מתכונת במתמטיקה 571 - מתכונת 8 בדרך לבגרות

$a_1=\cos\pi=-1$, $a_2=\cos2\pi=1$, $a_3=\cos3\pi=-1$, $a_4=\cos4\pi=1$.

טעות נפוצה: לחשב $\cos\pi=1$ (לבלבל עם $\cos0$) ולקבל $1,1,1,1$ - $\cos\pi=-1$.

האיברים מתחלפים: $-1,1,-1,1,\dots$, וכל זוג עוקב מסתכם ב-0.

$25=2\cdot12+1$: 12 זוגות (סכומם 0) ועוד $a_{25}=\cos25\pi=-1$.

$S_{25}=-1$.

טעות נפוצה: לענות $0$ "כי האיברים מתקזזים" - מספר האיברים אי-זוגי, ונשאר $a_{25}=-1$.

גרף II יורד בכל אחד משני הענפים, ולכן הנגזרת שלו שלילית בכל התחום - זה גרף I (שלילי משני צדי ציר ה-$y$).

גרף I אינו יכול להיות $f$: הוא יורד בכל הענף השמאלי, ולכן הנגזרת שלו הייתה שלילית בכל $x<0$ - אבל גרף II חיובי עבור $x<-1$ (שם הוא מעל ציר ה-$x$).

טעות נפוצה: לבחור את גרף I כ-$f$ כי "הוא שלילי, אז הוא יורד" - הסימן של הפונקציה אינו קובע אם היא עולה או יורדת.

$b_2=b_1+2=5$, $b_3=7$, $b_4=9$.

$a_2=5$, $a_3=7$, $a_4=9$. שווים.

טעות נפוצה: לחשב $b_4=b_1+4\cdot2=11$ - מ-$b_1$ ל-$b_4$ יש שלושה צעדים, ולכן $b_4=3+3\cdot2=9$.

בסיס: $b_1=3=2\cdot1+1=a_1$.

הנחה: $b_k=2k+1$.

צעד: $b_{k+1}=b_k+2=2k+1+2=2k+3=2(k+1)+1=a_{k+1}$.

לפי עקרון האינדוקציה $a_n=b_n$ לכל $n$ טבעי.

טעות נפוצה: להסתפק בבדיקה של $n=1,2,3,4$ מסעיף ג(1) ולהסיק שהטענה הוכחה - בדיקה של מקרים אינה הוכחה לכל $n$; צריך את שלב הצעד.

$g(-x)=3f(-x)=3f(x)=g(x)$, והתחום של $g$ הוא התחום של $f$ (סימטרי). לכן $g$ זוגית.

טעות נפוצה: לכתוב $3f(-x)=-3f(x)$ (לבלבל עם פונקציה אי-זוגית) ולענות ש-$g$ אי-זוגית.

$h(-x)=f(-x)-x=f(x)-x$, ובדרך כלל זה שונה מ-$h(x)=f(x)+x$.

דוגמה נגדית: $f(x)=x^2$ זוגית, $h(x)=x^2+x$: $h(1)=2$ ו-$h(-1)=0$.

טעות נפוצה: לנמק "סכום של פונקציות זוגיות הוא זוגי" ולענות ש-$h$ זוגית - הפונקציה $x$ אינה זוגית.

$a_1=1$, $a_2=-\frac12$, $a_3=\frac14$, $a_4=-\frac18$. לכן $b_1=1\cdot\left(-\frac12\right)=-\frac12$, $b_2=-\frac12\cdot\frac14=-\frac18$, $b_3=\frac14\cdot\left(-\frac18\right)=-\frac1{32}$.

באופן כללי $a_n=\left(-\frac12\right)^{n-1}$, ולכן $b_n=\left(-\frac12\right)^{n-1}\left(-\frac12\right)^{n}=\left(-\frac12\right)^{2n-1}$, ו-$\frac{b_{n+1}}{b_n}=\left(-\frac12\right)^2=\frac14$ - קבוע.

טעות נפוצה: להניח שלמכפלה יש אותה מנה כמו ל-A ולענות שמנת B היא $-\frac12$ - כל אחד משני הגורמים מוכפל ב-$q$.

A: המנה שלילית, ולכן הסימנים מתחלפים ($1,-\frac12,\frac14,\ldots$) - לא עולה ולא יורדת.

B: כל האיברים שליליים והמנה $\frac14$, כלומר כל איבר קרוב יותר ל-0 מקודמו: $-\frac12<-\frac18<-\frac1{32}$. הסדרה עולה.

טעות נפוצה: לקבוע ש-B יורדת ״כי המנה קטנה מ-1״ - כשהאיברים שליליים, מנה בין 0 ל-1 נותנת סדרה עולה.

המנה $\frac14$ מקיימת $|q|<1$, ולכן הסכום קיים:

טעות נפוצה: להציב בנוסחה את המנה של A, $-\frac12$, ולקבל $\frac{-\frac12}{1+\frac12}=-\frac13$.

$c_n=\frac{1}{a_n}=(-2)^{n-1}$: סדרה הנדסית עם $c_1=1$ ומנה $-2$.

$-128=(-2)^7$, ולכן $m=7$.

טעות נפוצה: לכתוב בנוסחת הסכום $q^{m-1}$ במקום $q^m$, להגיע ל-$(-2)^{m-1}=-128$ ולענות $m=8$.

צעירים רוכבים: $0.6\cdot320=192$. צעירים שאינם רוכבים: $320-192=128$.

מבוגרים: $800-320=480$. מבוגרים רוכבים: $\frac{192}{2}=96$. מבוגרים שאינם רוכבים: $480-96=384$.

טעות נפוצה: לחשב את 60% מכלל המשתתפים ($0.6\cdot800=480$ רוכבים צעירים) - האחוז נתון מתוך הצעירים בלבד.

בוחרים מבין המבוגרים בלבד (480):

טעות נפוצה: לחלק במספר כל הרוכבים ולקבל $\frac{96}{288}=\frac13$ - זו ההסתברות שרוכב שנבחר הוא מבוגר.

העיר גדולה, ולכן הבחירות בלתי תלויות, ובכל בחירה ההסתברות למבוגר רוכב היא $\frac15$ (סעיף ב).

טעות נפוצה: לחשב רק את הסדר "הראשון רוכב, השניים האחרים לא" ולקבל $\frac{16}{125}$ - הרוכב יכול להיות כל אחד משלושת הנבחרים.

בוחרים מבין מי שאינם רוכבים (512):

טעות נפוצה: להפוך את ההתניה ולחלק במספר הצעירים: $\frac{128}{320}=\frac25$ - זו ההסתברות שצעיר אינו רוכב.

$P(\text{רוכב})=\frac{288}{800}=0.36$, ו-$P(\text{רוכב}\mid\text{צעיר})=\frac{192}{320}=0.6$.

$0.6\neq0.36$, ולכן המאורעות תלויים: בקרב הצעירים שיעור הרוכבים גבוה יותר.

טעות נפוצה: לחשב את $P(\text{רוכב})$ במכנה של המבוגרים, $\frac{288}{480}=0.6$, לקבל ערך ששווה ל-$P(\text{רוכב}\mid\text{צעיר})$ ולהסיק בטעות שהמאורעות בלתי תלויים.

במרובע החסום $ABDE$ הזוויות $\angle ABD$ ו-$\angle AED$ נגדיות, ולכן $\angle ABD+\angle AED=180^\circ$.

$\angle DEC$ ו-$\angle AED$ צמודות (סכומן $180^\circ$), ולכן $\angle DEC=\angle ABD=\angle ABC$.

טעות נפוצה: לכתוב $\angle DEC=\angle BAC$ ("זוויות מתאימות") - זה היה נכון רק אם $DE\parallel AB$, וזה לא נתון.

לפי סעיף א $\angle DEC=\angle ABC$, ו-$\angle C$ משותפת. לפי ז.ז: $\triangle ABC\sim\triangle DEC$.

ההתאמה: $A\leftrightarrow D$, $B\leftrightarrow E$, $C\leftrightarrow C$. לכן:

טעות נפוצה: לרשום את היחסים לפי סדר האותיות בלי לבדוק התאמה, $\frac{EC}{AC}=\frac{DC}{BC}$ - יחסים של צלעות שאינן מתאימות.

מסעיף ב: $\frac{EC}{BC}=\frac{DC}{AC}$, כלומר $EC\cdot AC=DC\cdot BC$.

$AC=AE+EC=18$, ו-$DC=\frac{BC}{2}$ ($AD$ תיכון):

טעות נפוצה: לשכוח ש-$DC$ הוא חצי מ-$BC$ ולכתוב $4\cdot18=BC^2$, ומקבלים $BC=\sqrt{72}\approx8.49$.

יחס הדמיון: $\frac{EC}{BC}=\frac{4}{12}=\frac13$. יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון:

טעות נפוצה: לכפול ביחס הדמיון במקום בריבועו: $S_{ABC}=3\cdot8=24$, ומקבלים $S_{ABDE}=16$.

$\angle ACB=180^\circ-70^\circ-\alpha=110^\circ-\alpha$.

משפט הסינוסים המורחב: $AB=2R\sin\angle ACB=2R\sin(110^\circ-\alpha)$, $BC=2R\sin\angle BAC=2R\sin\alpha$.

הזווית הכלואה בין AB ל-BC היא $\angle ABC=70^\circ$:

טעות נפוצה: להציב בנוסחת השטח את $\sin\alpha$ במקום הסינוס של הזווית הכלואה $\angle ABC$, ולקבל $2R^2\sin^2\alpha\sin(110^\circ-\alpha)$.

הזווית המרכזית $\angle BOC$ נשענת על אותה קשת כמו $\angle BAC$, ולכן $\angle BOC=2\alpha$.

D אמצע הקשת BC, ולכן OD חוצה את $\angle BOC$: $\angle DOC=\alpha$.

טעות נפוצה: לקחת $\angle DOC=\frac{\alpha}2$ (לחצות את הזווית ההיקפית במקום את המרכזית) ולקבל $\frac{R^2}2\sin\frac{\alpha}2$.

$4\sin70^\circ\sin(110^\circ-\alpha)=4\sin^270^\circ$, ולכן $\sin(110^\circ-\alpha)=\sin70^\circ$.

$110^\circ-\alpha=70^\circ$, כלומר $\alpha=40^\circ$; או $110^\circ-\alpha=180^\circ-70^\circ=110^\circ$, כלומר $\alpha=0^\circ$ - לא זווית במשולש.

$\alpha=40^\circ$ (ואז $\angle ACB=70^\circ$).

טעות נפוצה: לא לצמצם את $\sin70^\circ$ ולפתור $\sin(110^\circ-\alpha)=\sin^270^\circ\approx0.883$, ומקבלים $\alpha\approx48^\circ$.

$\angle BOD=\angle DOC=\alpha=40^\circ$, והזווית ההיקפית $\angle BCD$ נשענת על הקשת BD: $\angle BCD=20^\circ$.

$\angle ACD=\angle ACB+\angle BCD=70^\circ+20^\circ=90^\circ$, ולכן גם הזווית הצמודה $\angle ACE=90^\circ$.

$\angle AEC=180^\circ-90^\circ-45^\circ=45^\circ=\angle CAE$, ולכן $CA=CE$: המשולש ישר-זווית ושווה-שוקיים.

טעות נפוצה: לקחת $\angle BCD=40^\circ$ (הזווית המרכזית במקום ההיקפית), ואז $\angle ACE=70^\circ$ והמשולש לא יוצא ישר-זווית.

$AC=2R\sin\angle ABC=2R\sin70^\circ$, וגם $CE=AC$. היתר: $AE=\sqrt2\cdot AC$.

טעות נפוצה: לחלק את השטח בהיקף כולו במקום בחצי ההיקף, ולקבל $r\approx0.28R$.

השורש דורש $x+1\ge0$, כלומר $x\ge-1$. המכנה דורש $x\neq0$.

טעות נפוצה: לכתוב רק $x\ge-1$ ולשכוח שהמכנה $x^2$ מתאפס ב-$x=0$.

בקטע $-1<x<0$ גרף $f'$ מעל ציר ה-$x$: $f'>0$, ולכן $f$ עולה.

עבור $x>0$ גרף $f'$ מתחת לציר: $f'<0$, ולכן $f$ יורדת.

טעות נפוצה: לתאר את הגרף המצויר במקום את הסימן שלו - "יורדת ואחר כך עולה בקטע $-1<x<0$" - זה המהלך של $f'$, לא של $f$.

נקודות הפיתול של $f$ הן נקודות הקיצון של $f'$.

בקטע $-1<x<0$: $f'$ יורדת מ-$+\infty$ למינימום ועולה ל-$+\infty$ - קיצון אחד.

עבור $x>0$: $f'$ עולה (נתון) - אין קיצון.

לכן ל-$f$ נקודת פיתול אחת.

טעות נפוצה: לספור את נקודת המינימום של $f'$ וגם את $x=0$ ולענות 2 - $x=0$ אינו בתחום, ובשני הקטעים הסמוכים ל-0 (מימין לנקודת המינימום של $f'$ ומימין ל-0) $f'$ עולה, כך שהפונקציה קעורה כלפי מעלה משני צדי $x=0$ ואין שם החלפת קעירות.

$-1\le x<0$: מתחילה ב-$(-1,0)$ עם משיק אנכי ($f'\to+\infty$), עולה ל-$+\infty$ ליד $x=0$; קעורה כלפי מטה עד נקודת הפיתול ואחר כך כלפי מעלה.

$x>0$: יורדת מ-$+\infty$ ושואפת ל-0 מלמעלה; $f'$ עולה - קעורה כלפי מעלה.

טעות נפוצה: לסרטט את הענף הימני מתחת לציר ה-$x$ - $f$ יורדת ושואפת ל-0, ולכן היא חיובית.

$(f(x))^2=\frac{x+1}{x^4}=x^{-3}+x^{-4}$, מתאפסת ב-$x=-1$; התחום בין $x=-1$ ל-$x=-\frac12$.

טעות נפוצה: להעלות בריבוע גם את מה שבתוך השורש, $(f(x))^2=\frac{(x+1)^2}{x^4}$, ולקבל $\frac13$.

סכום הזוויות $\pi$: $\sphericalangle ACB=\pi-\frac{2\pi}{3}-x=\frac\pi3-x$.

משפט הסינוסים: $\frac{6}{\sin\frac{2\pi}{3}}=\frac{6}{\frac{\sqrt3}{2}}=\frac{12}{\sqrt3}=4\sqrt3$.

טעות נפוצה: לכפול ב-$\sin\frac{2\pi}{3}$ במקום לחלק: $AC=6\sin x\cdot\frac{\sqrt3}{2}=3\sqrt3\sin x$.

$P=BC+AC+AB=6+4\sqrt3\sin x+4\sqrt3\sin\left(\frac\pi3-x\right)$.

הנגזרת של $\sin\left(\frac\pi3-x\right)$: כלל השרשרת, נגזרת הפנימית $-1$:

טעות נפוצה: לשכוח את הנגזרת הפנימית $-1$ ולקבל $P'(x)=4\sqrt3\left(\cos x+\cos\left(\frac\pi3-x\right)\right)$ - ביטוי שחיובי בכל התחום, ואז "אין מקסימום".

$P'=0$: $\cos x=\cos\left(\frac\pi3-x\right)$. שתי הזוויות בקטע $\left(0,\frac\pi3\right)$, שבו הקוסינוס יורד ולכן חד-חד-ערכי, ולכן:

עבור $x<\frac\pi6$: $x<\frac\pi3-x$, ולכן $\cos x>\cos\left(\frac\pi3-x\right)$ ו-$P'>0$; עבור $x>\frac\pi6$: $P'<0$. מקסימום.

טעות נפוצה: להציב רק באיבר הראשון ולשכוח את $\sin\left(\frac\pi3-\frac\pi6\right)$, ולקבל $6+2\sqrt3\approx9.46$.

עבור $x=\frac\pi6$: $\sphericalangle ACB=\frac\pi3-\frac\pi6=\frac\pi6=\sphericalangle ABC$, ולכן $AB=AC$.