מתכונת במתמטיקה 571 - מתכונת 3 בדרך לבגרות

$D$ על הצלע $BC$, ולכן $\angle ADB$ ו-$\angle ADC$ זוויות צמודות: $\angle ADB=180^\circ-\angle ADC$.

לפי הזהות $\sin(180^\circ-\theta)=\sin\theta$:

טעות נפוצה: להסיק מאותו נימוק ש-$\cos\angle ADB=\cos\angle ADC$ - לזוויות משלימות הקוסינוסים נגדיים: $\cos(180^\circ-\theta)=-\cos\theta$.

במשולש $ABD$ הצלע שמול $\angle ADB$ היא $AB=10$; במשולש $ACD$ הצלע שמול $\angle ADC$ היא $AC=6$.

משפט הסינוסים המורחב:

לפי סעיף א(1) המכנים שווים, ולכן $\frac{R_{ABD}}{R_{ACD}}=\frac{10}{6}=\frac53$.

טעות נפוצה: להפוך את היחס ולענות $3:5$ - הרדיוס של המשולש $ABD$ גדול יותר, כי הצלע שמול הזווית ב-$D$ ארוכה יותר.

ביטוי 1: $0.1^3$ היא ההסתברות שאף זרע לא ינבט. המשלים שלה: לפחות זרע אחד נובט - הסתברות I.

ביטוי 2: $3\cdot0.9^2\cdot0.1$ - בדיוק שניים נובטים (3 מקומות אפשריים לזרע שלא נבט), ו-$0.9^3$ - שלושתם נובטים. יחד: לפחות שניים - הסתברות II.

הסתברות III היא רק האיבר הראשון של ביטוי 2:

טעות נפוצה: להתאים את ביטוי 2 ל-III ולענות שהסתברות III היא $0.972$ - האיבר $0.9^3$ מוסיף את המקרה שכל שלושת הזרעים נבטו.

גוזרים את $f'(x)=x(x-3)^2$ לפי כלל המכפלה:

$f''(x)=0$ ב-$x=1$ וב-$x=3$, ובכל אחת מהנקודות $f''$ מחליפה סימן - ולכן אלה נקודות הקיצון של $f'$ (מקסימום ב-$x=1$, מינימום ב-$x=3$, כמו בסרטוט).

$f''$ היא הנגזרת של $f'$, ולכן בנקודות הקיצון של $f'$ היא מתאפסת ומחליפה סימן: הגרף שלה חותך שם את ציר ה-$x$.

טעות נפוצה: לענות $x=0$ ו-$x=3$ - נקודות החיתוך של $f'$ עם ציר ה-$x$. ב-$x=0$ הגרף של $f'$ עולה, ואין שם קיצון.

$f''(x)=3(x-1)(x-3)$ חיובית ב-$0\le x<1$ ושלילית ב-$1<x<3$.

$f'$ היא פונקציה קדומה של $f''$, ולכן:

(אפשר גם לחשב ישירות: $f''(x)=3x^2-12x+9$, $\int_0^1(3x^2-12x+9)\,dx=1-6+9=4$.)

טעות נפוצה: להציב את הגבולות ב-$f''$ במקום ב-$f'$: $f''(1)-f''(0)=0-9=-9$, ולענות שהשטח ברביע הראשון הוא 9.

כל זווית ראש היא חצי מהקודמת: $80^\circ,\ 40^\circ,\ 20^\circ,\dots$ - המנה בין כל שני איברים עוקבים היא $\frac12$, ולכן זו סדרה הנדסית עם $a_1=80^\circ$, $q=\frac12$.

$|q|<1$, ולכן הסדרה מתכנסת:

טעות נפוצה: לכתוב במכנה $1+q$ ולקבל $\frac{80}{1.5}\approx53.3^\circ$ - קטן אפילו מסכום שתי הזוויות הראשונות ($120^\circ$).

שטח משולש לפי שתי צלעות והזווית שביניהן: $S=\frac12\cdot2\cdot2\cdot\sin\theta=2\sin\theta$.

$\frac{S_2}{S_1}\approx0.65$ ו-$\frac{S_3}{S_2}\approx0.53$ - המנות שונות, ולכן השטחים אינם סדרה הנדסית.

טעות נפוצה: לחשב רק את $S_1$ ולהניח שכל שטח הוא חצי מהקודם ($1.97,\ 0.98,\ 0.49$) - הזווית קטנה פי 2, אבל הסינוס שלה לא.

$\frac{a_{n+1}/b_{n+1}}{a_n/b_n}=\frac{q_A}{q}=\frac{-\frac12}{q}=-\frac{1}{2q}$ - קבוע, ולכן הסדרה הנדסית.

האיבר הראשון: $\frac{a_1}{b_1}=\frac42=2$.

טעות נפוצה: להפוך את המנה ולכתוב $-\frac{q}{2}$ - $q$ היא מנת המכנה $b_n$, ולכן היא במכנה.

ב-A המנה שלילית ($-\frac12$), ולכן האיברים מחליפים סימן: $4,-2,1,-\frac12,\ldots$ - הסדרה אינה עולה ואינה יורדת.

ב-B: $b_1=2>0$ ו-$0<q<1$, ולכן כל איבר חיובי וקטן מקודמו: הסדרה יורדת.

טעות נפוצה: לקבוע ש-A יורדת כי $|q_A|<1$ - הערך המוחלט קובע התכנסות, ואילו הסימן של המנה קובע אם יש מונוטוניות.

תנאי ההתכנסות: $\left|-\frac{1}{2q}\right|<1$, כלומר $\frac{1}{2q}<1$ (כי $q>0$), ומכאן $q>\frac12$.

יחד עם הנתון $0<q<1$: $\frac12<q<1$.

טעות נפוצה: לכתוב את התנאי בלי ערך מוחלט, $-\frac{1}{2q}<1$, שמתקיים לכל $q>0$, ולהסיק שהסדרה מתכנסת לכל $0<q<1$.

$\frac34$ בתחום $\frac12<q<1$ מסעיף ג.

טעות נפוצה: לשכוח את המינוס של המנה ולכתוב $S=\frac{2}{1-\frac{1}{2q}}=\frac{4q}{2q-1}$, ואז $20q=12q-6$ ו-$q=-\frac34$.

$S_A=\frac{4}{1+\frac12}=\frac83$, $S_B=\frac{2}{1-q}$, ולכן $\frac{S_A}{S_B}=\frac83\cdot\frac{1-q}{2}=\frac{4(1-q)}{3}$.

$q=\frac{-1-\sqrt3}{2}<0$ נפסל, ו-$q=\frac{\sqrt3-1}{2}\approx0.37$ קטן מ-$\frac12$, כלומר הסדרה החדשה אינה מתכנסת בו ואין לה סכום. לכן אין ערך מתאים.

טעות נפוצה: לקבל $q=\frac{\sqrt3-1}{2}\approx0.37$ כתשובה - הוא אמנם בין 0 ל-1, אבל לא בתחום ההתכנסות של הסדרה החדשה שנמצא בסעיף ג.

שני צהובים אפשריים רק מקופסה א': ראשון צהוב $\frac25$, ואז נשארו 4 כדורים ובהם צהוב אחד:

טעות נפוצה: לשכוח שהכדור הראשון לא הוחזר ולכתוב $\frac12\cdot\frac25\cdot\frac25=\frac{2}{25}$.

שני אדומים מקופסה א': $\frac12\cdot\frac35\cdot\frac24=\frac{3}{20}$. שני אדומים מקופסה ב': $\frac12\cdot1=\frac{10}{20}$.

טעות נפוצה: לשכוח את קופסה ב' ולקבל $\frac1{20}+\frac3{20}=\frac15$.

טעות נפוצה: להשתמש בתנאי רק בתוך קופסה א' (לחלק ב-$\frac15$) ולקבל $\frac14$.

בכל פעם: צהוב מתקבל רק מקופסה א': $P(\text{צהוב})=\frac12\cdot\frac25=\frac15$, ו-$P(\text{אדום})=\frac45$.

3 פעמים בדיוק = צהוב, צהוב, ואז אדום:

טעות נפוצה: להחליף בין ההסתברויות ולחשב $\left(\frac45\right)^2\cdot\frac15=\frac{16}{125}$.

נסמן ב-$x$ את מספר הכדורים שהוסיפו. בקופסה א' יש עכשיו $5+x$ כדורים, מהם 3 אדומים:

טעות נפוצה: להעביר אגף בלי להכפיל ב-2 ($\frac{3}{5+x}=\frac35-\frac12=\frac1{10}$), ולקבל $x=25$.

KA משיק למעגל הקטן ב-A, ו-OA רדיוס לנקודת ההשקה - משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה: $\angle KAO=90^\circ$.

K, A, O על המעגל הגדול, ולכן $\angle KAO$ זווית היקפית בו. זווית היקפית של $90^\circ$ נשענת על קוטר, ולכן KO קוטר (ו-M, המרכז, היא אמצע KO).

טעות נפוצה: להסיק ש-KO קוטר "כי הוא עובר דרך M" לפי הסרטוט - את זה צריך להוכיח, והזווית הישרה היא ההוכחה.

$OA=OE=4$, ולכן $\angle OAE=\angle OEA$, ו-$\angle AOE=180^\circ-2\angle OAE$.

לפי סעיף א, $\angle KAE=90^\circ-\angle OAE$, כלומר $\angle OAE=90^\circ-\angle KAE$. מציבים:

טעות נפוצה: לכתוב $\angle AOE=180^\circ-\angle OAE$ (לשכוח שיש במשולש שתי זוויות בסיס שוות), ולקבל $\angle AOE=90^\circ+\angle KAE$.

$MA=MO=5$ (רדיוסים במעגל הגדול) ו-$OA=OE=4$ (רדיוסים במעגל הקטן).

E על הקטע AM, ולכן לשני המשולשים זווית משותפת בקדקוד A: $\angle MAO=\angle OAE$.

זו זווית בסיס בשניהם, ולכן גם זוויות הבסיס האחרות שוות: $\angle MOA=\angle MAO=\angle OAE=\angle OEA$.

לכן $\triangle MOA\sim\triangle OEA$ (ז.ז), בהתאמה $M\leftrightarrow O$, $O\leftrightarrow E$, $A\leftrightarrow A$.

טעות נפוצה: לנסות להוכיח דמיון לפי יחס צלעות $\frac{MA}{OA}=\frac{MO}{OE}$ בלבד - זה רק שני זוגות צלעות בלי זווית כלואה; את הדמיון נותנות הזוויות.

מהדמיון: $\frac{EA}{OA}=\frac{OA}{MA}$, כלומר $\frac{EA}{4}=\frac45$, ולכן $EA=\frac{16}{5}=3.2$.

$ME=MA-EA=5-3.2=1.8$.

טעות נפוצה: לחשוב ש-$AE=4$ כי E על המעגל הקטן (לבלבל בין המיתר AE לרדיוס), ולקבל $ME=5-4=1$.

למשולשים MEO ו-MAO אותו גובה מ-O לישר MA:

M אמצע KO, ולכן AM תיכון במשולש OKA ו-$S_{OKA}=2S_{MAO}$:

(בדיקה: $KA=\sqrt{10^2-4^2}=\sqrt{84}$, $S_{OKA}=\frac12\cdot4\cdot\sqrt{84}=4\sqrt{21}$, $S_{MEO}=\frac{18\sqrt{21}}{25}$.)

טעות נפוצה: לשכוח שהתיכון AM מחלק את OKA לשניים, ולענות $\frac{9}{25}$.

$BE=2k$, ו-$\angle ACB=\angle ABC=\alpha$ (זוויות בסיס במשולש שווה-שוקיים).

במשולש ישר-הזווית $BME$ (יתר $BE$): הניצב מול $\alpha$ הוא $ME=2k\sin\alpha$, והניצב ליד $\alpha$ הוא $BM=2k\cos\alpha$.

במשולש ישר-הזווית $CDE$ (יתר $EC=k$): $DE=k\sin\alpha$, $DC=k\cos\alpha$.

טעות נפוצה: להחליף בין $\sin$ ל-$\cos$ ולכתוב $ME=2k\cos\alpha$, $BM=2k\sin\alpha$ - $\sin$ שייך לניצב שמול הזווית.

שטח משולש ישר-זווית הוא מחצית מכפלת הניצבים:

הסכום: $\frac52k^2\sin\alpha\cos\alpha$. כותבים $\sin\alpha\cos\alpha=\frac12\sin2\alpha$:

טעות נפוצה: להחליף $\sin\alpha\cos\alpha$ ב-$\sin2\alpha$ (בלי ה-$\frac12$), ולקבל $\frac52k^2\sin2\alpha$.

לפי סעיף ב: $\frac54k^2\sin2\alpha=1.1k^2$, ולכן $\sin2\alpha=0.88$.

$0^\circ<2\alpha<180^\circ$: $2\alpha\approx61.64^\circ$ או $2\alpha\approx118.36^\circ$, כלומר $\alpha\approx30.82^\circ$ או $\alpha\approx59.18^\circ$.

לפי הנתון $45^\circ<\alpha<90^\circ$: $\alpha\approx59.18^\circ$.

טעות נפוצה: לעצור בפתרון הראשון שהמחשבון נותן ($\alpha\approx30.82^\circ$) - הוא מחוץ לתחום הנתון, והפתרון השני של $\sin2\alpha=0.88$ הוא $180^\circ-61.64^\circ$.

$\angle ADE=90^\circ$, וזווית היקפית ישרה נשענת על קוטר - לכן $AE$ הוא קוטר המעגל החוסם את המשולש $AED$.

$BC=3k=9$. הגובה $AH$ לבסיס הוא גם תיכון: $BH=4.5$. $BE=2k=6$, ולכן $EH=BE-BH=1.5$.

$AH=BH\cdot\tan\alpha=4.5\tan59.18^\circ\approx7.542$.

$R=\frac{AE}{2}\approx3.85$.

טעות נפוצה: לקחת $EH=k=3$ (כאילו $E$ רחוקה מ-$H$ כמו מ-$C$), ולקבל $AE\approx8.12$ ו-$R\approx4.06$.

המכנה מתאפס כאשר $x^2=4$, כלומר $x=\pm2$. תחום: $x\neq\pm2$.

בשתי הנקודות המונה ($\pm2$) שונה מ-0: אסימפטוטות אנכיות $x=2$ ו-$x=-2$.

מעלת המונה 1 ומעלת המכנה 4: אסימפטוטה אופקית $y=0$.

טעות נפוצה: לפתור $x^2-4=0$ ולרשום רק $x=2$, ולשכוח את האסימפטוטה $x=-2$.

נגזרת המכנה: $\left[(x^2-4)^2\right]'=2(x^2-4)\cdot2x$.

טעות נפוצה: לגזור את $(x^2-4)^2$ כ-$2(x^2-4)$ בלי הגורם $2x$, ולקבל מונה $x^2-2x-4$ במקום $-3x^2-4$.

המונה $-(3x^2+4)$ שלילי לכל $x$, ולכן $f'$ לא מתאפסת - אין נקודות קיצון.

סימן $f'$ הפוך לסימן של $(x^2-4)^3$, שהסימן שלו הוא הסימן של $x^2-4$:

- $|x|>2$: $x^2-4>0$, ולכן $f'<0$ - יורדת.

- $-2<x<2$: $x^2-4<0$, ולכן $f'>0$ - עולה.

טעות נפוצה: להסתכל רק על המונה השלילי ולקבוע "$f$ יורדת בכל תחום ההגדרה" - המכנה בחזקה שלישית ומחליף סימן ב-$\pm2$.

$f(-x)=-f(x)$, ולכן הגרף סימטרי ביחס לראשית; $f(0)=0$, ו-$f$ חיובית עבור $x>0$ ושלילית עבור $x<0$.

ליד $x=2$: המונה חיובי והמכנה חיובי וקטן, ולכן $f\to+\infty$ משני הצדדים; ליד $x=-2$: $f\to-\infty$ משני הצדדים.

טעות נפוצה: לסרטט את הענף שמימין ל-2 מתחת לציר ה-$x$ - עבור $x>2$ המונה והמכנה חיוביים, ולכן $f>0$.

$g$ מתאפסת ב-$x=0$, ובין 0 ל-1 $f>0$ ולכן $g<0$. השטח:

$x$ הוא חצי מהנגזרת של $x^2-4$:

טעות נפוצה: לשכוח את המקדם $\frac12$, לקבל $\frac13-\frac14=\frac1{12}$ ו-$k=-12$.