בגרות במתמטיקה 571 - קיץ 2022 מועד ב'

שלב הבסיס ($n=1$): אגף שמאל $1^2=1$, ואגף ימין $\frac{1\cdot2\cdot3}{6}=1$. הטענה נכונה.

הנחת האינדוקציה: נניח שעבור $n$ טבעי כלשהו מתקיים $1^2+2^2+\ldots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.

שלב הצעד: צריך להראות ש-$1^2+2^2+\ldots+n^2+(n+1)^2=\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}$ (אגף ימין של הטענה, כשמציבים $n+1$ במקום $n$).

לפי ההנחה, אגף שמאל שווה ל-$\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^2$. מוציאים את הגורם המשותף $(n+1)$:

מפרקים את הטרינום: $2n^2+7n+6=(n+2)(2n+3)$, ולכן הסכום שווה ל-$\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}$ - בדיוק מה שנדרש.

לפי עקרון האינדוקציה, הטענה נכונה לכל $n$ טבעי.

טעות נפוצה: להוסיף בשלב הצעד את האיבר $n^2$ במקום $(n+1)^2$ - הסכום $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+n^2$ כבר סופר את $n^2$, ולא מגיעים לאגף ימין (עבור $n=1$ מתקבל 2 במקום 5).

במרובע $AEOF$: $\angle AEO=90^\circ$ (כי $BE$ גובה) ו-$\angle AFO=90^\circ$ (כי $CF$ גובה). אלה זוויות נגדיות במרובע, וסכומן $180^\circ$.

במרובע $BDOF$: $\angle BDO=90^\circ$ (כי $AD$ גובה) ו-$\angle BFO=90^\circ$ - זוויות נגדיות שסכומן $180^\circ$.

במרובע $CDOE$: $\angle CDO=90^\circ$ ו-$\angle CEO=90^\circ$ - זוויות נגדיות שסכומן $180^\circ$.

מרובע שבו סכום זוג זוויות נגדיות הוא $180^\circ$ - אפשר לחסום אותו במעגל. לכן אפשר לחסום במעגל כל אחד משלושת המרובעים.

טעות נפוצה: לנמק "יש במרובע זווית ישרה" או "המרובע הוא מלבן" - זווית ישרה אחת אינה מספיקה, והמרובעים אינם מלבנים; צריך זוג זוויות נגדיות שסכומן $180^\circ$.

במעגל החוסם את $AEOF$ הזווית $\angle AEO=90^\circ$ היא זווית היקפית ישרה, ולכן היא נשענת על קוטר: $AO$ קוטר של המעגל.

באותו אופן: $BO$ קוטר המעגל החוסם את $BDOF$ (כי $\angle BDO=90^\circ$), ו-$CO$ קוטר המעגל החוסם את $CDOE$ (כי $\angle CDO=90^\circ$).

היקף מעגל שווה ל-$\pi$ כפול הקוטר, ולכן סכום ההיקפים:

טעות נפוצה: להציב את $AO$, $BO$, $CO$ כרדיוסים בנוסחה $2\pi r$ ולקבל $40\pi$ - הם קטרים, לא רדיוסים.

השורש נמצא במכנה, ולכן הביטוי שבתוכו חייב להיות חיובי ממש (שורש של מספר שלילי אינו מוגדר, ואפס במכנה אסור):

תחום ההגדרה: $x<-5$ או $x>5$.

טעות נפוצה: לכתוב $x^2-25\ge0$ ולקבל $x\le-5$ או $x\ge5$ - בנקודות $x=\pm5$ המכנה מתאפס.

אסימפטוטות אנכיות: בקצוות התחום $x=\pm5$ המכנה שואף ל-0 והמונה שואף ל-$\pm5\neq0$. כאשר $x\to5^+$, $f\to+\infty$, וכאשר $x\to-5^-$, $f\to-\infty$. לכן $x=5$ ו-$x=-5$ אסימפטוטות אנכיות.

אסימפטוטות אופקיות: מחלקים מונה ומכנה ב-$|x|=\sqrt{x^2}$:

כאשר $x\to\infty$: $\frac{x}{|x|}=1$, ולכן $f(x)\to3+1=4$.

כאשר $x\to-\infty$: $\frac{x}{|x|}=-1$, ולכן $f(x)\to3-1=2$.

האסימפטוטות האופקיות: $y=4$ ו-$y=2$.

ארבעת הישרים $x=-5$, $x=5$, $y=2$, $y=4$ כולאים מלבן שאורכו $5-(-5)=10$ ורוחבו $4-2=2$.

השטח: $10\cdot2=20$.

טעות נפוצה: לכתוב $\sqrt{x^2}=x$ ולקבל אסימפטוטה אופקית אחת, $y=4$, בשני הכיוונים; אז "משלימים" את המלבן עם ציר ה-$x$ ומקבלים שטח $10\cdot4=40$.

$f(-x)=\frac{-ax}{x^2-4}=-f(x)$: הפונקציה אי-זוגית, והגרף שלה סימטרי ביחס לראשית. גרפים א ו-ג סימטריים ביחס לציר ה-$y$, וגרף ד אינו סימטרי - הם נפסלים.

נגזרת:

עבור $a>0$: $f'(x)<0$ בכל תחום ההגדרה, ולכן הפונקציה יורדת בכל אחד משלושת הקטעים.

בגרף ב שלושת הענפים יורדים (והענף האמצעי עובר בראשית, האפס היחיד $x=0$), ובגרף ה שלושתם עולים. לכן עבור $a>0$ מתאים גרף ב.

טעות נפוצה: לבדוק רק שהגרף עובר בראשית ושהענף הימני ($x>2$) חיובי, ולבחור בגרף א - הוא עומד בשתי הבדיקות, אבל הוא סימטרי ביחס לציר ה-$y$ והענף השמאלי שלו חיובי, בעוד ש-$f$ אי-זוגית ($f(-3)=-\frac{3a}{5}<0$).

עבור $a<0$: $-a>0$, ולכן $f'(x)=\frac{-a(x^2+4)}{(x^2-4)^2}>0$ - הפונקציה עולה בכל אחד משלושת הקטעים. היא עדיין אי-זוגית, והאפס היחיד שלה $x=0$.

(אפשר גם כך: עבור $a<0$ הפונקציה היא מינוס הפונקציה עבור $|a|$, כלומר שיקוף של גרף ב סביב ציר ה-$x$.)

הגרף שבו שלושה ענפים עולים והוא סימטרי ביחס לראשית - גרף ה.

טעות נפוצה: לבחור בגרף ד, כי גם בו הענף האמצעי עולה דרך הראשית - אבל הענף השמאלי שלו יורד ל-$-\infty$ ליד $x=-2$, והגרף אינו סימטרי ביחס לראשית.

לפי נוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1q^{n-1}$:

אגף שמאל: $a_1\cdot a_{2n}=a_1\cdot a_1q^{2n-1}=a_1^2q^{2n-1}$.

אגף ימין: $a_n\cdot a_{n+1}=a_1q^{n-1}\cdot a_1q^{n}=a_1^2q^{(n-1)+n}=a_1^2q^{2n-1}$.

שני האגפים שווים, ולכן לכל $n$ טבעי $a_1\cdot a_{2n}=a_n\cdot a_{n+1}$.

טעות נפוצה: לכתוב $a_{2n}=a_1q^{2n}$ (בלי להחסיר 1 במעריך) ולקבל באגף שמאל $a_1^2q^{2n}$, שאינו שווה לאגף ימין.

ב-$2k$ איברים, שני האיברים האמצעיים הם $a_k$ ו-$a_{k+1}$ (לפני $a_k$ יש $k-1$ איברים, ואחרי $a_{k+1}$ יש $2k-(k+1)=k-1$ איברים).

לפי סעיף א עם $n=k$: $a_k\cdot a_{k+1}=a_1\cdot a_{2k}$. לכן $a_1\cdot a_{2k}=10935\cdot a_1$, ומאחר ש-$a_1\neq0$:

המקומות $2k-2$ ו-$2k$ רחוקים זה מזה שני צעדים, ולכן $a_{2k}=a_{2k-2}\cdot q^2$:

טעות נפוצה: לכתוב $a_{2k}=a_{2k-2}\cdot q$ ולקבל $q=9$ - בין המקום $2k-2$ למקום $2k$ יש שני צעדים, ולכן $q^2$.

$a_{2k}=a_1q^{2k-1}=5q^{2k-1}=10935$, ולכן $q^{2k-1}=2187>0$.

$2k-1$ מספר אי-זוגי, וחזקה אי-זוגית של מספר שלילי היא שלילית. לכן $q>0$: $q=3$, והאפשרות $q=-3$ נפסלת.

$a_1=5>0$ ו-$q=3>1$: כל איבר חיובי וגדול פי 3 מקודמו, ולכן הסדרה עולה.

טעות נפוצה: להשאיר את שתי האפשרויות מסעיף ב ולענות "לא עולה ולא יורדת" (בגלל $q=-3$) - הסימן החיובי של $a_{2k}$, עם מעריך אי-זוגי, פוסל את $q=-3$.

בדיקה: $a_8=5\cdot3^7=10935$ ו-$a_6=5\cdot3^5=1215$, כנתון.

טעות נפוצה: להשוות $2k=7$ (לשכוח שהמעריך של $a_{2k}$ הוא $2k-1$) ולקבל $k=3.5$, שאינו מספר טבעי.

$a_1\neq0$ ו-$q\neq0$, ולכן אף איבר של A אינו 0 והסדרה B מוגדרת. נסמן $b_n=\frac1{a_n}$. היחס בין שני איברים עוקבים:

היחס קבוע (אינו תלוי ב-$n$), ולכן B סדרה הנדסית שמנתה $\frac1q=\frac13$ ואיברה הראשון $\frac1{a_1}=\frac15$.

טעות נפוצה: לבלבל בין "הופכי" ל"נגדי" ולכתוב שמנת B היא $-\frac13$ - היחס בין איברים עוקבים ב-B הוא $\frac{a_n}{a_{n+1}}=\frac13$, חיובי כמו $q$.

האיבר ה-$n$ של C הוא $c_n=(-1)^n\cdot\frac1{a_n}$ (הסימן מתהפך במקומות האי-זוגיים). היחס בין איברים עוקבים:

C סדרה הנדסית: $c_1=-\frac1{a_1}=-\frac15$, והמנה $-\frac13$. $\left|-\frac13\right|<1$, ולכן לסדרה יש סכום:

טעות נפוצה: לקחת עבור C את מנת B ($\frac13$) ולקבל $\frac{-\frac15}{1-\frac13}=-\frac3{10}$ - החלפת הסימן לסירוגין הופכת את סימן המנה.

נסמן ב-$m$ את מספר המבוגרים ששולטים באנגלית. מספר המבוגרים שלא שולטים: $2\frac23m=\frac83m$, ולכן מספר המבוגרים כולם: $m+\frac83m=\frac{11}3m$.

ההסתברות מתייחסת לבחירה מבין המבוגרים בלבד:

(הנתון על הצעירים אינו נחוץ בסעיף הזה.)

טעות נפוצה: לחלק במספר כל השולטים באנגלית במקום במספר המבוגרים, ולקבל $\frac{3y}{3y+y}=\frac34$ (כאשר $y$ מספר הצעירים השולטים) - זו ההסתברות שמי ששולט באנגלית הוא מבוגר.

בסקר השתתפו אנשים רבים, ולכן הבחירות כמעט בלתי תלויות: בכל בחירה ההסתברות למבוגר ששולט באנגלית היא $\frac3{11}$ (סעיף א), ולמבוגר שלא שולט $\frac8{11}$.

נוסחת ברנולי עם $n=3$, $k=2$:

טעות נפוצה: לשכוח את המקדם $\binom32=3$ (שלושת המקומות האפשריים של מי שלא שולט) ולקבל $\frac{72}{1331}$.

בונים טבלת הסתברויות (מתוך כלל המשתתפים). היחס בין מספרים הוא גם היחס בין ההסתברויות:

צעיר ששולט: $p$. מבוגר ששולט: פי 3 - $3p$. מבוגר שלא שולט: פי $2\frac23$ מהמבוגרים השולטים - $\frac83\cdot3p=8p$.

סכום ארבעת התאים הוא 1, ולכן צעיר שלא שולט: $1-p-3p-8p=1-12p$.

טעות נפוצה: להכפיל את $2\frac23$ ב-$p$ (מספר הצעירים השולטים) במקום ב-$3p$, ולקבל $1-p-3p-\frac83p=1-\frac{20}3p$.

כל אחד מארבעת התאים בטבלה הוא הסתברות של קבוצה שקיימת בסקר, ולכן חיובי (וממילא קטן מ-1, כי סכום התאים 1).

$p>0$ (ואז גם $3p>0$ ו-$8p>0$).

$1-12p>0$, כלומר $p<\frac1{12}$.

לכן $0<p<\frac1{12}$.

טעות נפוצה: לדרוש רק שהתאים $p$, $3p$, $8p$ יהיו בין 0 ל-1 ולקבל $0<p<\frac18$ - שוכחים את התא $1-12p$.

שתי ההסתברויות מותנות באותו מאורע - "לא שולט באנגלית":

המכנים שווים, ולכן השוויון מתקיים בדיוק כאשר המונים שווים:

$\frac1{20}<\frac1{12}$, ולכן הערך בתחום.

טעות נפוצה: להפוך את כיוון ההתניה ולהשוות $P(\text{לא שולט}\mid\text{מבוגר})=P(\text{לא שולט}\mid\text{צעיר})$: $\frac8{11}=\frac{1-12p}{1-11p}$, ומכאן $p=\frac3{44}$.

$P(\text{שולט})=p+3p=4p=\frac4{20}=\frac15$.

לפי סעיף א, $P(\text{שולט}\mid\text{מבוגר})=\frac3{11}$.

$\frac3{11}\neq\frac15$: הידיעה שהנבחר מבוגר משנה את ההסתברות שהוא שולט באנגלית, ולכן המאורעות תלויים.

טעות נפוצה: לבלבל בין "בלתי תלויים" ל"זרים" - לנמק "יש מבוגרים ששולטים באנגלית, המאורעות אינם זרים, ולכן הם בלתי תלויים".

המרובע $EABF$ חסום במעגל, ולכן סכום הזוויות הנגדיות בו $180^\circ$: $\angle EAB+\angle EFB=180^\circ$.

$\angle EAB=90^\circ$ (זווית של מלבן), ולכן $\angle EFB=90^\circ$, ו-$\angle BFC=180^\circ-90^\circ=90^\circ$ (זוויות צמודות על הישר $EC$).

במשולשים $DAB$ ו-$BFC$:

$\angle DAB=\angle BFC=90^\circ$.

$\angle ADB=\angle DBC$ (זוויות מתחלפות בין המקבילים $AD\parallel BC$).

לכן $\Delta DAB\sim\Delta BFC$ (ז.ז), בהתאמה $D\leftrightarrow B$, $A\leftrightarrow F$, $B\leftrightarrow C$.

טעות נפוצה: לנמק $\angle BFC=90^\circ$ בכך ש"אלכסוני המלבן מאונכים" - הם אינם מאונכים, ו-$CE$ אינו אלכסון; הזווית הישרה נובעת מהמרובע החסום.

$DE\parallel BC$ (חלק מ-$AD\parallel BC$). במשולשים $DEF$ ו-$BCF$: $\angle DEF=\angle BCF$ (מתחלפות) ו-$\angle DFE=\angle BFC$ (קודקודיות), ולכן $\Delta DEF\sim\Delta BCF$.

($BC=AD$ במלבן, ו-$AD=DE+EA=2DE$.)

טעות נפוצה: לבלבל בין $\frac{EF}{FC}$ ל-$\frac{EF}{EC}$ ולענות $\frac13$ - הקטע $EC$ הוא כל הקטע, $EF+FC$.

$\Delta DEF\sim\Delta BCF$ ביחס $\frac{BC}{DE}=2$, ויחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון:

למשולשים $DEF$ ו-$DFC$ קודקוד משותף $D$, והבסיסים $EF$ ו-$FC$ על אותו ישר - לכן הגובה מ-$D$ משותף, ויחס השטחים הוא יחס הבסיסים:

טעות נפוצה: להפוך את יחס הדמיון (לקחת $\frac{DE}{BC}=\frac12$ כיחס של $BFC$ ל-$DEF$) ולקבל $S_{BFC}=\frac S4$.

האלכסון מחלק את המלבן לשני משולשים חופפים, ולכן:

יחס השטחים של משולשים דומים הוא ריבוע יחס הדמיון:

טעות נפוצה: לקחת את יחס השטחים עצמו כיחס הדמיון ולענות $1.5$.

בדמיון $\Delta DAB\sim\Delta BFC$ הצלע $DB$ מתאימה לצלע $BC$ (מול הזוויות הישרות $A$ ו-$F$), ולכן $\frac{BD}{BC}=\sqrt{1.5}$.

$BC=AD=2a$, ולכן:

טעות נפוצה: להציב $BC=a$ (לבלבל בין $BC$ ל-$DE$) ולקבל $BD=\sqrt{1.5}\cdot a$.

$\angle EAB=90^\circ$ היא זווית היקפית במעגל החוסם את $EABF$, ולכן היא נשענת על קוטר: $EB$ הוא הקוטר.

במשולש $DAB$ (ישר-זווית ב-$A$): $AB^2=BD^2-AD^2=6a^2-4a^2=2a^2$, ולכן $AB=\sqrt2\cdot a$.

במשולש $EAB$ (ישר-זווית ב-$A$): $EB^2=EA^2+AB^2=a^2+2a^2=3a^2$.

הקוטר: $EB=\sqrt3\cdot a$.

טעות נפוצה: לענות ברדיוס במקום בקוטר: $\frac{\sqrt3}{2}a$.

AD משיק למעגל בנקודה D, ולכן הרדיוס OD מאונך למשיק: $\angle ODA=90^\circ$.

במשולש ישר-הזווית ADO הניצב $OD=R$ צמוד לזווית $\alpha$, והיתר הוא AO:

טעות נפוצה: להכפיל במקום לחלק ולכתוב $AO=R\cos\alpha$ - אז AO קצר מהרדיוס, כלומר A הייתה בתוך המעגל.

במשולש AOB ידועות שתי צלעות - $OB=R$ (רדיוס) ו-$AO=\frac{R}{\cos\alpha}$ (סעיף א(1)) - והזווית שביניהן $\beta$. לכן משתמשים במשפט הקוסינוסים:

מוציאים $R^2$ מהשורש:

טעות נפוצה: לשכוח את המקדם 2 במשפט הקוסינוסים ולקבל $AB=R\sqrt{1+\frac{1}{\cos^2\alpha}-\frac{\cos\beta}{\cos\alpha}}$.

מציבים $AB=\sqrt2R$ בביטוי מסעיף א(2) ומעלים בריבוע:

מחלקים ב-$R^2$ ומבודדים את האיבר עם $\cos\beta$:

(השתמשנו בזהות $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$.)

כופלים ב-$\frac{\cos\alpha}{2}$:

טעות נפוצה: לכתוב $\frac{1}{\cos^2\alpha}-1=\sin^2\alpha$ (לשכוח את המכנה המשותף), ולהגיע ל-$\cos\beta=\frac{\sin^2\alpha\cos\alpha}{2}$.