בגרות במתמטיקה 571 - קיץ 2022 מועד א'

בדיקה עבור $n=1$: $4^1-1=3$, מתחלק ב-3.

הנחת האינדוקציה: נניח שעבור $n=k$ מתקיים $4^k-1=3m$, כאשר $m$ מספר שלם.

צעד האינדוקציה: מבטאים את הביטוי עבור $n=k+1$ בעזרת הביטוי עבור $n=k$:

$4m+1$ שלם, ולכן $4^{k+1}-1$ מתחלק ב-3. לפי עקרון האינדוקציה הטענה נכונה לכל $n$ טבעי.

(דרך אחרת: $4^n-1=(4-1)(4^{n-1}+4^{n-2}+\ldots+4+1)$.)

טעות נפוצה: לכתוב בצעד $4^{k+1}-1=4(4^k-1)$ - שוכחים את ה-3 שנוסף, וזה שוויון שגוי (עבור $k=1$: אגף שמאל 15 ואגף ימין 12).

לפי א(1), $4^n-1=3m$ עם $m$ שלם. מבטאים את $4^{n+1}$ בעזרת $4^n-1$:

$4(4^n-1)=4\cdot3m=12m$ מתחלק ב-12 לכל $n$. לכן מספיק לבחור $p$ כך ש-$4+p$ יתחלק ב-12, למשל $p=8$:

בדיקה: $n=1$: $16+8=24$; $n=2$: $64+8=72$. (מתאים כל $p$ שבעבורו $4+p$ מתחלק ב-12, כמו $p=-4$ או $p=20$.)

טעות נפוצה: לבחור $p=-1$ בנימוק ש-$4^{n+1}-1$ מתחלק ב-3 - אבל נדרשת התחלקות ב-12, ועבור $n=1$: $4^2-1=15$ אינו מתחלק ב-12.

גוזרים לפי כלל השרשרת. הנגזרת הפנימית: $\left(2-\frac1x\right)'=\frac1{x^2}$, ולכן

מסקנות: $f'(x)\ge0$ לכל $x\ne0$, והיא מתאפסת רק ב-$x=\frac12$ (נוגעת בציר ה-$x$).

כאשר $x\to0$ (משני הצדדים): $f'(x)\to+\infty$. כאשר $x\to\pm\infty$: $2-\frac1x\to2$ ו-$\frac1{x^2}\to0$, ולכן $f'(x)\to0$.

גרף ב יורד ל-$-\infty$ מימין ל-$x=0$ - נפסל, כי הנגזרת אינה שלילית. בגרף א הענפים לא שואפים ל-0 כאשר $x\to\pm\infty$ - נפסל.

גרף ג אי-שלילי, נוגע בציר ה-$x$ בנקודה אחת ושואף ל-0 בשני הקצוות, ולכן הוא הגרף של $f'(x)$.

טעות נפוצה: לשכוח את הנגזרת הפנימית $\frac1{x^2}$ ולקבל $f'(x)=3\left(2-\frac1x\right)^2$, ששואפת ל-12 באינסוף - ואז לבחור בגרף א.

נקודת פיתול של $f$ היא נקודה שבה $f'$ עוברת מעלייה לירידה או מירידה לעלייה, כלומר נקודת קיצון של $f'$.

בגרף ג (הגרף של $f'$) יש שתי נקודות קיצון: מינימום בנקודה שבה הגרף נוגע בציר ($x=\frac12$), ומקסימום ב"בליטה" שמימין לה. בענף השמאלי $f'$ עולה כל הזמן, ואין בו קיצון.

לכן לפונקציה $f$ יש 2 נקודות פיתול.

(בדיקה אלגברית: $f''(x)=\frac{12(2x-1)(1-x)}{x^5}$ מחליפה סימן ב-$x=\frac12$ וב-$x=1$ - הנקודות $\left(\frac12,0\right)$ ו-$(1,1)$.)

טעות נפוצה: לספור רק את הנקודה $x=\frac12$, שבה $f'=0$, ולענות "נקודת פיתול אחת" - גם המקסימום של $f'$ בבליטה הוא נקודת פיתול של $f$.

$h(t)$ היא השטח המסומן בין גרף $f$ לציר ה-$x$ מ-0 עד $t$: שטח מעל הציר נספר בחיוב, ושטח מתחת לציר - בשלילה.

$h(0)=\int_0^0f(x)\,dx=0$.

$h(3)$: מלבן בקטע $0\le x\le1$: $1\cdot2=2$; טרפז בקטע $1\le x\le2$: $\frac{(2+4)\cdot1}{2}=3$; משולש בקטע $2\le x\le3$: $\frac{1\cdot4}{2}=2$.

$h(5)$: בקטע $3\le x\le5$ יש משולש מתחת לציר, ששטחו $\frac{2\cdot2}{2}=2$, ולכן

טעות נפוצה: לחבר את השטח שמתחת לציר בחיוב ולקבל $h(5)=7+2=9$.

לפי המשפט היסודי של החדו"א, $h'(t)=f(t)$.

$h$ יורדת כאשר $h'(t)<0$, כלומר כאשר $f(t)<0$ - כשגרף $f$ מתחת לציר ה-$x$. לפי הסרטוט זה קורה בתחום $3<t<7$.

טעות נפוצה: לענות לפי התחום שבו גרף $f$ עצמו יורד ($2<t<5$) - הירידה של $h$ נקבעת לפי הסימן של $f$, לא לפי הירידה של $f$.

נסמן ב-O את מרכז המעגל. זוויות הבסיס של המשולש שווה-השוקיים: $\angle ABC=\angle ACB=\frac{180^\circ-2\alpha}{2}=90^\circ-\alpha$.

זווית F: הזווית ההיקפית $\angle BAC=2\alpha$ נשענת על הקשת BC, ולכן הזווית המרכזית $\angle BOC=4\alpha$.

המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה: $OB\perp FB$, $OC\perp FC$. במרובע OBFC:

זוויות D ו-E: הזווית בין המשיק DA למיתר AC שווה לזווית ההיקפית הנשענת על הקשת AC: $\angle DAC=\angle ABC=90^\circ-\alpha$.

$DA=DC$ (שני משיקים מאותה נקודה), ולכן במשולש DAC גם $\angle DCA=90^\circ-\alpha$, ו-

באותו אופן (משיק EA ומיתר AB) $\angle E=2\alpha$. בדיקה: $2\alpha+2\alpha+180^\circ-4\alpha=180^\circ$.

טעות נפוצה: להשוות את $\angle F$ לזווית המרכזית $\angle BOC$ ולכתוב $\angle F=4\alpha$ - הזווית בין שני המשיקים משלימה את הזווית המרכזית ל-$180^\circ$.

הכנסת איבר אחד בין כל שני איברים: $b_1=a_1$, $b_3=a_2$, $b_5=a_3$, ...

לכן $a_2=b_3=b_1q^2=a_1q^2$, כלומר מנת סדרה I היא $q^2$:

$q^2=9r^2$, ולכן $q=3r$ או $q=-3r$.

אם $q=-3r<0$, סימני האיברים בסדרה II מתחלפים והיא אינה יורדת. סדרה II יורדת, ולכן $q=3r$ (ואז $0<q<1$).

טעות נפוצה: להשאיר את שתי האפשרויות $q=\pm3r$ - המנה השלילית נותנת סדרה מתחלפת סימן, שאינה יורדת.

סדרה הנדסית אין-סופית מתכנסת כאשר המנה מקיימת $|q|<1$ (ו-$q\ne0$).

מ-$0<r<\frac13$: $0<3r<1$, כלומר מנת סדרה II מקיימת $0<q<1$.

מנת סדרה I היא $9r^2=q^2$, ולכן גם $0<9r^2<1$.

שתי הסדרות מתכנסות.

טעות נפוצה: לנמק ש"סדרה II יורדת ולכן מתכנסת" - סדרה יורדת לא חייבת להתכנס (למשל $-1,-2,-4,\ldots$ עם מנה 2); מה שקובע הוא $|q|<1$.

האיבר הראשון של שתי הסדרות זהה: $b_1=a_1$.

הנתון $S_{II}=\frac43S_I$:

(ואז $r=\frac19$, בתחום הנתון.)

טעות נפוצה: להפוך את הנתון ולכתוב $S_I=\frac43S_{II}$, ולקבל $1+q=\frac34$, כלומר $q=-\frac14$ - שלילי, בסתירה לכך שהסדרה יורדת.

האיברים במקומות הזוגיים $b_2, b_4, \ldots$: סדרה הנדסית שאיברה הראשון $b_1q$ ומנתה $q^2=\frac19$:

האיברים $b_5, b_{10}, b_{15}, \ldots$: האיבר הראשון $b_5=b_1q^4=\frac{40}{81}$, ובין שני איברים סמוכים 5 צעדים, ולכן המנה $q^5=\frac1{243}$:

טעות נפוצה: לקחת את המנה $q^4$ (כי האינדקס הראשון הוא 5) ולקבל $\frac{40/81}{1-1/81}=\frac12$ - המרחק בין $b_5$ ל-$b_{10}$ הוא 5 צעדים, ולכן המנה $q^5$.

האיברים שאחרי $b_5$ הם $b_6, b_7, \ldots$ - סדרה הנדסית אין-סופית שאיברה הראשון $b_6=b_5q$ ומנתה $q$:

טעות נפוצה: לכלול את $b_5$ עצמו בסכום ($\frac{b_5}{1-q}$) ולקבל יחס $1-q=\frac23$.

נתבונן בסדרה הנדסית מתכנסת עם מנה $q$ ($0<|q|<1$) ובאיבר כלשהו $a_n$.

האיברים שאחריו, $a_{n+1}, a_{n+2}, \ldots$, הם סדרה הנדסית אין-סופית שאיברה הראשון $a_nq$ ומנתה $q$, וסכומה $\frac{a_nq}{1-q}$.

היחס תלוי רק במנה $q$, ולא ב-$n$.

טעות נפוצה: "להוכיח" על ידי חישוב היחס עבור $n=5$ ועבור $n=6$ בסדרה של הסעיפים הקודמים - דוגמאות אינן הוכחה; יש לעבוד עם איבר כללי $a_n$ ומנה כללית $q$.

ההסתברויות במשחק אחד: הפסד $p$, ניצחון $3p$, תיקו $1-4p$.

"ניצחון אחד לפחות" בשני משחקים - דרך המשלים "אף ניצחון":

$p>0$, ולכן $p=\frac{1.5}{9}=\frac16$. בדיקה: ניצחון $\frac12$, הפסד $\frac16$, תיקו $\frac13$ - כולן בין 0 ל-1.

טעות נפוצה: לחשב "ניצחון אחד לפחות" כ"ניצחון אחד בדיוק", $2\cdot3p(1-3p)=4.5p$, ולקבל $p=\frac1{12}$ - שוכחים את המקרה של שני ניצחונות.

מספר הניצחונות ב-5 משחקים מתפלג בינומית עם $n=5$ והסתברות הצלחה $\frac12$.

טעות נפוצה: לחשב רק "בדיוק 3" ולקבל $\frac{10}{32}=0.3125$.

הדרישה היא על משחקים מסוימים: ניצחון במשחקים 1, 2 ו-3. על משחקים 4 ו-5 אין דרישה (כל תוצאה מתאימה, כולל ניצחון), ולכן אין מקדם בינומי:

טעות נפוצה: לדרוש שבמשחקים 4 ו-5 נטע לא תנצח ולקבל $\left(\frac12\right)^5=\frac1{32}$ - "לפחות" מתיר ניצחון גם בהם.

בכל משחק ההסתברות לא להפסיד היא $1-\frac16=\frac56$, והמשחקים בלתי תלויים:

טעות נפוצה: לחשב את המשלים של "הפסידה בכל המשחקים", $1-\left(\frac16\right)^5\approx0.9999$ - המשלים של "לא הפסידה בשום משחק" הוא "הפסידה במשחק אחד לפחות".

נסמן: $A$ - ניצחון במשחקים 1-3 ותיקו במשחק 5; $B$ - הפסד במשחק אחד לפחות.

ב-$A$ התוצאות של משחקים 1, 2, 3 ו-5 אינן הפסד, ולכן כדי ש-$B$ יתקיים, משחק 4 חייב להיות הפסד:

$P(B)=1-\frac{3125}{7776}=\frac{4651}{7776}$ (לפי ד(1)).

טעות נפוצה: לחשב את החיתוך כ-$P(A)=\left(\frac12\right)^3\cdot\frac13=\frac1{24}$, בלי לדרוש הפסד במשחק 4, ולקבל $\frac{324}{4651}\approx0.0697$.

במשולש ADG: $\angle DAG=90^\circ$ (נתון) ו-$\angle ADG=\alpha$, ולכן $\angle AGB=90^\circ-\alpha$.

CD קוטר, ולכן הזווית ההיקפית הנשענת עליו ישרה: $\angle CBD=90^\circ$.

הזווית בין המשיק BA למיתר BC שווה לזווית ההיקפית הנשענת על הקשת BC: $\angle ABC=\angle BDC=\alpha$.

לכן $\angle ABD=\alpha+90^\circ$. הנקודות D, B, G על ישר אחד, ולכן

במשולש ABG: $\angle BAG=180^\circ-2(90^\circ-\alpha)=2\alpha$.

טעות נפוצה: לזהות את $\angle ABG$ עם הזווית בין המשיק למיתר ולכתוב $\angle ABG=\alpha$, ומכאן $\angle BAG=90^\circ$ - הזווית בין המשיק למיתר היא $\angle ABC$, ולא הזווית עם המשך המיתר DB.

במשולשים ABC ו-ADB:

$\angle BAC=\angle DAB$ (זווית משותפת).

$\angle ABC=\angle ADB=\alpha$ (זווית בין משיק למיתר, סעיף א).

לכן $\Delta ABC\sim\Delta ADB$ (ז.ז), בהתאמה $A\leftrightarrow A$, $B\leftrightarrow D$, $C\leftrightarrow B$:

מהשוויון $\frac{AC}{AB}=\frac{BC}{DB}$ מקבלים (הפיכת שני האגפים) $\frac{AB}{AC}=\frac{DB}{BC}$.

טעות נפוצה: להתאים את הקודקודים לפי סדר האותיות ($C\leftrightarrow D$) ולכתוב $\frac{AC}{AD}=\frac{BC}{BD}$ - הזווית $\alpha$ נמצאת ב-B במשולש ABC וב-D במשולש ADB, ולכן B מתאים ל-D.

לפי סעיף א, $\angle ABG=\angle AGB$, ולכן המשולש ABG שווה-שוקיים: $AB=AG=7$.

$AC=\frac12DC=\frac12\cdot2R=R$, ולכן $AD=AC+CD=3R$.

משפט המשיק והחותך (או הדמיון מסעיף ב): $AB^2=AC\cdot AD$:

טעות נפוצה: לכתוב $AB^2=AC\cdot CD$ (החלק הפנימי במקום כל החותך): $49=R\cdot2R$, ולקבל $R=\frac7{\sqrt2}\approx4.95$.

$\angle DAG=90^\circ$ (נתון), $\angle DBC=90^\circ$ (זווית היקפית הנשענת על הקוטר CD).

$\angle ADG=\angle BDC$ (אותה זווית, $\alpha$).

לכן $\Delta ADG\sim\Delta BDC$ (ז.ז), בהתאמה $A\leftrightarrow B$, $D\leftrightarrow D$, $G\leftrightarrow C$.

טעות נפוצה: להתאים את A ל-C (לפי סדר האותיות) - הזווית הישרה ב-ADG היא ב-A, וב-BDC היא ב-B, ולכן A מתאים ל-B.

יחס הדמיון הוא $\frac{AD}{BD}$ (צלעות מתאימות לפי ד(1)).

$AD=3R=\frac{21}{\sqrt3}=7\sqrt3$. במשולש ADG: $\tan\alpha=\frac{AG}{AD}=\frac{7}{7\sqrt3}=\frac1{\sqrt3}$, ולכן $\alpha=30^\circ$.

במשולש BDC (ישר-זווית ב-B, היתר $DC=2R$): $BD=DC\cos\alpha=\frac{14}{\sqrt3}\cdot\frac{\sqrt3}{2}=7$.

לכן $S_{ADG}=3S$.

טעות נפוצה: להשוות את יחס השטחים ליחס הדמיון ולכתוב $S_{ADG}=\sqrt3S$ - יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון.

המשולש ABD חסום באותו מעגל שרדיוסו $R$ (כל קודקודי המרובע נמצאים על המעגל).

לפי משפט הסינוסים במשולש ABD, הצלע BD נמצאת מול הזווית $\angle DAB=\alpha$:

טעות נפוצה: לכתוב $\frac{BD}{\sin\alpha}=R$ (לשכוח את ה-2 במשפט הסינוסים המורחב) ולקבל $BD=R\sin\alpha$.

במרובע חסום סכום זוויות נגדיות הוא $180^\circ$, ולכן $\angle BCD=180^\circ-\alpha$.

משפט הקוסינוסים במשולש BCD, עם $\cos(180^\circ-\alpha)=-\cos\alpha$:

מציבים $BD=2R\sin\alpha$ מסעיף א ומחלקים ב-$R^2$:

זו משוואה ריבועית ב-$\cos\alpha$:

$\alpha$ חדה, ולכן $\cos\alpha>0$: $\cos\alpha=\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}\approx0.259$, כלומר $\alpha=75^\circ$ (זה הערך המדויק של $\cos75^\circ=\cos(45^\circ+30^\circ)$). הפתרון $\cos\alpha=\frac{-\sqrt6-\sqrt2}{4}$ נותן זווית קהה ונפסל.

דרך נוספת: במשולש BCD (שחסום באותו מעגל) $BC=2R\sin\angle BDC$, ולכן $\sin\angle BDC=\frac12$, ו-$CD=2R\sin\angle CBD$, ולכן $\sin\angle CBD=\frac{\sqrt2}{2}$. סכום שתי הזוויות הוא $180^\circ-\angle BCD=\alpha<90^\circ$, ולכן שתיהן חדות: $30^\circ+45^\circ=75^\circ$.

טעות נפוצה: לכתוב $\cos(180^\circ-\alpha)=\cos\alpha$, לקבל $4\cos^2\alpha-2\sqrt2\cos\alpha-1=0$, ומשם $\cos\alpha=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$, כלומר $\alpha=15^\circ$.

BD חוצה את הזווית ABC, ולכן $\angle ABD=\angle CBD$.

את $\angle CBD$ מוצאים במשולש BCD, שחסום במעגל שרדיוסו $R$. הצלע CD נמצאת מול הזווית CBD:

$\angle CBD+\angle BDC=\alpha=75^\circ$, ולכן $\angle CBD$ חדה: $\angle CBD=45^\circ$ (ולא $135^\circ$).

לכן $\angle ABD=45^\circ$.

טעות נפוצה: להשתמש בצלע BC במקום CD, לקבל $\sin\angle BDC=\frac12$ ולענות $\angle ABD=30^\circ$ - זו הזווית שמול BC, ולא הזווית שחוצה הזווית יוצר.

במשולש ABD: $\angle BAD=75^\circ$ ו-$\angle ABD=45^\circ$, ולכן $\angle ADB=180^\circ-75^\circ-45^\circ=60^\circ$.

הגובה $h_1$ מ-A ל-BD יוצר משולש ישר-זווית עם היתר AB והזווית $\angle ABD=45^\circ$, ולכן $h_1=AB\sin45^\circ$.