מבחן לדוגמה 4 של משרד החינוך - שאלון 571

נקבע את הצלע $BC=4$ כמיתר במעגל (אפשרי, כי $4<12$ - הקוטר).

כל נקודה $A$ על המעגל, פרט ל-$B$ ול-$C$, יוצרת משולש $ABC$ החסום במעגל שאחת מצלעותיו 4. יש אינסוף נקודות כאלה, והמשולשים שונים זה מזה (הצלעות $AB$, $AC$ משתנות עם מיקום $A$).

טעות נפוצה: להסיק ממשפט הסינוסים ($\sin A=\frac{4}{12}=\frac13$) שיש בדיוק 2 משולשים (זווית חדה או קהה) - הזווית $A$ נקבעת, אבל שאר המשולש לא.

הצלע שאורכה 4 היא הבסיס $BC$, והקודקוד $A$ על האנך האמצעי של $BC$, שעובר במרכז $O$.

מרחק המיתר מהמרכז: $\sqrt{6^2-2^2}=\sqrt{32}=4\sqrt2$.

מקרה 1: $A$ על הקשת הגדולה (זווית הראש חדה). גובה המשולש $6+4\sqrt2$:

מקרה 2: $A$ על הקשת הקטנה (זווית הראש קהה). גובה המשולש $6-4\sqrt2$:

(בדיקה בדרך אחרת: $\sin A=\frac{4}{2\cdot6}=\frac13$, והשוק $2R\sin B=12\cos\frac A2$.)

(אם הצלע 4 היא שוק, אורך השוק פשוט 4.)

טעות נפוצה: לחשב את מרחק המיתר מהמרכז עם כל המיתר, $\sqrt{36-16}=\sqrt{20}$, ולקבל שוקיים $\approx10.66$ ו-$\approx2.52$.

$f'(x)=5x^4+3$.

$x^4\ge0$ לכל $x$, ולכן $f'(x)\ge3>0$ לכל $x$: הפונקציה עולה בכל הישר, ואין לה תחום ירידה (ואין נקודות קיצון).

טעות נפוצה: להשוות $5x^4+3=0$, "לפתור" $x^4=\frac35$ (בשכחת הסימן) ולקבל נקודות קיצון ב-$x\approx\pm0.88$.

$f$ עולה בכל הישר, ולכן מקבלת כל ערך לכל היותר פעם אחת - לכל היותר נקודת חיתוך אחת.

$f(-1)=-1-3+1=-3<0$ ו-$f(0)=1>0$, ו-$f$ רציפה, ולכן יש לה אפס בין $-1$ ל-0.

הגרף חותך את ציר ה-$x$ בדיוק פעם אחת.

טעות נפוצה: לענות "5 פעמים" לפי מעלת הפולינום - המעלה היא רק חסם עליון למספר האפסים.

לפי הגרף: $f'>0$ ב-$0<x<4$ וב-$4<x<8$, $f'(4)=0$ (הגרף נוגע בציר), ו-$f'<0$ ב-$8<x<9$.

$x=8$: $f'$ עוברת מחיובית לשלילית - מקסימום. $f(8)=2$, ולכן $\max(8,2)$.

$x=4$: $f'$ חיובית משני הצדדים - אין קיצון.

טעות נפוצה: לקבוע מינימום $(4,-1)$ כי $f'(4)=0$ - אין שם החלפת סימן של $f'$.

נקודות פיתול של $f$ הן נקודות קיצון של $f'$: מינימום של $f'$ ב-$x=4$ ומקסימום ב-$x=6$.

$x=4$: $f(4)=-1$, שיפוע המשיק $f'(4)=0$ - המשיק $y=-1$.

$x=6$: $f(6)=0$, שיפוע המשיק $f'(6)=2$:

טעות נפוצה: לקחת את $(6,2)$ מגרף הנגזרת כנקודה על גרף $f$: $y-2=2(x-6)$, כלומר $y=2x-10$.

נסמן את מנת הסדרה $a_n$ ב-$q$; $q\neq0$ כי האיברים שונים מ-0. לכל $n$:

היחס בין כל שני איברים עוקבים קבוע, ולכן $b_n$ סדרה הנדסית שמנתה $\frac1q$.

טעות נפוצה: להסיק שלסדרה $b_n$ אותה מנה $q$ - היחס מתהפך, $\frac{a_n}{a_{n+1}}=\frac1q$.

סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת (יש לה סכום) כאשר מנתה מקיימת $|q|<1$ ($q\neq0$).

$a_n$ מתכנסת: $|q|<1$. $b_n$ מתכנסת: $\left|\frac1q\right|<1$, כלומר $|q|>1$.

שני התנאים אינם יכולים להתקיים יחד, ולכן לא ייתכן ששתיהן מתכנסות.

טעות נפוצה: לענות "כן, כאשר $q=1$ (או $q=-1$), כי אז $\frac1q=q$" - עבור $|q|=1$ לסדרות אין סכום אינסופי: תנאי ההתכנסות של סדרה הנדסית אינסופית הוא $|q|<1$ ממש, ו-$q=\pm1$ אינו מקיים אותו.

$\sphericalangle BAF=90^\circ$ (זווית של ריבוע), והיא זווית היקפית במעגל הנשענת על המיתר $BF$. זווית היקפית ישרה נשענת על קוטר, ולכן $BF$ קוטר.

$\sphericalangle BEF$ היא זווית היקפית הנשענת על הקוטר $BF$, ולכן $\sphericalangle BEF=90^\circ$. גם $\sphericalangle EDF=90^\circ$ (זווית של ריבוע). לכן $\sphericalangle EDF=\sphericalangle BEF$.

$\sphericalangle DEF$ היא זווית בין המשיק $DE$ למיתר $EF$, ולכן היא שווה לזווית ההיקפית הנשענת על הקשת $EF$: $\sphericalangle DEF=\sphericalangle EBF$.

שתי זוויות שוות, ולכן $\triangle EDF\sim\triangle BEF$ (ז.ז), בהתאמה $E\leftrightarrow B$, $D\leftrightarrow E$, $F\leftrightarrow F$.

טעות נפוצה: לטעון ש-$\sphericalangle DEF=\sphericalangle EFB$ כ"זוויות מתחלפות" - הישרים $DC$ ו-$BF$ אינם מקבילים, והזווית ששווה ל-$\sphericalangle DEF$ היא $\sphericalangle EBF$ (משיק ומיתר).

מסעיף א, $BF$ קוטר, ולכן $BF=2\cdot5=10$.

מהדמיון $\triangle EDF\sim\triangle BEF$ (בהתאמה $D\leftrightarrow E$, $F\leftrightarrow F$, $E\leftrightarrow B$):

$EF=\sqrt{20}=2\sqrt5\approx4.47$ ס"מ.

טעות נפוצה: להציב את הרדיוס במקום הקוטר, $EF^2=2\cdot5$, ולקבל $EF=\sqrt{10}\approx3.16$.

במשולש ישר הזווית $EDF$: $DE^2=EF^2-DF^2=20-4=16$, ולכן $DE=4$.

מרכז המעגל נמצא על האנך למשיק $DC$ בנקודה $E$, וגם על האנך האמצעי של המיתר $AB$. האנך האמצעי של $AB$ בריבוע מאונך גם ל-$DC$ ועובר באמצע $DC$, ולכן שני האנכים הם אותו ישר, ו-$E$ היא אמצע $DC$.

צלע הריבוע: $DC=2DE=8$ ס"מ.

(בדיקה במשפט משיק וחותך מהנקודה $D$: $DE^2=DF\cdot DA$, כלומר $16=2\cdot8$.)

טעות נפוצה: לענות שצלע הריבוע היא $DE=4$ - $E$ היא אמצע הצלע, לא קצה שלה.

שטח הלוח: $16\cdot9=144$.

שטח העיגול: $\pi\cdot3^2=9\pi$.

המשולש: בסיסו הצלע הקצרה של המלבן (באורך 9), וקודקודו $A$. $B$ על הצלע הקצרה השנייה ו-$AB=6$ מאונך לה (הקוטר מאונך למשיק), ולכן המרחק של $A$ מהצלע שעליה הבסיס הוא $16-6=10$ - זה הגובה. שטח המשולש: $\frac{9\cdot10}{2}=45$.

העיגול והמשולש נוגעים רק בנקודה $A$, ולכן השטח שמחוץ לשניהם: $144-45-9\pi=99-9\pi$.

טעות נפוצה: לחשב את שטח המשולש בלי החצי ($9\cdot10=90$) ולקבל $\frac{54-9\pi}{144}\approx0.179$.

ההסתברות לפגוע בעיגול: $\frac{9\pi}{144}=\frac{\pi}{16}$; ההסתברות לפגוע במשולש: $\frac{45}{144}=\frac{5}{16}$.

ההטלות בלתי תלויות, והסדר נתון במפורש (עיגול, משולש, משולש, עיגול), ולכן כופלים:

טעות נפוצה: להכפיל במספר הסידורים $\binom42=6$ כאילו נשאל "פעמיים בעיגול ופעמיים במשולש בסדר כלשהו", ולקבל $\approx0.0226$.

ב-6 הטלות "רוב הפעמים" פירושו 4, 5 או 6 פגיעות בעיגול. זהו ניסוי ברנולי עם $n=6$, $p=\frac{\pi}{16}\approx0.19635$, $q=1-p\approx0.80365$:

טעות נפוצה: לפרש "רוב הפעמים" כבדיוק 3 פעמים (מחצית), ולקבל $\binom63p^3q^3\approx0.0786$.

נסמן $M$ - "ברוב הפעמים בעיגול", $F$ - "בפעם הראשונה בעיגול". $P(F|M)=\frac{P(F\cap M)}{P(M)}$.

$F\cap M$: בהטלה הראשונה עיגול, ובחמש האחרות לפחות 3 פגיעות בעיגול:

טעות נפוצה: לטעון שההטלה הראשונה בלתי תלויה בשאר ולענות $p=\frac{\pi}{16}\approx0.196$ - המידע "ברוב הפעמים בעיגול" מגדיל את ההסתברות לכל הטלה בנפרד.

$OF$ רדיוס לנקודת ההשקה, ולכן $OF\perp BC$: $\sphericalangle OFC=90^\circ$.

בטרפז שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות: $\sphericalangle ODC=\sphericalangle ADC=\sphericalangle BCD=\alpha$.

סכום הזוויות במרובע $OFCD$ הוא $360^\circ$:

טעות נפוצה: לקחת $\sphericalangle ADC=180^\circ-\alpha$ (כאילו הזוויות שליד אותה שוק) ולקבל $\sphericalangle FOD=90^\circ$ שאינה תלויה ב-$\alpha$ - הזוויות $D$ ו-$C$ הן זוויות הבסיס ושוות זו לזו.

$OD=OF$ (רדיוסים), ולכן המשולש $ODF$ שווה שוקיים, וזוויות הבסיס שלו שוות:

(לכן בתצורה זו $\alpha>45^\circ$.)

טעות נפוצה: לשכוח לחלק ב-2 ולקבל $\sphericalangle ODF=2\alpha-90^\circ$.

נסמן את רדיוס המעגל ב-$r$, כלומר $AD=2r$.

$\sphericalangle AED$ נשענת על הקוטר $AD$, ולכן $\sphericalangle AED=90^\circ$. במשולש $AED$: $DE=AD\cos\alpha=2r\cos\alpha$.

$\sphericalangle FDC=\sphericalangle ODC-\sphericalangle ODF=\alpha-(\alpha-45^\circ)=45^\circ$.

במשולש $ODF$ (שווה שוקיים, זווית הבסיס $\alpha-45^\circ$): $DF=2r\cos(\alpha-45^\circ)$.

במשולש $DFC$: $\sphericalangle DFC=180^\circ-45^\circ-\alpha=135^\circ-\alpha$. לפי משפט הסינוסים:

$\cos(\alpha-45^\circ)=\sin(135^\circ-\alpha)=\sin(\alpha+45^\circ)$, ולכן:

טעות נפוצה: לכתוב במשולש $AED$ $DE=AD\sin\alpha$ (הניצב שמול הזווית במקום הניצב שליד) ולקבל $\frac{DE}{DC}=\frac{2\sin^2\alpha}{1+\sin2\alpha}$.

תחום ההגדרה של $f$ ושל $f'$: $x\neq\pm3$ (אסימפטוטות אנכיות, ובגלל הסימטריה גם $x=-3$).

$f$ עולה היכן ש-$f'>0$ ויורדת היכן ש-$f'<0$. לפי הגרף:

$x<-3$: $f'>0$ - עלייה. $-3<x<-2.5$: $f'<0$ - ירידה. $-2.5<x<2.5$: $f'\ge0$ ומתאפסת רק ב-$x=0$ - עלייה (נקודה בודדת שבה $f'=0$ אינה עוצרת את העלייה). $2.5<x<3$: $f'<0$ - ירידה. $x>3$: $f'>0$ - עלייה.

טעות נפוצה: לקבוע עלייה וירידה לפי השיפוע של גרף $f'$ (היכן ש-$f'$ עולה) ולכתוב למשל "עלייה ב-$0<x<1$, ירידה ב-$1<x<3$" - הסימן של $f'$ קובע, לא הכיוון שלה.

קיצון של $f$ - היכן ש-$f'$ מתאפסת ומחליפה סימן:

$x=-2.5$: $f'$ עוברת משלילית לחיובית - מינימום.

$x=2.5$: $f'$ עוברת מחיובית לשלילית - מקסימום.

$x=0$: $f'(0)=0$ אבל $f'$ חיובית משני הצדדים - אין קיצון.

($x=\pm3$ אינן בתחום ההגדרה.)

טעות נפוצה: לסמן גם את $x=0$ כנקודת מינימום כי $f'(0)=0$ - אין שם החלפת סימן.

נקודת פיתול של $f$ היא נקודה שבה $f''$ מחליפה סימן, כלומר נקודת קיצון של $f'$.

לגרף $f'$ יש מקסימום ב-$x=\pm1$ ומינימום ב-$x=0$ (שם הוא נוגע בציר מלמעלה). ליד האסימפטוטות ובאינסוף $f'$ מונוטונית, בלי קיצון נוסף.

לכן ל-$f$ שלוש נקודות פיתול: $x=-1$, $x=0$, $x=1$.

טעות נפוצה: לספור רק את $x=\pm1$ (נקודות המקסימום הבולטות) ולשכוח את $x=0$ - גם המינימום של $f'$ שם הוא החלפת קעירות.

שיפוע המשיק ב-$x=1$ הוא $f'(1)$, ולפי הגרף $f'(1)=2$.

טעות נפוצה: לקחת מהגרף את הנקודה $(1,2)$ כנקודה על גרף $f$ ולכתוב $y-2=2(x-1)$, כלומר $y=2x$ - הנקודה $(1,2)$ שייכת לגרף $f'$.

$f$ אי-זוגית ומוגדרת ב-$x=0$, ולכן $f(0)=-f(0)$, כלומר $f(0)=0$.

לפי הגרף $f'(0)=0$. המשיק בנקודה $(0,0)$ ששיפועו 0: $y=0$ (ציר ה-$x$).

טעות נפוצה: לחשב שיפוע כשיפוע המיתר בין $(-1,f(-1))=(-1,-1)$ ל-$(1,1)$, ולקבל $y=x$ - שיפוע המשיק הוא $f'(0)$, הנקרא מהגרף.

$f'$ היא פונקציה קדומה של $f''$, ובקטע $[-2.5,1]$ אין אסימפטוטה:

טעות נפוצה: להפוך את סדר ההצבה, $f'(-2.5)-f'(1)$, ולקבל $-2$.

לפי זהות הזווית הכפולה $\cos2\theta=1-2\sin^2\theta$ עם $\theta=2x$:

$-1\le\cos4x\le1$, ולכן $0\le f(x)\le2$; $f(0)=1-1=0$, והמחזור $\frac{2\pi}{4}=\frac{\pi}{2}$. הגרף מתחיל ב-0 (מינימום) ועולה, כולו מעל ציר ה-$x$ - גרף ד.

$g(x)=\cos4x-1$: $-2\le g(x)\le0$, $g(0)=0$ (מקסימום), והגרף כולו מתחת לציר - גרף ב.

טעות נפוצה: לזהות את $g$ לפי "קוסינוס מתחיל במקסימום" ולבחור את גרף ג, בלי להתחשב בהזזה $-1$ שמורידה את הגרף אל מתחת לציר.

מסעיף א: $g(x)=\cos4x-1=-(1-\cos4x)=-f(x)$.

לכל $x$, ו-$f$ אינה אפס זהותית, ולכן $c=1$.

טעות נפוצה: להעביר אגף בלי הסימן ($c\cdot g=f$, כלומר $-c f=f$) ולקבל $c=-1$.

$g(x)=-f(x)$, ולכן $\int_0^{\pi}g(x)\,dx=-\int_0^{\pi}f(x)\,dx=-a$.

(בחישוב מפורש: $a=\left[x-\frac{\sin4x}{4}\right]_0^{\pi}=\pi$, וההפרש $2\pi$.)

טעות נפוצה: לנמק שהשטחים שמתחת לשני הגרפים שווים ולכן ההפרש 0 - השטחים שווים, אבל $\int g$ שלילי.

טעות נפוצה: לשכוח את הגורם $\pi$ בנוסחת הנפח ולענות $V=\pi$ (זה ערך האינטגרל $a$).