מבחן לדוגמה 3 של משרד החינוך - שאלון 571

תחום ההגדרה: הביטוי שבתוך השורש אי-שלילי והמכנה שונה מ-0.

$4x^2-9\ge0\ \Rightarrow\ x^2\ge\frac94\ \Rightarrow\ x\le-1.5$ או $x\ge1.5$.

המכנה מתאפס ב-$x=1$, אבל $x=1$ ממילא אינו בתחום (הוא בין $-1.5$ ל-1.5), ולכן התחום: $x\le-1.5$ או $x\ge1.5$.

אסימפטוטה אנכית: המכנה מתאפס רק ב-$x=1$, שאינו בתחום ואין סביבו נקודות של התחום - לכן אין אסימפטוטה אנכית.

אסימפטוטות אופקיות: מוציאים $x^2$ מהשורש, $\sqrt{4x^2-9}=|x|\sqrt{4-\frac{9}{x^2}}$:

כש-$x\to\infty$: $|x|=x$ והביטוי שואף ל-$\frac{\sqrt4}{1}=2$. כש-$x\to-\infty$: $|x|=-x$ והביטוי שואף ל-$-2$.

אסימפטוטות: $y=2$ (בצד ימין) ו-$y=-2$ (בצד שמאל).

טעות נפוצה: לרשום את $x=1$ כאסימפטוטה אנכית כי שם המכנה מתאפס - בלי לבדוק ש-$x=1$ אינו בתחום ההגדרה; אסימפטוטה אנכית יכולה להיות רק בנקודה שהפונקציה מוגדרת בסביבתה.

תחום: $4x^2-9\ge0$ נותן $x\le-1.5$ או $x\ge1.5$, ובנוסף $2x-3\ne0$, כלומר $x\ne1.5$. התחום: $x\le-1.5$ או $x>1.5$.

אסימפטוטה אנכית: ב-$x=1.5$ המכנה מתאפס והפונקציה מוגדרת מימין לנקודה. מפרקים: $4x^2-9=(2x-3)(2x+3)$, ועבור $x>1.5$:

לכן $x=1.5$ היא אסימפטוטה אנכית.

אסימפטוטות אופקיות: $g(x)=\frac{|x|\sqrt{4-\frac9{x^2}}}{x\left(2-\frac3x\right)}$. כש-$x\to\infty$ הביטוי שואף ל-$\frac22=1$, וכש-$x\to-\infty$ ל-$-1$.

אסימפטוטות: $x=1.5$, $y=1$ (בצד ימין), $y=-1$ (בצד שמאל).

טעות נפוצה: לכתוב $\sqrt{4x^2}=2x$ גם כש-$x<0$, ולקבל אסימפטוטה אופקית אחת בלבד, $y=1$, בשני הצדדים - כש-$x$ שלילי $\sqrt{4x^2}=2|x|=-2x$, ולכן בצד שמאל $y=-1$.

נוסחת הסכום של סדרה חשבונית בת $2n+1$ איברים:

מבטאים את האיבר האחרון בעזרת $a_1$ וההפרש $d$: $a_{2n+1}=a_1+2nd$. לכן:

(כי $a_{n+1}=a_1+nd$). מציבים:

האיבר $a_{n+1}$ הוא האיבר האמצעי, ויש בדיוק $n$ איברים לפניו ו-$n$ אחריו.

טעות נפוצה: להציב בנוסחת הסכום $n$ איברים במקום $2n+1$, ולקבל $S=\frac{n(a_1+a_{2n+1})}{2}=n\cdot a_{n+1}$ - מספר האיברים בסדרה הוא $2n+1$.

הערך המקסימלי של סינוס הוא 1, ולכן לשתי הפונקציות מקסימום $y=1$ והקטע $AB$ אופקי: אורכו הוא הפרש שיעורי ה-$x$.

גרף ב (הרציף, המחזור הקצר $\pi$) הוא של $f$: $\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)=1$ כאשר

הערך החיובי הקטן ביותר: $x_A=\frac{5\pi}{12}$ (עבור $k=-1$ מתקבל ערך שלילי).

גרף א (המקווקו, המחזור $2\pi$) הוא של $g$: $\sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=1$ כאשר

הערך החיובי הקטן ביותר: $x_B=\frac{2\pi}{3}$.

טעות נפוצה: לא לחלק ב-2 את המשוואה של $f$ - לכתוב $x=\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{3}=\frac{5\pi}{6}$ - ולקבל $AB=\left|\frac{2\pi}{3}-\frac{5\pi}{6}\right|=\frac{\pi}{6}$.

משפט הסינוסים של דן נכון: הצלע $AC=5$ מול $\beta=20^\circ$ והצלע $AB=3$ מול $\gamma$, ולכן $\sin\gamma=\frac{3\sin20^\circ}{5}\approx0.2052$.

לסינוס הזה יש שתי זוויות בין $0^\circ$ ל-$180^\circ$: $11.84^\circ$ ו-$168.16^\circ$. אבל זווית במשולש חייבת להשאיר מקום לשאר הזוויות:

ולכן $\gamma_2$ נפסלת. (דרך נוספת: מול הצלע הקטנה $AB=3$ נמצאת זווית קטנה מזו שמול $AC=5$, כלומר $\gamma<\beta=20^\circ$.)

הטעות של דן: הוא לא בדק את הפתרון השני מול סכום הזוויות במשולש. התשובה: $\gamma\approx11.84^\circ$ בלבד.

טעות נפוצה: להציב את הצלעות הפוך במשפט הסינוסים, $\frac{3}{\sin20^\circ}=\frac{5}{\sin\gamma}$, ולקבל $\sin\gamma=\frac{5\sin20^\circ}{3}\approx0.570$, כלומר $\gamma\approx34.75^\circ$ - זווית שמול הצלע הקצרה $AB=3$ גדולה מ-$\beta=20^\circ$ שמול $AC=5$, וזה בלתי אפשרי. מול $AC$ נמצאת $\beta$, ומול $AB$ נמצאת $\gamma$.

נסמן: $U$ - התלמיד גר ביישוב עירוני, $\bar U$ - ביישוב כפרי, $T$ - משתתף בחוג לאומנות.

כל התלמידים הכפריים משתתפים בחוג, ולכן $P(T\mid\bar U)=1$.

מבין העירוניים יש גם תלמידים שאינם משתתפים, ולכן $P(T\mid U)<1$.

אם $U$ ו-$T$ היו בלתי תלויים, היה מתקיים $P(T\mid U)=P(T)=P(T\mid\bar U)$ - אבל $P(T\mid U)<1=P(T\mid\bar U)$.

דרך נוספת, דרך התא שבטבלה: $P(\bar T\cap\bar U)=0$, ואילו $P(\bar T)\cdot P(\bar U)>0$ (יש תלמידים שאינם משתתפים ויש תלמידים כפריים). המכפלה אינה שווה לחיתוך, ולכן המאורעות תלויים.

תשובה: לא ייתכן שהמאורעות בלתי תלויים - בכל חלוקה שמתאימה לנתונים הם תלויים.

טעות נפוצה: לענות "ייתכן - תלוי באחוזים שאינם ידועים" - התא 0 לבדו קובע: חיתוך שהסתברותו 0 של שני מאורעות שהסתברותם חיובית אינו יכול להיות שווה למכפלת ההסתברויות.

כל מי שאינו משתתף בחוג גר ביישוב עירוני (התא הכפרי בשורת "לא משתתפים" הוא 0), ולכן:

בית הספר גדול, ולכן הבחירות של שלושת התלמידים הן ניסויים בלתי תלויים עם אותה הסתברות "הצלחה" $p=0.2$. לפי נוסחת ברנולי, בדיוק 2 הצלחות מתוך 3:

טעות נפוצה: לשכוח את המקדם $\binom32=3$ (שלושה סידורים אפשריים של שתי ההצלחות) ולקבל $0.2^2\cdot0.8=0.032$.

המרובע $ECDF$ חסום במעגל. הזווית $\sphericalangle AEF$ היא זווית חיצונית שלו בקודקוד $E$, ולכן היא שווה לזווית הפנימית שממול, בקודקוד $D$:

(כי $\sphericalangle CEF+\sphericalangle FDC=180^\circ$ במרובע חסום, וגם $\sphericalangle CEF+\sphericalangle AEF=180^\circ$.)

$BF\parallel CD$, והישר $AD$ חותך את שניהם, ולכן הזוויות המתאימות שוות: $\sphericalangle AFB=\sphericalangle ADC$.

מכאן $\sphericalangle AEF=\sphericalangle AFB$, והזווית $\sphericalangle A$ משותפת לשני המשולשים.

לפי ז.ז: $\triangle FEA\sim\triangle BFA$, בהתאמה $F\leftrightarrow B$, $E\leftrightarrow F$, $A\leftrightarrow A$.

טעות נפוצה: להתאים את הקודקודים לפי סדר האותיות בלי לבדוק איזו זווית שווה לאיזו - למשל $E\leftrightarrow B$ - ולקבל את היחס השגוי $\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AF}$, כלומר $AE=AB$; הזווית ב-$E$ שווה לזווית ב-$F$ של המשולש השני.

$AB=AE+EB=7.5$ ו-$AC=AB+BC=17.5$.

מהדמיון בסעיף א: $\frac{FA}{BA}=\frac{EA}{FA}$, כלומר:

$BF\parallel CD$, ולכן לפי משפט תאלס בזווית $A$:

בדיקה (שני חותכים): $AE\cdot AC=5\cdot17.5=87.5$ ו-$AF\cdot AD=\sqrt{37.5}\cdot\left(\sqrt{37.5}+\frac{10\sqrt6}{3}\right)=37.5+50=87.5$.

טעות נפוצה: לבלבל עם משפט המשיק והחותך ולכתוב $AF^2=AE\cdot AC=87.5$, ולקבל $AF\approx9.35$ - $AF$ אינו משיק, והשוויון $AF^2=AE\cdot AB$ בא מהדמיון.

הקטעים $BD$ ו-$EF$ נמצאים במשולשים $ABD$ ו-$AEF$, שיש להם את אותה זווית $A$. מבטאים את $\cos A$ מהמשולש $AEF$ ומציבים במשולש $ABD$.

משפט הקוסינוסים ב-$\triangle AEF$ ($AE=5$, $AF=\sqrt{37.5}$, $EF=k$):

במשולש $ABD$: $AB=7.5$, $AD=AF+FD=\frac{87.5}{\sqrt{37.5}}$ (מסעיף ב: $AF\cdot AD=87.5$). משפט הקוסינוסים:

$\frac{87.5^2}{37.5}=\frac{612.5}{3}$ ו-$\frac{15\cdot87.5}{37.5}=35$, ולכן:

(למשולש $AEF$ יש קיום רק כאשר $\sqrt{37.5}-5<k<\sqrt{37.5}+5$.)

טעות נפוצה: לטעות בסימן כשמבודדים את $\cos A$ ($k^2=62.5+10\sqrt{37.5}\cos A$), ולקבל $BD=\sqrt{\frac{2875-21k^2}{6}}$.

$AE\parallel DG$ (צלעות נגדיות במקבילית) ו-$EG\parallel BC\parallel AD$, ולכן $AEGD$ מקבילית, וגם $EBCG$ מקבילית.

האלכסון $DE$ מחלק את המקבילית $AEGD$ לשני משולשים חופפים, ולכן $S_{DGE}=\frac12S_{AEGD}$.

המשולש $FBC$: הבסיס $BC$ והקודקוד $F$ על הישר $AD$, המקביל ל-$BC$. הגובה שלו הוא המרחק בין $AD$ ל-$BC$ - הגובה של המקבילית לצלע $BC$. לכן $S_{FBC}=\frac12S_{ABCD}$.

האלכסון $EC$ מחלק את המקבילית $EBCG$ לשניים: $S_{EBC}=\frac12S_{EBCG}$.

$E$ נמצאת על $FC$, ולכן $S_{BEF}=S_{FBC}-S_{EBC}$:

טעות נפוצה: לטעון ש-$S_{BEF}=\frac12S_{EBCG}$ "כי $BE$ צלע של המקבילית" - $F$ אינו קודקוד של $EBCG$, וכך מקבלים $S_{BEF}=S_{EBC}$, שאינו נכון (למשל כש-$\frac{AE}{AB}=\frac13$: $S_{EBC}=2S_{BEF}$).

$S_{AED}=\frac12S_{AEGD}$, ולכן $S_{AEGD}=2S$.

למקביליות $AEGD$ ו-$ABCD$ אותו גובה (המרחק בין $AB$ ל-$DC$), והבסיסים $AE=\frac13AB$. לכן $S_{ABCD}=3\cdot2S=6S$.

$AE\parallel DC$, ולכן $\triangle FAE\sim\triangle FDC$: $\frac{FA}{FD}=\frac{AE}{DC}=\frac{AE}{AB}=\frac13$. מכאן $FA=\frac13(FA+AD)$, כלומר $FA=\frac12AD$.

למשולשים $FAB$ ו-$DAB$ אותו גובה מ-$B$ לישר $AD$, ולכן $S_{FAB}=\frac{FA}{AD}\cdot S_{DAB}=\frac12\cdot3S=1.5S$ ($S_{DAB}=\frac12S_{ABCD}=3S$).

$A$ על הקטע $DF$, ולכן $S_{BCDF}=S_{ABCD}+S_{FAB}=6S+1.5S=7.5S$.

טעות נפוצה: להעתיק את היחס $\frac{AE}{AB}=\frac13$ ל-$\frac{FA}{AD}$, ולקבל $S_{FAB}=S$ ו-$S_{BCDF}=7S$ - מהדמיון $\frac{FA}{FD}=\frac13$, כלומר $FA$ הוא חצי מ-$AD$.

למשולשים $AED$ ו-$ABD$ אותו גובה מ-$D$ לישר $AB$, ויחס הבסיסים $\frac{AE}{AB}=\frac13$. לכן:

(וגם: $S_{ADB}=\frac12S_{ABCD}=\frac12\cdot6S=3S$.)

טעות נפוצה: לחשוב ש-$S_{AED}$ הוא שליש מהמקבילית כולה ($S_{ABCD}=3S$), ולקבל $S_{ADB}=1.5S$ - המשולש $AED$ הוא שליש מהמשולש $ABD$, שהוא חצי מהמקבילית.

נקודות קיצון של $f$ נמצאות היכן ש-$f'$ מתאפסת ומחליפה סימן. מהגרף $f'(x)=0$ ב-$x=-2$, $x=0$, $x=2$.

$x=-2$: משמאל $f'<0$ (הגרף מתחת לציר) ומימין $f'>0$ - $f$ יורדת ואז עולה: מינימום.

$x=2$: משמאל $f'>0$ ומימין $f'<0$ - מקסימום.

$x=0$: הגרף של $f'$ רק נוגע בציר; $f'>0$ משני הצדדים, ולכן $f$ עולה לפני ואחרי - אין קיצון.

טעות נפוצה: לרשום גם את $x=0$ כנקודת מינימום של $f$ כי שם יש מינימום לגרף המצויר - זה מינימום של $f'$, ו-$f'$ לא מחליפה בו סימן.

$f$ קעורה כלפי מעלה היכן ש-$f'$ עולה ($f''>0$), וכלפי מטה היכן ש-$f'$ יורדת.

בגרף ל-$f'$ מקסימום בשתי נקודות, $x\approx-1.4$ ו-$x\approx1.4$ (הגרף מתאים ל-$f'(x)=4x^2-x^4$, שבה המקסימום ב-$x=\pm\sqrt2$ וערכו 4), ומינימום ב-$x=0$.

$f'$ עולה ב-$x<-\sqrt2$ וב-$0<x<\sqrt2$: שם $f$ קעורה כלפי מעלה.

$f'$ יורדת ב-$-\sqrt2<x<0$ וב-$x>\sqrt2$: שם $f$ קעורה כלפי מטה.

טעות נפוצה: לקבוע קעירות לפי הסימן של $f'$ במקום לפי המגמה שלה - ולכתוב "קעורה כלפי מעלה ב-$-2<x<2$" (שם $f'>0$, כלומר $f$ עולה).

נקודת פיתול של $f$ היא נקודה שבה הקעירות מתחלפת, כלומר נקודת קיצון של $f'$.

ל-$f'$ שלוש נקודות קיצון: מקסימום ב-$x=\pm\sqrt2$ ומינימום ב-$x=0$. לכן ל-$f$ שלוש נקודות פיתול.

שיפוע המשיק ל-$f$ הוא ערך $f'$ באותה נקודה: $f'(-\sqrt2)=4$, $f'(0)=0$, $f'(\sqrt2)=4$.

טעות נפוצה: לחפש נקודות פיתול באפסים של $f'$ ($x=\pm2$, $x=0$) - באפסים של $f'$ נמצאות נקודות הקיצון של $f$; כך מקבלים "פיתול ב-$x=\pm2$ עם שיפוע 0".

$f'$ היא פונקציה קדומה של $f''$, ולכן:

מהגרף: $f'(2)=0$ ו-$f'(-1)=3$. לכן הערך הוא $0-3=-3$.

טעות נפוצה: להחסיר בסדר הפוך, $f'(-1)-f'(2)$, ולקבל 3.

$f$ אי-זוגית ומוגדרת ב-0, ולכן $f(0)=-f(0)$, כלומר $f(0)=0$: הגרף חותך את ציר ה-$y$ בראשית.

שיפוע המשיק: $f'(0)=0$ (מהגרף).

המשיק: $y-0=0\cdot(x-0)$, כלומר $y=0$ (ציר ה-$x$).