מתכונת במתמטיקה 571 - מתכונת 12 ברמת בגרות

בעבור $n=2$ אגף שמאל הוא סכום שני האיברים הראשונים:

אגף ימין בעבור $n=2$:

השוויון מתקיים, ולכן $\frac{28}{b}=7$, כלומר $b=4$.

טעות נפוצה: להשוות את אגף ימין רק לאיבר השני ($2\cdot3=6$) במקום לסכום שני האיברים, ולקבל $\frac{28}{b}=6$, כלומר $b=\frac{14}{3}$.

צריך להוכיח: $1\cdot1+2\cdot3+\ldots+n\cdot3^{n-1}=\frac{(2n-1)\cdot3^n+1}{4}$ לכל $n$ טבעי.

בסיס ($n=1$): אגף שמאל $1\cdot3^0=1$, אגף ימין $\frac{1\cdot3+1}{4}=1$. מתקיים.

הנחת האינדוקציה: נניח שבעבור $n=k$ מתקיים $1\cdot1+2\cdot3+\ldots+k\cdot3^{k-1}=\frac{(2k-1)\cdot3^k+1}{4}$.

צעד: האיבר ה-$(k+1)$ הוא $(k+1)\cdot3^{k}$. צריך להראות שהסכום עד אליו הוא $\frac{(2k+1)\cdot3^{k+1}+1}{4}$.

מציבים את ההנחה ומביאים למכנה משותף 4:

מוציאים 3 מהסוגריים: $(6k+3)\cdot3^k=3(2k+1)\cdot3^k=(2k+1)\cdot3^{k+1}$.

לכן הסכום הוא $\frac{(2k+1)\cdot3^{k+1}+1}{4}$, וזה בדיוק אגף ימין בעבור $n=k+1$, כי $2(k+1)-1=2k+1$.

לפי עקרון האינדוקציה השוויון מתקיים לכל $n$ טבעי.

טעות נפוצה: לכתוב את האיבר הבא כ-$(k+1)\cdot3^{k+1}$ (להוסיף 1 גם למעריך, שבאיבר ה-$n$ הוא $n-1$) - ואז מקבלים $\frac{(14k+11)\cdot3^k+1}{4}$, שאינו $\frac{(2k+1)\cdot3^{k+1}+1}{4}$, ו'מגלים' בטעות שהשוויון אינו נכון.

תחום ההגדרה: $\sqrt{x^2-4x}$ (בביטויים III ו-IV) מוגדר כאשר $x^2-4x\ge0$, כלומר $x(x-4)\ge0$: $x\le0$ או $x\ge4$. הפונקציה בסרטוט מוגדרת בתחום $0\le x\le4$, ולכן III ו-IV נפסלים.

$\sqrt{4x-x^2}$ (בביטויים I ו-II) מוגדר כאשר $x(4-x)\ge0$, כלומר $0\le x\le4$ - מתאים.

סימן: לפי הסרטוט, בעבור $0<x<3$ הגרף מתחת לציר ה-$x$, ובעבור $3<x<4$ מעליו.

בתחום $0<x<4$ מתקיים $\sqrt{4x-x^2}>0$, ולכן הסימן נקבע לפי הגורם שלפני השורש:

ב-I, $(3-x)\sqrt{4x-x^2}>0$ בעבור $x<3$ - לא מתאים.

ב-II, $(x-3)\sqrt{4x-x^2}<0$ בעבור $0<x<3$ ו-$>0$ בעבור $3<x<4$ - מתאים.

לכן הביטוי II מייצג את $f(x)$.

טעות נפוצה: לבדוק רק את נקודות החיתוך עם ציר ה-$x$ ($x=0$, $x=3$ ו-$x=4$) - הן משותפות לביטויים I ו-II - ולבחור בביטוי I.

לפי סעיף ב(1): $g(x)=\left((x-3)\sqrt{4x-x^2}\right)^2=(x-3)^2(4x-x^2)$, בתחום $0\le x\le4$.

פותחים סוגריים: $(x^2-6x+9)(4x-x^2)=-x^4+10x^3-33x^2+36x$.

נקודות החיתוך עם ציר ה-$x$: $x=0$, $x=3$ ו-$x=4$. בכל התחום $g(x)\ge0$ (ריבוע של פונקציה), וב-$x=3$ הגרף רק נוגע בציר. לכן השטח הוא שני חלקים, מ-0 עד 3 ומ-3 עד 4, ושניהם מעל הציר - אינטגרל אחד על כל התחום:

טעות נפוצה: לעצור את השטח בנקודת החיתוך $x=3$ (כאילו שם נגמר התחום הסגור) ולחשב רק $\int_0^3g(x)\,dx=18.9$ - אבל גם בין $x=3$ ל-$x=4$ יש שטח סגור בין הגרף לציר.

$g(x)=\frac{1}{f(x)-2}$ אינה מוגדרת כאשר המכנה מתאפס, כלומר כאשר $f(x)=2$. שם המונה (1) שונה מ-0, ולכן בכל נקודה כזו יש ל-$g$ אסימפטוטה אנכית.

נספור לפי הסרטוט את הפתרונות של $f(x)=2$:

בעבור $x<0$: $f(x)<0$ (הגרף מתחת לציר, עם מינימום $-3$), ולכן אין פתרון.

בעבור $0<x<2$: $f$ עולה מ-0 עד 3, ולכן מקבלת את הערך 2 פעם אחת.

בעבור $x>2$: $f$ יורדת מ-3 אל 0 (האסימפטוטה), ולכן מקבלת את הערך 2 עוד פעם אחת.

יש שני פתרונות, ולכן ל-$g(x)$ יש 2 אסימפטוטות המאונכות לציר ה-$x$, ושתיהן בצד החיובי של ציר ה-$x$.

טעות נפוצה: לחפש אסימפטוטה אנכית היכן ש-$f(x)=0$ (כמו ב-$\frac{1}{f(x)}$), למצוא את $x=0$ ולענות 1 - אבל $g(0)=\frac{1}{0-2}=-\frac12$ מוגדרת.

הישר $y=0$ הוא אסימפטוטה אופקית של $f$ (בשני הכיוונים), כלומר $f(x)\to0$ כאשר $x\to\pm\infty$.

לכן:

האסימפטוטה האופקית של $g(x)$ היא $y=-\frac12$.

טעות נפוצה: לטעות בסימן ולחשב $\frac{1}{0+2}$, ולענות $y=\frac12$.

נאסוף את המידע מ-$f$:

אסימפטוטות: אנכיות בשתי הנקודות שבהן $f(x)=2$ (סעיף ג(1)), ואופקית $y=-\frac12$ (סעיף ג(2)).

קיצון: $g'(x)=-\frac{f'(x)}{(f(x)-2)^2}$, ולכן $g$ יורדת כש-$f$ עולה ועולה כש-$f$ יורדת. כל נקודת קיצון של $f$ (שאינה על אסימפטוטה של $g$) היא נקודת קיצון של $g$ מהסוג ההפוך.

ענף אמצעי: $2<f(x)\le3$, ולכן $0<f(x)-2\le1$ ו-$g(x)\ge1$. המקסימום של $f$ ב-$(2,3)$ הופך למינימום של $g$: $g(2)=\frac{1}{3-2}=1$. ליד שתי האסימפטוטות $g\to+\infty$.

ענף שמאלי (משמאל לאסימפטוטה הראשונה, כולל כל $x\le0$): $-3\le f(x)<2$, ולכן $-5\le f(x)-2<0$ ו-$g(x)<0$. המינימום של $f$ ב-$(-2,-3)$ הופך למקסימום של $g$: $g(-2)=\frac{1}{-3-2}=-\frac15$. חיתוך עם ציר ה-$y$: $g(0)=\frac{1}{0-2}=-\frac12$ - הגרף חוצה שם את האסימפטוטה האופקית. כש-$x\to-\infty$, $g\to-\frac12$, וליד האסימפטוטה האנכית $g\to-\infty$.

ענף ימני: $0<f(x)<2$, ולכן $-2<f(x)-2<0$ ו-$g(x)<-\frac12$. $f$ יורדת שם, ולכן $g$ עולה מ-$-\infty$ אל $-\frac12$.

טעות נפוצה: לסרטט את הענף השמאלי כענף מונוטוני מ-$-\frac12$ אל $-\infty$, בלי לשים לב שלנקודת המינימום $(-2,-3)$ של $f$ מתאימה נקודת מקסימום $\left(-2,-\frac15\right)$ של $g$.

$\angle ACB=90^\circ$, ולכן $AB$ הוא היתר - הצלע הארוכה ביותר במשולש.

אורכי הצלעות חיוביים, ולכן המנה $q$ חיובית. נניח שהאיבר הראשון הוא $AB$. אז הוא האיבר הגדול ביותר, והסדרה יורדת: $0<q<1$.

האיברים הם $AB$, $AC=AB\cdot q$, $BC=AB\cdot q^2$. נבדוק אם יש $q$ כזה שמקיים את משפט פיתגורס:

נציב $t=q^2>0$: $t^2+t-1=0$, ולכן $t=\frac{-1+\sqrt5}{2}\approx0.618$ (הפתרון השלילי נפסל).

$q=\sqrt{0.618}\approx0.786$, וזו אכן מנה בין 0 ל-1. לכן ייתכן שהאיבר הראשון הוא היתר $AB$ (והסדרה יורדת).

טעות נפוצה: להניח שהאיבר הראשון בסדרה הנדסית הוא תמיד הקטן ביותר, ולכן לא יכול להיות היתר, ולענות 'לא ייתכן' - סדרה הנדסית עם $0<q<1$ יורדת, והאיבר הראשון שלה הגדול ביותר.

היתר הוא הצלע הארוכה ביותר, ו-$AC$ (האיבר השני) הוא ניצב, ולכן היתר הוא האיבר הראשון או השלישי. בשני המקרים הניצב האחר הוא האיבר שבקצה השני, ומקבלים אותו משולש (הסדרה בסדר הפוך היא סדרה הנדסית עם המנה ההפוכה). נעבוד עם הסדרה היורדת מסעיף ד(1).

$q^2=\frac{\sqrt5-1}{2}$, כלומר $q=\sqrt{\frac{\sqrt5-1}{2}}\approx0.786$.

$AC=6$ הוא האיבר השני, ולכן:

ההיקף:

$\left(q+\frac1q\right)^2=q^2+\frac{1}{q^2}+2=\frac{\sqrt5-1}{2}+\frac{\sqrt5+1}{2}+2=\sqrt5+2$, ולכן $q+\frac1q=\sqrt{2+\sqrt5}$.

בדיקה: $6^2+4.717^2\approx58.25\approx7.632^2$.

טעות נפוצה: לשכוח להוציא שורש ולהציב $q=\frac{\sqrt5-1}{2}\approx0.618$ (זה $q^2$), ולקבל $P\approx\frac{6}{0.618}+6+6\cdot0.618\approx19.42$.

לפני האיברים האמצעיים יש $2n$ איברים ואחריהם $2n$ איברים, ולכן האיברים האמצעיים הם $a_{2n+1},\ldots,a_{3n}$.

הם סדרה חשבונית בת $n$ איברים:

סכום המקומות: $(2n+1)+3n=1+5n$, ולכן $a_{2n+1}+a_{3n}=a_1+a_{5n}$ (שניהם שווים ל-$2a_1+(5n-1)d$).

טעות נפוצה: לקחת כאיברים האמצעיים את $a_{2n},\ldots,a_{3n-1}$ ולקבל $S_n^*=\frac15S_{5n}-nd$ - לפני $a_{2n}$ יש רק $2n-1$ איברים.

לפי סעיף א, $S_{5n}=5S_n^*=0$.

$a_1<0$, ולכן $a_{5n}=-a_1>0>a_1$: האיבר האחרון גדול מהראשון, הסדרה עולה וההפרש חיובי.

(אלגברית: $(5n-1)d=a_{5n}-a_1=-2a_1>0$, ולכן $d>0$.)

טעות נפוצה: להסיק שמאחר שהאיבר הראשון שלילי גם ההפרש שלילי - סימן האיבר הראשון לא קובע את סימן ההפרש; מה שקובע הוא ש-$a_{5n}=-a_1$ חיובי.

לפי סעיף ב $d>0$, ולכן $|d|=d$ ו-$a_1=-22d$.

$S_{5n}=0$:

מחלקים ב-$d\neq0$: $5n-1=44$, כלומר $5n=45$.

בסדרה 45 איברים.

טעות נפוצה: לענות $n=9$ - זה $n$, ומספר האיברים הוא $5n=45$.

המקומות בסדרה החדשה עולים ב-5, ולכן זו סדרה חשבונית שהפרשה $5d$.

לפי סעיף ג $5n=45$, ולכן האיבר האחרון הוא $a_{5n-3}=a_{42}$.

מספר האיברים: $2+5(k-1)=42$ נותן $k=9$.

(מתאים לסעיף ב: $d>0$; אז $a_1=-66$.)

טעות נפוצה: לספור $\frac{42-2}5=8$ איברים ולקבל $4\cdot(-2d)=-27$, כלומר $d=\frac{27}8=3.375$.

נסמן: $A$ - הנוסע נושא חפץ אסור, $+$ - המכשיר מצפצף. $P(A)=0.002$, $P(+|A)=0.95$, $P(+|\bar A)=0.03$.

$P(A\cap+)=0.002\cdot0.95=0.0019$; $P(\bar A\cap+)=0.998\cdot0.03=0.02994$.

$P(+)=0.0019+0.02994=0.03184$.

טעות נפוצה: לענות $0.95$ - זו ההסתברות שהמכשיר מצפצף על נושא חפץ אסור, $P(+|A)$, ולא $P(A|+)$.

כל נוסע אינו נושא חפץ אסור בהסתברות $0.998$, ובאופן בלתי תלוי:

טעות נפוצה: לחשב $1-0.998^6\approx0.0119$ - זו ההסתברות שלפחות אחד נושא חפץ אסור.

שישה נוסעים בלתי תלויים: $P=0.96816^6\approx0.8235$.

טעות נפוצה: לחשב $0.97^6\approx0.8330$ כאילו כל הנוסעים נקיים - צריך לשקלל גם את הנוסעים עם חפץ אסור שהמכשיר מחטיא.

עכשיו $P(A)=0.1$:

$P(A\cap+)=0.1\cdot0.95=0.095$; $P(\bar A\cap+)=0.9\cdot0.03=0.027$.

ההסתברות גדלה מאוד: כשהתופעה אינה נדירה, רוב הצפצופים הם אמיתיים.

טעות נפוצה: לשנות רק את המונה ולהשאיר במכנה את $0.998\cdot0.03$ - ומקבלים $\frac{0.095}{0.095+0.02994}\approx0.7604$; גם ההסתברות לנוסע נקי משתנה ל-$0.9$.

המרובע CEFO חסום במעגל, ולכן הזווית החיצונית בקודקוד F שווה לזווית הפנימית הנגדית: $\angle EFB=180^\circ-\angle EFO=\angle ECO$.

$OB=OC$ (רדיוסים), ולכן $\angle OCB=\angle OBC$, כלומר $\angle ECO=\angle EBF$ (F על BO).

לכן $\angle EFB=\angle EBF$, ובמשולש EFB: $EF=EB$.

טעות נפוצה: להשוות את הזווית החיצונית $\angle EFB$ לזווית $\angle FOC$, שבקודקוד O הסמוך ל-F. במרובע חסום הזווית החיצונית שווה לזווית הפנימית בקודקוד הנגדי, כלומר ב-C.

D ו-O נמצאות על המעגל החוסם את CEFO, מאותו צד של המיתר CE, ולכן $\angle CDE=\angle COE$ (זוויות היקפיות על CE).

$ED\parallel AB$, ו-D, E על הצלעות CA, CB, ולכן $\angle CDE=\angle CAB$ (זוויות מתאימות).

במעגל הגדול $\angle CAB$ זווית היקפית ו-$\angle COB$ זווית מרכזית, שתיהן על הקשת CB: $\angle CAB=\frac12\angle COB$.

מכאן $\angle COE=\frac12\angle COB$ - הקטע OE חוצה את $\angle COB$.

במשולש שווה-השוקיים OBC ($OB=OC$) חוצה זווית הראש הוא גם גובה, ולכן $OE\perp BC$.

טעות נפוצה: לטעון ש-ED קטע אמצעים במשולש ABC "כי הוא מקביל ל-AB", ומכאן ש-E אמצע BC - קטע מקביל לצלע הוא קטע אמצעים רק אם ידוע שהוא יוצא מאמצע של צלע, וזה לא נתון.

לפי ב(1) $\angle OEC=90^\circ$. זו זווית היקפית במעגל החוסם את CEFO, הנשענת על OC, ולכן OC קוטר של המעגל הזה.

גם D נמצאת על המעגל הזה, ולכן $\angle ODC$ זווית היקפית הנשענת על הקוטר OC: $\angle ODC=90^\circ$, כלומר $OD\perp AC$.

טעות נפוצה: להסיק מ-$\angle OEC=90^\circ$ ש-EO הוא קוטר של מעגל העזר (במקום OC, המיתר שמול הזווית הישרה), ולטעון ש-$\angle EDO=90^\circ$ - בפועל $\angle EDO\neq90^\circ$, והזווית הישרה ב-D היא $\angle ODC$, הנשענת על OC.

לפי ב(2) OC קוטר של המעגל החוסם את CEFO, ולכן מרכזו על הקטע OC, ו-OC הוא הקוטר שלו דרך C.

$\ell$ משיק למעגל הגדול ב-C, ולכן $\ell\perp OC$.

$\ell$ עובר בנקודה C של המעגל הקטן ומאונך לקוטר שלו בקצהו, ולכן הוא משיק למעגל החוסם את CEFO.

טעות נפוצה: לטעון ש-$\ell$ משיק למעגל הקטן רק משום ש-C נקודה משותפת לשני המעגלים, בלי להראות שמרכז המעגל הקטן על OC.

נסמן ב-$O$ את מרכז המעגל. $\angle BOF$ זווית מרכזית על הקשת $BF$, ולכן $\angle BOF=2\angle BAF=2\alpha$.

$OB\perp BE$ (משיק מאונך לרדיוס), כך שבמשולש $OBE$ הזווית ב-$B$ ישרה.

$F$ נמצאת בין $O$ ל-$E$, ולכן $\angle BEF=\angle BEO=180^\circ-90^\circ-2\alpha=90^\circ-2\alpha$.

טעות נפוצה: לחשב במשולש $BEF$ עם $\angle EBF=\alpha$ (נכון, משיק ומיתר) אבל $\angle BFE=\angle AFB=90^\circ-\alpha$ במקום הזווית הצמודה $90^\circ+\alpha$, ולקבל $\angle BEF=90^\circ$.

במשולש $OBE$: $\angle OBE=90^\circ$, $OB=R$, ו-$\angle BOE=\angle BOF=2\alpha$ ($F$ על הקרן $OE$).

טעות נפוצה: לקחת את הזווית ב-$O$ כ-$\alpha$ (כמו הזווית ההיקפית) ולקבל $BE=R\tan\alpha$.

$AF\perp BC$ (המשיק ב-$F$ מאונך לקוטר ומקביל ל-$BC$), ולכן $T$ אמצע $BC$ ו-$BT$ הוא הגובה מ-$B$ לישר $AE$.

במשולש $OBT$: $BT=R\sin2\alpha$, $OT=R\cos2\alpha$, ולכן $TF=R-R\cos2\alpha$ ו-$BC=2R\sin2\alpha$.

במשולש $OBE$: $OE=\frac{R}{\cos2\alpha}$, ולכן $EF=\frac{R}{\cos2\alpha}-R$.

משווים ומחלקים ב-$R^2\sin2\alpha(1-\cos2\alpha)\ne0$: $1=\frac{1}{2\cos2\alpha}$, כלומר $\cos2\alpha=\frac12$, $2\alpha=60^\circ$, $\alpha=30^\circ$.