מתכונת במתמטיקה 571 - מתכונת 1 בדרך לבגרות

האיברים באגף שמאל הם ריבועים של מספרים זוגיים: $2^2=4$, $4^2=16$, $6^2=36$, ... והאיבר האחרון הוא $n^2$.

$n=2$: אגף שמאל - רק האיבר $2^2=4$. אגף ימין: $\frac{2\cdot3\cdot4}{6}=4$. שווה.

$n=4$: אגף שמאל - האיברים עד $4^2$: $4+16=20$. אגף ימין: $\frac{4\cdot5\cdot6}{6}=20$. שווה.

טעות נפוצה: לקחת בעבור $n=4$ באגף שמאל רק את האיבר $n^2=16$ (במקום את הסכום $4+16$), ולהסיק שהשוויון אינו מתקיים ($16\ne20$).

המספר הזוגי שאחרי $k$ הוא $k+2$ (המספר $k+1$ אי-זוגי ואינו מופיע בסכום).

לכן האיבר שנוסף הוא האיבר הכללי $n^2$ בעבור $n=k+2$: $(k+2)^2$.

טעות נפוצה: לרשום $(k+1)^2$ - כאילו $n$ עובר על כל המספרים הטבעיים.

שלב הבסיס: בעבור $n=2$ השוויון מתקיים (סעיף א(1)).

שלב הצעד: נניח שבעבור מספר זוגי $k$:

בעבור $n=k+2$ מוסיפים את האיבר $(k+2)^2$ (סעיף א(2)):

אגף ימין בעבור $n=k+2$: $\frac{(k+2)(k+3)(k+4)}{6}$ - אותו ביטוי.

לכן השוויון נכון בעבור $n=2$ ועובר מכל מספר זוגי למספר הזוגי הבא, כלומר הוא נכון לכל $n$ זוגי.

טעות נפוצה: לכתוב את אגף ימין בעבור $n=k+2$ כ-$\frac{(k+2)(k+1)(k+2)}{6}$ - להחליף רק את ה-$n$ הראשון - ואז שני האגפים אינם שווים.

מספר החברים ששאלו רק רומן "קטן פי 3" ממספר החברים ששאלו את שניהם, כלומר מספר החברים ששאלו את שניהם גדול פי 3:

טעות נפוצה: לחלק ב-3 במקום להכפיל, ולקבל $0.04$.

$\frac45$ מהחברים ששאלו קומיקס שאלו גם רומן: $P(\text{רומן}|\text{קומיקס})=\frac{0.36}{P(\text{קומיקס})}=\frac45$, ולכן

רק קומיקס: $0.45-0.36=0.09$.

לפחות ספר אחד - סכום החלקים הזרים: רק רומן, רק קומיקס, ושניהם:

טעות נפוצה: לחבר $0.12+0.36+0.45$ - כלומר לספור את מי ששאלו את שניהם פעמיים - ולקבל $0.93$.

זו הסתברות מותנית שהתנאי שלה הוא "לפחות ספר אחד":

טעות נפוצה: לחלק בהסתברות לשאול רומן ($0.12+0.36=0.48$) במקום בהסתברות לשאול לפחות ספר אחד, ולקבל $\frac{0.36}{0.48}=0.75$.

$f(x)$: השורש במכנה, ולכן $x+2>0$, כלומר $x>-2$.

$g(x)$: השורש במונה מחייב $x+2\ge0$, והמכנה מחייב $x\ne0$: $x\ge-2$, $x\ne0$.

$h(x)$: צריך $\frac{x+2}{x}\ge0$ ו-$x\ne0$. המנה חיובית כשהמונה והמכנה באותו סימן: $x>0$ (שניהם חיוביים) או $x<-2$ (שניהם שליליים); ב-$x=-2$ היא שווה ל-0.

תחום: $x\le-2$ או $x>0$.

טעות נפוצה: לכתוב ב-$h$ את התנאי $x+2\ge0$ בלבד (כמו ב-$g$), ולקבל $x\ge-2$, $x\ne0$ - אבל ב-$-2<x<0$ המנה שלילית.

$f(x)=\frac{1}{\sqrt{x+2}}$: מנה של 1 בשורש חיובי - תמיד חיובית.

$h(x)$: שורש - תמיד אי-שלילית.

$g(x)=\frac{\sqrt{x+2}}{x}$: המונה אי-שלילי, ולכן הסימן נקבע לפי המכנה $x$. בתחום ההגדרה $x$ שלילי רק ב-$-2\le x<0$, וב-$x=-2$ המונה מתאפס. לכן $g<0$ בתחום $-2<x<0$.

טעות נפוצה: לענות ש-$g$ שלילית לכל $x<0$, בלי להתחשב בתחום ההגדרה ($x\ge-2$).

$g$ היא היחידה שמקבלת ערכים שליליים (סעיף ג(2)), ולכן $g$ - גרף II (שיש בו ענף מתחת לציר בין $-2$ ל-0).

$f$ מוגדרת בקטע אחד, $x>-2$, וחיובית. בגרף III יש ענף אחד בלבד שמתחיל ליד $x=-2$, ולכן $f$ - גרף III.

$h$ מוגדרת בשני קטעים, $x\le-2$ ו-$x>0$, וחיובית: גרף I.

טעות נפוצה: להתאים ל-$h$ את גרף III, כי בשניהם יש ענף ש"יורד מ-$+\infty$", בלי לבדוק את תחום ההגדרה.

לפי כלל הנגזרת של מנה:

מציבים $-x$: $(-x)^2=x^2$, ולכן $f'(-x)=\frac{8(4-x^2)}{(x^2+4)^2}=f'(x)$ - הנגזרת זוגית.

טעות נפוצה: לחבר במונה במקום לחסר, $8(x^2+4)+16x^2$, ולקבל $f'(x)=\frac{8(3x^2+4)}{(x^2+4)^2}$ - נגזרת שאינה מתאפסת בכלל.

$g(x)=0$ כאשר $f(x)=0$ או $f'(x)=0$.

$f(x)=0$: $8x=0$, כלומר $x=0$.

$f'(x)=0$: $4-x^2=0$, כלומר $x=\pm2$.

נקודות החיתוך: $(-2,0)$, $(0,0)$, $(2,0)$.

טעות נפוצה: לבדוק רק את $f'(x)=0$ ולקבל רק את $(-2,0)$ ו-$(2,0)$ - הגורם $f^2(x)$ מתאפס ב-$x=0$.

$\frac{f^3(x)}{3}$ היא פונקציה מורכבת: הפונקציה החיצונית $\frac{u^3}{3}$ והפנימית $u=f(x)$.

לפי כלל השרשרת:

טעות נפוצה: לגזור רק את הפונקציה החיצונית ולקבל $f^2(x)$, בלי הכפל בנגזרת הפנימית $f'(x)$.

הסימן של $g$ הוא הסימן של $f'$ (כי $f^2\ge0$): $g\ge0$ ב-$-2\le x\le2$, ו-$g<0$ ב-$|x|>2$, שם $g$ שואפת ל-0 בלי לחזור לציר. לכן השטח המוגבל נמצא בין $x=-2$ ל-$x=2$, מעל הציר.

$f(2)=\frac{16}{8}=2$, $f(-2)=-2$. לפי ד(3):

השטח: $\frac{16}{3}$.

טעות נפוצה: לחשב רק מ-0 עד 2, כי "ב-0 יש נקודת חיתוך", ולקבל $\frac83$ - אבל $g\ge0$ בכל הקטע $[-2,2]$, והשטח כולל גם את החלק שבין $-2$ ל-0.

$a_5=a_2\cdot q^3$, ולכן:

$a_1=\frac{a_2}{q}=\frac{-6}{-3}=2$.

טעות נפוצה: לחלק את $-27$ ב-3 (מספר הצעדים) במקום להוציא שורש שלישי, ולקבל $q=-9$ ו-$a_1=\frac23$.

היחס קבוע, ולכן B הנדסית עם מנה $\frac19$.

$b_1=\frac{1}{a_1a_2}=\frac{1}{2\cdot(-6)}=-\frac{1}{12}$.

טעות נפוצה: לשכוח את הסימן של $a_2$ ולקבל $b_1=\frac{1}{12}$.

המנה של B היא $\frac19$, ו-$\left|\frac19\right|<1$, ולכן הסדרה מתכנסת ויש לה סכום.

טעות נפוצה: לכתוב במכנה $1+\frac19$ (בגלל שהמנה של A שלילית), ולקבל $-\frac{3}{40}$ - בנוסחה משתמשים במנה של B, והיא חיובית.

$c_1=\frac{k}{a_1a_2}=\frac{k}{-12}=-\frac k{12}$.

טעות נפוצה: לשכוח שהאיבר $a_2$ שלילי ולקבל $c_1=\frac{k}{12}$.

$9S_B=9\cdot\left(-\frac3{32}\right)=-\frac{27}{32}$:

טעות נפוצה: לחשב את $S_C$ עם המנה $\frac19$ של B: $S_C=-\frac k{12}\cdot\frac98=-\frac{3k}{32}$, ולקבל $k=9$.

$P(\text{בעד})=0.4$, ו-75% מהם בבוקר: $P(\text{בוקר וגם בעד})=0.75\cdot0.4=0.3$, ולכן $P(\text{ערב וגם בעד})=0.1$.

$P(\text{ערב וגם נגד})=P(\text{בוקר וגם בעד})=0.3$. לכן $P(\text{ערב})=0.4$, $P(\text{בוקר})=0.6$, ו-$P(\text{בוקר וגם נגד})=0.6-0.3=0.3$.

טעות נפוצה: להחליף את המשבצות בשוויון ולכתוב $P(\text{בוקר וגם נגד})=P(\text{ערב וגם בעד})=0.1$, ומכאן $P(\text{ערב})=0.6$ - השוויון הנתון הוא בין 'בוקר בעד' ל'ערב נגד'.

טעות נפוצה: לחלק בהסתברות לנגד ($0.6$) במקום בהסתברות למשמרת הערב, כלומר לחשב $P(\text{ערב}\mid\text{נגד})=\frac{0.3}{0.6}=0.5$ - ידוע שהעובד ממשמרת הערב, ולכן מחלקים ב-$P(\text{ערב})$.

טעות נפוצה: לחבר $0.4+0.4=0.8$ בלי להחסיר את 'ערב וגם בעד' (0.1), שנספר פעמיים.

לכל עובד ערב ההסתברות להיות בעד היא $P(\text{בעד}\mid\text{ערב})=\frac{0.1}{0.4}=0.25$.

טעות נפוצה: להשתמש בהסתברות החיתוך $0.1$ במקום בהסתברות המותנית $0.25$, ולקבל $6\cdot0.01\cdot0.81=0.0486$.

הזווית בין המשיק $\ell$ למיתר $FG$ שווה לזווית ההיקפית הנשענת על $FG$ מהצד השני: $\angle PFG=\angle FHG$.

$\ell\parallel GH$, ו-$FG$ חותך אותם: $\angle PFG=\angle FGH$ (זוויות מתחלפות).

לכן $\angle FGH=\angle FHG$, ו-$FG=FH$ (מול זוויות שוות צלעות שוות).

טעות נפוצה: לכתוב רק $\angle PFG=\angle FGH$ ולחשוב שזה משפט המשיק והמיתר - זה שוויון של זוויות מתחלפות, ולבדו הוא לא נותן שתי זוויות שוות במשולש $FGH$.

$FG=FH$, ולכן הזוויות ההיקפיות הנשענות על המיתרים האלה שוות: $\angle GCF=\angle FCH=\frac{80^\circ}{2}=40^\circ$.

$\angle FGH$ ו-$\angle FCH$ זוויות היקפיות הנשענות על אותו מיתר $FH$, ולכן $\angle FGH=40^\circ$.

(בדיקה: $GCHF$ מרובע חסום, ולכן $\angle GFH=180^\circ-80^\circ=100^\circ$, ובמשולש שווה השוקיים $FGH$ כל זווית בסיס $40^\circ$.)

טעות נפוצה: לכתוב $\angle GFH=\angle GCH=80^\circ$ (זוויות נגדיות 'שוות') ולקבל $\angle FGH=50^\circ$ - במרובע חסום הזוויות הנגדיות משלימות ל-$180^\circ$.

$\angle GFK=\angle CFG$ - זווית משותפת (הנקודה $K$ על $FC$).

$\angle FGK=\angle FGH=\angle FCH$ (היקפיות על $FH$), ו-$\angle FCH=\angle FCG$ (סעיף ב). לכן $\angle FGK=\angle FCG$.

מכאן $\Delta FGK\sim\Delta FCG$ (ז.ז.), בהתאמה $F\leftrightarrow F$, $G\leftrightarrow C$, $K\leftrightarrow G$.

טעות נפוצה: לכתוב את הדמיון בסדר $\Delta FGK\sim\Delta FGC$ - ההתאמה שגויה ($G$ אינה מתאימה ל-$G$), והיחסים שנגזרים ממנה לא נכונים.

מהדמיון בסעיף ג: $\frac{FG}{FC}=\frac{FK}{FG}$, ולכן $FG^2=FK\cdot FC$.

$FC=FK+KC=4+5=9$, ולכן $FG^2=4\cdot9=36$ ו-$FG=6$.

טעות נפוצה: לכתוב $FG^2=FK\cdot KC=20$ ולקבל $FG=2\sqrt5\approx4.47$ - ביחס הדמיון מופיע כל המיתר $FC$, לא הקטע $KC$.

$\angle ADE$ היא זווית בין המשיק $DE$ למיתר $DA$, ולכן היא שווה לזווית ההיקפית שנשענת על $AD$: $\angle ABD=\alpha$.

$\angle ADB=90^\circ$ (זווית היקפית הנשענת על הקוטר), ולכן $\angle BAD=90^\circ-\alpha$, והזווית הצמודה לה: $\angle DAE=90^\circ+\alpha$.

במשולש $ADE$:

טעות נפוצה: להשתמש במשולש $ADE$ בזווית $\angle BAD=90^\circ-\alpha$ במקום בזווית הצמודה $\angle DAE$, ולקבל $\angle AED=90^\circ$.

במשולש ישר-הזווית $ABD$ היתר $AB=2R$ והזווית $\angle ABD=\alpha$ נמצאת מול $AD$, ולכן $AD=2R\sin\alpha$.

במשולש $ADE$: מול $AE$ הזווית $\angle ADE=\alpha$, ומול $AD$ הזווית $\angle AED=90^\circ-2\alpha$. משפט הסינוסים:

טעות נפוצה: לשים מול $AE$ את הזווית $\angle DAE=90^\circ+\alpha$, ולקבל $AE=\frac{R\sin2\alpha}{\cos2\alpha}$ - זה בעצם אורך הקטע $DE$, שמול הזווית $\angle DAE$.

הזווית שבין $AD$ ל-$AE$ היא $\angle DAE=90^\circ+\alpha$, ו-$\sin(90^\circ+\alpha)=\cos\alpha$:

מאחר ש-$2\sin\alpha\cos\alpha=\sin2\alpha$:

טעות נפוצה: לקחת את $\alpha$ כזווית שבין $AD$ ל-$AE$ (היא הזווית שב-$D$), ולקבל $S=\frac{2R^2\sin^4\alpha}{\cos2\alpha}$.

כותבים $\cos2\alpha=1-2\sin^2\alpha$:

$\alpha$ זווית חדה ($0^\circ<\alpha<45^\circ$, כי $\angle AED>0$), ולכן $\sin\alpha=\frac12$ ו-$\alpha=30^\circ$.

טעות נפוצה: להחליף את $\cos2\alpha$ ב-$1-\sin^2\alpha$, לקבל $3\sin^2\alpha=1$ ו-$\alpha\approx35.26^\circ$.