מתכונת במתמטיקה 571 - מתכונת 19 ברמת בגרות

שלב הבסיס, $n=1$: אגף שמאל $1\cdot4=4$; אגף ימין $1\cdot2^2=4$. הטענה נכונה.

שלב הצעד: נניח שהטענה נכונה עבור $n=k$:

ונוכיח עבור $n=k+1$. האיבר הבא בסכום הוא $(k+1)(3(k+1)+1)=(k+1)(3k+4)$. לפי ההנחה:

בסוגריים המרובעים: $k^2+k+3k+4=k^2+4k+4=(k+2)^2$. לכן הסכום שווה ל-$(k+1)(k+2)^2$.

זה בדיוק אגף ימין עבור $n=k+1$: $(k+1)\left((k+1)+1\right)^2=(k+1)(k+2)^2$.

לפי עקרון האינדוקציה, הטענה נכונה לכל $n$ טבעי.

טעות נפוצה: לכתוב את האיבר הבא כ-$(k+1)(3k+1)$ (להחליף את $k$ ב-$k+1$ רק בגורם הראשון) - אז בסוגריים מתקבל $k^2+4k+1$, שאינו ריבוע שלם, והביטוי לא מגיע לצורה $(k+1)(k+2)^2$.

האיברים הם מהצורה $k(3k+1)$: $3\cdot10$ הוא האיבר עבור $k=3$, ו-$30\cdot91=30(3\cdot30+1)$ הוא האיבר עבור $k=30$.

לפי א(1), סכום כל האיברים מ-$k=1$ עד $k=30$:

בסכום המבוקש חסרים שני האיברים הראשונים: $1\cdot4+2\cdot7=18$.

טעות נפוצה: להחסיר את סכום שלושת האיברים הראשונים, $3\cdot4^2=48$ (כי הסכום "מתחיל ב-3"), ולקבל $28{,}782$ - אבל האיבר $3\cdot10$ כן נמצא בסכום.

במשולשים AMO ו-BMO: $AM=BM$ (M אמצע AB), MO צלע משותפת, ו-$\angle AMO=\angle BMO=90^\circ$ (נתון). לכן המשולשים חופפים (צ.ז.צ), ומכאן $OA=OB$ ו-$\angle OAB=\angle OBA$.

$AB\parallel CD$, ולכן $\angle OAB=\angle OCD$ ו-$\angle OBA=\angle ODC$ (זוויות מתחלפות).

מכאן $\angle OCD=\angle ODC$: במשולש OCD מול זוויות שוות צלעות שוות, $OC=OD$.

לכן $AC=AO+OC=BO+OD=BD$: האלכסונים שווים, וטרפז שאלכסוניו שווים הוא שווה שוקיים.

טעות נפוצה: לעצור אחרי $OA=OB$ ולהסיק מיד שהאלכסונים שווים - $OA$ ו-$OB$ הם רק חלקים של האלכסונים, וצריך להוכיח גם $OC=OD$.

האלכסונים מאונכים, ולכן המשולש AOD ישר זווית ב-O. לפי פיתגורס:

לפי ב(1) (ובהוכחה שלו) $OC=OD=8$, ולכן $AC=AO+OC=6+8=14$.

במשולש ADC הקטע EO מקביל לצלע DC (E על AD, O על AC), ולפי משפט תאלס:

טעות נפוצה: להשוות את $\frac{AE}{AD}$ ליחס החלקים $\frac{AO}{OC}=\frac68$ במקום ליחס החלק לשלם $\frac{AO}{AC}$, ולקבל $AE=7.5$.

נקודות מיוחדות:

גרף I: שלוש נקודות קיצון - מינימום (בצד השלילי), מקסימום (בצד החיובי) ועוד מינימום מימינו.

גרף III: שתי נקודות קיצון (מקסימום ואחריו מינימום), והוא חותך את ציר ה-$x$ שלוש פעמים: משלילי לחיובי, מחיובי לשלילי ושוב משלילי לחיובי.

גרף II: פרבולה שחותכת את ציר ה-$x$ פעמיים, אחת בכל צד של המינימום שלה.

אפסי הנגזרת הם הנקודות שבהן המשיק לגרף הפונקציה אופקי. גרף III מתאפס בדיוק בשלוש נקודות הקיצון של גרף I: משלילי לחיובי במינימום, מחיובי לשלילי במקסימום ושוב משלילי לחיובי במינימום השני. לכן I היא $f$ ו-III היא $f'$.

גרף II מתאפס ומחליף סימן בשתי נקודות הקיצון של III, חיובי כש-III עולה ושלילי כש-III יורד. לכן II היא $f''$.

(ל-II יש רק שני אפסים, ולכן הוא לא יכול להיות הנגזרת של I, שיש לו שלוש נקודות קיצון.)

טעות נפוצה: לזהות את הפרבולה (II) כגרף של $f$ "כי היא הפשוטה ביותר", ואת I כנגזרת - אבל ל-I שלוש נקודות קיצון, ולפרבולה יש רק שני אפסים, ולכן היא לא יכולה להיות הנגזרת שלו.

נקודת פיתול של $f$ היא נקודה שבה $f''$ מחליפה סימן, כלומר נקודת קיצון של $f'$.

לגרף III ($f'$) שתי נקודות קיצון: מקסימום ומינימום. באותן נקודות גרף II ($f''$) חותך את ציר ה-$x$ ומחליף סימן.

לכן ל-$f$ יש 2 נקודות פיתול: אחת בין המינימום השמאלי למקסימום, ואחת בין המקסימום למינימום הימני.

טעות נפוצה: לספור את האפסים של $f'$ (גרף III) במקום את האפסים של $f''$, ולענות 3 - אלה נקודות הקיצון של $f$, לא נקודות הפיתול שלה.

קודם נקבע מי מעל מי בתחום $0\le x\le a$:

$f$ עולה מהמינימום השמאלי עד המקסימום ב-$x=a$, ולכן $f'(x)\ge0$ בתחום (גרף III חיובי מ-0 עד נקודת החיתוך $x=a$).

$f'$ יורדת בתחום (מהמקסימום שלה, שנמצא משמאל לציר ה-$y$, עד המינימום שלה, שנמצא מימין ל-$a$), ולכן $f''(x)<0$.

לכן גרף $f'$ מעל גרף $f''$:

$f$ היא פונקציה קדומה של $f'$, ו-$f'$ היא פונקציה קדומה של $f''$. לכן $f-f'$ פונקציה קדומה של $f'-f''$:

$f(a)=12$ (המקסימום), $f'(a)=0$ (נקודת קיצון), $f(0)=3$ (גרף I), $f'(0)=6$ (גרף III):

טעות נפוצה: לחשב רק את $\int_0^af'(x)\,dx=f(a)-f(0)=9$ ולשכוח את האינטגרל של $f''$ (שתורם $-\left(f'(a)-f'(0)\right)=6$).

המכנה $(x^4-4x^2)^2$ הוא ריבוע, ובתחום ההגדרה הוא חיובי. לכן הסימן של $f$ הוא הסימן של המונה $4x^3-8x=4x(x^2-2)=4x(x-\sqrt2)(x+\sqrt2)$.

טבלת סימנים למונה: $x<-\sqrt2$: שלילי; $-\sqrt2<x<0$: חיובי; $0<x<\sqrt2$: שלילי; $x>\sqrt2$: חיובי.

מוציאים את $x=2$, שאינו בתחום ההגדרה ($x=-2$ ו-$x=0$ ממילא לא בתחומים החיוביים):

תחומי החיוביות: $-\sqrt2<x<0$, $\sqrt2<x<2$, $x>2$.

טעות נפוצה: לענות $-\sqrt2<x<0$, $x>\sqrt2$ בלי להוציא את $x=2$ - בנקודה הזו הפונקציה לא מוגדרת.

לפי ד(1): $f$ שלילית בענף $x<-2$ וחיובית בענף $x>2$. בענף $-2<x<0$ היא שלילית עד $x=-\sqrt2$ וחיובית אחריו; בענף $0<x<2$ היא שלילית עד $x=\sqrt2$ וחיובית אחריו.

ליד האסימפטוטות: המכנה בריבוע, ולכן הסימן נקבע לפי המונה. ליד $x=-2$ המונה שלילי ($-32+16=-16$), והגרף שואף ל-$-\infty$ משני הצדדים; ליד $x=2$ המונה חיובי ($32-16=16$), והגרף שואף ל-$+\infty$ משני הצדדים; ב-$x=0$ המונה מחליף סימן (חיובי משמאל, שלילי מימין), ולכן הגרף שואף ל-$+\infty$ משמאל ל-$x=0$ ול-$-\infty$ מימין לו.

(בנוסף, $f(-x)=-f(x)$: $f$ אי-זוגית, והגרף שלה סימטרי ביחס לראשית.)

גרף I נפסל: הענף השמאלי שלו חיובי, והגרף סימטרי ביחס לציר ה-$y$ (כמו פונקציה זוגית).

גרף II נפסל: הענף השמאלי שלו חיובי והענף הימני שלילי.

גרף III נפסל: ליד $x=0$ הוא שואף ל-$-\infty$ משמאל ול-$+\infty$ מימין - הפוך מהסימן של $f$.

גרף IV: ענף שמאלי שלילי; בענף $-2<x<0$ הגרף עולה מ-$-\infty$ דרך נקודת חיתוך עם ציר ה-$x$ אל $+\infty$; בענף $0<x<2$ הוא עולה מ-$-\infty$ דרך נקודת חיתוך אל $+\infty$; וענף ימני חיובי - מתאים.

טעות נפוצה: לבחור בגרף I מתוך מחשבה שהמכנה בחזקה זוגית ולכן הגרף סימטרי ביחס לציר ה-$y$ - המונה $4x^3-8x$ אי-זוגי, ולכן $f$ אי-זוגית.

בתחום $\frac12\le x\le1$ הפונקציה שלילית (לפי ד(1), $0<x<\sqrt2$), ולכן הגרף מתחת לציר ה-$x$, והשטח שווה למינוס האינטגרל.

המונה $4x^3-8x$ הוא בדיוק הנגזרת של הביטוי הפנימי $x^4-4x^2$. לכן $f(x)=\frac{(x^4-4x^2)'}{(x^4-4x^2)^2}$, ופונקציה קדומה שלה היא $-\frac{1}{x^4-4x^2}$ (כי $\left(-\frac1u\right)'=\frac{u'}{u^2}$).

ערכי הביטוי הפנימי: בעבור $x=1$: $1-4=-3$; בעבור $x=\frac12$: $\frac1{16}-1=-\frac{15}{16}$.

טעות נפוצה: להשאיר את החזקה במכנה ולכתוב קדומה $-\frac{1}{(x^4-4x^2)^2}$; מקבלים $-\frac19+\frac{256}{225}=\frac{77}{75}$, ועונים שהשטח $\frac{77}{75}\approx1.03$ - באינטגרל החזקה יורדת מ-2 ל-1.

נחלק את האיברים לשלוש קבוצות לפי המקום:

$A=a_1+a_4+...+a_{3n-2}$, $B=a_2+a_5+...+a_{3n-1}$, $C=a_3+a_6+...+a_{3n}$.

כל איבר ב-$B$ שווה לאיבר המתאים ב-$A$ כפול $q$ ($a_2=qa_1$, $a_5=qa_4$, ...), וכל איבר ב-$C$ שווה לאיבר המתאים ב-$A$ כפול $q^2$ ($a_3=q^2a_1$, ...). לכן:

טעות נפוצה: לכתוב $C=q^3A$ (כי המנה בתוך כל תת-סדרה היא $q^3$) ולקבל $\frac{1+q+q^2}{q^3}$ - המנה $q^3$ היא בין איברים סמוכים באותה קבוצה, ואילו $a_3$ רחוק מ-$a_1$ שני צעדים בלבד.

כמו בסעיף א, כל איבר במקומות $2, 5, 8, ...$ שווה לאיבר שלפניו (במקומות $1, 4, 7, ...$) כפול $q$, ולכן:

נתון שהיחס הוא 3, ולכן $q=3$.

טעות נפוצה: לחשוב שהיחס בין שתי תת-הסדרות שווה למנה של כל תת-סדרה, $q^3$, ולקבל $q=\sqrt[3]{3}$.

מ-$a_3=a_1q^2$ ו-$q=3$: $a_1=\frac{18}{9}=2$, ולכן $a_2=6$.

נקבץ את $T$ לזוגות: $T=(a_3-a_2)+(a_6-a_5)+...+(a_{3n}-a_{3n-1})$ - יש $n$ זוגות.

בכל זוג $a_{3k}=3a_{3k-1}$, ולכן $a_{3k}-a_{3k-1}=2a_{3k-1}$:

האיברים $a_2, a_5, a_8, ...$ הם סדרה הנדסית של $n$ איברים עם איבר ראשון $a_2=6$ ומנה $q^3=27$:

בדיקה עבור $n=1$: $T=a_3-a_2=18-6=12$, ו-$\frac{6\cdot26}{13}=12$.

טעות נפוצה: לסכם את $a_2, a_5, ...$ במנה 3 במקום 27 ולקבל $T=2\cdot\frac{6(3^n-1)}{2}=6(3^n-1)$ - בין $a_2$ ל-$a_5$ יש שלושה צעדים של הסדרה.

נסמן ב-$t$ את ההסתברות לבחור שתיל עגבנייה. המשלים של "לפחות שתיל פלפל אחד" הוא "שני שתילי עגבנייה", והבחירות בלתי תלויות (משתלה גדולה):

טעות נפוצה: לעצור ב-$1-0.84=0.16$ ולענות 0.16 - זו ההסתברות לשני שתילי עגבנייה, לא לשתיל אחד.

נסמן ב-$o$ את ההסתברות ששתיל אורגני. לפי סעיף א, $P(\text{פלפל})=0.6$.

$P(\text{פלפל}\mid\text{אורגני})=\frac9{10}$, ו-$P(\text{עגבנייה}\mid\text{לא אורגני})=\frac12$, ולכן גם $P(\text{פלפל}\mid\text{לא אורגני})=\frac12$.

טעות נפוצה: להשוות את הביטוי ל-0.84 (הנתון של שני השתילים) במקום להסתברות לפלפל 0.6 - מקבלים $0.4o+0.5=0.84$ ו-$o=0.85$.

$P(\text{אורגני}\cap\text{פלפל})=0.25\cdot0.9=0.225$, ולכן:

לכל אחד משני שתילי הפלפל: אורגני בהסתברות $\frac38$, באופן בלתי תלוי. אחד כן ואחד לא - שני סדרים:

טעות נפוצה: לשכוח את שני הסדרים ולענות $\frac38\cdot\frac58=\frac{15}{64}\approx0.234$.

$X$ = מספר השתילים האורגניים מבין 4: ברנולי עם $n=4$, $p=0.25$.

התנאי: $P(X\ge1)=1-P(X=0)=1-0.75^4\approx0.6836$.

$X=2$ נמצא בתוך התנאי: $P(X=2)=\binom42\cdot0.25^2\cdot0.75^2=6\cdot0.0625\cdot0.5625\approx0.2109$.

טעות נפוצה: להתעלם מהתנאי ולענות $P(X=2)\approx0.211$.

נסמן ב-$O$ את נקודת החיתוך של האלכסונים. במקבילית האלכסונים חוצים זה את זה, ולכן $BO=DO$.

נוריד אנכים מ-$B$ ומ-$D$ לישר $AC$: $BH$ ו-$DK$. המשולשים $BHO$ ו-$DKO$ חופפים (משולשים ישרי זווית עם יתר שווה $BO=DO$ וזווית חדה שווה - זוויות קודקודיות ב-$O$), ולכן $BH=DK$.

למשולשים $AEB$ ו-$AED$ הבסיס המשותף $AE$ שעל הישר $AC$, והגבהים לבסיס הזה הם $BH$ ו-$DK$ - שווים. לכן:

טעות נפוצה: לטעון שהמשולשים $AEB$ ו-$AED$ חופפים כי "יש להם צלע משותפת $AE$ והאלכסון חוצה את זווית $A$" - אלכסון של מקבילית חוצה את הזווית רק במעוין; בסרטוט $AB\ne AD$ והמשולשים אינם חופפים, רק שווי שטח.

למשולשים $AEB$ ו-$ACB$ אותו גובה מ-$B$ לישר $AC$, ולכן $S_{ACB}=\frac{AC}{AE}\cdot S=\frac52S$, וגם $S_{ACD}=\frac52S$ (האלכסון חוצה את המקבילית).

$AF\parallel BC$, ולכן $\triangle AFE\sim\triangle CBE$: $\frac{EF}{EB}=\frac{AE}{EC}=\frac{2}{3}$ (כי $AE=\frac25AC$ ו-$EC=\frac35AC$).

למשולשים $AFE$ ו-$AEB$ אותו גובה מ-$A$ לישר $BF$, ולכן $S_{AFE}=\frac{EF}{EB}\cdot S=\frac23S$.

$F$ על $AD$ ו-$E$ על $AC$, ולכן המרובע $FECD$ הוא המשולש $ACD$ בלי המשולש $AFE$:

טעות נפוצה: לקחת את יחס הדמיון $\frac{EF}{EB}=\frac{AE}{AC}=\frac25$ במקום $\frac{AE}{EC}$, לקבל $S_{AFE}=\frac25S$ ו-$S_{FECD}=\frac{21}{10}S$.

מהדמיון בסעיף ב(1): $\frac{AF}{CB}=\frac{AE}{EC}=\frac23$, ו-$CB=AD$, ולכן $AF=\frac23AD$ ו-$FD=\frac13AD$.

$S_{ABD}=\frac12S_{ABCD}=\frac12\cdot5S=\frac52S$ (מ-ב(1): $S_{ABCD}=2\cdot\frac52S=5S$).

למשולשים $BFD$ ו-$BAD$ אותו גובה מ-$B$ לישר $AD$, ולכן:

טעות נפוצה: להתבלבל בין $AF$ ל-$FD$ ולקחת $\frac{FD}{AD}=\frac23$, ולקבל $S_{BFD}=\frac53S$.

נסמן ב-$O$ את מרכז המעגל. רדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה: $\sphericalangle OEA=\sphericalangle OKA=90^\circ$.

סכום הזוויות במרובע $AEOK$ הוא $360^\circ$, ולכן $\sphericalangle EOK=360^\circ-90^\circ-90^\circ-120^\circ=60^\circ$.

$\sphericalangle KCE$ היא זווית היקפית הנשענת על אותה קשת כמו הזווית המרכזית $\sphericalangle KOE$:

טעות נפוצה: להניח ש-$\sphericalangle EOK$ שווה ל-$\sphericalangle A=120^\circ$ (כמו במלבן, שבו שתיהן ישרות) ולקבל $\sphericalangle KCE=60^\circ$.