מתכונת במתמטיקה 571 - מתכונת 13 בדרך לבגרות

$n=1$: אגף שמאל $1^2=1$; אגף ימין $\frac{1\cdot2\cdot3}{6}=1$.

$n=2$: אגף שמאל $1^2+2^2=5$; אגף ימין $\frac{2\cdot3\cdot5}{6}=5$.

טעות נפוצה: לחשב עבור $n=2$ רק את האיבר האחרון, $2^2=4$, ולהסיק שהטענה לא נכונה ($4\ne5$) - אגף שמאל הוא כל הסכום עד $n^2$.

מוציאים $\frac{k+1}{6}$ כגורם משותף:

ו-$2k^2+7k+6=(k+2)(2k+3)$.

המשמעות: אם הטענה נכונה עבור $n=k$, מוסיפים לשני האגפים את האיבר הבא $(k+1)^2$, ומקבלים את הטענה עבור $n=k+1$ (שלב הצעד). הטענה נכונה עבור $n=1$ (שלב הבסיס, א(1)), ולכן לפי עקרון האינדוקציה היא נכונה לכל $n$ טבעי.

טעות נפוצה: להוסיף בצעד $k^2$ במקום $(k+1)^2$ - $k^2$ כבר נמצא בסכום עד $k$.

טעות נפוצה: להחסיר את הסכום עד $11^2$ (כולל $11^2$, שהוא בסכום המבוקש): $9455-506=8949$.

בטרפז שווה שוקיים $AD=BC$ ו-$\angle DAB=\angle CBA$ (זוויות בסיס).

במשולשים ABD ו-BAC: AB משותפת, $AD=BC$, $\angle DAB=\angle CBA$, ולכן הם חופפים (צ.ז.צ).

מהחפיפה $\angle ABD=\angle BAC$, כלומר במשולש AOB $\angle OBA=\angle OAB$, ולכן $AO=BO$.

מהחפיפה גם $BD=AC$, ולכן $DO=BD-BO=AC-AO=CO$.

טעות נפוצה: להסיק $AO=CO$ ("O אמצע האלכסון") - בטרפז האלכסונים לא חוצים זה את זה; השוויונות הם $AO=BO$ ו-$CO=DO$.

לפי ב(1) $BO=AO=6$. האלכסונים מאונכים, ולכן במשולש AOB: $\angle AOB=90^\circ$.

טעות נפוצה: להפעיל פיתגורס עם $AO$ ו-$CO$, ולקבל $\sqrt{36+100}=\sqrt{136}$ - זה אורך השוק BC (במשולש BOC), לא של AB.

$CA=CO+OA=16$. במשולש CAB הקטע OF מקביל ל-AB, ולפי משפט תאלס המורחב:

טעות נפוצה: לכתוב $\frac{OF}{AB}=\frac{CO}{AO}=\frac{10}{6}$ (חלקי הצלע במקום הצלע כולה), ולקבל $OF=10\sqrt2$ - ארוך מ-AB, למרות ש-OF קטע בתוך המשולש המקביל לבסיס.

$f'(x)=3x^2-12x+9$, $f''(x)=6x-12$.

ערכים ב-$x=0$: $f(0)=1$, $f'(0)=9$, $f''(0)=-12$.

גרף II הוא ישר שעובר ב-$(0,-12)$ - זה $f''$. גרף III הוא פרבולה שעוברת ב-$(0,9)$ - זה $f'$. גרף I עובר ב-$(0,1)$ ויש לו מקסימום ומינימום - זה $f$.

טעות נפוצה: לחשב $f''(x)=6x-12$ אבל לקרוא את נקודת החיתוך עם ציר ה-$y$ כ-$(0,12)$, ולהתאים את $f''$ לגרף אחר - הסימן של הקבוע חשוב.

$f'(x)=3(x^2-4x+3)=3(x-1)(x-3)=0$ ב-$x=1$ וב-$x=3$.

$f''(1)=-6<0$ - מקסימום: $f(1)=1-6+9+1=5$. $f''(3)=6>0$ - מינימום: $f(3)=27-54+27+1=1$.

$f''(x)=6x-12$ מתאפסת ומחליפה סימן רק ב-$x=2$ - נקודת פיתול אחת, $f(2)=8-24+18+1=3$.

טעות נפוצה: להפוך את הכלל של הנגזרת השנייה ($f''<0$ ⇐ מינימום), ולקבל $\min(1,5)$, $\max(3,1)$ - מינימום שגבוה מהמקסימום.

בתחום $0\le x\le1$: $f'(x)=3(x-1)(x-3)\ge0$ ו-$f''(x)=6x-12<0$, ולכן גרף $f'$ מעל גרף $f''$.

$f$ קדומה של $f'$ ו-$f'$ קדומה של $f''$, ולכן $f-f'$ קדומה של $f'-f''$, ו-$S=\Big[f(x)-f'(x)\Big]_0^1$.

(בדיקה ישירה: $\int_0^1(3x^2-18x+21)dx=1-9+21=13$.)

טעות נפוצה: בחישוב הישיר לשכוח לחלק ב-2 באינטגרל של $18x$ ($18x\to18\cdot\frac{x^2}{2}$), ולקבל $1-18+21=4$.

המכנה $(x^2+1)^2$ חיובי לכל $x$, ולכן הסימן של $f$ הוא הסימן של $2x$: חיובית עבור $x>0$ ושלילית עבור $x<0$.

טעות נפוצה: להסיק מכך שהמכנה ריבוע שהפונקציה חיובית לכל $x\ne0$ - הסימן נקבע לפי המונה.

$F(x)=-(x^2+1)^{-1}$. לפי כלל השרשרת:

טעות נפוצה: לשכוח את הנגזרת הפנימית $2x$ ולקבל $F'(x)=\frac{1}{(x^2+1)^2}$.

הגרף חותך את ציר ה-$x$ ב-$x=0$, ובתחום $0\le x\le2$ הפונקציה חיובית:

טעות נפוצה: לכתוב קדומה $-\frac{1}{(x^2+1)^2}$ ולקבל $-\frac1{25}+1=\frac{24}{25}$.

$a_1=S_1=3$.

$S_2=S_1+4\cdot1+3=10$, ולכן $a_2=S_2-S_1=10-3=7$.

$S_3=S_2+4\cdot2+3=21$, ולכן $a_3=S_3-S_2=21-10=11$.

טעות נפוצה: לבלבל בין הסכום לאיבר ולכתוב $a_2=S_2=10$.

$S_{n+1}=S_n+a_{n+1}$, ולכן $a_{n+1}=S_{n+1}-S_n=4n+3$.

מחליפים $n$ ב-$n-1$: $a_n=4(n-1)+3=4n-1$ לכל $n\ge2$. גם $a_1=3=4\cdot1-1$, ולכן $a_n=4n-1$ לכל $n$.

ההפרש קבוע - הסדרה חשבונית עם $d=4$.

טעות נפוצה: לכתוב $a_n=4n+3$ (בלי להזיז את האינדקס), ואז $a_1=7$ - בסתירה ל-$a_1=3$ מסעיף א.

מציבים בכלל הנסיגה $b_{n+1}=b_n+a_n$:

$b_2=b_1+a_1=2+3=5$, $b_3=b_2+a_2=5+7=12$, $b_4=b_3+a_3=12+11=23$.

טעות נפוצה: להוסיף את האיבר הבא של $a$ ($b_2=b_1+a_2$) ולקבל $b_2=9$.

המונה הוא $a_n$ (הגדרת $b$), והמכנה הוא $d=4$ (סעיף ב). לכן כל מחובר שווה $\frac{a_n}{4}$.

בסכום יש 10 מחוברים ($n=1$ עד $n=10$):

טעות נפוצה: לספור 11 מחוברים (לפי האינדקס 11 שבמחובר האחרון) ולקבל $\frac{S_{11}}{4}=\frac{253}{4}=63.25$.

$P(\text{קריית אונו}\cap\text{הגיע})=0.3\cdot0.8=0.24$.

מבין המנויים שהגיעו, 40% גרים בקריית אונו: $\frac{0.24}{P(\text{הגיע})}=0.4$, ולכן $P(\text{הגיע})=\frac{0.24}{0.4}=0.6$.

קריית אונו ולא הגיע: $0.3-0.24=0.06$. אור יהודה והגיע: $0.6-0.24=0.36$. אור יהודה בסך הכול: $1-0.3=0.7$.

אור יהודה ולא הגיע: $0.7-0.36=0.34$. בסך הכול לא הגיעו $0.06+0.34=0.4$.

ההסתברות המבוקשת: $0.34$.

מבין המנויים שלא הגיעו, ההסתברות שמנוי גר באור יהודה היא $\frac{0.34}{0.4}=0.85$.

מספר המנויים גדול מאוד, ולכן הבחירות בלתי תלויות: $0.85^2=0.7225$.

מספר המנויים גדול מאוד, ולכן לכל אחד מחמשת המנויים, באופן בלתי תלוי, ההסתברות שהוא גר באור יהודה היא $0.85$. לפי נוסחת ברנולי:

$P(4)=\binom54\cdot0.85^4\cdot0.15\approx0.392$.

הזווית בין המשיק BA למיתר BC שווה לזווית ההיקפית שנשענת על הקשת BC מהצד השני - $\angle BDC=\alpha$. לכן $\angle ABC=\alpha$.

CD עובר דרך המרכז, כלומר הוא קוטר, וזווית היקפית שנשענת על קוטר היא ישרה: $\angle CBD=90^\circ$.

טעות נפוצה: לכתוב $\angle ABC=90^\circ$ בגלל ש"משיק מאונך" - המשיק מאונך לרדיוס OB, לא למיתר BC.

$\angle BAC=\angle DAB$ (זווית משותפת), ו-$\angle ABC=\angle ADB=\alpha$ (סעיף א). לכן $\Delta ABC\sim\Delta ADB$ (ז.ז), עם $B\leftrightarrow D$, $C\leftrightarrow B$.

מיחס הצלעות: $\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AB}$, ולכן $AB^2=AC\cdot AD$.

טעות נפוצה: לכתוב מהדמיון $\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AB}$ ו"להסיק" $AB^2=AC\cdot CD$ - בפרופורציה מופיע כל הקטע AD, לא CD.

לפי ב: $AB^2=AC\cdot AD$, כלומר $16=2\cdot AD$, ולכן $AD=8$.

$CD=AD-AC=6$ הוא קוטר, ולכן $R=3$.

טעות נפוצה: לכתוב $AB^2=AC\cdot CD$, לקבל $CD=8$ ו-$R=4$.

יחס הדמיון בין ABC ל-ADB: $\frac{AB}{AD}=\frac48=\frac12$.

יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון: $\left(\frac12\right)^2=\frac14$.

טעות נפוצה: לענות $\frac12$ - זה יחס הצלעות, לא יחס השטחים.

במשולש BDC ($\angle CBD=90^\circ$): $\tan\alpha=\frac{BC}{BD}$.

מהדמיון: $\frac{BC}{DB}=\frac{AB}{AD}=\frac12$. לכן $\tan\alpha=\frac12$ ו-$\alpha\approx26.57^\circ$.

טעות נפוצה: לכתוב $\sin\alpha=\frac{BC}{BD}=\frac12$ ולקבל $\alpha=30^\circ$ - BD הוא ניצב, לא היתר (היתר הוא CD).

$CD=CA$, ולכן המשולש $ACD$ שווה-שוקיים, וזוויות הבסיס שלו שוות: $\angle CAD=\angle ADC$.

$\angle ACB=2\alpha$ היא זווית חיצונית למשולש $ACD$ (צמודה ל-$\angle ACD$), ולכן היא שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה:

טעות נפוצה: להתייחס ל-$2\alpha$ כאל הזווית $\angle ACD$ עצמה ולקבל זוויות בסיס $\frac{180^\circ-2\alpha}{2}=90^\circ-\alpha$ - אבל $\angle ACD=180^\circ-2\alpha$.

לשני המשולשים אותה זווית בקודקוד $D$ (כי $B$, $C$, $D$ על ישר אחד).

מול הזווית $D$: במשולש $ABD$ הצלע $AB$, ובמשולש $ACD$ הצלע $AC$. לפי משפט הסינוסים המורחב:

$AB=AC$ והזוויות שוות, ולכן הרדיוסים שווים.

טעות נפוצה: לחשוב שהמעגל הנתון חוסם גם את המשולש $ACD$ (כי $A$ ו-$C$ עליו) ולכתוב $R_{ACD}=R$ - אבל $D$ מחוץ למעגל, ולמעשה $R_{ACD}=\frac{AC}{2\sin\alpha}=2R\cos\alpha$.

במשולש $ABC$, החסום במעגל שרדיוסו $R$, הצלע $AC$ נמצאת מול הזווית $B=2\alpha$:

במשולש $ACD$: $CD=CA$ והזווית שביניהן $\angle ACD=180^\circ-2\alpha$, ו-$\sin(180^\circ-2\alpha)=\sin2\alpha$:

טעות נפוצה: לקחת את $AC$ מול זווית הראש $A=180^\circ-4\alpha$: $AC=2R\sin4\alpha$, ולקבל $S_{ACD}=2R^2\sin^24\alpha\sin2\alpha$ - מול זווית הראש נמצא הבסיס $BC$.

למשולשים $ACD$ ו-$ABD$ אותו גובה מ-$A$ לישר $BD$, ולכן יחס השטחים שווה ליחס הבסיסים: $n=\frac{CD}{BD}$.

$BC$ נמצא מול זווית הראש $\angle BAC=180^\circ-4\alpha$:

$BD=BC+CD=4R\sin2\alpha\cos2\alpha+2R\sin2\alpha$, ולכן:

טעות נפוצה: לחלק ב-$BC$ במקום ב-$BD$ ולקבל $n=\frac{CD}{BC}=\frac{1}{2\cos2\alpha}$ - המשולש $ABD$ כולל גם את $ACD$, ולכן הבסיס שלו הוא $BC+CD$.

אין זווית שהקוסינוס שלה גדול מ-1, ולכן לא ייתכן ש-$n=0.3$.

(באופן כללי: זווית הראש חיובית, ולכן $0^\circ<2\alpha<90^\circ$ ו-$0<\cos2\alpha<1$, כלומר $\frac13<n<1$.)

טעות נפוצה: להפוך את המשוואה ל-$1+2\cos2\alpha=0.3$, לקבל $\cos2\alpha=-0.35$, $2\alpha\approx110.49^\circ$, ולענות "ייתכן" - בלי לשים לב שזוויות הבסיס $2\alpha$ חייבות להיות חדות.