מתכונת במתמטיקה 571 - מתכונת 11 ברמת בגרות

מעבירים את המיתר $AD$.

הנקודות $P$, $A$, $B$ על ישר אחד, ולכן $\sphericalangle BAD$ היא זווית חיצונית של המשולש $APD$:

$\sphericalangle BAD$ היא זווית היקפית הנשענת על הקשת $BD$, ולכן $\sphericalangle BAD=\frac{BD}{2}$.

$C$ על הקטע $PD$, ולכן $\sphericalangle ADP=\sphericalangle ADC$ - זווית היקפית הנשענת על הקשת $AC$: $\sphericalangle ADC=\frac{AC}{2}$.

$A$ על הקטע $PB$, ולכן $\sphericalangle APD=\sphericalangle BPD$. מכאן:

טעות נפוצה: להעתיק את הנוסחה של מיתרים הנחתכים בתוך המעגל ולכתוב $\sphericalangle BPD=\frac{BD+AC}{2}$. כאן $P$ מחוץ למעגל, $\sphericalangle BPD$ היא אחת הזוויות הפנימיות במשולש $APD$, ולכן הקשת $AC$ מופחתת ולא מתווספת.

בודקים ערכים קטנים של $n$.

$n=1$: אגף שמאל $\frac{1}{1\cdot3}=\frac13$. טענה I: $\frac13$; טענה II: $\frac13$. הערך $n=1$ לא מכריע.

$n=2$: אגף שמאל $\frac13+\frac1{15}=\frac{6}{15}=\frac25$. טענה I: $\frac24=\frac12\neq\frac25$; טענה II: $\frac25$.

לכן טענה I אינה נכונה, והטענה הנכונה היא טענה II.

הוכחה באינדוקציה של טענה II:

בסיס: עבור $n=1$ שני האגפים שווים ל-$\frac13$.

הנחה: נניח שעבור $n=k$ מתקיים $\frac{1}{1\cdot3}+...+\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\frac{k}{2k+1}$.

צעד: צריך להראות שעבור $n=k+1$ הסכום שווה ל-$\frac{k+1}{2(k+1)+1}=\frac{k+1}{2k+3}$.

האיבר הבא הוא $\frac{1}{(2(k+1)-1)(2(k+1)+1)}=\frac{1}{(2k+1)(2k+3)}$. לפי ההנחה:

מפרקים: $2k^2+3k+1=(2k+1)(k+1)$, ולכן הסכום שווה ל-$\frac{k+1}{2k+3}$.

לפי עקרון האינדוקציה, טענה II נכונה לכל $n$ טבעי.

טעות נפוצה: לבדוק רק את $n=1$, שבו שתי הטענות נותנות $\frac13$, ולבחור בטענה I. טענה I נכשלת כבר ב-$n=2$: היא נותנת $\frac12$, אבל הסכום הוא $\frac25$.

שתי פונקציות זהות אם יש להן אותו תחום הגדרה ואותו ערך בכל נקודה בתחום.

I. $f(x)=\frac{\sqrt{x+2}}{\sqrt{x-1}}$: המונה מוגדר עבור $x\ge-2$, והמכנה מוגדר ושונה מ-0 עבור $x>1$. התחום: $x>1$.

$h(x)=\sqrt{\frac{x+2}{x-1}}$ מוגדרת כאשר $\frac{x+2}{x-1}\ge0$ (ו-$x\neq1$): $x\le-2$ או $x>1$.

למשל $h(-3)=\sqrt{\frac{-1}{-4}}=\frac12$, אבל $f(-3)$ אינו מוגדר. התחומים שונים, ולכן הטענה אינה נכונה.

II. $f(x)=(x+3)\sqrt{x+3}$ מוגדרת עבור $x\ge-3$. $h(x)=\sqrt{(x+3)^3}$ מוגדרת כאשר $(x+3)^3\ge0$, כלומר $x\ge-3$. התחומים שווים.

בתחום הזה $x+3\ge0$, ולכן:

אותו תחום ואותם ערכים - הפונקציות זהות, והטענה נכונה.

טעות נפוצה: לכתוב $\sqrt{(x+3)^2}=|x+3|$ ולקבוע מיד שטענה II אינה נכונה (כמו בפונקציה $x\sqrt{x+1}$). כאן בכל תחום ההגדרה $x+3\ge0$, ולכן $|x+3|=x+3$.

לפי המשפט היסודי של החדו"א, $h'(a)=f(a)$. זה נכון גם כאשר $a$ קטן מהגבול הקבוע 3: החלפת סדר הגבולות משנה את סימן הערך של האינטגרל, אבל הנגזרת לפי הגבול העליון $a$ היא עדיין $f(a)$.

$h$ עולה כאשר $f(a)>0$.

לפי הגרף, $f(x)<0$ בתחום $-4<x<-2$ ו-$f(x)>0$ בתחום $-2<x<4$.

$h$ מוגדרת עבור $-4\le a<3$, ולכן $h$ עולה בתחום $-2<a<3$ (ויורדת בתחום $-4<a<-2$).

טעות נפוצה: לחשוב שכיוון ש-$a<3$ האינטגרל "הפוך" ולכן $h'(a)=-f(a)$, ולקבל ש-$h$ עולה בתחום $-4<a<-2$.

$h''(a)=f'(a)$: $h$ קעורה כלפי מעלה כאשר $f$ עולה, וכלפי מטה כאשר $f$ יורדת.

לפי הגרף, ל-$f$ מינימום ב-$x=-3$ ומקסימום ב-$x=1$: $f$ יורדת בתחום $-4<x<-3$, עולה בתחום $-3<x<1$, ויורדת בתחום $1<x<6$.

עם התנאי $a<3$:

קעורה כלפי מעלה: $-3<a<1$. קעורה כלפי מטה: $-4<a<-3$ ו-$1<a<3$.

טעות נפוצה: לשכוח את התנאי $a<3$ ולכתוב קעירות כלפי מטה בתחום $1<a<6$. עבור $a\ge3$ הפונקציה $h$ כלל לא הוגדרה.

$b_1=a_1$, $b_3=a_2$, $b_5=a_3$, ..., ולכן $a_2=b_1q^2$: מנת סדרה I היא $q^2$.

$q^2=4r^2$, ולכן $q=2r$ או $q=-2r$.

בסדרה II סימני האיברים מתחלפים, ולכן המנה שלילית: $q=-2r$.

טעות נפוצה: לבחור $q=2r$ כמו בסדרה יורדת - עם מנה חיובית כל האיברים באותו סימן, והסימנים לא מתחלפים.

מ-$0<r<\frac12$: $0<2r<1$, ולכן $|q|=2r<1$ - סדרה II מתכנסת.

מנת סדרה I היא $4r^2=q^2$, ו-$0<4r^2<1$ - גם סדרה I מתכנסת.

טעות נפוצה: לבדוק את התנאי על $q$ בלי ערך מוחלט, "$q=-2r<1$ תמיד", ולהסיק התכנסות גם עבור $r$ גדול - התנאי הוא $|q|<1$ (למשל $r=0.8$ נותן $q=-1.6$, והסדרה מתבדרת).

$b_1=a_1$, ולכן

(ואז $r=\frac14$, בתחום הנתון, ומנת סדרה I היא $\frac14$.)

טעות נפוצה: לפרק בטעות $1-q^2=(1-q)^2$, לקבל $\frac{S_{II}}{S_I}=1-q=\frac12$ ומכאן $q=\frac12$ - מנה חיובית, בסתירה לכך שהסימנים מתחלפים.

המקומות האי-זוגיים $b_1, b_3, b_5, \ldots$: איבר ראשון $b_1$, מנה $q^2=\frac14$:

המקומות $b_3, b_6, b_9, \ldots$: איבר ראשון $b_3=b_1q^2=\frac94$, מנה $q^3=-\frac18$:

טעות נפוצה: לאבד את הסימן ולכתוב $q^3=\frac18$, ולקבל $\frac{9/4}{7/8}=\frac{18}{7}$.

האיברים שאחרי $b_4$: סדרה הנדסית שאיברה הראשון $b_5=b_4q$ ומנתה $q$, וסכומה $\frac{b_4q}{1-q}$.

(היחס שלילי: $b_4$ שלילי, וסכום האיברים שאחריו חיובי.)

טעות נפוצה: להציב $|q|=\frac12$ במקום $q=-\frac12$ ולקבל יחס $\frac{1/2}{1/2}=1$.

נתבונן באיבר כללי $a_n$ של סדרה הנדסית מתכנסת עם מנה $q$ ($0<|q|<1$).

סכום האיברים מ-$a_n$ והלאה: $\frac{a_n}{1-q}$. סכום האיברים שאחרי $a_n$ (מ-$a_{n+1}=a_nq$): $\frac{a_nq}{1-q}$.

התוצאה אינה תלויה ב-$n$, והיא המנה.

טעות נפוצה: לכתוב את סכום האיברים שאחרי $a_n$ כ-$\frac{a_{n+1}}{1-q^2}$ (לבלבל עם תת-סדרה בקפיצות של 2) ולקבל יחס $\frac{q}{1+q}$.

נסמן ב-$J$ מגורים בירושלים, ב-$N$ מגורים בנתניה וב-$S$ לקוח מרוצה.

$P(J\cap S)=\frac34p$. מהנתון $P(J|S)=\frac{P(J\cap S)}{P(S)}=\frac35$, ולכן $P(S)=\frac{\frac34p}{\frac35}=\frac54p$.

$P(N\cap S)=P(S)-P(J\cap S)=\frac54p-\frac34p=\frac12p$.

$P(N\cap\bar S)=2\cdot P(N\cap S)=2\cdot\frac12p=p$, ולכן $P(N)=\frac12p+p=\frac32p$.

$P(J)+P(N)=1$: $p+\frac32p=1$, ולכן $p=\frac25$.

$P(S)=\frac54\cdot\frac25=\frac12$, כלומר 50% מן הלקוחות מרוצים.

$P(J\cap\bar S)=p-\frac34p=\frac14p=0.1$, $P(N\cap\bar S)=p=0.4$, ו-$P(\bar S)=0.5$.

מבין הלקוחות שאינם מרוצים: $P(N|\bar S)=\frac{0.4}{0.5}=0.8$, $P(J|\bar S)=\frac{0.1}{0.5}=0.2$.

מספר הלקוחות גדול מאוד, ולכן הבחירות בלתי תלויות: $0.8\cdot0.2=0.16=\frac4{25}$.

מספר הלקוחות גדול מאוד, ולכן לכל אחד מששת הלקוחות, באופן בלתי תלוי, ההסתברות שהוא גר בנתניה היא $0.8$. לפי נוסחת ברנולי:

$P(\le4)=1-P(5)-P(6)=1-\binom65\cdot0.8^5\cdot0.2-0.8^6=1-0.393216-0.262144=0.34464\approx0.345$.

$AB=AC$, ולכן במשולש $ABC$ זוויות הבסיס שוות: $\angle ABC=\angle ACB$.

$\angle AEB$ ו-$\angle ACB$ הן זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת $AB$ (הנקודות $E$ ו-$C$ באותו צד של $AB$), ולכן $\angle AEB=\angle ACB=\angle ABC$.

המרובע $ABCE$ חסום במעגל, ולכן הזוויות הנגדיות $\angle ABC$ ו-$\angle AEC$ משלימות זו את זו: $\angle AEC=180^\circ-\angle ABC$.

$A$, $E$, $D$ על ישר אחד, ולכן $\angle CED=180^\circ-\angle AEC=\angle ABC$.

טעות נפוצה: לכתוב שבמרובע חסום זוויות נגדיות שוות, $\angle AEC=\angle ABC$, ולקבל $\angle CED=180^\circ-\angle ABC$ - זווית קהה במקום זווית הבסיס החדה.

$\angle AEB=\angle CED$ (סעיף א).

$B$, $C$, $D$ על ישר אחד, ולכן $\angle ECD$ היא זווית חיצונית של המרובע החסום $ABCE$ בקודקוד $C$: $\angle ECD=180^\circ-\angle BCE$.

במרובע החסום $\angle BAE+\angle BCE=180^\circ$ (זוויות נגדיות), ולכן $\angle ECD=\angle BAE$.

שתי זוויות שוות, ולכן $\Delta AEB\sim\Delta CED$ (ז.ז.), בהתאמה $A\leftrightarrow C$, $E\leftrightarrow E$, $B\leftrightarrow D$.

טעות נפוצה: לבחור כזוג השני את $\angle ABE=\angle ACE$ (זוויות היקפיות על הקשת $AE$) - $\angle ACE$ אינה זווית של המשולש $CED$, ולכן השוויון הזה לא מוכיח את הדמיון.

מהדמיון שבסעיף ב, לפי ההתאמה $A\leftrightarrow C$, $E\leftrightarrow E$, $B\leftrightarrow D$:

$AB=AC$ (שוקיים), ולכן $\frac{AE}{CE}=\frac{AC}{CD}$, ובכפל בהצלבה: $AE\cdot CD=AC\cdot CE$.

טעות נפוצה: לכתוב את היחס הפוך באחד האגפים, $\frac{AE}{CE}=\frac{CD}{AB}$, ולקבל $AE\cdot AC=CE\cdot CD$ - שוויון שגוי (למשל $AE>CE$ וגם $AC>CD$).

יחס השטחים של משולשים דומים הוא ריבוע יחס הדמיון: $\left(\frac{AB}{CD}\right)^2=4$, ולכן $\frac{AB}{CD}=2$ ו-$CD=\frac{10}{2}=5$.

דמיון נוסף: $\Delta DEC\sim\Delta DBA$ - הזווית $\angle D$ משותפת, ו-$\angle DEC=\angle DBA$ (זווית חיצונית של המרובע החסום $ABCE$ בקודקוד $E$ שווה לזווית הפנימית שמולה, $\angle ABC$). ההתאמה: $D\leftrightarrow D$, $E\leftrightarrow B$, $C\leftrightarrow A$, ויחס הדמיון $\frac{DC}{DA}$. לכן:

נחשב את $DA$: הגובה $AM$ לבסיס $BC$ במשולש שווה שוקיים הוא גם תיכון, ולכן $MC=6$, ולפי פיתגורס במשולש $AMC$: $AM=\sqrt{10^2-6^2}=8$.

$MD=MC+CD=6+5=11$, ולפי פיתגורס במשולש $AMD$:

טעות נפוצה: לשכוח להוציא שורש מיחס השטחים ולכתוב $\frac{AB}{CD}=4$; אז $CD=2.5$, $MD=8.5$, $DA^2=64+72.25=136.25$, ומקבלים $\frac{136.25}{6.25}=21.8$.

במשולש ישר הזווית $ACD$ ($\sphericalangle C=90^\circ$) הקטע $CM$ הוא תיכון ליתר $AD$, ולכן $CM=\frac{AD}{2}$.

במשולש $ADB$ הקטע $ME$ מחבר את אמצעי $AD$ ו-$AB$, ולכן $ME=\frac{DB}{2}$.

$AD=DB$, ולכן $ME=CM$.

טעות נפוצה: לכתוב $CM=\frac{AB}{2}$ (לבלבל עם התיכון ליתר של המשולש הגדול $ABC$, שהוא $CE$) ולקבל $CM=2\sqrt5x\approx4.47x$, שאינו שווה ל-$ME=2.5x$.

$CD=3x$, $AD=DB=5x$.

$\cos\sphericalangle ADC=\frac{CD}{AD}=\frac35$, ולכן $\sphericalangle ADC\approx53.13^\circ$.

$\sphericalangle ADC$ זווית חיצונית למשולש שווה השוקיים $ADB$, ולכן $\sphericalangle ABC=\frac{\sphericalangle ADC}{2}\approx26.57^\circ$.

טעות נפוצה: לכתוב $\sin\sphericalangle ADC=\frac35$ ולקבל $\sphericalangle ADC\approx36.87^\circ$ ו-$\sphericalangle ABC\approx18.43^\circ$.

$DE$ תיכון לבסיס במשולש שווה השוקיים $ADB$, ולכן $DE\perp AB$: $\sphericalangle AED=90^\circ$.

$\sphericalangle ACD+\sphericalangle AED=180^\circ$, ולכן $ACDE$ בר חסימה.

הזוויות $C$ ו-$E$ ישרות ונשענות על $AD$, ולכן $AD$ קוטר במעגל החוסם, ומרכזו אמצע $AD$ - הנקודה $M$. (ואכן $MA=MD=MC=ME=2.5x$.)

טעות נפוצה: לקבוע שמרכז המעגל הוא $E$, אמצע היתר $AB$ של המשולש $ABC$ - זה מרכז המעגל החוסם את $ABC$; הקוטר של המעגל דרך $A,C,D,E$ הוא $AD$.

תנאי: סכומי זוגות הצלעות הנגדיות שווים.

$CM=ME=2.5x$, $DC=3x$.

$AC=4x$, $BC=8x$, $AB=\sqrt{16x^2+64x^2}=4\sqrt5x$, $EB=2\sqrt5x$, ולכן $ED=\sqrt{25x^2-20x^2}=\sqrt5x$.

$CM+ED=(2.5+\sqrt5)x\approx4.74x$, $ME+DC=5.5x$. לא שווים - אי אפשר לחסום מעגל. הטענה אינה נכונה.

טעות נפוצה: להסיק מ-$CM=ME$ שהמרובע דלתון ולכן חוסם מעגל - דלתון דורש גם $ED=DC$, וכאן $\sqrt5x\approx2.24x\neq3x$.

$S_{ACB}=\frac{4x\cdot8x}{2}=16x^2=64$, ולכן $x=2$ ו-$DB=5x=10$.

$S_{ADB}=\frac{DB\cdot AC}{2}=\frac{10\cdot8}{2}=40$.