\sqrt2\cdot\sqrt{0.6}=\frac12\sqrt{24}=\sqrt6\approx2.449

טעות נפוצה: להשתמש ב-cos⁡∠BAC\cos\angle BAC במקום ב-sin⁡∠BAC\sin\angle BAC בנוסחת השטח, ולקבל 2.

סעיף ג

תשובה:

הוכחה: DE→⋅AB→=0\overrightarrow{DE}\cdot\overrightarrow{AB}=0 ו-DE→⋅AC→=0\overrightarrow{DE}\cdot\overrightarrow{AC}=0

מספיק להראות ש-DE→\overrightarrow{DE} מאונך לשני וקטורים לא קולינאריים במישור ABCABC: AB→\overrightarrow{AB} ו-AC→\overrightarrow{AC}.

DE→⋅AB→=(16u‾+23v‾+16w‾)⋅(v‾−u‾)=23v‾2−16u‾2=23−46=0\overrightarrow{DE}\cdot\overrightarrow{AB}=\left(\frac16\underline u+\frac23\underline v+\frac16\underline w\right)\cdot(\underline v-\underline u)=\frac23\underline v^2-\frac16\underline u^2=\frac23-\frac46=0
DE→⋅AC→=(16u‾+23v‾+16w‾)⋅(w‾−u‾)=16w‾2−16u‾2=46−46=0\overrightarrow{DE}\cdot\overrightarrow{AC}=\left(\frac16\underline u+\frac23\underline v+\frac16\underline w\right)\cdot(\underline w-\underline u)=\frac16\underline w^2-\frac16\underline u^2=\frac46-\frac46=0

ולכן DE→\overrightarrow{DE} מאונך למישור ABCABC.

טעות נפוצה: לבדוק ניצבות ל-AB→\overrightarrow{AB} ול-DA→\overrightarrow{DA}. DA→\overrightarrow{DA} אינו במישור ABCABC, ולכן הוא לא מתאים לבדיקה.

סעיף ד

תשובה:

23\frac23

בסיס נוח: המשולש BCDBCD, ישר-זווית ב-DD. הגובה אליו הוא DADA, כי DADA מאונך ל-DBDB ול-DCDC.

SBCD=12⋅1⋅2=1V=13⋅1⋅2=23S_{BCD}=\frac12\cdot1\cdot2=1\qquad V=\frac13\cdot1\cdot2=\frac23

טעות נפוצה: לקחת את ABCABC כבסיס ואת DADA כגובה. DADA אינו מאונך למישור ABCABC; הגובה לבסיס הזה הוא DEDE.

שאלה 2 · וקטורים בפירמידה משולשת: יחס לא ידוע על המקצועות

בסרטוט שלפניכם פירמידה משולשת SABC.

ABCSEF

נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline{u}, AC→=v‾\overrightarrow{AC}=\underline{v}, AS→=w‾\overrightarrow{AS}=\underline{w}.

הנקודה E נמצאת על המקצוע SB, והנקודה F נמצאת על המקצוע SC, כך ש-SE→=k⋅SB→\overrightarrow{SE}=k\cdot\overrightarrow{SB} ו-SF→=k⋅SC→\overrightarrow{SF}=k\cdot\overrightarrow{SC}, כאשר kk הוא מספר קבוע (0<k<10<k<1).

א.

הביעו באמצעות u‾\underline{u}, v‾\underline{v}, w‾\underline{w} ו-kk את הווקטורים SE→\overrightarrow{SE}, SF→\overrightarrow{SF} ו-EF→\overrightarrow{EF}.

ב.

הראו כי EF→=k⋅BC→\overrightarrow{EF}=k\cdot\overrightarrow{BC}, והסבירו מדוע EF מקביל ל-BC.

נתון: B(−1,2,1)B(-1,2,1), C(7,6,9)C(7,6,9). אורך הקטע EF הוא 3.

ג.

מצאו את kk.

נתון: S(3,6,13)S(3,6,13).

ד.

מצאו את שיעורי הנקודות E ו-F.

נתון: A(3,−1,3)A(3,-1,3).

ה.

חשבו את שטח המשולש EAF.

◂ פתרון מלא לשאלה 2

סעיף א

תשובה:

SE→=ku‾−kw‾\overrightarrow{SE}=k\underline{u}-k\underline{w}, SF→=kv‾−kw‾\overrightarrow{SF}=k\underline{v}-k\underline{w}, EF→=−ku‾+kv‾\overrightarrow{EF}=-k\underline{u}+k\underline{v}

SB→=SA→+AB→=−w‾+u‾\overrightarrow{SB}=\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{AB}=-\underline{w}+\underline{u}, ולכן SE→=kSB→=ku‾−kw‾\overrightarrow{SE}=k\overrightarrow{SB}=k\underline{u}-k\underline{w}.

SC→=SA→+AC→=−w‾+v‾\overrightarrow{SC}=\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{AC}=-\underline{w}+\underline{v}, ולכן SF→=kSC→=kv‾−kw‾\overrightarrow{SF}=k\overrightarrow{SC}=k\underline{v}-k\underline{w}.

EF→=SF→−SE→=(kv‾−kw‾)−(ku‾−kw‾)=−ku‾+kv‾\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{SF}-\overrightarrow{SE}=(k\underline{v}-k\underline{w})-(k\underline{u}-k\underline{w})=-k\underline{u}+k\underline{v}.

סעיף ב

תשובה:

EF→=k(−u‾+v‾)=k⋅BC→\overrightarrow{EF}=k(-\underline{u}+\underline{v})=k\cdot\overrightarrow{BC}, ולכן הווקטורים קולינאריים ו-EF מקביל ל-BC

BC→=BA→+AC→=−u‾+v‾\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=-\underline{u}+\underline{v}.

מסעיף א: EF→=−ku‾+kv‾=k(−u‾+v‾)=k⋅BC→\overrightarrow{EF}=-k\underline{u}+k\underline{v}=k(-\underline{u}+\underline{v})=k\cdot\overrightarrow{BC}.

הווקטור EF→\overrightarrow{EF} הוא כפולה בסקלר של BC→\overrightarrow{BC}, ולכן הם קולינאריים. הנקודה E אינה על הישר BC (היא על המקצוע SB ושונה מ-B), ולכן EF מקביל ל-BC.

סעיף ג

תשובה:

k=14k=\frac14

BC→=(7−(−1), 6−2, 9−1)=(8,4,8)\overrightarrow{BC}=(7-(-1),\,6-2,\,9-1)=(8,4,8), ולכן ∣BC→∣=64+16+64=144=12|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{64+16+64}=\sqrt{144}=12.

מסעיף ב: ∣EF→∣=k⋅∣BC→∣|\overrightarrow{EF}|=k\cdot|\overrightarrow{BC}| (כי k>0k>0), כלומר 3=12k3=12k, ומכאן k=14k=\frac14.

סעיף ד

תשובה:

E(2,5,10)E(2,5,10), F(4,6,12)F(4,6,12)

SB→=(−1−3, 2−6, 1−13)=(−4,−4,−12)\overrightarrow{SB}=(-1-3,\,2-6,\,1-13)=(-4,-4,-12), ולכן SE→=14SB→=(−1,−1,−3)\overrightarrow{SE}=\frac14\overrightarrow{SB}=(-1,-1,-3) ו-E=(3−1, 6−1, 13−3)=(2,5,10)E=(3-1,\,6-1,\,13-3)=(2,5,10).

SC→=(7−3, 6−6, 9−13)=(4,0,−4)\overrightarrow{SC}=(7-3,\,6-6,\,9-13)=(4,0,-4), ולכן SF→=14SC→=(1,0,−1)\overrightarrow{SF}=\frac14\overrightarrow{SC}=(1,0,-1) ו-F=(3+1, 6+0, 13−1)=(4,6,12)F=(3+1,\,6+0,\,13-1)=(4,6,12).

בדיקה: EF→=(2,1,2)=14(8,4,8)\overrightarrow{EF}=(2,1,2)=\frac14(8,4,8), ואורכו 3.

סעיף ה

תשובה:

S△EAF=4502=1522≈10.61S_{\triangle EAF}=\frac{\sqrt{450}}{2}=\frac{15\sqrt2}{2}\approx10.61

AE→=(2−3, 5+1, 10−3)=(−1,6,7)\overrightarrow{AE}=(2-3,\,5+1,\,10-3)=(-1,6,7), AF→=(4−3, 6+1, 12−3)=(1,7,9)\overrightarrow{AF}=(4-3,\,6+1,\,12-3)=(1,7,9).

AE→⋅AF→=−1+42+63=104\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{AF}=-1+42+63=104, ∣AE→∣2=1+36+49=86|\overrightarrow{AE}|^2=1+36+49=86, ∣AF→∣2=1+49+81=131|\overrightarrow{AF}|^2=1+49+81=131.

cos⁡∠EAF=10486⋅131\cos\angle EAF=\frac{104}{\sqrt{86}\cdot\sqrt{131}}, ולכן sin⁡∠EAF=1−104286⋅131=11266−1081611266=45011266\sin\angle EAF=\sqrt{1-\frac{104^2}{86\cdot131}}=\sqrt{\frac{11266-10816}{11266}}=\sqrt{\frac{450}{11266}}.

S△EAF=12∣AE→∣⋅∣AF→∣⋅sin⁡∠EAF=1211266⋅45011266=4502≈10.61S_{\triangle EAF}=\frac12|\overrightarrow{AE}|\cdot|\overrightarrow{AF}|\cdot\sin\angle EAF=\frac12\sqrt{11266}\cdot\sqrt{\frac{450}{11266}}=\frac{\sqrt{450}}{2}\approx10.61.

שאלה 3 · דעיכה מעריכית: שני אגמים מתייבשים

באזור מדברי יש שני אגמים A ו-B. במשך השנים האגמים מתייבשים, וכמות המים בהם קטנה. חוקר מדד את כמות המים בכל אחד מן האגמים בסוף כל קיץ במשך 12 שנים.

לפניכם סרטוט המתאר את כמות המים בכל אגם (במיליוני מ"ק) לפי שנים (ציר אופקי: הזמן בשנים; ציר אנכי: כמות המים במיליוני מ"ק).

א.

מבין הגרפים I-II, קבעו איזה גרף מתאים לאגם שכמות המים בו קטנה בקצב מהיר יותר. נמקו את קביעתכם.

הפונקציה f(t)=90⋅(0.95)tf(t)=90\cdot(0.95)^t מתארת את כמות המים באגם A בכל שנה. הפונקציה g(t)=120⋅(0.88)tg(t)=120\cdot(0.88)^t מתארת את כמות המים באגם B בכל שנה.

ב.

קבעו בנוגע לכל פונקציה מהו הגרף המתאר אותה. נמקו את קביעותיכם.

ג.

באיזה משני האגמים הייתה כמות המים גדולה יותר לאחר 4 שנים מתחילת המדידות?

ד.

מצאו לאחר כמה שנים מתחילת המדידות הייתה כמות המים באגם A שווה לכמות המים באגם B.

החוקר בדק גם את השטח שמכוסה בקנים על גדות האגמים. הוא גילה שהשטח המכוסה בקנים גדל בכל שנה באחוז קבוע. לאחר 8 שנים מתחילת המדידות היה השטח המכוסה בקנים גדול פי 2.2 משטחו בתחילת המדידות.

ה.

מצאו בכמה אחוזים גדל השטח המכוסה בקנים בכל שנה.

◂ פתרון מלא לשאלה 3

סעיף א

תשובה:

גרף I

קצב מהיר יותר של התייבשות פירושו שהגרף יורד בתלילות רבה יותר.

גרף I מתחיל גבוה יותר, אבל חותך את גרף II ומשם והלאה נמצא מתחתיו. גרף שמתחיל גבוה ומגיע אל מתחת לגרף אחר חייב לרדת מהר יותר ממנו.

לכן גרף I מתאים לאגם שכמות המים בו קטנה בקצב מהיר יותר.

טעות נפוצה: לנמק לפי הגובה ("גרף II נמוך יותר בהתחלה, לכן יש בו פחות מים והוא מתייבש מהר") - קצב נקבע לפי תלילות הירידה, לא לפי הגובה.

סעיף ב

תשובה:

g(t)g(t): גרף I, f(t)f(t): גרף II

בפונקציה a⋅qta\cdot q^t המקדם aa הוא הכמות ההתחלתית, והמנה q<1q<1 קובעת את קצב הדעיכה: qq קטן יותר - דעיכה מהירה יותר.

f(0)=90,g(0)=120f(0)=90,\qquad g(0)=120

gg מתחילה גבוה יותר, ו-0.88<0.950.88<0.95, כלומר gg דועכת מהר יותר (12% בשנה לעומת 5%).

גרף I מתחיל גבוה יותר ויורד מהר יותר, ולכן g(t)g(t) מתוארת על ידי גרף I ו-f(t)f(t) על ידי גרף II.

טעות נפוצה: לקבוע לפי המנה בלבד ולחשוב שהמנה הגדולה (0.950.95) מתאימה לדעיכה מהירה. המנה היא החלק שנשאר בכל שנה, ולכן מנה גדולה = דעיכה איטית.

סעיף ג

תשובה:

באגם A

מציבים t=4t=4 בשתי הפונקציות:

f(4)=90⋅0.954≈90⋅0.8145≈73.31f(4)=90\cdot0.95^4\approx90\cdot0.8145\approx73.31
g(4)=120⋅0.884≈120⋅0.5997≈71.96g(4)=120\cdot0.88^4\approx120\cdot0.5997\approx71.96

73.31>71.9673.31>71.96, ולכן לאחר 4 שנים כמות המים באגם A הייתה גדולה יותר.

טעות נפוצה: להניח שאגם B, שהתחיל עם יותר מים, עדיין "מוביל" ולא לחשב - ההפרש בין הכמויות קטן, והגרפים כבר נחתכו לפני השנה הרביעית.

סעיף ד

תשובה:

לאחר כ-3.759 שנים

משווים את שתי הפונקציות:

90⋅0.95t=120⋅0.88t90\cdot0.95^t=120\cdot0.88^t

מחלקים את שני האגפים ב-90⋅0.88t90\cdot0.88^t (חיובי):

(0.950.88)t=12090=43\left(\frac{0.95}{0.88}\right)^t=\frac{120}{90}=\frac43

מוציאים לוגריתם משני האגפים:

t=log⁡43log⁡0.950.88≈0.12490.0332≈3.759t=\frac{\log\frac43}{\log\frac{0.95}{0.88}}\approx\frac{0.1249}{0.0332}\approx3.759

הכמויות היו שוות לאחר כ-3.759 שנים (מתאים לסעיף ג: לאחר 4 שנים באגם A כבר יש יותר מים).

טעות נפוצה: "לפתוח" את המשוואה כך: 90⋅0.95=120⋅0.8890\cdot0.95=120\cdot0.88 ולהשמיט את החזקה, או לכתוב 90120⋅0.950.88\frac{90}{120}\cdot\frac{0.95}{0.88} בחזקת tt - החזקה חלה רק על המנות, לא על המקדמים.

סעיף ה

תשובה:

כ-10.36%

נסמן ב-A0A_0 את השטח בתחילת המדידות וב-qq את מנת הגדילה השנתית. לאחר 8 שנים השטח הוא A0⋅q8A_0\cdot q^8.

A0⋅q8=2.2⋅A0⇒q8=2.2A_0\cdot q^8=2.2\cdot A_0\quad\Rightarrow\quad q^8=2.2
q=2.28=2.218≈1.1036q=\sqrt[8]{2.2}=2.2^{\frac18}\approx1.1036

מנה של 1.1036 פירושה גדילה של כ-10.36% בכל שנה.

טעות נפוצה: לחלק את הגדילה הכוללת (120%) ב-8 ולקבל 15% בשנה. הגדילה מצטברת בכפל, ולכן מוציאים שורש שמיני.

שאלה 4 · חקירה עם פרמטר: מקום נקודות הקיצון ופרמטר משטח

נתונה הפונקציה f(x)=(a−2x)⋅e2xf(x)=(a-2x)\cdot e^{2x}, המוגדרת לכל xx. aa הוא פרמטר, a>2a>2.

א.

מצאו באמצעות aa את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה f(x)f(x), וקבעו את סוגה.

ב.

הראו כי לכל ערך של aa, נקודת הקיצון של f(x)f(x) נמצאת על גרף הפונקציה h(x)=e2xh(x)=e^{2x}.

נתונה הפונקציה g(x)=2e2xg(x)=2e^{2x}. הנקודה A היא נקודת החיתוך של גרף f(x)f(x) עם גרף g(x)g(x). דרך A העבירו אנך לציר ה-xx.

ג.

הביעו באמצעות aa את השטח המוגבל על ידי גרף g(x)g(x), על ידי האנך, על ידי ציר ה-xx ועל ידי ציר ה-yy.

ד.

מצאו את הערך של aa שעבורו השטח שבסעיף ג שווה ל-2, ומצאו עבורו את שיעורי הנקודה A.

◂ פתרון מלא לשאלה 4

סעיף א

תשובה:

max⁡(a−12, ea−1)\max\left(\frac{a-1}{2},\,e^{a-1}\right)

גוזרים לפי כלל המכפלה (נגזרת e2xe^{2x} היא 2e2x2e^{2x}):

f′(x)=−2e2x+(a−2x)⋅2e2x=(2a−2−4x) e2xf'(x)=-2e^{2x}+(a-2x)\cdot2e^{2x}=(2a-2-4x)\,e^{2x}

e2x>0e^{2x}>0, ולכן f′(x)=0f'(x)=0 כאשר 2a−2−4x=02a-2-4x=0, כלומר x=a−12x=\frac{a-1}{2}.

הגורם 2a−2−4x2a-2-4x חיובי משמאל לנקודה ושלילי מימינה, ולכן זהו מקסימום.

f(a−12)=(a−(a−1))ea−1=ea−1f\left(\tfrac{a-1}{2}\right)=\left(a-(a-1)\right)e^{a-1}=e^{a-1}

נקודת הקיצון: max⁡(a−12, ea−1)\max\left(\frac{a-1}{2},\,e^{a-1}\right).

טעות נפוצה: לטעות בהצבה: 2⋅a−12=a−12\cdot\frac{a-1}{2}=a-1, ולכן הגורם הקווי הוא a−(a−1)=1a-(a-1)=1 - לא a−1a-1.

סעיף ב

תשובה:

הוכחה: ב-x=a−12x=\frac{a-1}{2} מתקיים h(x)=ea−1=f(x)h(x)=e^{a-1}=f(x)

צריך להראות ששיעורי נקודת הקיצון מקיימים את y=e2xy=e^{2x}.

בנקודת הקיצון x=a−12x=\frac{a-1}{2}, ולכן:

h(a−12)=e2⋅a−12=ea−1h\left(\tfrac{a-1}{2}\right)=e^{2\cdot\frac{a-1}{2}}=e^{a-1}

זה בדיוק שיעור ה-yy של נקודת הקיצון מסעיף א. לכן, לכל aa, הנקודה (a−12,ea−1)\left(\frac{a-1}{2},e^{a-1}\right) נמצאת על גרף hh.

אפשר לראות זאת גם כך: מ-x=a−12x=\frac{a-1}{2} מקבלים a−1=2xa-1=2x, ומציבים ב-y=ea−1y=e^{a-1}.

טעות נפוצה: לבדוק ערך אחד של aa (למשל a=3a=3) ולהסיק לכל aa - בדיקה של דוגמה אינה הוכחה.

סעיף ג

תשובה:

ea−2−1e^{a-2}-1

שיעור ה-xx של A: משווים ומחלקים ב-e2x≠0e^{2x}\neq0:

(a−2x) e2x=2e2x⇒a−2x=2⇒xA=a−22(a-2x)\,e^{2x}=2e^{2x}\quad\Rightarrow\quad a-2x=2\quad\Rightarrow\quad x_A=\frac{a-2}{2}

מאחר ש-a>2a>2, xA>0x_A>0, כלומר האנך נמצא מימין לציר ה-yy והתחום קיים.

gg חיובית לכל xx, ולכן השטח הוא:

S=∫0a−222e2x dx=[e2x]0a−22=ea−2−1S=\int_0^{\frac{a-2}{2}}2e^{2x}\,dx=\left[e^{2x}\right]_0^{\frac{a-2}{2}}=e^{a-2}-1

טעות נפוצה: לכתוב את הקדומה 4e2x4e^{2x} (כפל במקום חילוק במקדם), ולקבל 4(ea−2−1)4(e^{a-2}-1).

סעיף ד

תשובה:

a=2+ln⁡3≈3.10a=2+\ln3\approx3.10, A(ln⁡32, 6)≈A(0.55, 6)A\left(\frac{\ln3}{2},\,6\right)\approx A(0.55,\,6)

משווים את הביטוי מסעיף ג ל-2:

ea−2−1=2⇒ea−2=3⇒a−2=ln⁡3⇒a=2+ln⁡3≈3.10e^{a-2}-1=2\quad\Rightarrow\quad e^{a-2}=3\quad\Rightarrow\quad a-2=\ln3\quad\Rightarrow\quad a=2+\ln3\approx3.10

הערך מקיים a>2a>2, כנדרש.

xA=a−22=ln⁡32≈0.55,yA=g(xA)=2eln⁡3=2⋅3=6x_A=\frac{a-2}{2}=\frac{\ln3}{2}\approx0.55,\qquad y_A=g(x_A)=2e^{\ln3}=2\cdot3=6

A(ln⁡32, 6)A\left(\frac{\ln3}{2},\,6\right).

בדיקה: f(xA)=(a−ln⁡3) eln⁡3=2⋅3=6f(x_A)=(a-\ln3)\,e^{\ln3}=2\cdot3=6.

טעות נפוצה: לכתוב eln⁡3e^{\ln3} כ-ln⁡3\ln3 או כ-e3e^3 - לפי הגדרת ln, eln⁡3=3e^{\ln3}=3.

שאלה 5 · גרף הנגזרת ופונקציה מעריכית עם מכנה: מקסימום ושטח

הפונקציות f(x)f(x) ו-f′(x)f'(x) מוגדרות בתחום x≠3x\neq3.

לפניכם סרטוט של גרף פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x).

גרף פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x) חותך את ציר ה-xx בנקודה אחת (a,0)(a,0). aa הוא קבוע.

(a,0)
א.

הביעו באמצעות aa את שיעור ה-xx של נקודת הקיצון של הפונקציה f(x)f(x), וקבעו את סוגה.

נתון גם כי: f(x)=e−xx−3f(x)=\frac{e^{-x}}{x-3}.

ב.

מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה f(x)f(x), ורשמו את הערך של aa.

ג.

רשמו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x)f(x).

ד.

מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x) עם הצירים (אם יש כאלה).

ה.

מצאו את משוואת האסימפטוטה המאונכת לציר ה-xx של הפונקציה f(x)f(x).

ו.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x).

ז.

חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x), ציר ה-xx וציר ה-yy.

◂ פתרון מלא לשאלה 5

סעיף א

תשובה:

x=ax=a, מקסימום

f′f' מתאפסת רק ב-x=ax=a. משמאל ל-aa הגרף של f′f' מעל ציר ה-xx - ff עולה; מימין ל-aa (עד האסימפטוטה) הוא מתחת לציר - ff יורדת.

מעבר מעלייה לירידה - נקודת מקסימום ב-x=ax=a.

טעות נפוצה: לקבוע "מינימום" כי הגרף של f′f' יורד ב-x=ax=a אל מתחת לציר. מה שקובע הוא הסימן של f′f' לפני ואחרי, לא הצורה של הגרף שלה.

סעיף ב

תשובה:

max⁡(2,−1e2)\max\left(2,-\frac{1}{e^2}\right), a=2a=2

כלל המנה, עם (e−x)′=−e−x(e^{-x})'=-e^{-x}:

f′(x)=−e−x(x−3)−e−x⋅1(x−3)2=−e−x(x−3+1)(x−3)2=−e−x(x−2)(x−3)2f'(x)=\frac{-e^{-x}(x-3)-e^{-x}\cdot1}{(x-3)^2}=\frac{-e^{-x}(x-3+1)}{(x-3)^2}=\frac{-e^{-x}(x-2)}{(x-3)^2}

e−x>0e^{-x}>0, ולכן f′(x)=0f'(x)=0 רק כאשר x=2x=2. לכן a=2a=2.

f(2)=e−22−3=−1e2≈−0.135f(2)=\frac{e^{-2}}{2-3}=-\frac{1}{e^2}\approx-0.135

לפי סעיף א זו נקודת מקסימום: max⁡(2,−1e2)\max\left(2,-\frac1{e^2}\right).

טעות נפוצה: לגזור את e−xe^{-x} כ-e−xe^{-x} (בלי המינוס) ולקבל x−4=0x-4=0, כלומר x=4x=4.

סעיף ג

תשובה:

עלייה: x<2x<2; ירידה: 2<x<32<x<3, x>3x>3

הסימן של f′f' הוא הסימן של −(x−2)-(x-2), כי e−xe^{-x} ו-(x−3)2(x-3)^2 חיוביים בתחום.

x<2x<2: f′>0f'>0 - עולה. 2<x<32<x<3: f′<0f'<0 - יורדת. x>3x>3: f′<0f'<0 - יורדת.

עלייה: x<2x<2. ירידה: 2<x<32<x<3 ו-x>3x>3 (שני תחומים נפרדים, כי x=3x=3 אינו בתחום).

טעות נפוצה: לכתוב ירידה ב-x>2x>2 כתחום אחד, ולהתעלם מכך ש-ff אינה מוגדרת ב-x=3x=3.

סעיף ד

תשובה:

(0,−13)\left(0,-\frac13\right); אין חיתוך עם ציר ה-xx

חיתוך עם ציר ה-yy: f(0)=e00−3=−13f(0)=\frac{e^0}{0-3}=-\frac13 - הנקודה (0,−13)\left(0,-\frac13\right).

חיתוך עם ציר ה-xx: המונה e−xe^{-x} חיובי תמיד ולא מתאפס - אין חיתוך.

טעות נפוצה: לחשב f(0)=13f(0)=\frac13 - לשכוח שהמכנה ב-x=0x=0 הוא −3-3.

סעיף ה

תשובה:

x=3x=3

המכנה x−3x-3 מתאפס ב-x=3x=3, והמונה שם e−3≠0e^{-3}\ne0: אסימפטוטה אנכית x=3x=3.

טעות נפוצה: לכתוב x=−3x=-3 - להפוך את הסימן של המספר שבמכנה.

סעיף ו

תשובה:

משמאל ל-x=3x=3: שלילית, עולה מ-−∞-\infty (כש-x→−∞x\to-\infty) דרך (0,−13)\left(0,-\frac13\right) למקסימום (2,−1e2)\left(2,-\frac1{e^2}\right) ויורדת ל-−∞-\infty ליד האסימפטוטה; מימין: חיובית, יורדת מ-+∞+\infty ומתקרבת לציר ה-xx

משמאל ל-x=3x=3 המכנה שלילי, ולכן f<0f<0. כש-x→−∞x\to-\infty, e−x→∞e^{-x}\to\infty מהר יותר משהמכנה גדל, ולכן f→−∞f\to-\infty. הפונקציה עולה עד המקסימום (2,−1e2)\left(2,-\frac1{e^2}\right) (שלילי, מתחת לציר) ויורדת ל-−∞-\infty ליד x=3x=3.

מימין ל-x=3x=3: f>0f>0, שואפת ל-+∞+\infty ליד האסימפטוטה, יורדת, וכש-x→∞x\to\infty, e−x→0e^{-x}\to0 ולכן f→0f\to0 מלמעלה.

2468-22

טעות נפוצה: לצייר את המקסימום מעל ציר ה-xx. ערך המקסימום −1e2-\frac1{e^2} שלילי, והענף השמאלי כולו מתחת לציר.

סעיף ז

תשובה:

S=13−1e2≈0.198S=\frac13-\frac{1}{e^2}\approx0.198

השטח הוא בין ציר ה-yy (x=0x=0) לנקודת החיתוך x=2x=2. בקטע הזה f′≥0f'\ge0.

S=∫02f′(x) dx=f(2)−f(0)=−1e2−(−13)=13−1e2≈0.198S=\int_0^2f'(x)\,dx=f(2)-f(0)=-\frac1{e^2}-\left(-\frac13\right)=\frac13-\frac1{e^2}\approx0.198

טעות נפוצה: לחשב f(0)−f(2)f(0)-f(2) ולקבל שטח שלילי. הגבול העליון של האינטגרל הוא x=2x=2, ולכן f(2)−f(0)f(2)-f(0).

כל האתר במבט אחד

קיצורי דרך לכל הכלים, הבגרויות והקורסים

GuyAI הוא המורה הפרטי המתקדם בישראל, המבוסס על מודלי הבינה המלאכותית החזקים בעולם בשילוב הידע הפדגוגי של GOOL. המערכת מספקת פתרונות לכל המקצועות ולכל הרמות - מיסודי ועד אקדמיה, וממתמטיקה ועד היסטוריה.