בגרות במתמטיקה 571 - חורף 2023

האיבר הכללי בסכום הוא $(3k-2)(5k-3)$. נמצא את המקום של האיבר הראשון ושל האיבר האחרון בביטוי:

$3k-2=7$ נותן $k=3$ (ואכן $5\cdot3-3=12$), ו-$3k-2=58$ נותן $k=20$ (ואכן $5\cdot20-3=97$).

לכן הביטוי הוא סכום האיברים מהמקום ה-3 עד המקום ה-20: הסכום של 20 האיברים הראשונים פחות הסכום של 2 האיברים הראשונים, $S_{20}-S_2$.

טעות נפוצה: להחסיר את $S_3$ במקום את $S_2$ (ולהוריד כך גם את האיבר $7\cdot12$, שהוא חלק מהביטוי): $S_3=3\cdot38=114$, ומקבלים $39180-114=39066$.

האיבר האחרון באגף שמאל, $(3n+1)(5n+2)$, הוא האיבר הכללי $(3k-2)(5k-3)$ עבור $k=n+1$: $3(n+1)-2=3n+1$ ו-$5(n+1)-3=5n+2$.

לכן אגף שמאל הוא הסכום של $n+1$ האיברים הראשונים, $S_{n+1}$. מציבים $n+1$ במקום $n$ בנוסחה הנתונה:

משווים ל-$(n+1)(5n^2+8n+C)$ ומקבלים $C=2$.

בדיקה עם $n=1$: אגף שמאל $1\cdot2+4\cdot7=30$, ואגף ימין $2(5+8+2)=30$.

טעות נפוצה: לבדוק עם $n=1$ אבל לשים באגף שמאל רק את $1\cdot2$ (לשכוח שהסכום מסתיים באיבר $(3n+1)(5n+2)=4\cdot7$): $2=2(13+C)$, ומקבלים $C=-12$.

הרדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה: $OA\perp AE$, ולכן $\angle OAE=90^\circ$. הקרן $AB$ נמצאת בין $AO$ ל-$AE$, ולכן:

המשולש $AOB$ שווה שוקיים ($OA=OB$ רדיוסים), ולכן $\angle OBA=\angle OAB=90^\circ-\alpha$, ומסכום הזוויות במשולש:

(אפשר גם במשפט: הזווית בין משיק למיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר, והזווית המרכזית כפולה מהזווית ההיקפית הנשענת על אותה קשת.)

טעות נפוצה: לחשוב שהזווית בין המשיק למיתר שווה לזווית המרכזית, ולענות $\angle AOB=\alpha$.

אורך של קשת הוא החלק מהיקף המעגל שמתאים לזווית המרכזית שלה: היחס בין אורך הקשת להיקף שווה ליחס בין הזווית המרכזית ל-$360^\circ$.

הזווית המרכזית הנשענת על הקשת הקטנה $AB$ היא $\angle AOB=2\alpha$ (סעיף ב(1)), ולכן היחס הוא:

טעות נפוצה: להשתמש בזווית $\alpha$ עצמה כזווית המרכזית של הקשת ולקבל $\frac{\alpha}{360}$.

אסימפטוטה אנכית: המכנה מתאפס ב-$x=0$, והמונה שם שווה $\sqrt1=1\neq0$, ולכן $x=0$ היא אסימפטוטה אנכית.

אסימפטוטות אופקיות: מוציאים $x^2$ מתוך השורש, וזוכרים ש-$\sqrt{x^2}=|x|$:

כאשר $x\to\infty$: $|x|=x$, ולכן $f(x)=\sqrt{4+\frac1{x^2}}\to\sqrt4=2$.

כאשר $x\to-\infty$: $|x|=-x$, ולכן $f(x)=-\sqrt{4+\frac1{x^2}}\to-2$.

האסימפטוטות: $x=0$, $y=2$ (ב-$+\infty$), $y=-2$ (ב-$-\infty$).

טעות נפוצה: לכתוב $\sqrt{x^2}=x$ גם עבור $x<0$, ולקבל רק אסימפטוטה אופקית אחת, $y=2$.

הגרף של $f(x+3)$ הוא הגרף של $f(x)$ מוזז 3 יחידות שמאלה. הזזה אופקית לא משנה את ההתנהגות ב-$\pm\infty$, ולכן ל-$f(x+3)$ אותן אסימפטוטות אופקיות: $y=2$ ו-$y=-2$.

הכפלה ב-$k>0$ היא מתיחה אנכית: כל ערכי הפונקציה מוכפלים ב-$k$, ולכן האסימפטוטות האופקיות של $g(x)$ הן $y=2k$ ו-$y=-2k$.

המרחק בין שני ישרים אופקיים הוא הפרש שיעורי ה-$y$ שלהם:

טעות נפוצה: למדוד את המרחק של אסימפטוטה אחת מציר ה-$x$ במקום את המרחק בין שתי האסימפטוטות: $2k=10$, ומקבלים $k=5$.

לפי המשפט היסודי של החדו"א, $g'(t)=f(t)$. לכן $g$ יורדת בדיוק היכן ש-$f$ שלילית, ועולה היכן ש-$f$ חיובית.

לפי הגרף, בתחום $-2\le t\le2$: $f(t)<0$ עבור $-2<t<0$, ו-$f(t)>0$ עבור $0<t<2$.

לכן $g(t)$ יורדת בתחום $-2<t<0$ (ועולה בתחום $0<t<2$).

טעות נפוצה: לבלבל בין הסימן של $f$ לבין העלייה והירידה שלה, ולענות לפי תחומי הירידה של $f$ - מ-$-2$ עד נקודת המינימום של $f$ ומנקודת המקסימום של $f$ עד 2, כלומר לפי הגרף בערך $-2<t<-1.5$ ו-$1.5<t<2$.

$g(-2)=\int_{-2}^{-2}f(x)\,dx=0$.

$f$ אי-זוגית, ולכן הגרף שלה סימטרי ביחס לראשית: השטח הכלוא בין הגרף לציר ה-$x$ בתחום $-2\le x\le0$ (מתחת לציר) שווה לשטח בתחום $0\le x\le2$ (מעל לציר). לכן:

לפי סעיף ד(1): $g$ יורדת מ-$g(-2)=0$ עד $t=0$, ואחר כך עולה עד $g(2)=0$. לכן הערך הגדול ביותר של $g$ בתחום הוא 0 (בקצוות), ולכל $t$ בתחום $g(t)\le0$.

אין ערכים של $t$ שעבורם $g(t)$ חיובית.

טעות נפוצה: לענות ש-$g$ חיובית בתחום $0<t<2$ כי שם $f$ חיובית. שם $g$ רק עולה, אבל היא עולה מערך שלילי ומגיעה ל-0 רק ב-$t=2$.

$g'(t)=f(t)$, ולכן $g''(t)=f'(t)$. נקודת פיתול של $g$ היא נקודה שבה $g''=f'$ מחליפה סימן, כלומר נקודה שבה $f$ עוברת מעלייה לירידה או מירידה לעלייה - נקודת קיצון של $f$.

לפי הגרף, בתחום $-2<t<2$ יש ל-$f$ נקודת מינימום (בין $-2$ ל-0) ונקודת מקסימום (בין 0 ל-2). בכל אחת מהן $f'$ מחליפה סימן, ולכן אלה שתי נקודות פיתול של $g$.

בראשית הגרף של $f$ שטוח ($f'(0)=0$), אבל $f$ עולה משני הצדדים של $x=0$: $f'$ לא מחליפה שם סימן, ולכן $t=0$ אינה נקודת פיתול של $g$.

לפונקציה $g(t)$ יש שתי נקודות פיתול.

טעות נפוצה: לספור כל נקודה שבה $f'=0$, כולל הנקודה השטוחה $x=0$, ולענות שיש ל-$g$ שלוש נקודות פיתול.

האיבר הכללי של $A$ הוא $a_n=a_1q^{n-1}$, ולכן:

המנה בין שני איברים עוקבים קבועה (לא תלויה ב-$n$):

לכן $B$ היא סדרה הנדסית שהאיבר הראשון שלה $b_1=a_1$ ומנתה $q^2$.

טעות נפוצה: לכתוב $q^{n-1}\cdot q^{n-1}=q^{(n-1)^2}$ (לכפול מעריכים במקום לחבר), ולהסיק שהמנה $\frac{b_{n+1}}{b_n}$ תלויה ב-$n$ ו-$B$ אינה הנדסית.

סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת (יש לה סכום) כאשר המנה מקיימת $-1<q<1$, $q\neq0$.

אם $A$ לא מתכנסת, אז $|q|\ge1$. לכן $q^2=|q|^2\ge1$, כלומר המנה של $B$ (סעיף א) אינה בין $-1$ ל-1, ו-$B$ לא מתכנסת.

ההיגד נכון.

טעות נפוצה: לחשוב שהעלאה בריבוע תמיד מקטינה מספר, ולכן $q^2$ יכולה להיות קטנה מ-1 גם כש-$|q|\ge1$ - ולקבוע שההיגד לא נכון. בפועל עבור $|q|\ge1$ מתקיים $q^2\ge|q|\ge1$.

סדרה הנדסית יורדת בשני מקרים: $a_1>0$ ו-$0<q<1$, או $a_1<0$ ו-$q>1$.

במקרה השני המנה גדולה מ-1, והסדרה לא מתכנסת. דוגמה נגדית: $a_1=-1$, $q=2$. הסדרה $-1,-2,-4,-8,\ldots$ יורדת, אבל $q=2>1$ והיא לא מתכנסת.

ההיגד לא נכון.

טעות נפוצה: לבדוק רק את המקרה $a_1>0$ (שבו סדרה יורדת פירושה $0<q<1$), ולקבוע שההיגד נכון.

לפי סעיף א, ל-$B$ אותו איבר ראשון $a_1$ ומנה $q^2$. סכומי הסדרות:

$-1<\frac34<1$, ושתי הסדרות אכן מתכנסות.

טעות נפוצה: להפוך את היחס (לחשב $\frac{S_A}{S_B}=1+q$) ולפתור $1+q=\frac47$, ומקבלים $q=-\frac37$.

$\frac{b_k}{a_k}=\frac{a_k\cdot q^{k-1}}{a_k}=q^{k-1}=\left(\frac34\right)^{k-1}$. לכן אגף שמאל הוא הסכום של $n$ האיברים הראשונים בסדרה הנדסית שהאיבר הראשון שלה 1 ומנתה $\frac34$:

$729=3^6$ ו-$4096=4^6$, ולכן $n=6$.

טעות נפוצה: לחשוב שהאיבר האחרון $q^{n-1}$ פירושו שיש בסכום $n-1$ איברים, לפתור $\left(\frac34\right)^{n-1}=\frac{729}{4096}$, ולקבל $n=7$.

ההסתברות שמארגז א' יצא תפוח היא $\frac{6}{a}$.

אם יצא תפוח, הוא מועבר לארגז ב', ובארגז ב' יש עכשיו $b+1$ פירות, מהם $11+1=12$ תפוחים. לכן ההסתברות שגם מארגז ב' יצא תפוח היא $\frac{12}{b+1}$.

לפי כלל המכפלה:

טעות נפוצה: לשכוח שהתפוח הועבר לארגז ב', ולחשב $\frac6a\cdot\frac{11}{b}=\frac{66}{ab}$.

תפוח ואחר כך אגס: גם כאן התפוח הראשון מועבר לארגז ב', ובו $b+1$ פירות ו-$b-11$ אגסים (האגסים לא השתנו):

יחד עם סעיף א: $\frac{6}{a}\cdot\frac{12}{b+1}=\frac{9}{65}$. מחלקים את המשוואה מסעיף א במשוואה החדשה, והגורם $\frac{6}{a(b+1)}$ מצטמצם:

מציבים במשוואה של סעיף א:

טעות נפוצה: לחשב את מספר האגסים בארגז ב' אחרי ההעברה כ-$b-12$ (להוריד את התפוח שנוסף): $\frac{12}{b-12}=\frac67$ נותן $b=26$, ואז $a=\frac{520}{27}$ - לא מספר שלם.

אם ידוע שמארגז א' יצא תפוח, הוא הועבר לארגז ב'. בארגז ב' יש עכשיו $25+1=26$ פירות: $12$ תפוחים ו-$25-11=14$ אגסים.

טעות נפוצה: להשתמש בהרכב המקורי של ארגז ב' (25 פירות, 14 אגסים) ולקבל $\frac{14}{25}$.

כל הפירות משני הארגזים מגיעים לארגז אחד (ההעברה בין הארגזים לא משנה את הסכום): $20+25=45$ פירות, מהם $6+11=17$ תפוחים ו-28 אגסים.

ההוצאות עם החזרה, ולכן הן בלתי תלויות, וההסתברות לתפוח בכל הוצאה $p=\frac{17}{45}$. זה ניסוי ברנולי עם $n=6$.

המאורעות "בדיוק 4 תפוחים" ו"6 אגסים (0 תפוחים)" זרים, ולכן מחברים את ההסתברויות:

טעות נפוצה: לשכוח את המקדם $\binom64=15$ (לחשב רק סידור אחד של 4 התפוחים) ולקבל $\approx0.066$.

כל סידור של 4 תפוחים ו-2 אגסים ב-6 ההוצאות הוא בעל אותה הסתברות, $p^4(1-p)^2$. לכן בהינתן שיצאו בדיוק 4 תפוחים, כל $\binom64=15$ הסידורים שווי הסתברות.

סידורים שבהם 4 התפוחים רצופים: בהוצאות 1-4, 2-5 או 3-6 - שלושה סידורים.

טעות נפוצה: לחשב את ההסתברות של "4 תפוחים רצופים ו-2 אגסים" בלי ההתניה, $3\left(\frac{17}{45}\right)^4\left(\frac{28}{45}\right)^2\approx0.024$ - ולא לחלק בהסתברות שיצאו בדיוק 4 תפוחים.

הנקודות $A$, $D$, $B$, $E$ נמצאות על המעגל הימני, ולכן $ADBE$ מרובע חסום.

$C$ נמצאת על המשך הצלע $AD$ מעבר ל-$D$, ולכן $\angle CDB$ היא זווית חיצונית של המרובע בקודקוד $D$. זווית חיצונית של מרובע חסום שווה לזווית הפנימית שמולה:

(כי $\angle CDB=180^\circ-\angle ADB$, ו-$\angle ADB+\angle AEB=180^\circ$ - זוויות נגדיות במרובע חסום.)

בנוסף, $\angle ACE=\angle BCD$ - זווית משותפת.

לכן $\Delta ACE\sim\Delta BCD$ לפי ז.ז., בהתאמה $A\leftrightarrow B$, $C\leftrightarrow C$, $E\leftrightarrow D$.

טעות נפוצה: לכתוב את הדמיון בהתאמה $A\leftrightarrow D$, $E\leftrightarrow B$ (כי $A$ ו-$D$ שתיהן על $AC$), ולקבל יחסים שגויים כמו $\frac{AC}{DC}=\frac{CE}{CB}$. ההתאמה נקבעת לפי הזוויות השוות: $\angle E=\angle D$.

הנקודות $A$, $C$, $B$, $F$ נמצאות על המעגל השמאלי, ולכן $ACBF$ מרובע חסום. $E$ על המשך $AF$ מעבר ל-$F$, ולכן $\angle BFE$ זווית חיצונית של המרובע, והיא שווה לזווית הפנימית שמולה:

מסעיף א: $\angle BDC=\angle AEC=\angle BEF$.

במשולשים $BFE$ ו-$BCD$: $\angle BFE=\angle BCD$, $\angle BEF=\angle BDC$, והצלע שבין הזוויות האלה שווה: $FE=CD$ (נתון).

לכן $\Delta BFE\cong\Delta BCD$ לפי ז.צ.ז., בהתאמה $B\leftrightarrow B$, $F\leftrightarrow C$, $E\leftrightarrow D$.

טעות נפוצה: להשתמש ב-$BF=BC$ או ב-$BE=BD$ כנתון כדי להוכיח את החפיפה (למשל לפי צ.ז.צ). אלה אינם נתונים - הם נובעים מהחפיפה, ולכן ההוכחה מעגלית.

מהדמיון בסעיף א ($A\leftrightarrow B$, $C\leftrightarrow C$, $E\leftrightarrow D$):

מהחפיפה בסעיף ב ($E\leftrightarrow D$): $BE=BD$. מציבים:

טעות נפוצה: לקחת מהדמיון יחס בין צלעות שאינן מתאימות, למשל $\frac{AC}{BC}=\frac{AE}{CD}$, ולקבל את השוויון השגוי $AC\cdot CD=AE\cdot BC$.

מסעיף ג(1): $\frac{AC}{AE}=\frac{BC}{BE}$.

במשולש $ACE$ הנקודה $B$ נמצאת על הצלע $CE$ ומחלקת אותה ביחס של הצלעות $AC$ ו-$AE$. לפי המשפט ההפוך למשפט חוצה הזווית, $AB$ חוצה את הזווית $CAE$.

טעות נפוצה: לצטט את משפט חוצה הזווית (הישיר), שמניח ש-$AB$ חוצה זווית ומסיק את היחס - כלומר להניח את מה שצריך להוכיח.

מהחפיפה בסעיף ב: $BD=BE$ ו-$BC=BF$. לכן המשולשים $DBE$ ו-$CBF$ שווי שוקיים.

גם מהחפיפה: $\angle CBD=\angle FBE$. $C$, $B$, $E$ על ישר אחד, ולכן:

במשולש שווה שוקיים כל זווית בסיס היא מחצית ההפרש בין $180^\circ$ לזווית הראש, וזוויות הראש שוות, ולכן:

כלומר $\angle DEC=\angle FCE$.

טעות נפוצה: להסיק מ-$BD=BE$, $BC=BF$ ו-$\angle DBE=\angle CBF$ שהמשולשים $DBE$ ו-$CBF$ חופפים. הם רק דומים (שוקיים שונות, $BD\neq BC$), אבל זה מספיק לשוויון זוויות הבסיס.

מרכז המעגל O נמצא על הצלע BD, ולכן BD הוא קוטר: $BD=2R$.

זווית היקפית הנשענת על קוטר היא ישרה, ולכן $\angle BCD=90^\circ$.

במשולש ישר הזווית BCD, הניצב CD צמוד לזווית $\alpha$ ו-BD הוא היתר:

טעות נפוצה: לקחת את הרדיוס כיתר ולכתוב $\cos\alpha=\frac{k}{R}$ - היתר הוא הקוטר BD, שאורכו $2R$.

E אמצע OD, ולכן $ED=\frac{R}{2}$.

במשולש CED ידועות שתי צלעות, $CD=k$ ו-$ED=\frac R2$, והזווית ביניהן $\alpha$. לפי משפט הקוסינוסים:

מציבים $\cos\alpha=\frac{k}{2R}$ מסעיף א: