דילוג לתוכן המרכזי
GuyAI

מתכונת במתמטיקה 571 - מתכונת 18 ברמת בגרות

5 יח"ל · שאלון 035571 · 8 שאלות · פתרון מלא לכל סעיף

מבחן מתכונת במבנה של שאלון 571 (5 יח"ל), ברמת בגרות: 8 שאלות, כל אחת בנויה כמו השאלה באותו מקום בבחינת הבגרות. לכל סעיף יש תשובה סופית ופתרון מלא, מוסבר צעד אחרי צעד. נסו לפתור לבד, ואז פתחו את הפתרון של השאלה.

הורדה ב-PDF: שאלון תשובות סופיות פתרון מלא

שאלה 1 · שאלות קצרות: אינדוקציה, חסם לחיתוך והסתברות מותנית, גרף של , פונקציה קדומה וזיהוי גרף

ענו על שניים מארבעת הסעיפים א–ד שלפניכם. אם תענו על יותר משני סעיפים, ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתכם.

א.

הוכיחו באינדוקציה מתמטית, או בכל דרך אחרת, כי לכל nn טבעי מתקיים:

312⋅22+522⋅32+…+2n+1n2(n+1)2=n(n+2)(n+1)2\frac{3}{1^2\cdot2^2}+\frac{5}{2^2\cdot3^2}+\ldots+\frac{2n+1}{n^2(n+1)^2}=\frac{n(n+2)}{(n+1)^2}
ב.

בשכבת י"א בבית ספר נערך סקר. 45% מן התלמידים בשכבה מנגנים בכלי נגינה, ו-75% מן התלמידים בשכבה עוסקים בספורט.

לפניכם שתי טענות I-II. קבעו בעבור כל אחת מהן אם היא נכונה או לא נכונה, ונמקו את קביעותיכם.

I. לפחות 20% מן התלמידים בשכבה מנגנים בכלי נגינה וגם עוסקים בספורט.

II. ההסתברות לבחור באקראי תלמיד שעוסק בספורט מבין התלמידים המנגנים בכלי נגינה קטנה מן ההסתברות לבחור באקראי תלמיד שמנגן בכלי נגינה מבין התלמידים העוסקים בספורט.

ג.

בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה f(x)f(x), המוגדרת לכל xx. לפונקציה f(x)f(x) יש אסימפטוטה אחת בלבד, שמשוואתה y=0y=0, ושתי נקודות חיתוך בלבד עם ציר ה-xx, ששיעוריהן הם (−2,0)(-2,0) ו-(4,0)(4,0). שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה f(x)f(x) מוצגים בסרטוט: (−6,−a)(-6,-a), (1,2a)(1,2a) ו-(9,−a2)\left(9,-\frac{a}{2}\right). aa הוא פרמטר חיובי.

נתונה הפונקציה: g(x)=1(f(x))2g(x)=\frac{1}{(f(x))^2}.

(-6,-a)(-2,0)(1,2a)(4,0)(9,-0.5a)
(1)

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה g(x)g(x).

(2)

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה g(x)g(x).

נתון כי לישר y=1a+2y=\frac{1}{a+2} ולגרף הפונקציה g(x)g(x) יש בדיוק 3 נקודות משותפות.

(3)

מצאו את הערך של aa.

ד.

בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה: f(x)=−16x(x2−4)3f(x)=\frac{-16x}{(x^2-4)^3}, המוגדרת בתחום x≠±2x\ne\pm2. לפונקציה f(x)f(x) אין נקודות קיצון, ובסרטוט מוצגת נקודת החיתוך היחידה של גרף הפונקציה עם ציר ה-xx.

(0,0)

g(x)g(x) היא פונקציה שהנגזרת שלה מקיימת g′(x)=f(x)g'(x)=f(x). הפונקציה g(x)g(x) מוגדרת בתחום x≠±2x\ne\pm2. נתון כי גרף הפונקציה g(x)g(x) עובר דרך הנקודה (0,1.25)(0,1.25).

(1)

מצאו פונקציה g(x)g(x) המקיימת תנאים אלה.

לפניכם הגרפים I-IV.

(2)

אחד מן הגרפים I-IV שלפניכם מתאר פונקציה g(x)g(x) המקיימת תנאים אלה. קבעו איזה מהם, ונמקו את קביעתכם.

◂ פתרון מלא לשאלה 1

סעיף א

תשובה:

הוכחה

נסמן ב-SnS_n את אגף שמאל ונוכיח באינדוקציה.

בסיס (n=1n=1): באגף שמאל יש איבר אחד, 31⋅4=34\frac{3}{1\cdot4}=\frac34. באגף ימין: 1⋅322=34\frac{1\cdot3}{2^2}=\frac34. הטענה נכונה.

הנחה: נניח שעבור kk טבעי כלשהו מתקיים Sk=k(k+2)(k+1)2S_k=\frac{k(k+2)}{(k+1)^2}.

צעד: צריך להוכיח ש-Sk+1=(k+1)(k+3)(k+2)2S_{k+1}=\frac{(k+1)(k+3)}{(k+2)^2}. האיבר ה-(k+1)(k+1) מתקבל מהצבת k+1k+1 במקום nn בכל מקום: 2(k+1)+1(k+1)2(k+2)2=2k+3(k+1)2(k+2)2\frac{2(k+1)+1}{(k+1)^2(k+2)^2}=\frac{2k+3}{(k+1)^2(k+2)^2}. לפי ההנחה:

Sk+1=k(k+2)(k+1)2+2k+3(k+1)2(k+2)2=k(k+2)3+2k+3(k+1)2(k+2)2S_{k+1}=\frac{k(k+2)}{(k+1)^2}+\frac{2k+3}{(k+1)^2(k+2)^2}=\frac{k(k+2)^3+2k+3}{(k+1)^2(k+2)^2}

פותחים את המונה: k(k3+6k2+12k+8)+2k+3=k4+6k3+12k2+10k+3k(k^3+6k^2+12k+8)+2k+3=k^4+6k^3+12k^2+10k+3.

כדי להגיע לנוסחה צריך במונה (k+1)3(k+3)(k+1)^3(k+3). נפתח אותו: (k3+3k2+3k+1)(k+3)=k4+6k3+12k2+10k+3(k^3+3k^2+3k+1)(k+3)=k^4+6k^3+12k^2+10k+3 - אותו ביטוי. לכן:

Sk+1=(k+1)3(k+3)(k+1)2(k+2)2=(k+1)(k+3)(k+2)2S_{k+1}=\frac{(k+1)^3(k+3)}{(k+1)^2(k+2)^2}=\frac{(k+1)(k+3)}{(k+2)^2}

זו הנוסחה עבור n=k+1n=k+1, ולכן לפי עקרון האינדוקציה הטענה נכונה לכל nn טבעי.

(דרך קצרה יותר: n(n+2)(n+1)2=1−1(n+1)2\frac{n(n+2)}{(n+1)^2}=1-\frac{1}{(n+1)^2}, והאיבר החדש שווה ל-1(k+1)2−1(k+2)2\frac{1}{(k+1)^2}-\frac{1}{(k+2)^2}, כי (k+2)2−(k+1)2=2k+3(k+2)^2-(k+1)^2=2k+3.)

טעות נפוצה: להחליף את kk ב-k+1k+1 רק במכנה ולכתוב את האיבר החדש כ-2k+1(k+1)2(k+2)2\frac{2k+1}{(k+1)^2(k+2)^2}; אז המונה הוא k4+6k3+12k2+10k+1k^4+6k^3+12k^2+10k+1, שאינו שווה ל-(k+1)3(k+3)(k+1)^3(k+3), והצעד "נכשל".

סעיף ב

תשובה:

I נכונה, II לא נכונה

נבחר תלמיד באקראי מהשכבה. נסמן: MM - מנגן בכלי נגינה, TT - עוסק בספורט. P(M)=0.45P(M)=0.45, P(T)=0.75P(T)=0.75.

טענה I: לפי נוסחת האיחוד P(M∩T)=P(M)+P(T)−P(M∪T)P(M\cap T)=P(M)+P(T)-P(M\cup T), ומאחר ש-P(M∪T)≤1P(M\cup T)\le1:

P(M∩T)≥0.45+0.75−1=0.2P(M\cap T)\ge0.45+0.75-1=0.2

כלומר לפחות 20% מן התלמידים מנגנים וגם עוסקים בספורט. הטענה נכונה.

טענה II: לפי הגדרת ההסתברות המותנית:

P(T∣M)=P(M∩T)P(M)=P(M∩T)0.45,P(M∣T)=P(M∩T)P(T)=P(M∩T)0.75P(T|M)=\frac{P(M\cap T)}{P(M)}=\frac{P(M\cap T)}{0.45},\qquad P(M|T)=\frac{P(M\cap T)}{P(T)}=\frac{P(M\cap T)}{0.75}

המונה זהה וחיובי (לפחות 0.2), והמכנה של P(T∣M)P(T|M) קטן יותר, ולכן P(T∣M)>P(M∣T)P(T|M)>P(M|T). הטענה לא נכונה.

טעות נפוצה (טענה I): לחשוב שייתכן שאף תלמיד מנגן אינו עוסק בספורט, ולקבוע שהטענה לא נכונה - אבל רק 25% מן התלמידים אינם עוסקים בספורט, ואין בהם מקום לכל 45% המנגנים.

סעיף ג(1)

תשובה:

x≠−2x\ne-2, x≠4x\ne4

g(x)=1(f(x))2g(x)=\frac{1}{(f(x))^2} מוגדרת בכל נקודה שבה ff מוגדרת והמכנה אינו 0.

ff מוגדרת לכל xx, ו-(f(x))2=0(f(x))^2=0 רק כאשר f(x)=0f(x)=0. לפי הנתונים, ל-ff יש שתי נקודות חיתוך בלבד עם ציר ה-xx: (−2,0)(-2,0) ו-(4,0)(4,0).

לכן תחום ההגדרה של gg: x≠−2x\ne-2, x≠4x\ne4.

טעות נפוצה: להוציא מהתחום רק את אחת משתי נקודות האפס (למשל רק x≠4x\ne4, כמו כשיש ל-ff נקודת חיתוך אחת) - gg אינה מוגדרת בכל נקודה שבה ff מתאפסת.

סעיף ג(2)

תשובה:

g(x)>0g(x)>0 לכל xx בתחום; אסימפטוטות אנכיות x=−2x=-2 ו-x=4x=4, אין אסימפטוטה אופקית. שלושה ענפים בצורת קערה: משמאל ל-x=−2x=-2 מינימום (−6,1a2)\left(-6,\frac{1}{a^2}\right); בין x=−2x=-2 ל-x=4x=4 מינימום (1,14a2)\left(1,\frac{1}{4a^2}\right); מימין ל-x=4x=4 מינימום (9,4a2)\left(9,\frac{4}{a^2}\right). כל ענף יורד מ-+∞+\infty עד המינימום ועולה ל-+∞+\infty.

סימן: gg היא 1 חלקי ריבוע, ולכן g(x)>0g(x)>0 לכל xx בתחום.

אסימפטוטות: כאשר x→−2x\to-2 או x→4x\to4, f(x)→0f(x)\to0 ולכן g(x)→+∞g(x)\to+\infty משני הצדדים - אסימפטוטות אנכיות x=−2x=-2 ו-x=4x=4. כאשר x→±∞x\to\pm\infty, f(x)→0f(x)\to0 ולכן g(x)→+∞g(x)\to+\infty - ל-gg אין אסימפטוטה אופקית.

מונוטוניות: g′(x)=−2f′(x)(f(x))3g'(x)=\frac{-2f'(x)}{(f(x))^3}.

עבור x<−2x<-2: f<0f<0, ולכן g′g' באותו סימן כמו f′f'. ff יורדת ב-x<−6x<-6 ועולה ב-−6<x<−2-6<x<-2, ולכן גם gg יורדת ואחר כך עולה. מינימום: g(−6)=1(−a)2=1a2g(-6)=\frac{1}{(-a)^2}=\frac{1}{a^2}.

עבור −2<x<4-2<x<4: f>0f>0, ולכן g′g' בסימן הפוך ל-f′f': gg יורדת ב-−2<x<1-2<x<1 ועולה ב-1<x<41<x<4. מינימום: g(1)=1(2a)2=14a2g(1)=\frac{1}{(2a)^2}=\frac{1}{4a^2}.

עבור x>4x>4: f<0f<0, ולכן g′g' באותו סימן כמו f′f': gg יורדת ב-4<x<94<x<9 ועולה ב-x>9x>9. מינימום: g(9)=1(−a2)2=4a2g(9)=\frac{1}{\left(-\frac a2\right)^2}=\frac{4}{a^2}.

הסקיצה: שלושה ענפים בצורת "קערה", מופרדים על ידי x=−2x=-2 ו-x=4x=4. המינימום האמצעי (14a2\frac{1}{4a^2}) הנמוך ביותר, אחריו השמאלי (1a2\frac{1}{a^2}), והימני (4a2\frac{4}{a^2}) הגבוה ביותר.

טעות נפוצה: להעתיק את סוג הקיצון מ-ff ולסרטט ל-gg מקסימום בנקודה (1,14a2)\left(1,\frac{1}{4a^2}\right) - כש-∣f∣|f| מקסימלי, השבר 1f2\frac{1}{f^2} מינימלי, ולכן כל נקודות הקיצון של gg הן מינימום.

סעיף ג(3)

תשובה:

a=2a=2

לפי הסקיצה, ישר אופקי y=cy=c חותך כל ענף פעמיים אם cc גבוה מהמינימום של הענף, משיק לו אם cc שווה למינימום, ולא פוגש אותו אם cc נמוך יותר.

המינימומים לפי הסדר: 14a2<1a2<4a2\frac{1}{4a^2}<\frac{1}{a^2}<\frac{4}{a^2}. לכן מספר הנקודות המשותפות:

c=14a2c=\frac{1}{4a^2}: נקודה אחת; 14a2<c<1a2\frac{1}{4a^2}<c<\frac{1}{a^2}: שתיים; c=1a2c=\frac{1}{a^2}: שלוש (שתיים בענף האמצעי, ונקודת השקה בענף השמאלי); 1a2<c<4a2\frac{1}{a^2}<c<\frac{4}{a^2}: ארבע; c=4a2c=\frac{4}{a^2}: חמש; מעל זה: שש.

לכן בדיוק 3 נקודות משותפות מתקבלות רק כאשר c=1a2c=\frac{1}{a^2}:

1a+2=1a2⇒a2=a+2⇒a2−a−2=0⇒(a−2)(a+1)=0\frac{1}{a+2}=\frac{1}{a^2}\quad\Rightarrow\quad a^2=a+2\quad\Rightarrow\quad a^2-a-2=0\quad\Rightarrow\quad(a-2)(a+1)=0

a=−1a=-1 נפסל, כי aa חיובי. לכן a=2a=2.

טעות נפוצה: להשוות את הישר למינימום הנמוך ביותר, 1a+2=14a2\frac{1}{a+2}=\frac{1}{4a^2}, ולקבל 4a2−a−2=04a^2-a-2=0 ו-a=1+338≈0.84a=\frac{1+\sqrt{33}}{8}\approx0.84 - בגובה הזה לישר ולגרף יש נקודה משותפת אחת בלבד.

סעיף ד(1)

תשובה:

g(x)=4(x2−4)2+1g(x)=\frac{4}{(x^2-4)^2}+1

מחפשים פונקציה קדומה של ff. במונה יש xx, וזו (עד כדי קבוע) הנגזרת של הביטוי הפנימי x2−4x^2-4: (x2−4)′=2x(x^2-4)'=2x. לכן:

f(x)=−16x(x2−4)3=−8⋅2x⋅(x2−4)−3f(x)=\frac{-16x}{(x^2-4)^3}=-8\cdot2x\cdot(x^2-4)^{-3}
∫−8⋅2x(x2−4)−3 dx=−8⋅(x2−4)−2−2+C=4(x2−4)2+C\int-8\cdot2x(x^2-4)^{-3}\,dx=-8\cdot\frac{(x^2-4)^{-2}}{-2}+C=\frac{4}{(x^2-4)^2}+C

בדיקה: (4(x2−4)−2)′=4⋅(−2)(x2−4)−3⋅2x=−16x(x2−4)3=f(x)\left(4(x^2-4)^{-2}\right)'=4\cdot(-2)(x^2-4)^{-3}\cdot2x=\frac{-16x}{(x^2-4)^3}=f(x).

הגרף עובר דרך (0,1.25)(0,1.25):

4(0−4)2+C=1.25⇒0.25+C=1.25⇒C=1\frac{4}{(0-4)^2}+C=1.25\quad\Rightarrow\quad0.25+C=1.25\quad\Rightarrow\quad C=1

פונקציה מתאימה: g(x)=4(x2−4)2+1g(x)=\frac{4}{(x^2-4)^2}+1.

(הנקודה הנתונה נמצאת בענף −2<x<2-2<x<2; בענפים האחרים הקבוע יכול להיות אחר, ולכן מבקשים "פונקציה" המקיימת את התנאים.)

טעות נפוצה: לשכוח לחלק ב-2 של הנגזרת הפנימית ולכתוב 8(x2−4)2+C\frac{8}{(x^2-4)^2}+C; מהנקודה מקבלים C=0.75C=0.75 ואת הפונקציה השגויה 8(x2−4)2+0.75\frac{8}{(x^2-4)^2}+0.75.

סעיף ד(2)

תשובה:

גרף II

מסיקים את צורת gg מהנגזרת שלה, g′(x)=f(x)g'(x)=f(x), ומהפונקציה שמצאנו בסעיף ד(1).

1. לפי הגרף של ff: עבור x>2x>2, f(x)<0f(x)<0, ולכן gg יורדת בענף הימני. גרף I נפסל: הענף הימני שלו עולה.

2. בענף האמצעי f(x)<0f(x)<0 עבור −2<x<0-2<x<0 ו-f(x)>0f(x)>0 עבור 0<x<20<x<2, כלומר ff מחליפה סימן ב-x=0x=0 מ-−- ל-++. לכן ל-gg יש ב-x=0x=0 נקודת מינימום, והענף האמצעי יורד ואחר כך עולה. גרף IV נפסל: לענף האמצעי שלו יש מקסימום ב-x=0x=0.

3. אסימפטוטות: g(x)=4(x2−4)2+1g(x)=\frac{4}{(x^2-4)^2}+1, וכאשר x→±∞x\to\pm\infty, 4(x2−4)2→0\frac{4}{(x^2-4)^2}\to0 ו-g→1g\to1 - אסימפטוטה אופקית y=1y=1 מעל ציר ה-xx; גם g(0)=1.25>0g(0)=1.25>0. גרף III נפסל: האסימפטוטה האופקית שלו מתחת לציר ה-xx, והמינימום שלו שלילי.

בגרף II: הענף השמאלי עולה (f>0f>0 עבור x<−2x<-2), לענף האמצעי מינימום ב-x=0x=0, הענף הימני יורד, והאסימפטוטה האופקית מעל ציר ה-xx.

הגרף המתאים: גרף II.

טעות נפוצה: לבחור בגרף IV, כי גם בו הענפים החיצוניים מתאימים והאסימפטוטה האופקית היא y=1y=1 - ולהתעלם מכך ש-ff עוברת ב-x=0x=0 משלילית לחיובית, ולכן ל-gg יש שם מינימום ולא מקסימום.

שאלה 2 · סדרה חשבונית עם פרמטר: מונוטוניות, סדרה חדשה וסכום מתחלף של ריבועים

בסדרה חשבונית A נתון: a2=7−2ka_2=7-2k, a6=3+6ka_6=3+6k. kk הוא פרמטר.

א.
(1)

מצאו עבור אילו ערכים של kk: הסדרה A עולה.

(2)

מצאו עבור אילו ערכים של kk: הסדרה A יורדת.

(3)

מצאו עבור אילו ערכים של kk: הסדרה A קבועה.

ב.

נתון כי: a21=−84a_{21}=-84.

מצאו את הערך של kk.

הציבו את הערך של kk שמצאתם וענו על הסעיפים ג-ד. נתונה סדרה חדשה, B, שאיבריה מוגדרים כך: לכל nn טבעי, bn=an+8n−15b_n=a_n+8n-15.

ג.

הוכיחו כי הסדרה B היא חשבונית.

ד.

חשבו את הסכום: b12−b22+b32−b42+⋯+b392−b402b_1^2-b_2^2+b_3^2-b_4^2+\dots+b_{39}^2-b_{40}^2.

◂ פתרון מלא לשאלה 2

סעיף א(1)

תשובה:

k>12k>\frac12

בין a2a_2 ל-a6a_6 יש ארבעה הפרשים: a6=a2+4da_6=a_2+4d, ולכן

4d=a6−a2=(3+6k)−(7−2k)=8k−4⇒d=2k−14d=a_6-a_2=(3+6k)-(7-2k)=8k-4\quad\Rightarrow\quad d=2k-1

הסדרה עולה כאשר d>0d>0:

2k−1>0⇒k>122k-1>0\quad\Rightarrow\quad k>\frac12

טעות נפוצה: לחסר בלי סוגריים, 3+6k−7−2k=4k−43+6k-7-2k=4k-4, לקבל d=k−1d=k-1, ומשם שהסדרה עולה עבור k>1k>1.

סעיף א(2)

תשובה:

k<12k<\frac12

הסדרה יורדת כאשר d<0d<0:

2k−1<0⇒k<122k-1<0\quad\Rightarrow\quad k<\frac12

טעות נפוצה: לענות k≤12k\le\frac12 - עבור k=12k=\frac12 ההפרש 0 והסדרה קבועה.

סעיף א(3)

תשובה:

k=12k=\frac12

הסדרה קבועה כאשר d=0d=0:

2k−1=0⇒k=122k-1=0\quad\Rightarrow\quad k=\frac12

(אז a2=a6=6a_2=a_6=6 וכל האיברים שווים 6.)

טעות נפוצה: לחשוב שסדרה קבועה היא סדרת אפסים, לדרוש a2=7−2k=0a_2=7-2k=0 ולקבל k=72k=\frac72.

סעיף ב

תשובה:

k=−2k=-2

האיבר הראשון: a1=a2−d=7−2k−(2k−1)=8−4ka_1=a_2-d=7-2k-(2k-1)=8-4k.

a21=a1+20d=8−4k+20(2k−1)=36k−12a_{21}=a_1+20d=8-4k+20(2k-1)=36k-12
36k−12=−84⇒k=−236k-12=-84\quad\Rightarrow\quad k=-2

טעות נפוצה: לכתוב a21=a2+20da_{21}=a_2+20d (מ-a2a_2 ל-a21a_{21} יש רק 19 הפרשים), לקבל 38k−13=−8438k-13=-84, כלומר k=−7138k=-\frac{71}{38}.

סעיף ג

תשובה:

הוכחה (bn=3n+6b_n=3n+6, ההפרש 3)

מציבים k=−2k=-2: a1=8+8=16a_1=8+8=16, d=−5d=-5, ולכן

an=16−5(n−1)=21−5na_n=16-5(n-1)=21-5n
bn=an+8n−15=21−5n+8n−15=3n+6b_n=a_n+8n-15=21-5n+8n-15=3n+6
bn+1−bn=(3(n+1)+6)−(3n+6)=3b_{n+1}-b_n=\big(3(n+1)+6\big)-(3n+6)=3

ההפרש קבוע לכל nn, ולכן B חשבונית, b1=9b_1=9 והפרשה 3.

טעות נפוצה: להסתפק בבדיקה b2−b1=b3−b2=3b_2-b_1=b_3-b_2=3 - שוויון בכמה איברים ראשונים אינו הוכחה; צריך את bn+1−bnb_{n+1}-b_n הכללי.

סעיף ד

תשובה:

−8100-8100

לכל זוג, בהפרש ריבועים:

b2m−12−b2m2=(b2m−1−b2m)(b2m−1+b2m)=−3 (b2m−1+b2m)b_{2m-1}^2-b_{2m}^2=(b_{2m-1}-b_{2m})(b_{2m-1}+b_{2m})=-3\,(b_{2m-1}+b_{2m})

לכן הסכום הוא −3S40-3S_{40}, כאשר S40S_{40} סכום 40 האיברים הראשונים של B.

b1=9b_1=9, b40=3⋅40+6=126b_{40}=3\cdot40+6=126:

S40=402(9+126)=2700⇒−3⋅2700=−8100S_{40}=\frac{40}{2}(9+126)=2700\quad\Rightarrow\quad -3\cdot2700=-8100

טעות נפוצה: להפוך את סדר החיסור (b2m−1−b2m=3b_{2m-1}-b_{2m}=3) ולקבל 81008100 - בסדרה עולה כל זוג "ריבוע אי-זוגי פחות ריבוע זוגי" שלילי.

שאלה 3 · ברנולי: מציאת p מיחס הסתברויות, "רוב" והסתברות מותנית

בבית ספר גדול, חלק מהתלמידים מגיעים לבית הספר באופניים. אם בוחרים באקראי 5 תלמידים, ההסתברות שבדיוק 2 מהם מגיעים באופניים מהווה 67\frac67 מההסתברות שבדיוק אחד מהם מגיע באופניים.

א.

בוחרים באקראי תלמיד. מהי ההסתברות שהוא מגיע באופניים?

ב.

נבחרו באקראי 5 תלמידים.

(1)

מהי ההסתברות שרוב התלמידים שנבחרו אינם מגיעים באופניים?

(2)

מהי ההסתברות שהתלמיד שנבחר שני מגיע באופניים, אם ידוע שרוב התלמידים שנבחרו אינם מגיעים באופניים?

(3)

מהי ההסתברות שרוב התלמידים שנבחרו אינם מגיעים באופניים, אם ידוע שהתלמיד הראשון שנבחר מגיע באופניים?

◂ פתרון מלא לשאלה 3

סעיף א

תשובה:

p=0.3p=0.3

נסמן ב-pp את ההסתברות שתלמיד מגיע באופניים, q=1−pq=1-p:

(52)p2q3=67(51)pq4⇒10p2q3=307pq4\binom52p^2q^3=\frac67\binom51pq^4\quad\Rightarrow\quad10p^2q^3=\frac{30}{7}pq^4

מחלקים ב-pq3pq^3: 10p=307q10p=\frac{30}{7}q, כלומר 7p=3q=3−3p7p=3q=3-3p, ולכן p=0.3p=0.3.

טעות נפוצה: לשכוח את המקדמים הבינומיים, לקבל p=67qp=\frac67q ו-p=613≈0.46p=\frac{6}{13}\approx0.46.

סעיף ב(1)

תשובה:

≈0.8369\approx0.8369

רוב מתוך 5 הוא לפחות 3, ולכן לכל היותר 2 מגיעים באופניים (X≤2X\le2):

P(X≤2)=0.75+5⋅0.3⋅0.74+10⋅0.32⋅0.73=0.16807+0.36015+0.3087=0.83692P(X\le2)=0.7^5+5\cdot0.3\cdot0.7^4+10\cdot0.3^2\cdot0.7^3=0.16807+0.36015+0.3087=0.83692

טעות נפוצה: לחשב את ההסתברות שרובם כן מגיעים באופניים (X≥3X\ge3) ולקבל ≈0.1631\approx0.1631.

סעיף ב(2)

תשובה:

57244≈0.2336\frac{57}{244}\approx0.2336

AA - השני מגיע באופניים; BB - לכל היותר 2 מגיעים באופניים (P(B)=0.83692P(B)=0.83692).

A∩BA\cap B: השני מגיע באופניים, ומבין 4 האחרים לכל היותר אחד:

P(A∩B)=0.3⋅(0.74+4⋅0.3⋅0.73)=0.3⋅0.6517=0.19551P(A\cap B)=0.3\cdot\left(0.7^4+4\cdot0.3\cdot0.7^3\right)=0.3\cdot0.6517=0.19551
P(A∣B)=0.195510.83692=57244≈0.2336P(A|B)=\frac{0.19551}{0.83692}=\frac{57}{244}\approx0.2336

טעות נפוצה: לא לחלק ב-P(B)P(B) ולענות P(A∩B)≈0.1955P(A\cap B)\approx0.1955.

סעיף ב(3)

תשובה:

≈0.6517\approx0.6517

הראשון מגיע באופניים, ולכן מבין 4 האחרים לכל היותר אחד מגיע באופניים:

P=0.74+4⋅0.3⋅0.73=0.2401+0.4116=0.6517P=0.7^4+4\cdot0.3\cdot0.7^3=0.2401+0.4116=0.6517

טעות נפוצה: לדרוש לכל היותר 2 מבין 4 האחרים (לשכוח את הראשון) ולקבל ≈0.9163\approx0.9163.

שאלה 4 · משולש שווה שוקיים חסום במעגל: מיתרים מקבילים, מקבילית ומשולש שווה שוקיים

משולש שווה שוקיים ABCABC (CA=CBCA=CB) חסום במעגל.

נקודות DD ו-LL נמצאות על המעגל כך ש-BD∥LCBD\parallel LC.

המיתרים ALAL ו-BDBD נחתכים בנקודה EE (ראו ציור).

ABCDLE
א.

הוכיחו כי המרובע LEDCLEDC הוא מקבילית.

ב.

אילו מן התוצאות שלהלן ניתן להסיק בוודאות מהנתונים:

(1)

המשולש ADEADE שווה שוקיים.

(2)

המשולש CDECDE שווה שוקיים.

(3)

המשולש BCDBCD הוא ישר זווית.

ג.

מה ניתן יהיה לומר על הנקודה EE, אם BDBD חוצה את הזווית ABCABC? נמקו.

◂ פתרון מלא לשאלה 4

סעיף א

תשובה:

LC∥EDLC\parallel ED (נתון) ו-LE∥CDLE\parallel CD, ולכן LEDCLEDC מקבילית

נסמן ∢CAB=∢CBA=β\sphericalangle CAB=\sphericalangle CBA=\beta (המשולש שווה שוקיים, CA=CBCA=CB).

∢ALC=∢ABC=β\sphericalangle ALC=\sphericalangle ABC=\beta - זוויות היקפיות על הקשת ACAC.

∢CDB=∢CAB=β\sphericalangle CDB=\sphericalangle CAB=\beta - זוויות היקפיות על הקשת CBCB.

LC∥BDLC\parallel BD, ולכן ∢LCD=180∘−∢CDB=180∘−β\sphericalangle LCD=180^\circ-\sphericalangle CDB=180^\circ-\beta (זוויות חד-צדדיות).

∢ALC+∢LCD=β+180∘−β=180∘\sphericalangle ALC+\sphericalangle LCD=\beta+180^\circ-\beta=180^\circ, ולכן LE∥CDLE\parallel CD.

שני זוגות צלעות נגדיות מקבילות - LEDCLEDC מקבילית.

טעות נפוצה: להשתמש ב-∢ALC=∢ABC\sphericalangle ALC=\sphericalangle ABC וב-∢CDB=∢CAB\sphericalangle CDB=\sphericalangle CAB בלי לנצל ש-CA=CBCA=CB - בלי השוויון ∢CAB=∢CBA\sphericalangle CAB=\sphericalangle CBA הסכום ∢ALC+∢LCD\sphericalangle ALC+\sphericalangle LCD אינו 180∘180^\circ.

סעיף ב(1)

תשובה:

נכון בוודאות (DA=DEDA=DE)

במקבילית ∢LED=∢LCD=180∘−β\sphericalangle LED=\sphericalangle LCD=180^\circ-\beta, ולכן ∢AED=β\sphericalangle AED=\beta (צמודות).

∢ADE=∢ADB=∢ACB=180∘−2β\sphericalangle ADE=\sphericalangle ADB=\sphericalangle ACB=180^\circ-2\beta - זוויות היקפיות על הקשת ABAB.

∢DAE=180∘−(180∘−2β)−β=β=∢AED\sphericalangle DAE=180^\circ-(180^\circ-2\beta)-\beta=\beta=\sphericalangle AED.

לכן המשולש ADEADE שווה שוקיים: DA=DEDA=DE.

טעות נפוצה: לחפש שוויון בין ∢ADE\sphericalangle ADE ל-∢AED\sphericalangle AED ולהסיק AE=ADAE=AD - הזוויות השוות הן ב-AA וב-EE, ולכן השוקיים השוות הן DADA ו-DEDE.

סעיף ב(2)

תשובה:

לא ניתן להסיק בוודאות (נכון כאשר DD אמצע הקשת ACAC)

∢CDE=β\sphericalangle CDE=\beta, ו-∢DEC\sphericalangle DEC, ∢DCE\sphericalangle DCE תלויות במיקום DD.

למשל, DC=DEDC=DE אם ורק אם DC=DADC=DA (לפי ב(1)), כלומר DD אמצע הקשת ACAC - זה לא נתון.

בציור DC≈2DEDC\approx2DE והזוויות של המשולש שונות זו מזו, ולכן אי אפשר להסיק בוודאות שהוא שווה שוקיים.

טעות נפוצה: להסיק CD=DECD=DE מכך ש-CD=LECD=LE (צלעות נגדיות במקבילית) - LELE ו-DEDE הם קטעים שונים, ושוויון ביניהם לא נתון.

סעיף ב(3)

תשובה:

לא ניתן להסיק בוודאות

∢BDC=β<90∘\sphericalangle BDC=\beta<90^\circ. זווית ישרה ב-CC או ב-BB נשענת על קוטר (BDBD או CDCD), וזה לא נתון.

בציור ∢BCD≈70∘\sphericalangle BCD\approx70^\circ ו-∢CBD≈45∘\sphericalangle CBD\approx45^\circ, כלומר המשולש אינו ישר זווית. לכן לא ניתן להסיק זאת.

טעות נפוצה: להסיק שהמשולש ישר זווית כי ∢BCD\sphericalangle BCD "נשענת על הקשת BDBD" שנראית כמו חצי מעגל - בציור ∢BCD=70∘\sphericalangle BCD=70^\circ; זווית היקפית ישרה רק כשהיא נשענת על קוטר.

סעיף ג

תשובה:

EE היא מרכז המעגל החסום במשולש ABCABC (מפגש חוצי הזוויות)

אם BDBD חוצה את ∢ABC\sphericalangle ABC: ∢ABD=∢DBC=β2\sphericalangle ABD=\sphericalangle DBC=\frac{\beta}{2}.

∢DAC=∢DBC=β2\sphericalangle DAC=\sphericalangle DBC=\frac{\beta}{2} - זוויות היקפיות על הקשת DCDC.

לפי ב(1) ∢DAE=β\sphericalangle DAE=\beta, ולכן ∢CAE=∢DAE−∢DAC=β−β2=β2\sphericalangle CAE=\sphericalangle DAE-\sphericalangle DAC=\beta-\frac{\beta}{2}=\frac{\beta}{2}.

∢EAB=∢CAB−∢CAE=β−β2=β2\sphericalangle EAB=\sphericalangle CAB-\sphericalangle CAE=\beta-\frac{\beta}{2}=\frac{\beta}{2}, ולכן AEAE חוצה את ∢CAB\sphericalangle CAB.

EE היא נקודת החיתוך של שני חוצי זוויות במשולש ABCABC, ולכן היא מרכז המעגל החסום במשולש.

טעות נפוצה: להעתיק את התשובה של משולש שווה צלעות ולענות ש-EE היא מרכז המעגל החוסם - כאן המשולש רק שווה שוקיים, ומרכז המעגל החוסם אינו על חוצה הזווית BB.

שאלה 5 · משולש ישר זווית ומשולש צמוד: משפט הקוסינוסים, מעגל חסום ומרחק בין מרכזי המעגלים (משולש 3-4-5)

בסרטוט שלפניכם משולש ישר זווית ABC (∠ABC=90∘\angle ABC=90^\circ). על הצלע AC בנו משולש נוסף ACD כך ש-AC הוא חוצה זווית BAD. נסמן: ∠CAB=α\angle CAB=\alpha, AB=kAB=k.

BACD
א.

הביעו באמצעות kk ו-α\alpha את האורך של AC.

ב.

נתון: CD=354⋅kCD=\frac{3\sqrt5}{4}\cdot k, AD=2.5⋅kAD=2.5\cdot k.

חשבו את הערך של α\alpha.

הציבו cos⁡α=0.8\cos\alpha=0.8 וענו על סעיפים ג-ד. הנקודה M היא מרכז המעגל החסום במשולש ABC.

ג.

הביעו באמצעות kk את רדיוס המעגל החסום במשולש ABC.

ד.

הנקודה E היא מרכז המעגל החוסם את המשולש ABC. נתון: ME=10ME=\sqrt{10}.

חשבו את הערך של kk.

◂ פתרון מלא לשאלה 5

סעיף א

תשובה:

AC=kcos⁡αAC=\frac{k}{\cos\alpha}

AC הוא היתר במשולש ישר הזווית ABC, ו-AB הוא הניצב שליד α\alpha:

cos⁡α=ABAC⇒AC=kcos⁡α\cos\alpha=\frac{AB}{AC}\quad\Rightarrow\quad AC=\frac{k}{\cos\alpha}

טעות נפוצה: לבלבל בין הניצבים ולכתוב sin⁡α=kAC\sin\alpha=\frac{k}{AC}, כלומר AC=ksin⁡αAC=\frac{k}{\sin\alpha} - אבל AB הוא הניצב שליד הזווית α\alpha, לא מולה.

סעיף ב

תשובה:

cos⁡α=0.8\cos\alpha=0.8, α≈36.87∘\alpha\approx36.87^\circ

AC חוצה את הזווית BAD, ולכן ∠CAD=α\angle CAD=\alpha. משפט הקוסינוסים במשולש ACD:

CD2=AC2+AD2−2⋅AC⋅AD⋅cos⁡αCD^2=AC^2+AD^2-2\cdot AC\cdot AD\cdot\cos\alpha
4516k2=k2cos⁡2α+6.25k2−2⋅kcos⁡α⋅2.5k⋅cos⁡α=k2cos⁡2α+6.25k2−5k2\frac{45}{16}k^2=\frac{k^2}{\cos^2\alpha}+6.25k^2-2\cdot\frac{k}{\cos\alpha}\cdot2.5k\cdot\cos\alpha=\frac{k^2}{\cos^2\alpha}+6.25k^2-5k^2

מחלקים ב-k2k^2: 1cos⁡2α=4516−2016=2516\frac{1}{\cos^2\alpha}=\frac{45}{16}-\frac{20}{16}=\frac{25}{16}, ולכן cos⁡2α=1625\cos^2\alpha=\frac{16}{25}.

α\alpha חדה, ולכן cos⁡α=45=0.8\cos\alpha=\frac45=0.8 ו-α≈36.87∘\alpha\approx36.87^\circ.

טעות נפוצה: להציב AC=kcos⁡αAC=k\cos\alpha (יחס הפוך בסעיף א); אז cos⁡α\cos\alpha לא מצטמצם, מתקבל 4cos⁡2α=55164\cos^2\alpha=\frac{55}{16}, ומקבלים α≈22.02∘\alpha\approx22.02^\circ.

סעיף ג

תשובה:

r=k4r=\frac{k}{4}

cos⁡α=0.8\cos\alpha=0.8, ולכן sin⁡α=0.6\sin\alpha=0.6 ו-tan⁡α=0.75\tan\alpha=0.75.

AC=k0.8=1.25kAC=\frac{k}{0.8}=1.25k, BC=ktan⁡α=0.75kBC=k\tan\alpha=0.75k (משולש 3-4-5).

שטח: S=k⋅0.75k2=3k28S=\frac{k\cdot0.75k}{2}=\frac{3k^2}{8}. היקף: P=k+0.75k+1.25k=3kP=k+0.75k+1.25k=3k.

r=2SP=3k243k=k4r=\frac{2S}{P}=\frac{\frac{3k^2}{4}}{3k}=\frac{k}{4}

(בדיקה: r=AB+BC−AC2=k+0.75k−1.25k2=k4r=\frac{AB+BC-AC}{2}=\frac{k+0.75k-1.25k}{2}=\frac{k}{4}.)

טעות נפוצה: להשתמש ב-r=SPr=\frac{S}{P} ולקבל r=k8r=\frac{k}{8}.

סעיף ד

תשובה:

k=82≈11.31k=8\sqrt2\approx11.31

מרכז המעגל החוסם משולש ישר זווית הוא אמצע היתר: E אמצע AC, ו-AE=1.25k2=0.625kAE=\frac{1.25k}{2}=0.625k.

נסמן ב-T את נקודת ההשקה של המעגל החסום עם AC. MT⊥ACMT\perp AC ו-MT=r=k4MT=r=\frac{k}{4}.

קטעי המשיקים מהקודקוד A:

AT=AB+AC−BC2=k+1.25k−0.75k2=0.75kAT=\frac{AB+AC-BC}{2}=\frac{k+1.25k-0.75k}{2}=0.75k

הפעם AT>AEAT>AE, כלומר T נמצאת בין E ל-C: ET=AT−AE=0.75k−0.625k=k8ET=AT-AE=0.75k-0.625k=\frac{k}{8}.

במשולש ישר הזווית MTE (פיתגורס):

ME2=MT2+ET2=k216+k264=5k264⇒ME=5k8ME^2=MT^2+ET^2=\frac{k^2}{16}+\frac{k^2}{64}=\frac{5k^2}{64}\quad\Rightarrow\quad ME=\frac{\sqrt5k}{8}
5k8=10⇒k=8105=82≈11.31\frac{\sqrt5k}{8}=\sqrt{10}\quad\Rightarrow\quad k=\frac{8\sqrt{10}}{\sqrt5}=8\sqrt2\approx11.31

טעות נפוצה: לחשוב ש-ME הוא יתר במשולש ישר זווית שניצביו rr ו-R=AER=AE; אז ME2=k216+25k264=29k264ME^2=\frac{k^2}{16}+\frac{25k^2}{64}=\frac{29k^2}{64}, ומקבלים k≈4.70k\approx4.70.

שאלה 6 · שתי פונקציות רציונליות אי-זוגיות עם : חזקה זוגית ואי-זוגית במכנה, זיהוי גרף ושטח

נתונות הפונקציות: g(x)=4x3(x4−1)3g(x)=\frac{4x^3}{(x^4-1)^3}, f(x)=4x3(x4−1)2f(x)=\frac{4x^3}{(x^4-1)^2}.

א.

ענו על תת-סעיפים (1)-(4) בעבור כל אחת משתי הפונקציות f(x)f(x) ו-g(x)g(x).

(1)

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה.

(2)

מצאו את משוואות האסימפטוטות של הפונקציה המאונכות לצירים.

(3)

הראו כי אין לפונקציה נקודות קיצון.

(4)

הוכיחו כי הפונקציה היא אי-זוגית.

ב.

הגרף שלפניכם מתאר את אחת הפונקציות f(x)f(x), g(x)g(x).

(1)

קבעו איזו מן הפונקציות הגרף מתאר. נמקו את קביעתכם.

(2)

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה האחרת.

ג.

נתונה פונקציה h(x)h(x) המקיימת: h′(x)=g(x)h'(x)=g(x). g(x)g(x) ו-h(x)h(x) מוגדרות באותו תחום.

מה הם תחומי העלייה והירידה של h(x)h(x)?

ד.
(1)

חשבו את ∫−1212f(x) dx\int_{-\frac{1}{\sqrt2}}^{\frac{1}{\sqrt2}}f(x)\,dx. נמקו את תשובתכם.

(2)

חשבו את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה f(x)f(x), ציר ה-xx והישרים: x=−12x=-\frac{1}{\sqrt2}, x=12x=\frac{1}{\sqrt2}. (הדרכה: הנגזרת של x4−1x^4-1 היא 4x34x^3.)

ה.

נתונה הפונקציה: k(x)=f(x−b)k(x)=f(x-b), b≠0b\neq0 הוא פרמטר.

האם הפונקציה k(x)k(x) זוגית, אי-זוגית או לא זוגית ולא אי-זוגית? נמקו את תשובתכם.

◂ פתרון מלא לשאלה 6

סעיף א(1)

תשובה:

f(x)f(x): x≠±1x\neq\pm1; g(x)g(x): x≠±1x\neq\pm1

המכנה מתאפס כאשר x4−1=0x^4-1=0, כלומר x4=1x^4=1. הפתרונות הממשיים: x=1x=1 ו-x=−1x=-1.

(בפירוק: x4−1=(x2−1)(x2+1)x^4-1=(x^2-1)(x^2+1), והגורם x2+1x^2+1 חיובי תמיד.)

תחום ההגדרה של שתי הפונקציות: x≠±1x\neq\pm1.

טעות נפוצה: לפתור x4=1x^4=1 ולקבל רק x=1x=1, ולכתוב תחום x≠1x\neq1 - גם (−1)4=1(-1)^4=1.

סעיף א(2)

תשובה:

לשתי הפונקציות: x=−1x=-1, x=1x=1, y=0y=0

ב-x=±1x=\pm1 המכנה מתאפס והמונה 4x3=±4≠04x^3=\pm4\neq0, ולכן x=1x=1 ו-x=−1x=-1 אסימפטוטות אנכיות של שתי הפונקציות.

מעלת המונה 3; מעלת המכנה 8 ב-ff ו-12 ב-gg. מעלת המונה קטנה, ולכן כאשר x→±∞x\to\pm\infty שתיהן שואפות ל-0: y=0y=0.

טעות נפוצה: לחשוב שב-ff אין אסימפטוטות אנכיות כי המכנה בריבוע חיובי, ולענות רק y=0y=0 - המכנה חיובי אבל שואף ל-0, והשבר שואף לאינסוף.

סעיף א(3)

תשובה:

f′(x)=−4x2(5x4+3)(x4−1)3f'(x)=\frac{-4x^2(5x^4+3)}{(x^4-1)^3}, g′(x)=−12x2(3x4+1)(x4−1)4g'(x)=\frac{-12x^2(3x^4+1)}{(x^4-1)^4}; הנגזרות מתאפסות רק ב-x=0x=0 ואינן מחליפות שם סימן

נגזרת המכנה בכלל השרשרת: [(x4−1)2]′=2(x4−1)⋅4x3\left[(x^4-1)^2\right]'=2(x^4-1)\cdot4x^3.

f′(x)=12x2(x4−1)2−4x3⋅2(x4−1)⋅4x3(x4−1)4=12x2(x4−1)−32x6(x4−1)3=−4x2(5x4+3)(x4−1)3f'(x)=\frac{12x^2(x^4-1)^2-4x^3\cdot2(x^4-1)\cdot4x^3}{(x^4-1)^4}=\frac{12x^2(x^4-1)-32x^6}{(x^4-1)^3}=\frac{-4x^2(5x^4+3)}{(x^4-1)^3}

f′(x)=0f'(x)=0 רק ב-x=0x=0. בסביבת 0 (בין −1-1 ל-1) המכנה (x4−1)3(x^4-1)^3 שלילי, ו-−4x2(5x4+3)≤0-4x^2(5x^4+3)\le0, ולכן f′(x)>0f'(x)>0 משני צדי 0. הנגזרת לא מחליפה סימן - אין קיצון ב-0 (רק נקודה שבה המשיק אופקי).

ל-gg, עם [(x4−1)3]′=3(x4−1)2⋅4x3\left[(x^4-1)^3\right]'=3(x^4-1)^2\cdot4x^3:

g′(x)=12x2(x4−1)3−4x3⋅3(x4−1)2⋅4x3(x4−1)6=12x2(x4−1)−48x6(x4−1)4=−12x2(3x4+1)(x4−1)4g'(x)=\frac{12x^2(x^4-1)^3-4x^3\cdot3(x^4-1)^2\cdot4x^3}{(x^4-1)^6}=\frac{12x^2(x^4-1)-48x^6}{(x^4-1)^4}=\frac{-12x^2(3x^4+1)}{(x^4-1)^4}

המכנה חזקה רביעית, חיובי, ולכן g′(x)≤0g'(x)\le0, ומתאפסת רק ב-x=0x=0 - שוב בלי החלפת סימן.

לכן לשתי הפונקציות אין נקודות קיצון.

טעות נפוצה: לעצור ב-f′(0)=0f'(0)=0 ולהכריז על "נקודת קיצון (0,0)(0,0)" - נקודה שבה הנגזרת מתאפסת היא קיצון רק אם הנגזרת מחליפה בה סימן.

סעיף א(4)

תשובה:

התחום סימטרי, ו-f(−x)=−f(x)f(-x)=-f(x), g(−x)=−g(x)g(-x)=-g(x)

התחום x≠±1x\neq\pm1 סימטרי ביחס ל-0.

(−x)3=−x3(-x)^3=-x^3 ו-(−x)4=x4(-x)^4=x^4, ולכן:

f(−x)=4(−x)3((−x)4−1)2=−4x3(x4−1)2=−f(x),g(−x)=−4x3(x4−1)3=−g(x)f(-x)=\frac{4(-x)^3}{((-x)^4-1)^2}=\frac{-4x^3}{(x^4-1)^2}=-f(x),\qquad g(-x)=\frac{-4x^3}{(x^4-1)^3}=-g(x)

שתי הפונקציות אי-זוגיות.

טעות נפוצה: לכתוב (−x)4=−x4(-x)^4=-x^4, לקבל f(−x)=−4x3(x4+1)2f(-x)=\frac{-4x^3}{(x^4+1)^2} ולהסיק "לא זוגית ולא אי-זוגית".

סעיף ב(1)

תשובה:

הגרף של g(x)g(x)

בגרף, הפונקציה מחליפה כיוון בכל אסימפטוטה אנכית: ליד x=1x=1 היא שואפת ל-−∞-\infty משמאל ול-+∞+\infty מימין (וליד x=−1x=-1: −∞-\infty משמאל, +∞+\infty מימין).

ב-ff המכנה (x4−1)2(x^4-1)^2 חיובי משני צדי x=1x=1, והמונה שם חיובי - f→+∞f\to+\infty משני הצדדים. לא מתאים.

ב-gg המכנה (x4−1)3(x^4-1)^3 שלילי משמאל ל-1 וחיובי מימין, ולכן g→−∞g\to-\infty משמאל ו-g→+∞g\to+\infty מימין - מתאים.

(גם בין −1-1 ל-1: לפי א(3) ff עולה שם ו-gg יורדת, ובגרף הענף האמצעי יורד.)

לכן הגרף מתאר את g(x)g(x).

טעות נפוצה: לבחור ב-f(x)f(x) מתוך מחשבה שחזקה זוגית במכנה גורמת להחלפת הסימן באסימפטוטה - זה הפוך: חזקה זוגית שומרת על הסימן.

סעיף ב(2)

תשובה:

סקיצה של f(x)f(x): עולה בין −1-1 ל-1 (דרך הראשית, עם משיק אופקי בה), יורדת ב-x<−1x<-1 וב-x>1x>1; ליד x=1x=1 שואפת ל-+∞+\infty משני הצדדים וליד x=−1x=-1 ל-−∞-\infty משני הצדדים; אסימפטוטה y=0y=0.

סימן f′f' (סעיף א(3)): בין −1-1 ל-1 המכנה (x4−1)3(x^4-1)^3 שלילי ולכן f′≥0f'\ge0 - עולה; ב-∣x∣>1|x|>1 המכנה חיובי ו-f′<0f'<0 - יורדת.

ליד x=1x=1: המכנה (x4−1)2→0+(x^4-1)^2\to0^+ והמונה ≈4>0\approx4>0, ולכן f→+∞f\to+\infty משני הצדדים. ליד x=−1x=-1 (אי-זוגיות): f→−∞f\to-\infty משני הצדדים.

באינסוף f→0f\to0: מימין מלמעלה (f>0f>0 ל-x>1x>1), משמאל מלמטה.

בראשית: f(0)=0f(0)=0 ומשיק אופקי, בלי קיצון.

טעות נפוצה: לסרטט שקע או פסגה בראשית בגלל f′(0)=0f'(0)=0 - הפונקציה עולה משני צדי 0.

סעיף ג

תשובה:

עלייה: −1<x<0-1<x<0 או x>1x>1; ירידה: x<−1x<-1 או 0<x<10<x<1

h′(x)=g(x)h'(x)=g(x), ולכן hh עולה היכן ש-g>0g>0 ויורדת היכן ש-g<0g<0.

g(x)=4x3(x4−1)3g(x)=\frac{4x^3}{(x^4-1)^3}: הסימן של 4x34x^3 הוא הסימן של xx, והסימן של (x4−1)3(x^4-1)^3 הוא הסימן של x4−1x^4-1 (שלילי ב-∣x∣<1|x|<1, חיובי ב-∣x∣>1|x|>1).

xxx<−1x<-1−1<x<0-1<x<00<x<10<x<1x>1x>1
4x34x^3−-−-++++
(x4−1)3(x^4-1)^3++−-−-++
g(x)=h′(x)g(x)=h'(x)−-++−-++

עלייה: −1<x<0-1<x<0 או x>1x>1. ירידה: x<−1x<-1 או 0<x<10<x<1.

טעות נפוצה: לקבוע את הסימן לפי המונה בלבד (כאילו המכנה ריבוע) ולענות "עלייה ב-x>0x>0" - המכנה של gg בחזקה שלישית ומחליף סימן ב-±1\pm1.

סעיף ד(1)

תשובה:

0

12≈0.71<1\frac{1}{\sqrt2}\approx0.71<1, ולכן האסימפטוטות x=±1x=\pm1 מחוץ לקטע ו-ff רציפה בו.

ff אי-זוגית והקטע סימטרי ביחס ל-0, ולכן השטח שמתחת לציר (משמאל) מקזז בדיוק את השטח שמעליו (מימין):

∫−1212f(x) dx=0\int_{-\frac{1}{\sqrt2}}^{\frac{1}{\sqrt2}}f(x)\,dx=0

טעות נפוצה: לחשב רק את החצי הימני, ∫012f(x) dx=13\int_0^{\frac{1}{\sqrt2}}f(x)\,dx=\frac13, ולענות 13\frac13 - בחצי השמאלי ff שלילית והאינטגרל שם −13-\frac13.

סעיף ד(2)

תשובה:

23\frac23

ff מחליפה סימן ב-0, ולפי הסימטריה השטח הוא פעמיים השטח שבין 0 ל-12\frac{1}{\sqrt2}.

המונה 4x34x^3 הוא בדיוק הנגזרת של הביטוי הפנימי x4−1x^4-1, ולכן:

∫4x3(x4−1)2 dx=−1x4−1+C\int\frac{4x^3}{(x^4-1)^2}\,dx=-\frac{1}{x^4-1}+C
S=2[−1x4−1]012=2(−114−1−(−10−1))=2(43−1)=23S=2\left[-\frac{1}{x^4-1}\right]_0^{\frac{1}{\sqrt2}}=2\left(-\frac{1}{\frac14-1}-\left(-\frac{1}{0-1}\right)\right)=2\left(\frac43-1\right)=\frac23

(ב-x=12x=\frac{1}{\sqrt2}: x4=14x^4=\frac14.)

טעות נפוצה: לא לשים לב שהמונה כבר כולל את הנגזרת הפנימית, ולכתוב פונקציה קדומה −4x4−1-\frac{4}{x^4-1}; מקבלים S=83S=\frac83.

סעיף ה

תשובה:

לא זוגית ולא אי-זוגית

k(x)=f(x−b)k(x)=f(x-b) מוגדרת כאשר x−b≠±1x-b\neq\pm1, כלומר x≠b+1x\neq b+1 ו-x≠b−1x\neq b-1.

כדי שפונקציה תהיה זוגית או אי-זוגית, התחום שלה צריך להיות סימטרי ביחס ל-0, כלומר גם קבוצת הנקודות המוצאות {b−1, b+1}\{b-1,\ b+1\} צריכה להיות סימטרית ביחס ל-0.

שתי נקודות שונות יוצרות קבוצה סימטרית ביחס ל-0 רק אם הן נגדיות: b−1=−(b+1)b-1=-(b+1), כלומר b=0b=0. אבל b≠0b\neq0, ולכן התחום אינו סימטרי ו-kk לא זוגית ולא אי-זוגית.

(למשל ל-b=1b=1: התחום x≠0,2x\neq0,2; הנקודה −2-2 בתחום אבל 22 לא.)

טעות נפוצה: להסיק ש"הזזה של פונקציה אי-זוגית נשארת אי-זוגית" ולענות אי-זוגית - הזזה אופקית מזיזה את מרכז הסימטרייה מהראשית לנקודה (b,0)(b,0).

שאלה 7 · חקירת בתחום, וזיהוי הגרפים של ושל

נתונה הפונקציה: f(x)=1+sin⁡2(x)sin⁡(x)f(x)=\frac{1+\sin^2(x)}{\sin(x)}. ענו על הסעיפים שלפניכם בתחום: 0≤x≤2π0\le x\le2\pi.

א.
(1)

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x).

(2)

מצאו את משוואות האסימפטוטות של הפונקציה f(x)f(x) המאונכות לצירים.

(3)

מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x)f(x).

(4)

מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x)f(x), וקבעו את סוגן.

ב.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x).

ג.

נתונות שתי פונקציות: k(x)=f(x)−2k(x)=f(x)-2, g(x)=f(x)−2g(x)=\sqrt{f(x)-2}.

אחד מן הגרפים א-ד שלפניכם מתאר את הפונקציה k(x)k(x), ואחד מן הגרפים מתאר את הפונקציה g(x)g(x). קבעו איזה מן הגרפים מתאר כל אחת מן הפונקציות ונמקו את קביעותיכם.

גרף א
π2π
גרף ב
π2π
גרף ג
π2π
גרף ד
π2π
◂ פתרון מלא לשאלה 7

סעיף א(1)

תשובה:

0<x<2π0<x<2\pi, x≠πx\neq\pi

sin⁡x≠0\sin x\neq0. בתחום הנתון sin⁡x=0\sin x=0 ב-x=0,π,2πx=0,\pi,2\pi, ולכן התחום: 0<x<2π0<x<2\pi, x≠πx\neq\pi.

טעות נפוצה: לדרוש 1+sin⁡2x≠01+\sin^2x\neq0 (המונה) במקום המכנה, ולקבל שהתחום הוא כל הקטע 0≤x≤2π0\le x\le2\pi.

סעיף א(2)

תשובה:

x=0x=0, x=πx=\pi, x=2πx=2\pi

בנקודות x=0,π,2πx=0,\pi,2\pi המכנה מתאפס והמונה 1+sin⁡2x=1≠01+\sin^2x=1\neq0: אסימפטוטות אנכיות.

טעות נפוצה: לכתוב רק x=πx=\pi ולהשמיט את x=0x=0 ו-x=2πx=2\pi כי הם "קצוות" - בקצוות הפונקציה שואפת לאינסוף מצד אחד, וזו עדיין אסימפטוטה.

סעיף א(3)

תשובה:

עלייה: π2<x<π\frac{\pi}{2}<x<\pi או π<x<3π2\pi<x<\frac{3\pi}{2}; ירידה: 0<x<π20<x<\frac{\pi}{2} או 3π2<x<2π\frac{3\pi}{2}<x<2\pi

מפשטים: f(x)=1sin⁡x+sin⁡xf(x)=\frac{1}{\sin x}+\sin x.

f′(x)=−cos⁡xsin⁡2x+cos⁡x=cos⁡x⋅sin⁡2x−1sin⁡2x=−cos⁡3xsin⁡2xf'(x)=-\frac{\cos x}{\sin^2x}+\cos x=\cos x\cdot\frac{\sin^2x-1}{\sin^2x}=-\frac{\cos^3x}{\sin^2x}

sin⁡2x>0\sin^2x>0 בתחום, ו-cos⁡3x\cos^3x באותו סימן כמו cos⁡x\cos x; לכן סימן f′f' הפוך לסימן cos⁡x\cos x.

ירידה: 0<x<π20<x<\frac\pi2 ו-3π2<x<2π\frac{3\pi}{2}<x<2\pi (שם cos⁡x>0\cos x>0). עלייה: π2<x<π\frac\pi2<x<\pi ו-π<x<3π2\pi<x<\frac{3\pi}{2} (cos⁡x<0\cos x<0, ו-x=πx=\pi מחוץ לתחום).

טעות נפוצה: לגזור את 1sin⁡x\frac1{\sin x} כ-1cos⁡x\frac{1}{\cos x} ולקבל f′=1cos⁡x+cos⁡xf'=\frac{1}{\cos x}+\cos x, שסימנו כסימן cos⁡x\cos x - ומכאן עלייה ב-0<x<π20<x<\frac\pi2 וירידה ב-π2<x<π\frac\pi2<x<\pi, הפוך מהנכון.

סעיף א(4)

תשובה:

(π2,2)\left(\frac{\pi}{2},2\right) מינימום, (3π2,−2)\left(\frac{3\pi}{2},-2\right) מקסימום

f′=0f'=0 כאשר cos⁡x=0\cos x=0: x=π2x=\frac\pi2, x=3π2x=\frac{3\pi}{2}.

ב-π2\frac\pi2: מירידה לעלייה - מינימום, f(π2)=1+11=2f\left(\frac\pi2\right)=\frac{1+1}{1}=2.

ב-3π2\frac{3\pi}{2}: מעלייה לירידה - מקסימום, f(3π2)=1+1−1=−2f\left(\frac{3\pi}{2}\right)=\frac{1+1}{-1}=-2.

ערך המקסימום (−2-2) קטן מערך המינימום (2): הם בענפים שונים של הגרף.

טעות נפוצה: לקבוע ש-(π2,2)\left(\frac\pi2,2\right) מקסימום כי 2>−22>-2 - הסוג נקבע לפי שינוי הסימן של f′f', לא לפי השוואת הערכים.

סעיף ב

תשובה:

ענף שמאלי (0<x<π0<x<\pi) מעל ציר ה-xx: יורד מ-+∞+\infty עד (π2,2)\left(\frac\pi2,2\right) ועולה ל-+∞+\infty; ענף ימני (π<x<2π\pi<x<2\pi) מתחת לציר ה-xx: עולה מ-−∞-\infty עד (3π2,−2)\left(\frac{3\pi}{2},-2\right) ויורד ל-−∞-\infty. אסימפטוטות x=0,π,2πx=0,\pi,2\pi.

ff באותו סימן כמו sin⁡x\sin x (המונה חיובי): חיובית ב-0<x<π0<x<\pi ושלילית ב-π<x<2π\pi<x<2\pi. משלבים עם האסימפטוטות והקיצון:

minmaxπ2π

טעות נפוצה: לסרטט את הענף הימני חוצה את ציר ה-xx - המונה 1+sin⁡2x1+\sin^2x לא מתאפס, ולכן אין לגרף נקודות חיתוך עם ציר ה-xx.

סעיף ג

תשובה:

k(x)k(x): גרף ב; g(x)g(x): גרף ד

k(x)=f(x)−2k(x)=f(x)-2 היא הזזה של ff ב-2 למטה: המינימום עובר ל-(π2,0)\left(\frac\pi2,0\right) - הענף השמאלי נוגע בציר ה-xx - והמקסימום ל-(3π2,−4)\left(\frac{3\pi}{2},-4\right), כך שהענף הימני כולו מתחת לציר. זה גרף ב.

(גרף ג הוא ff עצמה: המינימום שלה בגובה 2, ואינו נוגע בציר.)

g(x)=k(x)g(x)=\sqrt{k(x)} מוגדרת רק היכן ש-k≥0k\ge0. בענף הימני k≤−4<0k\le-4<0, ולכן gg מוגדרת רק ב-0<x<π0<x<\pi, ומתאפסת ב-π2\frac\pi2 - גרף ד.

גרף א מתאר את ∣k(x)∣\sqrt{|k(x)|} - יש לו ענף גם ב-π<x<2π\pi<x<2\pi.

טעות נפוצה: לבחור לפונקציה gg את גרף א - בענף π<x<2π\pi<x<2\pi הביטוי שבשורש שלילי, ולכן gg אינה מוגדרת שם.

שאלה 8 · נקודת פיתול של פולינום עם פרמטר ובעיית קיצון של סכום שטחים

נתונה הפונקציה: f(x)=kx3−3x2−x+12f(x)=kx^3-3x^2-x+\frac12, המוגדרת לכל xx. kk הוא פרמטר שונה מ-0.

הנקודה A היא נקודת הפיתול של הפונקציה f(x)f(x).

א.

הביעו באמצעות kk את שיעורי הנקודה A.

ב.

נתון כי הנקודה A נמצאת ברביע הראשון.

מצאו את תחום הערכים האפשרי של kk.

ג.

דרך הנקודה A העבירו אנך לציר ה-xx החותך אותו בנקודה B, ואנך לציר ה-yy החותך אותו בנקודה C.

נתון ריבוע I שאורך הצלע שלו שווה לאורך הקטע AB, וריבוע II שאורך הצלע שלו שווה לאורך הקטע AC.

מצאו את הערך של kk שבעבורו סכום שטחי הריבועים I ו-II הוא מינימלי.

◂ פתרון מלא לשאלה 8

סעיף א

תשובה:

A(1k,12−1k−2k2)A\left(\frac1k,\frac12-\frac1k-\frac2{k^2}\right)

f′(x)=3kx2−6x−1,f′′(x)=6kx−6f'(x)=3kx^2-6x-1,\qquad f''(x)=6kx-6

f′′=0f''=0 ב-x=1kx=\frac1k, ו-f′′f'' (קווית, k≠0k\neq0) מחליפה שם סימן - נקודת פיתול.

f(1k)=k⋅1k3−3k2−1k+12=12−1k−2k2f\left(\frac1k\right)=k\cdot\frac1{k^3}-\frac3{k^2}-\frac1k+\frac12=\frac12-\frac1k-\frac2{k^2}

טעות נפוצה: לחשב k⋅1k3=1kk\cdot\frac1{k^3}=\frac1k (לצמצם פעם אחת יותר מדי); אז 1k\frac1k מתקזז עם −1k-\frac1k ומקבלים yA=12−3k2y_A=\frac12-\frac3{k^2}.

סעיף ב

תשובה:

k>1+5k>1+\sqrt5

xA=1k>0x_A=\frac1k>0, ולכן k>0k>0.

yA>0y_A>0: כופלים ב-2k2>02k^2>0:

12−1k−2k2>0⇒k2−2k−4>0\frac12-\frac1k-\frac2{k^2}>0\quad\Rightarrow\quad k^2-2k-4>0

שורשי k2−2k−4k^2-2k-4 הם 1±51\pm\sqrt5, והפרבולה מחייכת, ולכן k<1−5k<1-\sqrt5 או k>1+5k>1+\sqrt5.

יחד עם k>0k>0: k>1+5≈3.236k>1+\sqrt5\approx3.236.

טעות נפוצה: לענות k<1−5k<1-\sqrt5 או k>1+5k>1+\sqrt5 - עבור k<0k<0 שיעור ה-xx של A שלילי, והנקודה אינה ברביע הראשון.

סעיף ג

תשובה:

k=4k=4

AB=yAAB=y_A, AC=xA=1kAC=x_A=\frac1k:

S(k)=1k2+(12−1k−2k2)2,k>1+5S(k)=\frac1{k^2}+\left(\frac12-\frac1k-\frac2{k^2}\right)^2,\qquad k>1+\sqrt5

נגזרת הביטוי שבסוגריים: 1k2+4k3=k+4k3\frac1{k^2}+\frac4{k^3}=\frac{k+4}{k^3}. לכן:

S′(k)=−2k3+2(12−1k−2k2)⋅k+4k3=2k3[(12−1k−2k2)(k+4)−1]S'(k)=-\frac2{k^3}+2\left(\frac12-\frac1k-\frac2{k^2}\right)\cdot\frac{k+4}{k^3}=\frac2{k^3}\left[\left(\frac12-\frac1k-\frac2{k^2}\right)(k+4)-1\right]

פותחים את הסוגריים המרובעים: k2+2−1−4k−2k−8k2−1=k2−6k−8k2=k3−12k−162k2\frac k2+2-1-\frac4k-\frac2k-\frac8{k^2}-1=\frac k2-\frac6k-\frac8{k^2}=\frac{k^3-12k-16}{2k^2}.

k=4k=4 הוא שורש של k3−12k−16k^3-12k-16, ומפרקים: k3−12k−16=(k−4)(k+2)2k^3-12k-16=(k-4)(k+2)^2. לכן

S′(k)=(k−4)(k+2)2k5S'(k)=\frac{(k-4)(k+2)^2}{k^5}

בתחום k>1+5k>1+\sqrt5: S′<0S'<0 עבור k<4k<4 ו-S′>0S'>0 עבור k>4k>4 - מינימום ב-k=4k=4 (ואז A(14,18)A\left(\frac14,\frac18\right) וסכום השטחים 564\frac5{64}).

טעות נפוצה: לכתוב את סכום השטחים כ-(AB+AC)2(AB+AC)^2; אז 1k\frac1k מתקזז, S=(12−2k2)2S=\left(\frac12-\frac2{k^2}\right)^2, ומקבלים k=2k=2 - ערך שאפילו אינו בתחום.

כל האתר במבט אחד

קיצורי דרך לכל הכלים, הבגרויות והקורסים

GuyAI הוא המורה הפרטי המתקדם בישראל, המבוסס על מודלי הבינה המלאכותית החזקים בעולם בשילוב הידע הפדגוגי של GOOL. המערכת מספקת פתרונות לכל המקצועות ולכל הרמות - מיסודי ועד אקדמיה, וממתמטיקה ועד היסטוריה.