מתכונת במתמטיקה 571 - מתכונת 12 בדרך לבגרות

פותחים סוגריים בשני האגפים.

אגף שמאל: $4k^3+6k^2+4k^2+8k+4-2=4k^3+10k^2+8k+2$.

אגף ימין: $(k+1)^2(2k+1)=(k^2+2k+1)(2k+1)=2k^3+k^2+4k^2+2k+2k+1=2k^3+5k^2+4k+1$, ולכן $2(k+1)^2(2k+1)=4k^3+10k^2+8k+2$.

שני האגפים שווים.

טעות נפוצה: לפתוח $4(k+1)^2$ כ-$4k^2+4$ (לשכוח את האיבר האמצעי $8k$), ולקבל באגף שמאל $4k^3+10k^2+2$, שאינו שווה לאגף ימין.

בסיס ($n=1$): $S_1=\frac{4-2}{1\cdot3}=\frac23$, ו-$\frac{2\cdot1^2}{2+1}=\frac23$. נכון.

הנחה: עבור $k$ טבעי כלשהו $S_k=\frac{2k^2}{2k+1}$.

צעד: צריך להוכיח $S_{k+1}=\frac{2(k+1)^2}{2k+3}$. האיבר ה-$(k+1)$ הוא $\frac{4(k+1)^2-2}{(2k+1)(2k+3)}$:

לפי סעיף א(1) המונה שווה ל-$2(k+1)^2(2k+1)$, ולכן:

לפי עקרון האינדוקציה הטענה נכונה לכל $n$ טבעי.

טעות נפוצה: לבדוק את הנוסחה עבור $n=1,2,3$ ולהסיק שהיא נכונה לכל $n$ - בדיקת מקרים אינה הוכחה; חסר שלב הצעד.

נבחר חניך באקראי. $T$ - משתתף בטיולים, $C$ - משתתף במחנה. $P(T)=0.8$, $P(C)=0.45$.

לפי נוסחת האיחוד: $P(T\cap C)=P(T)+P(C)-P(T\cup C)$.

הסתברות של כל מאורע היא לכל היותר 1, ולכן $P(T\cup C)\le1$ ו:

טעות נפוצה: לחשב $0.8\cdot0.45=0.36$ כאילו המאורעות בלתי תלויים - אין נתון כזה, והחסם התחתון האמיתי הוא 0.25.

ההסתברות השנייה גדולה יותר: המונה זהה, ומחלקים במאורע המתנה הקטן יותר ($P(C)=0.45<0.8$).

טעות נפוצה: להחליף את המכנים ולחשב $P(C|T)=\frac{0.3}{0.45}$, ומכאן להסיק שההסתברות הראשונה היא הגדולה.

$g$ מוגדרת היכן ש-$f(x)\ne0$. $f$ מתאפסת רק ב-$x=6$, ולכן התחום: $x\ne6$.

כאשר $x\to6$, $f(x)\to0$, ולכן $(f(x))^2\to0^+$ ו-$g(x)\to+\infty$ משני הצדדים: אסימפטוטה אנכית $x=6$.

טעות נפוצה: לחשוב שגם ל-$g$ יש אסימפטוטה $y=0$ כמו ל-$f$ - כאשר $f\to0$ באינסוף, $g\to+\infty$.

$g(x)=(f(x))^{-2}$, ולפי כלל השרשרת: $g'(x)=-2(f(x))^{-3}\cdot f'(x)=\frac{-2f'(x)}{(f(x))^3}$.

$g'=0$ רק היכן ש-$f'=0$: $x=2$ ו-$x=8$.

ב-$x=2$: משמאל $f'>0$ ומימין $f'<0$, ו-$f>0$ - לכן $g'$ עובר מ-$-$ ל-$+$: מינימום, $g(2)=\frac{1}{4^2}=\frac{1}{16}$.

ב-$x=8$: משמאל $f'<0$ ומימין $f'>0$, ו-$f<0$ (המכנה שלילי) - לכן $g'$ עובר מ-$-$ ל-$+$: מינימום, $g(8)=\frac{1}{(-2)^2}=\frac14$.

טעות נפוצה: להסיק שלנקודת המינימום של $f$ מתאימה נקודת מקסימום של $g$ (כמו ב-$\frac1f$) ולענות $\max\left(8,\frac14\right)$ - הריבוע הופך את $-2$ ל-4, ובשני המקרים $g$ מקבלת מינימום היכן ש-$|f|$ מקסימלית.

מהלך $g$: בענף השמאלי ($x<6$) יורדת מ-$+\infty$ עד $\frac{1}{16}$ ועולה ל-$+\infty$; בענף הימני יורדת מ-$+\infty$ עד $\frac14$ ועולה ל-$+\infty$.

$y=\frac18$: $\frac{1}{16}<\frac18<\frac14$ - הישר חותך את הענף השמאלי פעמיים ואינו מגיע לענף הימני: 2 נקודות.

$y=1$: הגובה גדול משני המינימומים - 2 נקודות בכל ענף: 4 נקודות.

טעות נפוצה: להשוות את $\frac18$ רק למינימום השמאלי ולענות 4 נקודות גם עבור $y=\frac18$ - בענף הימני $g\ge\frac14>\frac18$.

$h(x)=-3(x^2+1)^{-1}$, ולפי כלל השרשרת:

טעות נפוצה: לשכוח לכפול בנגזרת הפנימית $2x$ ולקבל $h'(x)=\frac{3}{(x^2+1)^2}$.

כל פונקציה קדומה של $f$ היא מהצורה $g(x)=\frac{-3}{x^2+1}+C$.

$g(x)=4-\frac{3}{x^2+1}$.

טעות נפוצה: לשכוח את הקבוע ולענות $g(x)=\frac{-3}{x^2+1}$ - הגרף שלה עובר ב-$(0,-3)$, לא ב-$(0,1)$.

$g'(x)=f(x)=\frac{6x}{(x^2+1)^2}$. המכנה חיובי, ולכן הסימן כסימן $x$: $g'<0$ עבור $x<0$ ו-$g'>0$ עבור $x>0$. ב-$x=0$ מינימום: $(0,1)$.

כאשר $x\to\pm\infty$, $\frac{3}{x^2+1}\to0$, ולכן $g(x)\to4$: אסימפטוטה אופקית $y=4$.

טעות נפוצה: לכתוב את האסימפטוטה של $f$, $y=0$, במקום לחשב את הגבול של $g$ עצמה, $y=4$.

$a_2\cdot a_8=a_1q\cdot a_1q^7=a_1^2q^8=\left(a_1q^4\right)^2=a_5^2$.

$a_5^2=64$, ולכן $a_5=\pm8$.

טעות נפוצה: לבלבל עם סדרה חשבונית ולחשב $a_5=\frac{64}{2}=32$ - בסדרה הנדסית האיבר האמצעי מקיים $a_5^2=a_2a_8$.

$a_5=a_1\cdot2^4=8$, ולכן $a_1=\frac{8}{16}=\frac12$.

טעות נפוצה: לכתוב $a_5=a_1\cdot2^5$ ולקבל $a_1=\frac{8}{32}=\frac14$.

$a_1\cdot a_n=a_1^2q^{n-1}=\frac14\cdot2^{n-1}=2^{n-3}$.

$2^{n-3}=64=2^6$, ולכן $n=9$. (כמו בסעיף א: $1+9=2+8$ - מקומות שסכומם 10.)

טעות נפוצה: לשכוח את $a_1$ ולפתור $a_n=64$: $\frac12\cdot2^{n-1}=64$, ומקבלים $n=8$.

מזווגים: $a_1a_9=a_2a_8=a_3a_7=a_4a_6=a_5^2=64$.

טעות נפוצה: לספור תשעה זוגות ולכתוב $64^9=2^{54}$ - יש ארבעה זוגות ועוד האיבר האמצעי $a_5$.

נשים קוראות: $0.25W$. גברים: $2\cdot0.25W=0.5W$.

טעות נפוצה: לחלק את מספר הגברים במספר הנשים ולקבל $\frac{0.5W}{W}=\frac12$.

אם "גבר" ו"קורא" בלתי תלויים, גם "אישה" ו"קורא" בלתי תלויים, ולכן $P(\text{קורא})=P(\text{קורא}\mid\text{אישה})=0.25$.

טעות נפוצה: לחשב את $P(\text{קורא})$ רק מהנשים, $\frac23\cdot0.25=\frac16$, ולשכוח את הגברים הקוראים.

מאי-התלות: $P(\text{אישה}\mid\text{קורא})=P(\text{אישה})=1-\frac13=\frac23$.

בדיקה: $P(\text{אישה וקוראת})=\frac23\cdot\frac14=\frac16$, ו-$\frac{1/6}{1/4}=\frac23$.

טעות נפוצה: לענות בהסתברות החיתוך $P(\text{אישה וקוראת})=\frac16$ במקום בהסתברות המותנית.

הצלחה: "גבר שקורא", $p=\frac1{12}$ (סעיף ב). המועדון גדול מאוד - ברנולי עם $n=4$, $k=2$:

טעות נפוצה: לקחת $p=0.25$ (קורא כלשהו) ולקבל $6\cdot\frac1{16}\cdot\frac9{16}\approx0.211$.

$MB$ ו-$MA$ הם שני משיקים למעגל שמרכזו $O$ היוצאים מאותה נקודה $M$, ולכן $MB=MA$.

$MA$ ו-$MC$ הם שני משיקים למעגל הימני היוצאים מ-$M$, ולכן $MA=MC$.

לכן $MB=MA=MC$.

טעות נפוצה: לנמק $MA=MC$ בכך ש"$M$ באמצע" - זה מה שצריך להוכיח, לא נימוק. הנימוק הוא שוויון קטעי משיקים מנקודה למעגל.

לפי סעיף א, $M$ אמצע $BC$ ($MB=MC$), ולכן $AM$ תיכון במשולש $ABC$.

$AM=MB=\frac{BC}{2}$: התיכון לצלע $BC$ שווה למחצית הצלע, ולפי המשפט ההפוך לתיכון ליתר, המשולש ישר-זווית ב-$A$.

טעות נפוצה: לקבוע שהזווית הישרה היא $\sphericalangle AMB$ (כאילו $AM\perp BC$). הזווית הישרה היא מול הצלע שהתיכון אליה שווה למחציתה, כלומר ב-$A$.

לפי סעיף ב, המשולש $ABC$ ישר-זווית ב-$A$: $BC=\sqrt{12^2+5^2}=13$.

לפי סעיף א, $AM=\frac{BC}{2}=6.5$.

טעות נפוצה: לחבר את הניצבים ולכתוב $BC=12+5=17$.

$OA=OB$ (רדיוסים) ו-$MA=MB$ (סעיף א): גם $O$ וגם $M$ במרחקים שווים מ-$A$ ומ-$B$, ולכן $OM$ הוא האנך האמצעי של $AB$ ($OBMA$ דלתון). לכן $OM\perp AB$ ו-$AN=\frac{AB}{2}=6$.

במשולש $ANM$ (ישר-זווית ב-$N$): $MN=\sqrt{6.5^2-6^2}=\sqrt{6.25}=2.5$.

טעות נפוצה: לחבר במקום לחסר במשפט פיתגורס: $MN=\sqrt{6.5^2+6^2}\approx8.85$. $AM$ הוא היתר במשולש $ANM$.

$OA\perp AM$ (רדיוס מאונך למשיק), ולכן המשולש $OAM$ ישר-זווית ב-$A$, ו-$AN$ הגובה ליתר.

ריבוע הגובה ליתר שווה למכפלת קטעי היתר: $AN^2=ON\cdot MN$, כלומר $36=ON\cdot2.5$, ולכן $ON=14.4$.

טעות נפוצה: לעצור ב-$ON=14.4$ ולענות שזה הרדיוס. $ON$ הוא ניצב; הרדיוס הוא היתר $OA$.

ABCD מרובע חסום במעגל, ו-$\angle CDE$ היא הזווית החיצונית שלו בקודקוד D. זווית חיצונית במרובע חסום שווה לזווית הפנימית שמולה, כלומר ל-$\angle ABC$. לכן $\angle ABC=\alpha$.

(אפשר גם כך: $\angle ADC=180^\circ-\alpha$, וזוויות נגדיות במרובע חסום משלימות ל-$180^\circ$.)

טרפז החסום במעגל הוא טרפז שווה שוקיים, וזוויות הבסיס שלו שוות: $\angle DAB=\angle ABC=\alpha$.

טעות נפוצה: להפעיל את משפט הזוויות הנגדיות ישירות על $\angle CDE$ ולכתוב $\angle ABC=180^\circ-\alpha$ - $\angle CDE$ היא הזווית החיצונית, לא $\angle ADC$.

במשולש ABC: $\angle CAB=180^\circ-\alpha-45^\circ=135^\circ-\alpha$.

$\angle ADC$ צמודה ל-$\angle CDE$ (A, D, E על ישר אחד): $\angle ADC=180^\circ-\alpha$.

טעות נפוצה: לכתוב $\angle ADC=\alpha$ - לבלבל בין הזווית הפנימית בקודקוד D לבין הזווית החיצונית $\angle CDE$.

במשולש ABC, לפי משפט הסינוסים:

במשולש ACD, לפי משפט הסינוסים (DC מול $\angle DAC$, AC מול $\angle ADC$):

טעות נפוצה: לקחת את הזווית $\angle ACD$ ($=\angle CAB=135^\circ-\alpha$, זוויות מתחלפות) כזווית שמול DC, ולקבל $DC=\frac{k\sin(135^\circ-\alpha)}{\sin\alpha}$ - מול DC נמצאת $\angle DAC$.

$DC\parallel AB$, ולכן $\triangle DCE\sim\triangle ABE$, ויחס השטחים שווה לריבוע יחס הדמיון: $\left(\frac{AB}{DC}\right)^2=2$, כלומר $\frac{AB}{DC}=\sqrt2$.

מסעיף ג:

$2\alpha-135^\circ=30^\circ$ או $2\alpha-135^\circ=150^\circ$, כלומר $\alpha=82.5^\circ$ או $\alpha=142.5^\circ$.

$\alpha$ זווית בסיס במשולש ABE, ולכן $\alpha<90^\circ$: $\alpha=82.5^\circ$.

טעות נפוצה: לכתוב $\frac{AB}{DC}=2$; אז $\sin(2\alpha-135^\circ)=\frac{\sqrt2}4$ ומקבלים $\alpha\approx77.4^\circ$.

המעגל חוסם את המשולש ABC. לפי משפט הסינוסים המורחב, $\frac{AC}{\sin\angle ABC}=2R$:

טעות נפוצה: לשכוח את ה-2 במשפט ולכתוב $R=\frac{8}{\sin82.5^\circ}\approx8.07$.

השורש במכנה: $x+2>0$, כלומר $x>-2$.

בתחום $\frac{x+2}{\sqrt{x+2}}=\sqrt{x+2}$, ולכן $f(x)=(x-3)^2\sqrt{x+2}$.

אסימפטוטה אנכית יכולה להיות רק ב-$x=-2$, אבל שם $f(x)=(x-3)^2\sqrt{x+2}\to25\cdot0=0$ - הפונקציה לא שואפת לאינסוף.

טעות נפוצה: לכתוב תחום $x\ge-2$ - ב-$x=-2$ המכנה של הנוסחה הנתונה מתאפס.

ציר ה-$x$: המונה מתאפס ב-$x=3$ וב-$x=-2$, אבל $x=-2$ לא בתחום. לכן $(3,0)$.

ציר ה-$y$: $f(0)=9\sqrt2$. הנקודה $(0,9\sqrt2)$.

טעות נפוצה: לכתוב גם $(-2,0)$ - זו נקודה מחוץ לתחום.

כלל המכפלה על $(x-3)^2\sqrt{x+2}$: