מתכונת במתמטיקה 571 - מתכונת 13 ברמת בגרות

הטענה היא שלב הצעד של אינדוקציה ($5^{n+1}+3=5(5^n+3)-12$), ובלי בסיס אין הוכחה.

דוגמה שמראה שצעד לבדו אינו מספיק: $5^n+1$ מקיים צעד דומה ($5^{n+1}+1=5(5^n+1)-4$), אבל אף פעם אינו מתחלק ב-4 (השארית תמיד 2).

כדי להשלים: בסיס $n=1$: $5+3=8$ מתחלק ב-4. רק בסיס + צעד מוכיחים את הטענה לכל $n$.

טעות נפוצה: לענות "כן" כי הביטוי באמת מתחלק ב-4 לכל $n$ - המסקנה נכונה, אבל הנימוק של רונית לבדו אינו הוכחה.

$f(x)=x^3$ אי-זוגית וגזירה בכל נקודה. $f'(x)=3x^2$.

$f'(1)=3$ ו-$f'(-1)=3\ne-3$, ולכן $f'$ אינה אי-זוגית (היא זוגית).

(באופן כללי, גזירת $f(-x)=-f(x)$ בכלל השרשרת נותנת $-f'(-x)=-f'(x)$, כלומר $f'$ זוגית.)

טעות נפוצה: לגזור את $f(-x)=-f(x)$ בלי כלל השרשרת, לקבל $f'(-x)=-f'(x)$ ולקבוע בטעות שהטענה נכונה.

$F(2)=\int_1^2f(x)\,dx$, ולפי הגרף $f<0$ בתחום $1<x<2$. לכן האינטגרל שלילי.

טעות נפוצה: לענות "חיובי, כי שטח הוא תמיד חיובי" - האינטגרל של פונקציה שלילית הוא מינוס השטח.

$F'(a)=f(a)$, ו-$F$ עולה היכן ש-$f(a)>0$. מהגרף, בתחום $a>1$: $f>0$ רק ב-$5<x\le5.6$. למשל $a=5.5$.

טעות נפוצה: לבחור ערך שבו הגרף של $f$ עולה אבל מתחת לציר, כמו $a=4.5$ - שם $f<0$ ו-$F$ יורדת.

$f<0$ בתחום $1<x<5$, חוץ מ-$x=3$ שבו הגרף רק נוגע בציר ואינו מחליף סימן. לכן $F$ יורדת בכל התחום $1<a<5$.

ב-$5<a\le5.6$ $f>0$ ו-$F$ עולה. לכן ב-$a=5$ יש ל-$F$ מינימום.

טעות נפוצה: לענות $a=3$ - שם $f=0$, אבל $f$ לא מחליפה סימן, ולכן אין ל-$F$ קיצון ב-3.

האיבר האמצעי הוא $a_{n+1}$, והאיבר שלפני האחרון הוא $a_{2n}$.

ההפרשים שווים, ולכן $a_2,a_{n+1},a_{2n}$ מהווים סדרה חשבונית.

טעות נפוצה: לכתוב את האיבר שלפני האחרון כ-$a_{2n-1}$ (ההפרשים יוצאים $(n-1)d$ ו-$(n-2)d$) ולהסיק בטעות שאין כאן סדרה חשבונית.

מסעיף ד(1): ההפרש הוא $(n-1)d$.

טעות נפוצה: לענות $nd$ - זה ההפרש בין האיבר הראשון לאמצעי, לא בין השני לאמצעי.

$a_2\cdot a_{10}=a_1q\cdot a_1q^9=a_1^2q^{10}=\left(a_1q^5\right)^2=a_6^2$.

$a_6^2=9$, ולכן $a_6=3$ או $a_6=-3$.

טעות נפוצה: לכתוב $a_2=a_1q^2$ ו-$a_{10}=a_1q^{10}$, לקבל $\left(a_1q^6\right)^2=9$, כלומר $a_7=\pm3$, ולהסיק $a_6=\pm\frac3q$.

$a_6=a_1q^5=3$, ולכן $a_1=\frac{3}{q^5}$.

טעות נפוצה: לכתוב $a_6=a_1q^6$ ולקבל $a_1=\frac{3}{q^6}$.

$a_n=\frac{3}{q^5}\cdot q^{n-1}=3q^{n-6}$, ו-$\frac{9}{a_1}=\frac{9q^5}{3}=3q^5$.

$3q^{n-6}=3q^5\iff q^{n-6}=q^5\iff n-6=5$ (כי $|q|\neq1$), ולכן $n=11$.

טעות נפוצה: לכתוב $a_n=a_1q^n=3q^{n-5}$ ולקבל $n=10$.

$a_{15}=3q^9$, ולכן $\frac{9}{a_{15}}=3q^{-9}$.

$3q^{n-6}=3q^{-9}\iff n-6=-9\iff n=-3$ - לא טבעי. אין $n$ כזה.

(באופן כללי $a_n\cdot a_m=9\iff n+m=12$, ו-$15>12$.)

טעות נפוצה: לפתור $n-6=-9$ כ-$n=9-6=3$ - אבל $a_3=3q^{-3}\neq3q^{-9}$.

$a_n=3q^{n-6}$: $a_1=3q^{-5}$, $a_2=3q^{-4}$, $a_3=3q^{-3}$, $a_4=3q^{-2}$, $a_5=3q^{-1}$, $a_6=3$.

טעות נפוצה: לבנות אחורה מ-$a_6=3$ בכפל ב-$q$ ולקבל $a_1=3q^5,\dots,a_5=3q$ - הולכים אחורה בחילוק ב-$q$.

השוויון ל-$3^k$ דורש $q^{\frac{k(k-11)}{2}}=1$, ומאחר ש-$|q|\neq1$: $k(k-11)=0$, ולכן $k=11$ (היחיד הטבעי).

טעות נפוצה: לכתוב את סכום המעריכים כ-$\frac{k(k-1)}{2}-6k=\frac{k(k-13)}{2}$, ומקבלים $k=13$ - הסכום $1+2+\dots+k$ הוא $\frac{k(k+1)}{2}$.

ההסתברויות במשחק אחד: ניצחון $p$, הפסד $2p$, תיקו $1-3p$.

"הפסד אחד לפחות" בשני משחקים - דרך המשלים "אף הפסד":

$p>0$, ולכן $p=0.2$. ההסתברויות: ניצחון 0.2, הפסד 0.4, תיקו 0.4.

טעות נפוצה: לחשב "הפסד אחד בדיוק", $2\cdot2p(1-2p)=3.2p$, ולקבל $p=0.1$ - שוכחים את המקרה של שני הפסדים.

מספר ההפסדים ב-5 משחקים: בינומי עם $n=5$ והסתברות 0.4.

טעות נפוצה: לחשב רק "בדיוק 3" ולקבל $0.2304$.

הדרישה היא על משחקים 1, 2 ו-3 בלבד; במשחקים 4 ו-5 כל תוצאה מתאימה:

טעות נפוצה: לדרוש שבמשחקים 4 ו-5 יואב לא יפסיד ולקבל $0.4^3\cdot0.6^2=0.02304$.

בכל משחק ההסתברות לא לנצח היא $1-0.2=0.8$, ולכן

טעות נפוצה: להשתמש בהסתברות ההפסד במקום הניצחון, $(1-0.4)^5=0.07776$ - "לא ינצח" כולל גם תיקו וגם הפסד.

$A$ - הפסד במשחקים 1-3 ותיקו במשחק 5; $B$ - ניצחון אחד לפחות.

ב-$A$ אין ניצחון במשחקים 1, 2, 3, 5, ולכן ב-$A\cap B$ משחק 4 חייב להיות ניצחון:

$P(B)=1-0.32768=0.67232$.

טעות נפוצה: לקחת את החיתוך כ-$0.4^3\cdot0.4=0.0256$, בלי לדרוש ניצחון במשחק 4, ולקבל $\approx0.0381$.

נסמן $AL=LK=KC=t$, כך ש-$AK=2t$ ו-$AC=3t$.

$DK\parallel BA$. לפי משפט תאלס במשולש ABC (הישר KD מקביל לצלע AB):

טעות נפוצה: לכתוב $\frac{BD}{DC}=\frac{KC}{AC}=\frac13$ - היחס $\frac13$ הוא $\frac{DC}{BC}$, לא $\frac{BD}{DC}$.

$BE=BD$: באותו אופן, $EL\parallel BC$ נותן $\frac{BE}{EA}=\frac{CL}{LA}=2$. לכן $BE=\frac23BA$ ו-$BD=\frac23BC$, ומאחר ש-$BA=BC$, $BE=BD$.

EDKL טרפז שווה-שוקיים: $\frac{BE}{BA}=\frac{BD}{BC}$, ולכן לפי המשפט ההפוך לתאלס $ED\parallel AC$. המשולש CDK דומה למשולש CBA ביחס $\frac{KC}{AC}=\frac13$, ולכן $DK=\frac13BA$; באותו אופן $EL=\frac13BC$, ולכן $EL=DK$. $ED=\frac23AC=2t\neq LK=t$, כך שזה טרפז ולא מקבילית, ושוקיו EL ו-DK שוות.

$GE=GD$: המשולשים ELK ו-DKL חופפים (צ.צ.צ: $EL=DK$, $LK$ משותפת, והאלכסונים בטרפז שווה-שוקיים שווים $EK=DL$). לכן $\angle GKL=\angle GLK$, המשולש GLK שווה-שוקיים ו-$GL=GK$. מכאן $GE=EK-GK=DL-GL=GD$.

שני זוגות של צלעות סמוכות שוות ($BE=BD$, $GE=GD$) - BDGE דלתון.

טעות נפוצה: לטעון ש-EDKL מקבילית "כי $ED\parallel LK$ ו-$EL$, $DK$ שוות" - EL ו-DK אינן מקבילות (אחת מקבילה ל-BC והשנייה ל-BA), ו-$ED=2LK$.

$AC=24$, ולכן $LK=8$ ו-$ED=\frac23\cdot24=16$.

$EL=DK$, ומההיקף: $16+8+2DK=34$, כלומר $DK=5$. $DK=\frac13BA$, ולכן $BA=15$.

נוריד את הגובה BM ($AM=MC=12$): $BM=\sqrt{15^2-12^2}=9$.

גובה הטרפז EDKL הוא גובה הנקודה D מעל הבסיס: $\frac{DC}{BC}=\frac13$, ולכן הגובה הוא $\frac13BM=3$.

המשולשים GED ו-GKL דומים ($ED\parallel LK$) ביחס $\frac{ED}{LK}=2$, ולכן G מחלקת את גובה הטרפז ביחס $2:1$ - המרחק שלה מהבסיס הוא $\frac13\cdot3=1$.

G נמצאת על BM: $GE=GD$ ו-$BE=BD$, ולכן גם G וגם B על האנך האמצעי של ED, שהוא ציר הסימטריה BM.

טעות נפוצה: להניח ש-G באמצע גובה הטרפז (כמו מרכז של מלבן), כלומר בגובה 1.5, ולקבל $BG=7.5$ - באלכסוני טרפז היחס הוא יחס הבסיסים.

לכל נקודה F על הישר BG (ציר הסימטריה): $BE=BD$, $BF$ משותפת ו-$\angle EBF=\angle DBF$, ולכן המשולשים BEF ו-BDF חופפים ו-$\angle BEF=\angle BDF$.

BDFE בר-חסימה אם ורק אם $\angle BEF+\angle BDF=180^\circ$, כלומר $\angle BDF=90^\circ$.

האנך לשוק BC בנקודה D אינו מקביל לישר BG (הזווית $\angle DBG$ חדה), ולכן הוא חותך את הישר BG בנקודה F, ושם $\angle BDF=\angle BEF=90^\circ$. התשובה: כן.

(בנתוני סעיף ג נקודה זו נמצאת על המשך BM מתחת לבסיס, $7\frac23$ יחידות מתחת ל-M - מחוץ למשולש, אבל על הישר BG.)

טעות נפוצה: לחשב שהאנך ל-BC ב-D חותך את BM מתחת לבסיס, ולענות "לא" כי הנקודה מחוץ למשולש - השאלה היא על הישר BG, לא על הקטע.

$x$ זווית חדה במשולש ישר הזווית: $0^\circ<x<90^\circ$.

במשולש, מול הצלע הגדולה יותר נמצאת הזווית הגדולה יותר. AF מול $\angle ABF=90^\circ-x$ ו-BF מול $\angle FAB=x$, ולכן $AF>BF$ פירושו $90^\circ-x>x$, כלומר $x<45^\circ$.

התחום: $0^\circ<x<45^\circ$.

טעות נפוצה: להתעלם מהנתון $AF>BF$ ולענות $0^\circ<x<90^\circ$.

במשולש AFB: $AF=h\cos x$ (ניצב ליד הזווית $x$, היתר $h$).

במשולש AFH (ישר זווית ב-H): FH הוא הניצב שמול הזווית $x$ והיתר הוא AF, ולכן $FH=AF\sin x=h\sin x\cos x$.

טעות נפוצה: לכתוב $FH=AF\cos x$ (הניצב שליד $x$ הוא AH, לא FH) ולקבל $h\cos x+h\cos^2x$.

$s(x)=h\cos x+\frac h2\sin2x$.

(השתמשנו ב-$\cos2x=1-2\sin^2x$.)

$\sin x+1>0$, ולכן $s'(x)=0$ רק כאשר $\sin x=\frac12$, כלומר $x=30^\circ$ (בתחום).

עבור $x<30^\circ$: $2\sin x-1<0$ ו-$s'>0$; עבור $x>30^\circ$: $s'<0$. לכן ב-$x=30^\circ$ מקסימום.

טעות נפוצה: לגזור את $\frac h2\sin2x$ כ-$\frac h2\cos2x$ (בלי הכפל ב-2); מקבלים $\sin^2x+\sin x-\frac12=0$, $\sin x=\frac{\sqrt3-1}2$ ו-$x\approx21.5^\circ$.

לשני המשולשים גובה משותף FH, ולכן יחס השטחים שווה ליחס הבסיסים $\frac{AH}{HB}$.

עבור $x=30^\circ$: $AF=h\cos30^\circ=\frac{\sqrt3}2h$, $AH=AF\cos30^\circ=\frac34h$, ולכן $HB=h-\frac34h=\frac14h$.

טעות נפוצה: לקחת את יחס הצלעות $\frac{AF}{BF}=\frac{1}{\tan30^\circ}=\sqrt3$ כיחס השטחים - המשולשים דומים, ויחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון.

השורש במכנה: $x+a$ חייב להיות חיובי ממש.

תחום ההגדרה: $x>-a$.

טעות נפוצה: לכתוב $x\ge-a$ - ב-$x=-a$ המכנה מתאפס.

אסימפטוטה אופקית אין: כאשר $x\to\infty$ המונה ממעלה 3 והמכנה מתנהג כמו $\sqrt x$, ולכן $f(x)\to\infty$.

אסימפטוטה אנכית יכולה להיות רק ב-$x=-a$. כדי שלא תהיה, המונה חייב להתאפס שם:

$a$ חיובי, ולכן $a=2$.

בדיקה: עבור $x>-2$, $\frac{(x+2)^2}{\sqrt{x+2}}=(x+2)\sqrt{x+2}$, ולכן $f(x)=(x-3)(x+2)\sqrt{x+2}\xrightarrow{x\to-2^+}0$ - אין אסימפטוטה.

טעות נפוצה: לקחת את $a$ מהגורם $(x-3)$ ולענות $a=3$ - אבל אז ב-$x=-3$ המונה הוא $(-6)\cdot1\ne0$, ויש אסימפטוטה אנכית.

חיתוך עם ציר ה-$x$: המונה מתאפס ב-$x=3$ וב-$x=-2$, אבל $x=-2$ אינו בתחום ($x>-2$). לכן רק $(3,0)$.

חיתוך עם ציר ה-$y$: $f(0)=\frac{(-3)\cdot4}{\sqrt2}=-\frac{12}{\sqrt2}=-6\sqrt2$. הנקודה $(0,-6\sqrt2)$.

טעות נפוצה: לכתוב גם את $(-2,0)$ - היא מחוץ לתחום ההגדרה.

בתחום $f(x)=(x^2-x-6)\sqrt{x+2}$. כלל המכפלה:

המונה: $4x^2+6x-4+x^2-x-6=5x^2+5x-10=5(x+2)(x-1)$, ולכן

בתחום $\sqrt{x+2}>0$, ולכן $f'=0$ רק ב-$x=1$: $f'<0$ עבור $-2<x<1$ ו-$f'>0$ עבור $x>1$ - מינימום.

טעות נפוצה: לצמצם בטעות $\frac{(x+2)^2}{\sqrt{x+2}}=x+2$, כלומר לגזור את הפרבולה $(x-3)(x+2)$, ולקבל מינימום $\left(\frac12,-6.25\right)$.

כאשר $x\to-2^+$, $f(x)\to0$, ו-$x=-2$ לא בתחום - עיגול ריק ב-$(-2,0)$.

הגרף יורד, עובר דרך $(0,-6\sqrt2)\approx(0,-8.49)$, מגיע למינימום $(1,-6\sqrt3)\approx(1,-10.39)$, עולה דרך $(3,0)$ וממשיך ל-$\infty$.

טעות נפוצה: לסרטט את המינימום לפני נקודת החיתוך עם ציר ה-$y$ (משמאל לציר) - המינימום ב-$x=1$, והפונקציה עדיין יורדת ב-$x=0$.