מתכונת במתמטיקה 571 - מתכונת 10 ברמת בגרות

שלב הבסיס ($n=1$): אגף שמאל $\frac{2A}3$, אגף ימין $A\left(1-\frac13\right)=\frac{2A}3$. שווים.

הנחת האינדוקציה: נניח שעבור $n=k$ מתקיים $\frac{2A}3+\ldots+\frac{2A}{3^k}=A\left(1-\frac1{3^k}\right)$.

שלב הצעד: מוסיפים את האיבר הבא $\frac{2A}{3^{k+1}}$:

(כי $\frac1{3^k}=\frac3{3^{k+1}}$.) זו הטענה עבור $n=k+1$, ולכן לפי עקרון האינדוקציה היא נכונה לכל $n$ טבעי.

(דרך אחרת: סדרה הנדסית עם $a_1=\frac{2A}3$, $q=\frac13$: $S_n=\frac{\frac{2A}3\left(1-\frac1{3^n}\right)}{\frac23}=A\left(1-\frac1{3^n}\right)$.)

טעות נפוצה: לכתוב $\frac1{3^k}=\frac2{3^{k+1}}$ (להרחיב פי 2 במקום פי 3), לקבל $A\left(1-\frac2{3^{k+1}}+\frac2{3^{k+1}}\right)=A$, ולהסיק שהצעד נכשל.

$OD$ רדיוס לנקודת ההשקה $D$, ולכן $OD\perp CD$: $\angle ODE=90^\circ$.

$BE$ משיק למעגל ב-$B$ ו-$OB$ רדיוס, ולכן $\angle OBE=90^\circ$.

במרובע $OBED$ הקודקודים $B$ ו-$D$ נגדיים, וסכום הזוויות בהם $180^\circ$ - המרובע בר-חסימה.

טעות נפוצה: לחבר את הזוויות הסמוכות $\angle OBE+\angle BED=90^\circ+120^\circ=210^\circ$ (במשולש $CBE$: $\angle C=30^\circ$, ולכן $\angle CEB=60^\circ$ ו-$\angle BED=120^\circ$), לקבל סכום שונה מ-$180^\circ$ ולהסיק שהמרובע אינו בר-חסימה - הזוויות שצריך לחבר הן הנגדיות, ב-$B$ וב-$D$.

$OB=R$ ו-$B$ אמצע $OC$, ולכן $OC=2R$ ו-$CB=R$.

במשולש $ODC$ ($\angle ODC=90^\circ$): $CD=\sqrt{(2R)^2-R^2}=\sqrt3R$.

$EB=ED$ (שני משיקים מ-$E$). נסמן $EB=ED=x$. $E$ נמצאת בין $C$ ל-$D$, ולכן $CE=\sqrt3R-x$.

פיתגורס במשולש $CBE$ ($\angle CBE=90^\circ$):

הזוויות ב-$B$ וב-$D$ ישרות ונשענות על $OE$, ולכן $OE$ קוטר המעגל החוסם:

הרדיוס: $\frac R{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}3R$.

טעות נפוצה: לענות $\frac{2R}{\sqrt3}$ - זה הקוטר $OE$, לא הרדיוס.

תחומי הגדרה: $f$ ו-$k$: $4-x^2\ge0$, כלומר $-2\le x\le2$. $h$: $x(4-x^2)=x(2-x)(2+x)\ge0$ כאשר $x\le-2$ או $0\le x\le2$ - שני קטעים נפרדים, ורק בגרף א יש ענף משמאל ל-$-2$. לכן $h$: גרף א.

$k(x)=x\sqrt{4-x^2}$ שלילית עבור $-2<x<0$ וחיובית עבור $0<x<2$ - כך בגרפים ג ו-ד. ההבדל ביניהם בראשית: $k'(x)=\sqrt{4-x^2}-\frac{x^2}{\sqrt{4-x^2}}$, $k'(0)=2\neq0$ - הגרף חוצה את הראשית באלכסון. לכן $k$: גרף ד (גרף ג שטוח בראשית).

$f(x)=|x|\sqrt{4-x^2}\ge0$ בכל התחום, וחיובית בשני הצדדים של הראשית - זה הגרף היחיד מבין ב, ג, ד שכולו מעל ציר ה-$x$: גרף ב.

טעות נפוצה: לפשט $\sqrt{x^2}=x$, לחשוב ש-$f=k$, ולשייך את $f$ לגרף ד.

הגרף הנותר הוא גרף ג: מוגדר ב-$-2\le x\le2$, שלילי בקטע $-2<x<0$, חיובי בקטע $0<x<2$, ושטוח בראשית.

$\sqrt{4-x^2}>0$ עבור $-2<x<2$, ולכן הסימן של $g$ הוא הסימן של $x^n$. $x^n<0$ עבור $x<0$ רק כאשר $n$ אי-זוגי (כאשר $n$ זוגי $g\ge0$ בכל התחום).

$g'(x)=nx^{n-1}\sqrt{4-x^2}-\frac{x^{n+1}}{\sqrt{4-x^2}}$, ועבור $n\ge2$ $g'(0)=0$ - הגרף שטוח בראשית (ולא חוצה אותה באלכסון כמו גרף ד).

לכן: כל $n$ אי-זוגי, $n\ge3$.

טעות נפוצה: לראות שהגרף שטוח בראשית "כמו $x^2$" ולענות "$n$ זוגי" - עבור $n$ זוגי $g$ אינה שלילית, והגרף הנותר יורד מתחת לציר בקטע $-2<x<0$.

לפי הגרף $f$ יורדת בכל אחד מהקטעים, ולכן $f'<0$ בכל התחום - כל הגרף של $f'$ מתחת לציר ה-$x$.

עבור $x<0$ $f$ קעורה כלפי מטה, ולכן $f'$ יורדת; עבור $x>0$ $f$ קעורה כלפי מעלה, ולכן $f'$ עולה.

כאשר $x\to\pm\infty$ הגרף של $f$ מתקרב לאסימפטוטה $y=1$, ולכן $f'\to0$: אסימפטוטה $y=0$.

ליד $x=0$ הגרף של $f$ תלול מאוד ויורד משני הצדדים, ולכן $f'\to-\infty$ משני הצדדים: אסימפטוטה $x=0$.

סקיצה (לדוגמה):

טעות נפוצה: לסרטט את $f'$ חיובית עבור $x<0$, כי שם $f<1$ "עולה לכיוון" האסימפטוטה - הסימן של $f'$ נקבע לפי עלייה וירידה של $f$, ו-$f$ יורדת גם שם.

$f'$ עולה היכן ש-$f''>0$, כלומר היכן ש-$f$ קעורה כלפי מעלה: $x>0$.

$f'$ יורדת היכן ש-$f''<0$ ($f$ קעורה כלפי מטה): $x<0$.

טעות נפוצה: לכתוב ש-$f'$ יורדת בשני הקטעים כי $f$ יורדת בשניהם - הירידה של $f$ קובעת את הסימן של $f'$, לא את המגמה שלה.

(4): $\int_a^{a+1}f'(x)dx=f(a+1)-f(a)<0$, כי $f$ יורדת עבור $x>0$.

$f$ יורדת עבור $x>0$ ומתקרבת ל-1, ולכן $f(x)>1$ לכל $x>0$, ו-$\int_{a+1}^{a+2}f(x)dx>1$: (2) > (1).

$f$ יורדת, ולכן בכל נקודה של $[a,a+1]$ הגרף גבוה יותר מאשר בנקודה המתאימה (מוזזת ב-1) של $[a+1,a+2]$: (3) > (2).

הסדר: $(4)<(1)<(2)<(3)$.

טעות נפוצה: להחליף בין (2) ל-(3), כאילו האינטגרל על הקטע הימני גדול יותר, ולקבל 4, 1, 3, 2.

האיברים שונים מאפס, ולכן גם ריבועיהם שונים מאפס ואפשר לחלק.

המנה קבועה, ולכן זו סדרה הנדסית עם איבר ראשון $a_1^2$ ומנה $q^2$.

טעות נפוצה: לכתוב שהמנה היא $2q$ (לבלבל בין העלאה בריבוע לכפל ב-2) - למשל עבור $1,3,9,\ldots$ הריבועים $1,9,81$ גדלים פי 9, לא פי 6.

מקרה $q\neq\pm1$:

לפי א, הריבועים הם סדרה הנדסית עם איבר ראשון $a_1^2$ ומנה $q^2\neq1$:

הסדרה $a_1,-a_2,a_3,-a_4,\ldots$ היא סדרה הנדסית עם איבר ראשון $a_1$ ומנה $-q\neq1$ (האיבר ה-$k$ שלה הוא $(-1)^{k-1}a_k=a_1(-q)^{k-1}$). $n$ אי-זוגי, ולכן האיבר ה-$n$ שלה הוא $+a_n$, וסכומה:

(כי $n$ אי-זוגי ו-$(-q)^n=-q^n$.)

שווה לסכום הריבועים.

מקרה $q=1$: כל האיברים $a_1$; סכום הריבועים $na_1^2$, $S_n=na_1$, והסכום המתחלף ($n$ אי-זוגי) הוא $a_1$. המכפלה $na_1^2$.

מקרה $q=-1$: האיברים $a_1,-a_1,a_1,\ldots$; סכום הריבועים $na_1^2$, $S_n=a_1$ ($n$ אי-זוגי), והסכום המתחלף $a_1+a_1+\ldots+a_1=na_1$. המכפלה $na_1^2$.

טעות נפוצה: לחשב את הסכום המתחלף עם המנה $q$, כלומר כאילו הוא $S_n$, ולקבל באגף ימין $S_n^2=\frac{a_1^2(q^n-1)^2}{(q-1)^2}$, שאינו שווה לסכום הריבועים.

לפי ב(1), היחס בין סכום הריבועים לסכום המתחלף הוא $S_n$. לכן $S_n=508$.

$7$ אי-זוגי, כנדרש.

טעות נפוצה: לשכוח את הגורם 4 ולפתור $2^n-1=508$, כלומר $2^n=509$ - ולענות שאין $n$ כזה.

$c_k=a_{2k-1}=a_1q^{2k-2}=a_1\left(q^2\right)^{k-1}$. לכן C היא סדרה הנדסית עם איבר ראשון $a_1$ ומנה $q^2$, וכל איבריה שונים מאפס.

ההוכחה בסעיף ב(1) השתמשה רק בכך שהסדרה הנדסית, שאיבריה שונים מאפס ושמספר האיברים אי-זוגי. לכן היא נכונה גם לסדרה C עם $m$ אי-זוגי:

מציבים $c_k=a_{2k-1}$ (האיבר האחרון $c_m=a_{2m-1}$, בסימן $+$ כי $m$ אי-זוגי) ומקבלים בדיוק את הנוסחה הנתונה. הנוסחה נכונה.

טעות נפוצה: לטעון שב-ב(1) האיברים צריכים להיות עוקבים בסדרה A, ולכן "אי אפשר להשתמש בו" ולענות שהנוסחה אינה נכונה - אבל C עצמה היא סדרה הנדסית, ו-ב(1) חל על כל סדרה הנדסית.

ההסתברויות במשחק אחד: ניצחון $p$, הפסד $2p$, תיקו $1-3p$.

"הפסד אחד לפחות" בשני משחקים - דרך המשלים "אף הפסד":

$p>0$, ולכן $p=0.2$. ההסתברויות: ניצחון 0.2, הפסד 0.4, תיקו 0.4.

טעות נפוצה: לחשב "הפסד אחד בדיוק", $2\cdot2p(1-2p)=3.2p$, ולקבל $p=0.1$ - שוכחים את המקרה של שני הפסדים.

מספר ההפסדים ב-5 משחקים: בינומי עם $n=5$ והסתברות 0.4.

טעות נפוצה: לחשב רק "בדיוק 3" ולקבל $0.2304$.

הדרישה היא על משחקים 1, 2 ו-3 בלבד; במשחקים 4 ו-5 כל תוצאה מתאימה:

טעות נפוצה: לדרוש שבמשחקים 4 ו-5 יואב לא יפסיד ולקבל $0.4^3\cdot0.6^2=0.02304$.

בכל משחק ההסתברות לא לנצח היא $1-0.2=0.8$, ולכן

טעות נפוצה: להשתמש בהסתברות ההפסד במקום הניצחון, $(1-0.4)^5=0.07776$ - "לא ינצח" כולל גם תיקו וגם הפסד.

$A$ - הפסד במשחקים 1-3 ותיקו במשחק 5; $B$ - ניצחון אחד לפחות.

ב-$A$ אין ניצחון במשחקים 1, 2, 3, 5, ולכן ב-$A\cap B$ משחק 4 חייב להיות ניצחון:

$P(B)=1-0.32768=0.67232$.

טעות נפוצה: לקחת את החיתוך כ-$0.4^3\cdot0.4=0.0256$, בלי לדרוש ניצחון במשחק 4, ולקבל $\approx0.0381$.

המרובע CEFO חסום במעגל, ולכן הזווית החיצונית בקודקוד F שווה לזווית הפנימית הנגדית: $\angle EFB=180^\circ-\angle EFO=\angle ECO$.

$OB=OC$ (רדיוסים), ולכן $\angle OCB=\angle OBC$, כלומר $\angle ECO=\angle EBF$ (F על BO).

לכן $\angle EFB=\angle EBF$, ובמשולש EFB: $EF=EB$.

טעות נפוצה: להשוות את הזווית החיצונית $\angle EFB$ לזווית $\angle FOC$, שבקודקוד O הסמוך ל-F. במרובע חסום הזווית החיצונית שווה לזווית הפנימית בקודקוד הנגדי, כלומר ב-C.

D ו-O נמצאות על המעגל החוסם את CEFO, מאותו צד של המיתר CE, ולכן $\angle CDE=\angle COE$ (זוויות היקפיות על CE).

$ED\parallel AB$, ו-D, E על הצלעות CA, CB, ולכן $\angle CDE=\angle CAB$ (זוויות מתאימות).

במעגל הגדול $\angle CAB$ זווית היקפית ו-$\angle COB$ זווית מרכזית, שתיהן על הקשת CB: $\angle CAB=\frac12\angle COB$.

מכאן $\angle COE=\frac12\angle COB$ - הקטע OE חוצה את $\angle COB$.

במשולש שווה-השוקיים OBC ($OB=OC$) חוצה זווית הראש הוא גם גובה, ולכן $OE\perp BC$.

טעות נפוצה: לטעון ש-ED קטע אמצעים במשולש ABC "כי הוא מקביל ל-AB", ומכאן ש-E אמצע BC - קטע מקביל לצלע הוא קטע אמצעים רק אם ידוע שהוא יוצא מאמצע של צלע, וזה לא נתון.

לפי ב(1) $\angle OEC=90^\circ$. זו זווית היקפית במעגל החוסם את CEFO, הנשענת על OC, ולכן OC קוטר של המעגל הזה.

גם D נמצאת על המעגל הזה, ולכן $\angle ODC$ זווית היקפית הנשענת על הקוטר OC: $\angle ODC=90^\circ$, כלומר $OD\perp AC$.

טעות נפוצה: להסיק מ-$\angle OEC=90^\circ$ ש-EO הוא קוטר של מעגל העזר (במקום OC, המיתר שמול הזווית הישרה), ולטעון ש-$\angle EDO=90^\circ$ - בפועל $\angle EDO\neq90^\circ$, והזווית הישרה ב-D היא $\angle ODC$, הנשענת על OC.

לפי ב(2) OC קוטר של המעגל החוסם את CEFO, ולכן מרכזו על הקטע OC, ו-OC הוא הקוטר שלו דרך C.

$\ell$ משיק למעגל הגדול ב-C, ולכן $\ell\perp OC$.

$\ell$ עובר בנקודה C של המעגל הקטן ומאונך לקוטר שלו בקצהו, ולכן הוא משיק למעגל החוסם את CEFO.

טעות נפוצה: לטעון ש-$\ell$ משיק למעגל הקטן רק משום ש-C נקודה משותפת לשני המעגלים, בלי להראות שמרכז המעגל הקטן על OC.

במשולש $ABP$: $\angle APB=180^\circ-\alpha-\beta$, ולכן $\sin\angle APB=\sin(\alpha+\beta)$.

משפט הסינוסים במשולש $ABP$:

$AP=4\cdot PE$, ולכן $PE=\frac14AP$ ו-$AE=AP+PE=\frac54AP$:

טעות נפוצה: לפרש $AP=4\cdot PE$ כאילו $AE=4\cdot PE$ ולכתוב $AE=\frac43AP=\frac{4k\sin\beta}{3\sin(\alpha+\beta)}$.

$AE\perp BD$, ולכן $\alpha+\beta=90^\circ$, ולפי סעיף א: $BP=k\sin\alpha$, $AE=\frac54k\cos\alpha$.

$BP$ הוא הגובה לצלע $AE$ במשולש $ABE$:

$2\alpha\approx73.74^\circ$ או $2\alpha\approx106.26^\circ$, כלומר $\alpha\approx36.87^\circ$ או $\alpha\approx53.13^\circ$.

$\alpha<\beta=90^\circ-\alpha$, ולכן $\alpha<45^\circ$: $\alpha\approx36.87^\circ$ (ואז $\sin\alpha=0.6$, $\cos\alpha=0.8$).

טעות נפוצה: לכתוב $\sin\alpha\cos\alpha=\sin2\alpha$ (בלי החצי), לקבל $\sin2\alpha=0.48$ ו-$\alpha\approx14.34^\circ$.

נסמן ב-$R_1$ את רדיוס המעגל החוסם את $BDC$ וב-$R_2$ את רדיוס המעגל החוסם את $BDA$.

משפט הסינוסים המורחב: $2R_1=\frac{BC}{\sin\angle BDC}$, $2R_2=\frac{AB}{\sin\angle BDA}$.

$\angle BDC$ ו-$\angle BDA$ צמודות, ולכן הסינוסים שווים ו-$\frac{R_1}{R_2}=\frac{BC}{AB}$.

במשולש ישר הזווית $BPE$: $BP=k\sin\alpha=0.6k$, $PE=\frac14AP=\frac14k\cos\alpha=0.2k$:

$AE$ תיכון, ולכן $BC=2BE\approx1.265k$, ו-$\frac{R_1}{R_2}=\frac{BC}{AB}\approx1.265$.

טעות נפוצה: לחשב $BE$ כסכום הניצבים $BP+PE=0.8k$ ולקבל יחס $1.6$.