מתכונת במתמטיקה 571 - מתכונת 17 ברמת בגרות

$OA\perp AK$, כי משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה. לכן המשולש $OAK$ ישר זווית ב-$A$, עם ניצבים $OA=R$ ו-$AK=2R$.

לפי משפט פיתגורס:

הנקודה $B$ על המעגל, ולכן $OB=R$ ו-$KB=KO-OB=R\sqrt5-R=R(\sqrt5-1)$.

למשולשים $AKB$ ו-$AOB$ יש קודקוד משותף $A$, והבסיסים שלהם $KB$ ו-$OB$ מונחים על אותו ישר $KO$. לכן יש להם אותו גובה מ-$A$ לישר $KO$, ויחס השטחים שווה ליחס הבסיסים:

שטח המשולש $AKB$ גדול פי $\sqrt5-1\approx1.24$ משטח המשולש $AOB$.

טעות נפוצה: לחלק את הקטע כולו $KO$ ב-$OB$ במקום את $KB$, ולקבל $\sqrt5\approx2.24$.

במשולש ישר הזווית $OAK$: $\tan\angle AOK=\frac{AK}{OA}=2$, ולכן $\sin\angle AOK=\frac{AK}{KO}=\frac{2R}{R\sqrt5}=\frac{2}{\sqrt5}$.

$B$ על הקטע $KO$, ולכן $\angle AOB=\angle AOK$. במשולש $AOB$: $OA=OB=R$, והזווית ביניהן $\angle AOB$:

לפי א(1): $S_{AKB}=(\sqrt5-1)\cdot10\approx12.36$.

הגובה לצלע $AK$ יוצא מהקודקוד $B$, ו-$AK=2R\approx9.457$:

(בדרך אחרת: $\sin\angle AKO=\frac{OA}{KO}=\frac{1}{\sqrt5}$, ולכן $h=KB\cdot\sin\angle AKO=\frac{R(\sqrt5-1)}{\sqrt5}\approx2.614$.)

טעות נפוצה: לקחת את הזווית שב-$K$ במקום הזווית שב-$O$, כלומר $\sin\angle AOB=\frac{1}{\sqrt5}$; אז $R^2=20\sqrt5$, $R\approx6.687$, ומקבלים $h\approx3.70$.

לכל חץ: $P(\text{מרכז})=p$, $P(\text{טבעת})=4p$, ולכן $P(\text{החטאה})=1-5p$ (סכום שלוש ההסתברויות הוא 1).

החצים בלתי תלויים, ולכן מכפילים לאורך מסלול בעץ.

המאורע מתקיים בשני מסלולים זרים: החץ הראשון במרכז והשני בטבעת, או החץ הראשון בטבעת והשני במרכז. לכן מחברים:

טעות נפוצה: לחשב רק את הסדר "ראשון במרכז, שני בטבעת" ולקבל $4p^2$ - המאורע לא קובע איזה חץ פוגע במרכז.

המאורע המתנה, "לא קרה המאורע שבסעיף ב(1)", הוא המשלים שלו. ההסתברות שלו: $1-8p^2$.

אם שני החצים החטיאו, אף אחד מהם לא פגע במרכז או בטבעת. לכן המאורע "שני החצים מחטיאים" מוכל במאורע המתנה, והחיתוך שלהם הוא $(1-5p)^2$:

$p=0.268=\frac{67}{250}$ או $p=0.1=\frac{1}{10}$.

$p=\frac{67}{250}$ נפסל: אז $P(\text{החטאה})=1-5\cdot0.268=-0.34<0$.

לכן $p=\frac{1}{10}$ - אפשרות II. (בדיקה: מרכז 0.1, טבעת 0.4, החטאה 0.5. אפשרות III אינה פותרת את המשוואה: עבור $p=\frac{1}{20}$ מתקבל $\frac{0.75^2}{0.98}=\frac{225}{392}\ne\frac{25}{92}$.)

טעות נפוצה: לפתור את המשוואה ולבחור באפשרות I, $p=\frac{67}{250}$, כי גם היא פתרון - בלי לבדוק שההסתברות להחטאה אינה שלילית.

הפרש של שורשים מוגדר כאשר כל אחד מהשורשים מוגדר, ולכן לוקחים את החיתוך של שני התנאים.

$x^2-9\ge0\quad\Rightarrow\quad x\le-3$ או $x\ge3$.

$x+5\ge0\quad\Rightarrow\quad x\ge-5$.

החיתוך: $-5\le x\le-3$ או $x\ge3$.

טעות נפוצה: לאחד את התנאים במקום לחתוך אותם ("מספיק שאחד השורשים מוגדר"), ולקבל $x\ge-5$ - אבל ב-$-3<x<3$ השורש $\sqrt{x^2-9}$ אינו מוגדר.

לפי ג(1) תחום ההגדרה בנוי משני חלקים: הקטע $-5\le x\le-3$ והקרן $x\ge3$, והפונקציה אינה מוגדרת ב-$-3<x<3$.

גרף II עובר ברציפות מעל $-3<x<3$, ולכן נפסל. גרף IV מוגדר רק בקרן $x\ge3$, וחסר בו הקטע $-5\le x\le-3$, ולכן נפסל.

נשארו I ו-III. נחשב ערכים בקצוות:

הענף השמאלי מתחיל מעל ציר ה-$x$ (בגובה 4) ומסתיים מתחתיו, והענף הימני מתחיל מתחת לציר ה-$x$. כך בגרף I; בגרף III הסימנים הפוכים.

(אפשר גם לגזור: $f'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2-9}}-\frac{1}{2\sqrt{x+5}}$. בקטע השמאלי שני האיברים שליליים, ולכן $f$ יורדת; בקרן $x>3$ האיבר הראשון גדול מ-1 והשני קטן מ-$\frac12$, ולכן $f$ עולה.)

הגרף המתאים: I.

טעות נפוצה: להחליף בין השורשים בחישוב הקצה ולכתוב $f(-5)=0-\sqrt{16}=-4$, ולכן לבחור בגרף III - אבל ב-$x=-5$ מתאפס דווקא $\sqrt{x+5}$.

$\frac{4\pi}{3}$ נמצאת ברביע השלישי: $\cos\frac{4\pi}{3}=-\cos\frac{\pi}{3}=-\frac12$.

$\frac{16\pi}{3}=4\pi+\frac{4\pi}{3}$, ולכן $\cos\frac{16\pi}{3}=\cos\frac{4\pi}{3}=-\frac12$.

$\frac{64\pi}{3}=20\pi+\frac{4\pi}{3}$, ולכן $\cos\frac{64\pi}{3}=-\frac12$.

טעות נפוצה: לטעות ברביע ולכתוב $\cos\frac{4\pi}{3}=\frac12$, ולקבל $a_1=\frac16$, $a_2=\frac1{18}$, $a_3=\frac1{54}$.

לכל $n$ טבעי: $\frac{4^{n+1}\pi}{3}=\frac{4\cdot4^n\pi}{3}=\frac{4^n\pi}{3}+4^n\pi$.

$4^n$ זוגי, ולכן $4^n\pi$ היא כפולה של $2\pi$, ו-$\cos\left(\frac{4^{n+1}\pi}{3}\right)=\cos\left(\frac{4^n\pi}{3}\right)$.

כלומר הערך של $\cos\left(\frac{4^n\pi}{3}\right)$ זהה לכל $n$, והוא שווה לערך עבור $n=1$: $\cos\frac{4\pi}{3}=-\frac12$. לכן $a_n=-\frac{1}{2\cdot3^n}$, ובפרט $a_n\ne0$.

המנה קבועה ואינה תלויה ב-$n$, ולכן הסדרה הנדסית עם $q=\frac13$.

טעות נפוצה: לחשב את המנה הפוך, $\frac{a_n}{a_{n+1}}$, ולקבל $q=3$.

$|q|=\frac13<1$, ולכן לסדרה האין-סופית יש סכום:

טעות נפוצה: לכתוב במכנה $1+q$ במקום $1-q$ ולקבל $S=\frac{-1/6}{4/3}=-\frac18$.

$a_2, a_4, \dots, a_{36}$ היא סדרה הנדסית עם איבר ראשון $a_2=a_1q$ ומנה $q^2$.

המקומות $2, 4, \dots, 36$ - 18 איברים.

טעות נפוצה: לספור 36 איברים ולקבל $\frac{a_1q(q^{72}-1)}{q^2-1}$.

האיבר הראשון $a_6=a_1q^5$, והמנה $\frac{a_{12}}{a_6}=q^6$.

המקומות $6, 12, \dots, 36$ - 6 איברים.

טעות נפוצה: לכתוב $a_6=a_1q^6$ ולקבל $\frac{a_1q^6(q^{36}-1)}{q^6-1}$.

$q^6-1=(q^2)^3-1=(q^2-1)(q^4+q^2+1)$, ולכן $\frac AB=\frac{q^4+q^2+1}{q^4}$.

$\frac{q^4+q^2+1}{q^4}=\frac{21}{16}$, כלומר $16q^4+16q^2+16=21q^4$, ו-$5q^4-16q^2-16=0$.

נסמן $u=q^2$: $5u^2-16u-16=0$, $u=\frac{16\pm24}{10}$, כלומר $u=4$ או $u=-0.8$. $q^2$ אינו שלילי, ולכן $q^2=4$ ו-$q=\pm2$.

בסדרה שסימני איבריה מתחלפים המנה שלילית, ולכן $q=-2$.

טעות נפוצה: לבחור $q=2$ - עם מנה חיובית כל האיברים באותו סימן.

טעות נפוצה: לחשוב שהכפל ב-2 מכפיל גם את המנה, ולענות $2q=-4$.

$b_1=2a_3=2a_1q^2=8a_1$, ולכן האיבר הראשון של הסדרה החדשה הוא $-\frac{1}{8a_1}$.

המנה של הסדרה החדשה: $\frac{\frac{1}{b_2}}{-\frac{1}{b_1}}=-\frac{b_1}{b_2}=-\frac1q=\frac12$. היא בין $-1$ ל-1, ולכן הסדרה מתכנסת.

(הסימנים של $b_n$ מתחלפים בעצמם, ולכן אחרי הסימנים המתחלפים שהוספנו כל איברי הסדרה החדשה באותו סימן.)

טעות נפוצה: לקחת את המנה $-q=2$ במקום $-\frac1q$, ולהסיק שלסדרה אין סכום.

$b_1=8a_1$. תנאי לסדרה חשבונית: $2a_1=\frac{1}{a_1}+8a_1$.

$-6a_1=\frac{1}{a_1}$, ולאחר כפל ב-$a_1$: $-6a_1^2=1$, כלומר $a_1^2=-\frac16$ - אין פתרון.

לכן הסדרה אינה יכולה להיות חשבונית.

טעות נפוצה: לאבד את הסימן ולקבל $6a_1^2=1$, ומכאן "כן, כאשר $a_1=\pm\frac{1}{\sqrt6}$".

תנאי לסדרה הנדסית: $a_1^2=\frac{1}{a_1}\cdot8a_1=8$, ולכן $a_1=\pm2\sqrt2$.

על הסימן של $a_1$ אין הגבלה (בסדרה מתחלפת סימן $a_1$ יכול להיות חיובי או שלילי).

בדיקה עבור $a_1=2\sqrt2$: $\frac{1}{2\sqrt2}, 2\sqrt2, 16\sqrt2$ - מנה 8. ועבור $a_1=-2\sqrt2$ אותה סדרה עם סימן מינוס. לכן ייתכן.

טעות נפוצה: לטעות בהזזה ולחשב $b_1=2a_2=2a_1q=-4a_1$, לקבל $a_1^2=\frac{1}{a_1}\cdot(-4a_1)=-4$ ולענות "לא" - לפי ההגדרה $b_1=2a_{1+2}=2a_3$.

בטבלה: $P(\text{מורה}\cap\text{בעד})=0$, ולכן כל המצביעים בעד הם תלמידים: $P(\text{תלמיד}\cap\text{בעד})=k$.

התלמידים הם $1-p$, ומהם $k$ הצביעו בעד:

טעות נפוצה: להניח אי-תלות ולכתוב $P(\text{תלמיד}\cap\text{נגד})=(1-p)(1-k)$.

"$\frac35$ מן התלמידים הצביעו בעד" - הסתברות מותנית בתוך התלמידים:

"$\frac5{11}$ מן המצביעים נגד היו מורים" - הסתברות מותנית בתוך המצביעים נגד. כל המורים הצביעו נגד, ולכן $P(\text{מורה}\cap\text{נגד})=p$:

מציבים $k=0.6-0.6p$: $11p=5(0.4+0.6p)=2+3p$, ולכן $p=0.25$ ו-$k=0.6\cdot0.75=0.45$.

טעות נפוצה: לתרגם "$\frac5{11}$ מן המצביעים נגד היו מורים" כ-$p=\frac5{11}$ (בלי להתנות במצביעים נגד), ולקבל $k=\frac{18}{55}$.

הבחירה בתוך התלמידים: ההסתברות שתלמיד הצביע בעד היא $\frac35$, ונגד $\frac25$.

המשלים: כל החמישה בעד, או כל החמישה נגד:

טעות נפוצה: להוריד רק את "כולם בעד" ולקבל $1-\left(\frac35\right)^5=\frac{2882}{3125}\approx0.922$.

הבחירה מכל המשתתפים: ההסתברות שנבחר מורה היא $p=\frac14$.

השישי מורה, ולכן בין חמשת הראשונים יש בדיוק מורה אחד:

טעות נפוצה: להתעלם מהתנאי על האחרון ולחשב $\binom62\left(\frac14\right)^2\left(\frac34\right)^4=\frac{1215}{4096}\approx0.297$.

$OB=OA$ (רדיוסים), $MB=MA$ (משיקים מנקודה אחת), ו-$OM$ צלע משותפת. לכן $\triangle OBM\cong\triangle OAM$ (צ.צ.צ), ומכאן $\sphericalangle OMB=\sphericalangle OMA$: $MO$ חוצה את $\sphericalangle BMA$.

באותו אופן ($QA=QC$, $MA=MC$) $MQ$ חוצה את $\sphericalangle AMC$.

$B$, $M$, $C$ על ישר אחד, ולכן $\sphericalangle BMA+\sphericalangle AMC=180^\circ$, וחוצי שתי הזוויות הצמודות יוצרים זווית של חצי מזה:

טעות נפוצה: להניח ש-$\sphericalangle OMA=\sphericalangle AMQ=45^\circ$ בגלל "סימטריה". המעגלים אינם שווים, ולכן רק הסכום של שתי הזוויות הוא $90^\circ$.

מרכזי שני מעגלים משיקים ונקודת ההשקה נמצאים על ישר אחד, ולכן $A$ על הקטע $OQ$.

$MA$ משיק בנקודה $A$, ולכן $MA\perp OA$, כלומר $MA\perp OQ$.

לפי סעיף א, המשולש $OMQ$ ישר-זווית ב-$M$, ו-$MA$ הוא הגובה ליתר $OQ$. לפי היחסים במשולש ישר-זווית, ריבוע הגובה ליתר שווה למכפלת קטעי היתר:

טעות נפוצה: לבלבל עם היחס של הניצבים ולכתוב $AM^2=OM\cdot MQ$. מכפלת הניצבים שווה ל-$AM\cdot OQ$, לא ל-$AM^2$.

$MB=MA$ ו-$MA=MC$ (משיקים מנקודה אחת לכל מעגל), ולכן $M$ אמצע $BC$ ו-$AM=\frac{BC}{2}=6$.

לפי סעיף ב: $AM^2=OA\cdot AQ$, כלומר $36=OA\cdot4$, ולכן $OA=9$.

טעות נפוצה: לקחת $AM=BC=12$ (לשכוח ש-$M$ אמצע $BC$) ולקבל $OA=\frac{144}{4}=36$.

$OB\perp BM$, ולכן $S_{\Delta OBM}=\frac12\cdot9\cdot6=27$.

המשולש $AMC$ שווה-שוקיים ($MA=MC=6$). $QAMC$ דלתון ($QA=QC=4$, $MA=MC=6$), ולכן $QM$ אנך אמצעי ל-$AC$; נסמן ב-$K$ את נקודת החיתוך.

במשולש $QAM$, ישר-זווית ב-$A$: $QM=\sqrt{4^2+6^2}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$, ו-$AK$ הוא הגובה ליתר:

טעות נפוצה: להניח שהזווית $\sphericalangle AMC$ ישרה ולחשב $S_{\Delta AMC}=\frac12\cdot6\cdot6=18$, ומכאן יחס $\frac32$.