מתכונת במתמטיקה 571 - מתכונת 9 ברמת בגרות

נסמן את הפרש הסדרה ב-$d>0$ (הסדרה עולה). אז $a_1+a_4=2a_1+3d=a_2+a_3$.

סכום הזוויות במרובע $360^\circ$, ושני הסכומים שווים, ולכן $a_1+a_4=a_2+a_3=180^\circ$.

$\angle A+\angle D=a_1+a_4=180^\circ$. הזוויות A ו-D נמצאות בשני קצות הצלע AD ובאותו צד שלה - הן זוויות חד-צדדיות בין הישרים AB ו-DC עם החותך AD. סכומן $180^\circ$, ולכן $AB\parallel DC$.

כדי שהמרובע יהיה טרפז ולא מקבילית, צריך להראות ש-$AD$ ו-$BC$ אינם מקבילים: $\angle A+\angle B=a_1+a_2=2a_1+d$, וזה קטן מ-$a_3+a_4=2a_1+5d$. מאחר שסכום שני הזוגות הוא $360^\circ$, $a_1+a_2<180^\circ$, ולכן $AD\nparallel BC$.

יש במרובע זוג אחד בדיוק של צלעות מקבילות - ABCD טרפז.

טעות נפוצה: להשתמש ב-$\angle B+\angle C=a_2+a_3=180^\circ$ כדי להסיק ש-$AD\parallel BC$ ולענות שהמרובע מקבילית - זוויות B ו-C נמצאות על הצלע BC, ולכן גם הן מראות ש-$AB\parallel DC$, ולא ש-$AD\parallel BC$.

בקומה ה-$k$ מלמעלה יש מלבן של $k\times(k+1)$ קוביות, כלומר $k(k+1)$ קוביות (במגדל הנתון: 2, 6, 12, 20, 30).

במגדל בן 8 קומות יש $1\cdot2+2\cdot3+\ldots+8\cdot9$ קוביות. מציבים $n=8$ בנוסחה:

טעות נפוצה: להציב $n=9$ (כי בקומה התחתונה יש מלבן $8\times9$) ולקבל $\frac{9\cdot10\cdot11}{3}=330$ - $n$ הוא מספר הקומות.

במגדל בן 12 קומות יש את הקומות $1\cdot2,\ldots,12\cdot13$, ובמגדל בן 60 קומות - את הקומות $1\cdot2,\ldots,60\cdot61$.

צריך להוסיף את הקומות $13\cdot14,\ldots,60\cdot61$ - הפרש הסכומים:

טעות נפוצה: לחסר את הסכום עד הקומה ה-13, $75640-910=74730$ - כך לא נספרת הקומה ה-13, שגם היא חסרה במגדל.

$\sin(x+\pi)=-\sin x$.

$\cos\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=\cos x\cos\frac{\pi}{2}-\sin x\sin\frac{\pi}{2}=-\sin x$.

לכן הסוגריים שווים ל-$-2\sin x$, ובריבוע: $4\sin^2x$.

$\cos(-x)=\cos x$, ולכן $4(\cos(-x))^2=4\cos^2x$.

$f(x)=1$ לכל $x$, ולכן אין לגרף נקודות חיתוך עם ציר ה-$x$.

טעות נפוצה: לכתוב $\cos\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=\sin x$, כך שהסוגריים מתאפסים ו-$f(x)=4\cos^2x-3$; ואז לענות שיש נקודות חיתוך, למשל $x=\frac{\pi}{6}$.

$\frac{1}{h(x)}$ מוגדרת כאשר $h(x)$ מוגדרת וגם $h(x)\neq0$.

$h$ מוגדרת עבור $x\neq2$, $x\neq5$, ומתאפסת רק בנקודה $E(1,0)$.

תחום ההגדרה: $x\neq1$, $x\neq2$, $x\neq5$.

טעות נפוצה: לכתוב רק $x\neq2$, $x\neq5$ - ולשכוח שב-$x=1$ המכנה $h(x)$ מתאפס.

בנקודת מפגש $h^2(x)=1$, כלומר $h(x)=1$ או $h(x)=-1$.

ענף שמאלי ($x<2$): הגרף יורד מ-0 (האסימפטוטה $y=0$) עד המינימום $-1$ בנקודה D, ואז עולה דרך E ל-$+\infty$ (ליד $x=2$). הערך $-1$ מתקבל רק ב-D, והערך 1 מתקבל פעם אחת (בעלייה, אחרי E). 2 נקודות.

ענף אמצעי ($2<x<5$): הגרף עולה מ-$-\infty$ עד המקסימום $-0.5$ בנקודה F ויורד ל-$-\infty$. מאחר ש-$-1<-0.5$, הערך $-1$ מתקבל פעמיים (פעם בעלייה ופעם בירידה); הערך 1 לא מתקבל. 2 נקודות.

ענף ימני ($x>5$): אין נקודות קיצון ואין חיתוך עם ציר ה-$x$, ולכן הגרף יורד מ-$+\infty$ ל-0 ונשאר חיובי. הערך 1 מתקבל פעם אחת. נקודה אחת.

בסך הכול: 5 נקודות מפגש.

טעות נפוצה: לפתור רק $h(x)=1$ ולענות 2 נקודות - הפתרונות של $h(x)=-1$ (ב-D ופעמיים בענף האמצעי) נשכחים.

נסמן ב-$q$ את מנת הסדרה.

$a_3+a_4+\dots+a_{3n}=q^2\left(a_1+a_2+\dots+a_{3n-2}\right)$ (כל איבר בסכום הראשון גדול פי $q^2$ מהאיבר שנמצא שני מקומות לפניו), ולכן $q^2=9$, ומאחר שהאיברים חיוביים: $q=3$.

$n$ האיברים הראשונים: $a_1,\dots,a_n$. $n$ האיברים האחרונים: $a_{2n+1},\dots,a_{3n}$. כל אחד מהאחרונים רחוק $2n$ מקומות מהאיבר המתאים בהתחלה ($a_{2n+1}=q^{2n}a_1$), ולכן:

$2n=8$, כלומר $n=4$.

טעות נפוצה: לחשוב שההפרש בין המקומות הוא $n$ (כמו בין שליש לשליש הסמוך), לכתוב $3^n=6561$ ולקבל $n=8$.

$a_{k+1}=3a_k$, ולכן:

היחס קבוע, ולכן B סדרה הנדסית שמנתה $\frac19$.

טעות נפוצה: לחשוב שהמכפלה $a_ka_{k+1}$ גדלה פי $q$ בכל צעד (כמו $a_k$), ולענות שהמנה היא $\frac13$ - בפועל $a_{k+1}a_{k+2}=q^2\cdot a_ka_{k+1}$.

$b_1=\frac1{3a_1^2}$, ומנת B היא $\frac19$, ולכן לתת-הסדרות במקומות הזוגיים והאי-זוגיים המנה היא $\frac1{81}$.

$b_2=\frac{b_1}9$, ולאחר הכפלה ב-5:

$\frac1{3a_1^2}=\frac43$, כלומר $a_1^2=\frac14$, ו-$a_1>0$: $a_1=\frac12$.

טעות נפוצה: להשתמש במנה $\frac19$ גם לתת-הסדרות, לקבל $\frac98b_1-\frac58b_1=\frac12b_1=\frac35$, $b_1=\frac65$, ומכאן $a_1=\sqrt{\frac5{18}}\approx0.53$.

נסמן ב-$g$ את מספר הבנות המתנדבות. מספר הבנות שאינן מתנדבות: $1\frac12g$, ולכן מספר הבנות: $g+1.5g=2.5g$.

טעות נפוצה: לחלק במספר כל המתנדבים ולקבל $\frac{2b}{2b+b}=\frac23$ (כאשר $b$ מספר הבנים המתנדבים) - זו ההסתברות שמתנדב שנבחר הוא בת.

מספר המשתתפים גדול, ולכן הבחירות כמעט בלתי תלויות, ובכל בחירה ההסתברות לבת מתנדבת היא $\frac25$ (סעיף א).

נוסחת ברנולי עם $n=4$, $k=3$:

טעות נפוצה: לשכוח את המקדם $\binom43=4$ ולקבל $\frac{24}{625}$.

טבלת הסתברויות מתוך כלל המשתתפים:

בן מתנדב: $p$. בת מתנדבת: פי 2 - $2p$. בת שאינה מתנדבת: פי $1\frac12$ מהבנות המתנדבות - $1.5\cdot2p=3p$.

סכום התאים 1, ולכן בן שאינו מתנדב: $1-p-2p-3p=1-6p$.

טעות נפוצה: להכפיל את $1\frac12$ ב-$p$ (הבנים המתנדבים) במקום ב-$2p$, ולקבל $1-p-2p-1.5p=1-4.5p$.

כל תא בטבלה הוא הסתברות של קבוצה שקיימת בסקר, ולכן חיובי.

$p>0$ (ואז גם $2p$, $3p$ חיוביים), ו-$1-6p>0$, כלומר $p<\frac16$.

לכן $0<p<\frac16$.

טעות נפוצה: לבדוק רק את התאים $p$, $2p$, $3p$ ולקבל $0<p<\frac13$ - שוכחים את התא $1-6p$.

שתי ההסתברויות מותנות באותו מאורע - "אינו מתנדב" - ולכן המכנה $P(\text{לא מתנדב})$ משותף, והיחס בין ההסתברויות הוא היחס בין התאים:

$\frac2{15}<\frac16$, ולכן הערך בתחום.

טעות נפוצה: לשים את הפי 2 בצד הלא נכון, $2\cdot3p=1-6p$, ולקבל $p=\frac1{12}$.

$P(\text{מתנדב})=p+2p=3p=3\cdot\frac2{15}=\frac25$.

לפי סעיף א, $P(\text{מתנדב}\mid\text{בת})=\frac25$.

ההסתברויות שוות: הידיעה שהנבחרת בת אינה משנה את ההסתברות להתנדב, ולכן המאורעות בלתי תלויים.

(בדיקה: אצל הבנים $P(\text{מתנדב}\mid\text{בן})=\frac{p}{1-5p}=\frac{2/15}{1/3}=\frac25$ - אותה הסתברות.)

טעות נפוצה: להשוות את $P(\text{בת}\mid\text{מתנדב})=\frac23$ ל-$P(\text{מתנדב})=\frac25$ ולהסיק שהמאורעות תלויים - משווים הסתברות מותנית להסתברות של אותו מאורע: $P(\text{מתנדב}\mid\text{בת})$ מול $P(\text{מתנדב})$.

$\angle EAB$ היא זווית בין המשיק $AE$ למיתר $AB$, ולכן היא שווה לזווית ההיקפית הנשענת על הקשת $AB$: $\angle EAB=\angle ACB$.

$\angle ABC$ היא זווית חיצונית למשולש $AEB$ (כי $E$ על המשך $CB$), ולכן $\angle ABC=\angle AEB+\angle EAB$.

מכאן $\angle AEB=\angle ABC-\angle EAB=\angle ABC-\angle ACB$.

טעות נפוצה: לשייך את הזווית בין המשיק $AE$ למיתר $AB$ לזווית $\angle ABC$ - קודקוד הזווית ההיקפית המתאימה צריך להיות על הקשת שמול המיתר, כלומר $C$.

נסמן $x=\angle ACB$, ולכן $\angle ABC=2x$.

לפי א: $\angle AEB=2x-x=x$.

במשולש $AEC$: $\angle AEC=x=\angle ACE$, ולכן $AE=AC$ (מול זוויות שוות צלעות שוות).

טעות נפוצה: להסיק מ-$\angle AEB=\angle EAB$ ש-$AE=AB$ - השוויון הזה נותן $EB=AB$ (הצלעות שמול הזוויות השוות); את $AE=AC$ מקבלים במשולש $AEC$.

במשולש $ABC$: $\angle BAC=180^\circ-3x$. לפי משפט הסינוסים:

(כי $\sin3x=\sin2x\cos x+\cos2x\sin x=\sin x(3-4\sin^2x)$.)

$3-4\sin^2x=\frac54$, ולכן $\sin^2x=\frac{7}{16}$, ו-$\cos x=\frac34$ ($x$ חדה, כי $3x<180^\circ$).

טעות נפוצה: לשכוח להוציא שורש ולכתוב $\cos x=1-\sin^2x=\frac{9}{16}$, ולענות $\frac{AC}{AB}=2\cdot\frac{9}{16}=\frac98$.

למשולשים $ABF$ ו-$ACF$ גובה משותף מ-$A$ לישר $BC$, ולכן יחס השטחים הוא $\frac{BF}{FC}$.

$AF$ חוצה את הזווית $A$, ולפי משפט חוצה הזווית: $\frac{BF}{FC}=\frac{AB}{AC}=\frac23$.

טעות נפוצה: להתייחס למשולשים כדומים ולהעלות את יחס הצלעות בריבוע, $\frac49$ - יש להם גובה משותף, והם אינם דומים.

לפי ב(3): $S_{ACF}=\frac32S$, ולכן $S_{ABC}=S+\frac32S=\frac52S$.

המשולשים $EAB$ ו-$ECA$ דומים: הזווית $E$ משותפת, ו-$\angle EAB=\angle ECA=x$ (סעיף א). יחס הדמיון $\frac{AB}{CA}=\frac23$.

$S_{ABC}=S_{ECA}-S_{EAB}=\frac59S_{ECA}$, ולכן $S_{AEC}=\frac95\cdot\frac52S=\frac92S$.

טעות נפוצה: לא להעלות את יחס הדמיון בריבוע: $S_{EAB}=\frac23S_{ECA}$, ואז $S_{ABC}=\frac13S_{ECA}$ ו-$S_{AEC}=\frac{15}{2}S$.

המשולש ABD חסום במעגל שרדיוסו $R$, והצלע BD נמצאת מול הזווית $\angle DAB=\alpha$.

לפי משפט הסינוסים המורחב:

טעות נפוצה: להשתמש בזווית המרכזית שנשענת על BD במקום בזווית ההיקפית, ולכתוב $BD=2R\sin2\alpha$.

במרובע חסום $\angle BCD=180^\circ-\alpha$, ו-$\cos(180^\circ-\alpha)=-\cos\alpha$.

מכפלת הצלעות: $BC\cdot CD=R^2\sqrt2\cdot\sqrt{2-\sqrt3}=R^2\sqrt{4-2\sqrt3}=R^2\sqrt{(\sqrt3-1)^2}=(\sqrt3-1)R^2$.

משפט הקוסינוסים במשולש BCD:

מציבים $BD=2R\sin\alpha$ ומחלקים ב-$R^2$:

אגף שמאל מתפרק: $(2\cos\alpha-1)(2\cos\alpha+\sqrt3)=0$ (בדיקה: $4\cos^2\alpha+2\sqrt3\cos\alpha-2\cos\alpha-\sqrt3$).

$\cos\alpha=\frac12$, כלומר $\alpha=60^\circ$; או $\cos\alpha=-\frac{\sqrt3}{2}$, כלומר $\alpha=150^\circ$ - נפסל, כי $\alpha$ חדה.

טעות נפוצה: לכתוב $\cos(180^\circ-\alpha)=\cos\alpha$, לקבל $4\cos^2\alpha-2(\sqrt3-1)\cos\alpha-\sqrt3=0$, כלומר $(2\cos\alpha+1)(2\cos\alpha-\sqrt3)=0$, ולענות $\alpha=30^\circ$.

BD חוצה את הזווית ABC, ולכן $\angle ABD=\angle CBD$.

במשולש BCD (חסום במעגל שרדיוסו $R$) הצלע CD נמצאת מול הזווית CBD:

זה $\sin15^\circ$: $\sin15^\circ=\sin(45^\circ-30^\circ)=\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}$, ו-$\left(\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}\right)^2=\frac{8-2\sqrt{12}}{16}=\frac{2-\sqrt3}{4}$.

$\angle CBD<\angle CBD+\angle BDC=\alpha=60^\circ$, ולכן $\angle CBD=15^\circ$ (ולא $165^\circ$).

לכן $\angle ABD=15^\circ$.

טעות נפוצה: להשתמש בצלע BC: $\sin\angle BDC=\frac{R\sqrt2}{2R}=\frac{\sqrt2}{2}$, ולענות $\angle ABD=45^\circ$ - זו הזווית שמול BC, לא הזווית CBD.

במשולש ABD: $\angle BAD=60^\circ$, $\angle ABD=15^\circ$, ולכן $\angle ADB=180^\circ-60^\circ-15^\circ=105^\circ$.

לפי משפט הסינוסים $AB=2R\sin105^\circ=2R\sin75^\circ=2R\cos15^\circ$.

הגובה מ-A ל-BD: $h_1=AB\sin\angle ABD=2R\cos15^\circ\sin15^\circ$. לפי זהות הזווית הכפולה $2\sin15^\circ\cos15^\circ=\sin30^\circ$, ולכן:

המשולש BOD שווה-שוקיים, והזווית המרכזית $\angle BOD=2\alpha=120^\circ$. הגובה מ-O חוצה אותה:

(כלומר A ו-O נמצאות באותו מרחק מ-BD ובאותו צד שלו: $AO\parallel BD$.)

טעות נפוצה: להציב במשפט הסינוסים את הזווית שליד A במקום הזווית שמול AB, כלומר $AB=2R\sin60^\circ=R\sqrt3$, ולקבל $\frac{h_1}{h_2}=\frac{3\sqrt2-\sqrt6}{2}\approx0.897$.

המכנה $(x-a)^2$ מתאפס רק ב-$x=a$. תחום ההגדרה: $x\neq a$.

טעות נפוצה: להוציא מהתחום גם את $x=\pm2$ (אפסי המונה) - שם הפונקציה מוגדרת ושווה 0.

ב-$x=a$ המכנה מתאפס והמונה שווה $a^2-4$. מאחר ש-$0<a<2$, $a^2-4<0\neq0$, ולכן $x=a$ אסימפטוטה אנכית.

מעלות המונה והמכנה שוות (2), והמקדמים המובילים שניהם 1: $y=1$.

טעות נפוצה: לכתוב $y=0$, כאילו מעלת המכנה $(x-a)^2$ גבוהה ממעלת המונה - שתיהן 2.