בגרות במתמטיקה 571 - חורף 2022

נסמן ב-$h$ את גובה הטרפז - המרחק בין הישרים המקבילים $AB$ ו-$DC$.

במשולש $ADC$ ניקח את $DC$ כבסיס. הקודקוד $A$ נמצא על הבסיס העליון, ולכן הגובה לבסיס $DC$ הוא $h$.

במשולש $ADB$ ניקח את $AB$ כבסיס. הקודקוד $D$ נמצא על הבסיס התחתון, ולכן גם הגובה לבסיס $AB$ הוא $h$.

לשני משולשים בעלי אותו גובה, יחס השטחים שווה ליחס הבסיסים:

היחס בין הבסיס הגדול לבסיס הקטן: $DC:AB=2:1$.

טעות נפוצה: לכתוב את היחס הפוך, $1:2$ - זה היחס בין הבסיס הקטן לגדול, והשאלה מבקשת את הגדול ביחס לקטן.

האלכסון $AC$ מחלק את הטרפז לשני משולשים: $ADC$ ו-$ABC$.

למשולש $ABC$ ולמשולש $ADB$ יש בסיס משותף $AB$ ואותו גובה $h$, ולכן $S_{ABC}=S_{ADB}=12$.

(בדרך אחרת: $\frac{AB\cdot h}{2}=12$, כלומר $AB\cdot h=24$, ולפי א(1) $DC=2AB$, ולכן $S=\frac{(AB+2AB)h}{2}=\frac{3\cdot24}{2}=36$.)

טעות נפוצה: לחשוב שהאלכסון מחלק את הטרפז לשני משולשים שווי שטח, כמו במקבילית, ולקבל $2\cdot24=48$.

נסמן ב-$P_n$ את המכפלה שבאגף שמאל.

בדיקה עבור $n=1$: $P_1=1+\frac11=2$, ובאגף ימין $1+1=2$. הטענה נכונה.

הנחת האינדוקציה: נניח שהטענה נכונה עבור $n=k$, כלומר $P_k=k+1$.

צריך להוכיח שהיא נכונה עבור $n=k+1$, כלומר $P_{k+1}=k+2$.

$P_{k+1}$ הוא $P_k$ כפול הגורם הבא, $1+\frac{1}{k+1}$:

לפי עקרון האינדוקציה הטענה נכונה לכל $n$ טבעי.

(דרך אחרת: $1+\frac1j=\frac{j+1}{j}$, ולכן $P_n=\frac21\cdot\frac32\cdot\frac43\cdot\ldots\cdot\frac{n+1}{n}$. כל מונה מצטמצם עם המכנה של הגורם שאחריו, ונשאר $\frac{n+1}{1}=n+1$.)

טעות נפוצה: בשלב הצעד להכפיל שוב ב-$\left(1+\frac1k\right)$ (הגורם האחרון של $P_k$) במקום בגורם החדש $\left(1+\frac{1}{k+1}\right)$, ולקבל $\frac{(k+1)^2}{k}$, שאינו $k+2$.

המכפלה מסתיימת בגורם $1+\frac{1}{99}$, ולכן נשתמש ב-ב(1) עם $n=99$:

המכפלה המבוקשת מתחילה בגורם $1+\frac12$ - חסר בה הגורם הראשון $1+\frac11=2$. לכן מחלקים בו:

טעות נפוצה: להציב $n=99$ בנוסחה ולענות 100, בלי לשים לב שהמכפלה המבוקשת מתחילה בגורם $1+\frac12$ ולא ב-$1+\frac11$.

מפתחים את שני האגפים לפי $\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta$, כאשר $\sin\frac{\pi}{2}=1$ ו-$\cos\frac{\pi}{2}=0$:

שני האגפים שווים ל-$\cos x$ לכל $x$, ולכן הטענה נכונה.

טעות נפוצה: לכתוב $\sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=-\cos x$ (בבלבול עם $\cos\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=-\sin x$) ולקבוע שהטענה אינה נכונה.

אגף שמאל, כמו ב-(1): $\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x$.

אגף ימין:

השוויון $\cos x=-\cos x$ מתקיים רק כאשר $\cos x=0$, ולא לכל $x$.

דוגמה נגדית: עבור $x=0$ אגף שמאל הוא $\sin\frac{\pi}{2}=1$ ואגף ימין הוא $\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-1$.

הטענה אינה נכונה.

טעות נפוצה: לחשוב שסינוס היא פונקציה זוגית, ולכן $\sin\left(x-\frac{\pi}{2}\right)=\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)$, ולקבוע שהטענה נכונה. סינוס אי-זוגית: $\sin(-t)=-\sin t$.

הגרף של $g$ מתקבל מהגרף של $f$ בשני שלבים: $f(-x)$ - שיקוף ביחס לציר ה-$y$; ואחר כך $+1$ - הזזה של יחידה אחת למעלה.

שיקוף ביחס לציר ה-$y$ מחליף בין הצד הימני לשמאלי של הגרף, אבל לא משנה את ערכי ה-$y$. $f$ שואפת ל-1 בשני הצדדים, ולכן גם $f(-x)$ שואפת ל-1, והאסימפטוטה נשארת $y=1$.

ההזזה למעלה מוסיפה 1 לכל ערך של הפונקציה: $g(x)=f(-x)+1\to1+1=2$.

משוואת האסימפטוטה האופקית של $g$: $y=2$.

טעות נפוצה: לחשוב ש-$f(-x)$ היא שיקוף ביחס לציר ה-$x$, כך שהאסימפטוטה עוברת ל-$y=-1$, ואחרי ההזזה למעלה לקבל $y=0$.

שיקוף ביחס לציר ה-$y$ מעביר נקודה $(x_0,y_0)$ לנקודה $(-x_0,y_0)$, וההזזה למעלה ב-1 מעבירה אותה ל-$(-x_0,y_0+1)$.

שתי הפעולות לא הופכות את הגרף "מלמעלה למטה", ולכן נקודת מקסימום נשארת נקודת מקסימום, ונקודת מינימום נשארת נקודת מינימום.

$(0,3)\to(0,4)$ - נקודת מקסימום.

$(-2,-1)\to(2,0)$ - נקודת מינימום.

טעות נפוצה: לשכוח להפוך את הסימן של שיעור ה-$x$ ולענות $\max(0,4)$, $\min(-2,0)$ - כאילו הייתה רק הזזה למעלה.

$S_{n+1}$ הוא סכום $n+1$ האיברים הראשונים, ו-$S_n$ הוא סכום $n$ הראשונים. ההפרש ביניהם הוא האיבר האחרון שנוסף:

לכן ההפרש בין שני איברים עוקבים ב-B:

ההפרש קבוע (לא תלוי ב-$n$), ולכן B היא סדרה חשבונית שהפרשה $d$.

טעות נפוצה: לחשוב שההפרש בין שני סכומים עוקבים הוא ההפרש של הסדרה, $S_{n+1}-S_n=d$, ולענות ש-B סדרה קבועה (חשבונית עם הפרש 0). ההפרש בין הסכומים הוא האיבר שנוסף, $a_{n+1}$.

לשתי הסדרות אותו הפרש $d$, אבל האיבר הראשון של B הוא $b_1=a_2=a_1+d$.

הסדרה A עולה, ולכן $d>0$ ו-$b_1=a_1+d>a_1$.

האיברים הראשונים שונים, ולכן הסדרות אינן זהות (B היא הסדרה A בלי האיבר הראשון שלה).

טעות נפוצה: לכתוב $S_{n+1}-S_n=a_n$ (לחשוב שההפרש הוא האיבר ה-$n$-י) ולענות שהסדרות זהות.

לפי א(1), B חשבונית עם הפרש $d$. לכן בכל זוג איברים עוקבים: $b_{k}-b_{k+1}=-d$.

כל הגורמים השניים במונה שווים ל-$-d$, ולכן אפשר להוציא את $-d$ כגורם משותף:

$n$ זוגי, ולכן הזוגות מכסים בדיוק את $n$ האיברים הראשונים, והסכום שבסוגריים הוא $T_n$.

המונה שווה ל-$-d\cdot T_n$, ואחרי חלוקה ב-$-d$ (שאינו 0, כי $d>0$) מקבלים $T_n$. מש"ל.

טעות נפוצה: לכתוב $b_k-b_{k+1}=d$ (הפוך) ולקבל שהמונה הוא $d\cdot T_n$, כלומר שהביטוי שווה ל-$-T_n$.

מפרקים כל זוג כהפרש ריבועים: $b_k^2-b_{k+1}^2=(b_k+b_{k+1})(b_k-b_{k+1})$.

לכן הסכום הנתון הוא בדיוק המונה מסעיף ב עם $n=40$, והוא שווה ל-$-d\cdot T_{40}$:

B חשבונית עם איבר ראשון $b_1$ והפרש $d$:

מ-$T_5=-20$: $b_1+2d=-4$, כלומר $b_1=-4-2d$.

מציבים: $2b_1+39d=-8-4d+39d=35d-8$, ולכן:

$d=\frac12$ או $d=-\frac{19}{70}$. הסדרה עולה, ולכן $d>0$ ו-$d=\frac12$.

$b_1=-4-2\cdot\frac12=-5$.

טעות נפוצה: לספור 20 זוגות ולהציב $T_{20}$ במקום $T_{40}$ (40 איברים), ולקבל משוואה שהפתרון החיובי שלה $d\approx1.11$.

לפי א(2), $b_1=a_1+d$, ולכן $a_1=b_1-d=-5-\frac12=-5.5$.

האיברים במקומות האי-זוגיים: $a_1, a_3, a_5, \ldots$. בין כל שניים מהם יש שני צעדים של $d$, ולכן הם סדרה חשבונית עם איבר ראשון $-5.5$ והפרש $2d=1$.

סכום $m$ איברים ממנה:

הסכום חיובי כאשר $m-12>0$, כלומר $m\ge13$.

$m=13$: $\frac{13\cdot1}{2}=6.5$ - חיובי אבל לא שלם.

$m=14$: $\frac{14\cdot2}{2}=14$ - חיובי ושלם.

המספר המינימלי: 14 איברים.

טעות נפוצה: לקחת את ההפרש $d=\frac12$ גם לתת-הסדרה (במקום $2d$), לקבל את הסכום $\frac{m(0.5m-11.5)}{2}$, ולענות 24 איברים.

הרכב הקופסה משתנה רק אחרי שליאור מוציא סוכריית תות (ת): אז נשארות בה 4 סוכריות, 2 תות ו-2 מנטה. אחרי מנטה (מ) הקופסה חוזרת למצבה.

"בדיוק סוכרייה אחת נאכלה" = בדיוק תות אחת מתוך שלוש ההוצאות. יש שלושה מסלולים בעץ:

ת-מ-מ: $\frac35\cdot\frac24\cdot\frac24=0.15$ (אחרי התות נשארו 2 מנטה מתוך 4).

מ-ת-מ: $\frac25\cdot\frac35\cdot\frac24=0.12$.

מ-מ-ת: $\frac25\cdot\frac25\cdot\frac35=0.096$.

טעות נפוצה: להתעלם מכך שהתות נאכלת ולחשב כאילו כל ההוצאות עם החזרה: $3\cdot\frac35\cdot\left(\frac25\right)^2=0.288$.

המאורע המתנה: "בדיוק סוכרייה אחת נאכלה", שהסתברותו 0.366 (סעיף א(1)).

מתוך שלושת המסלולים שלו, רק במסלול מ-ת-מ הסוכרייה השנייה נאכלה, והסתברותו 0.12.

טעות נפוצה: לענות 0.12 - זו ההסתברות של המסלול מ-ת-מ מתוך כל האפשרויות, בלי לחלק בהסתברות המאורע הידוע.

המאורע המשלים ל"לפחות אחת נאכלה" הוא "אף סוכרייה לא נאכלה", כלומר כל $n$ הסוכריות שהוצאו הן מנטה.

כל עוד מוציאים מנטה, היא מוחזרת, והקופסה לא משתנה: בכל הוצאה ההסתברות למנטה היא $\frac25$.

טעות נפוצה: להתבלבל בין הטעמים ולחשב את המשלים כ"כל הסוכריות תות", ולקבל $1-\left(\frac35\right)^n$.

"בדיוק שלוש, כולן מאותה קופסה": מקופסה אחת הוא אוכל שלוש (שלוש הוצאות של תות), ומהקופסה השנייה אף אחת (שלוש הוצאות של מנטה).

שלוש תות מקופסה אחת: $\frac35\cdot\frac24\cdot\frac13=\frac{1}{10}$.

שלוש מנטה מקופסה אחת: $\left(\frac25\right)^3=\frac{8}{125}$.

ההוצאות משתי הקופסאות בלתי תלויות, ויש שתי אפשרויות לבחור איזו קופסה היא "קופסת התות":

טעות נפוצה: לשכוח שהקופסה שממנה נאכלו השלוש יכולה להיות כל אחת מהשתיים, ולענות $\frac1{10}\cdot\frac{8}{125}=0.0064$.

$BC$ קוטר, ולכן $\angle BAC=90^\circ$ (זווית היקפית הנשענת על קוטר).

$G$ על המשך $CA$, ולכן גם $\angle BAG=180^\circ-90^\circ=90^\circ$.

נשווה בין המשולשים $BAG$ ו-$BAC$:

$GA=AC$ (נתון), $\angle BAG=\angle BAC=90^\circ$, והצלע $BA$ משותפת.

לכן $\triangle BAG\cong\triangle BAC$ (צ.ז.צ), ומהחפיפה $\angle GBA=\angle CBA$ - הישר $AB$ חוצה את $\angle GBC$.

(במילים אחרות: במשולש $GBC$ הקטע $BA$ הוא גם גובה וגם תיכון, ולכן המשולש שווה-שוקיים, $BG=BC$, ו-$BA$ חוצה את זווית הראש.)

טעות נפוצה: להסיק ש-$AB$ חוצה את הזווית רק מכך ש-$A$ אמצע $GC$ - תיכון אינו חוצה זווית באופן כללי; הניצבות $\angle BAC=90^\circ$ היא שמשלימה את ההוכחה.

הזווית $\angle G$ משותפת לשני המשולשים.

המרובע $ADBC$ חסום במעגל. הנקודות $G$, $D$, $B$ על ישר אחד, ולכן $\angle GDA$ היא זווית חיצונית של המרובע בקודקוד $D$.

זווית חיצונית של מרובע חסום שווה לזווית הפנימית שממול: $\angle GDA=\angle ACB$.

(כי $\angle ADB+\angle ACB=180^\circ$ - זוויות נגדיות במרובע חסום, ו-$\angle ADB+\angle GDA=180^\circ$ - זוויות צמודות.)

לכן $\Delta GBC\sim\Delta GAD$ לפי ז.ז., בהתאמה $G\leftrightarrow G$, $B\leftrightarrow A$, $C\leftrightarrow D$.

טעות נפוצה: לכתוב את הדמיון בהתאמה $B\leftrightarrow D$ (לפי המיקום בסרטוט) ולהסיק $\frac{GB}{GD}=\frac{GC}{GA}$ - ההתאמה נקבעת לפי הזוויות השוות, והיחס הנכון הוא $\frac{GB}{GA}=\frac{GC}{GD}$.

המשולש $GBC$ מורכב מהמשולש $GAD$ ומהמרובע $DBCA$:

יחס השטחים של משולשים דומים שווה לריבוע יחס הדמיון:

לפי סעיף א המשולש $GBC$ שווה-שוקיים: $GB=BC=2R$.

טעות נפוצה: לקחת את 15 כיחס השטחים של המשולשים הדומים (בלי להוסיף את $S_{GAD}$), לקבל $\frac{GB}{GA}=\sqrt{15}$ ו-$AC=\frac{2R}{\sqrt{15}}$.

משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה, ולכן $\angle BCE=90^\circ$. במשולש ישר-הזווית $BCE$, הקטע $CA$ הוא הגובה ליתר $BE$ (כי $\angle BAC=90^\circ$).

במשולש $ABC$, לפי פיתגורס:

לפי משפט הגובה ליתר, $AC^2=AB\cdot AE$:

למשולשים $CBE$ ו-$ABC$ יש אותו גובה מ-$C$ (הקטע $CA$), והבסיסים שלהם $BE$ ו-$BA$ על אותו ישר. לכן:

טעות נפוצה: לזהות שהמשולשים $ABC$ ו-$CBE$ דומים, אבל לקחת את $\frac{BE}{BA}=\frac{16}{15}$ כיחס הדמיון ולהעלות בריבוע: $\frac{256}{225}$. יחס הדמיון הוא $\frac{BC}{BA}=\frac{4}{\sqrt{15}}$, וריבועו $\frac{16}{15}$.

$\angle ADE$ היא זווית בין המשיק $DE$ למיתר $DA$. היא שווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר $AD$ מהצד השני שלו:

$\angle ABD=\angle ADE=\alpha$.

$AB$ קוטר, ולכן הזווית ההיקפית הנשענת עליו ישרה: $\angle ADB=90^\circ$.

סכום הזוויות במשולש $ABD$:

טעות נפוצה: להשוות את $\angle ADE$ לזווית $\angle DAB$ (הזווית שבין המיתר לקוטר) במקום לזווית ההיקפית $\angle ABD$ שמול המיתר, ולקבל $\angle BAD=\alpha$.

$\angle DAE$ צמודה ל-$\angle BAD$:

סכום הזוויות במשולש $ADE$:

נתון $ED=FD$, ולכן המשולש $EDF$ שווה-שוקיים, וזוויות הבסיס שלו (ב-$E$ וב-$F$) שוות: $\angle DFE=\angle DEF=90^\circ-2\alpha$.

זווית הראש:

הקרן $DA$ נמצאת בין הקרניים $DE$ ו-$DF$, ולכן:

טעות נפוצה: לחסר מ-$180^\circ$ רק זווית בסיס אחת, $\angle EDF=180^\circ-(90^\circ-2\alpha)=90^\circ+2\alpha$, ולקבל $\angle CDA=90^\circ+\alpha$.

במשולש ישר-הזווית $ABD$ היתר הוא $AB=2R$, ולכן $AD=AB\sin\angle ABD=2R\sin\alpha$.

זוויות המשולש $AFD$: $\angle FAD=90^\circ-\alpha$, $\angle ADF=3\alpha$ (סעיף ב), ולכן:

משפט הסינוסים במשולש $AFD$ ($\sin(90^\circ-2\alpha)=\cos2\alpha$):

שטח לפי שתי צלעות והזווית שביניהן ($\sin(90^\circ-\alpha)=\cos\alpha$):

מאחר ש-$2\sin\alpha\cos\alpha=\sin2\alpha$: