מתכונת במתמטיקה 572 - מתכונת 3 ברמת בגרות

זווית היקפית של $90^\circ$ נשענת על קוטר, ולכן כל נקודה $P$ שמקיימת $\angle APB=90^\circ$ נמצאת על המעגל שקוטרו $AB$.

מרכז המעגל - אמצע הקטע $AB$:

הקוטר $AB=17a+8a=25a$, ולכן הרדיוס $R=12.5a$ ו-$R^2=156.25a^2$.

$A$ ו-$B$ אינן מקיימות את התנאי (אין בהן משולש), ולכן הן מוצאות מהמקום הגאומטרי.

טעות נפוצה: לחשב את הקוטר כ-$17a-8a=9a$ ולקבל רדיוס $4.5a$, כלומר $(x-4.5a)^2+y^2=20.25a^2$. אורך הקטע הוא הפרש השיעורים: $17a-(-8a)=25a$.

הבסיס $AB=25a$ קבוע, ולכן השטח מרבי כשהגובה מ-$P$ ל-$AB$ (שעל ציר ה-$x$) מרבי.

הגובה הוא $|y_P|$, והערך הגדול ביותר שלו על המעגל הוא הרדיוס $12.5a$.

$a$ חיובי, ולכן $a=2$.

טעות נפוצה: לקחת כגובה את הקוטר $25a$ במקום את הרדיוס ($\frac12\cdot25a\cdot25a=625$) ולקבל $a=\sqrt2$.

עם $a=2$: המעגל $(x-9)^2+y^2=625$ - מרכז $(9,0)$, רדיוס $25$.

המוקד של $y^2=2px$ הוא $\left(\frac p2,0\right)$. המוקד הוא $(9,0)$, ולכן $\frac p2=9$, $p=18$:

מציבים $y^2=36x$ במשוואת המעגל:

בפרבולה $x\ge0$, ולכן $x=16$, ו-$y^2=36\cdot16=576$. ברביע הראשון $y=24$.

$C(16,\,24)$.

טעות נפוצה: להשאיר את שני הפתרונות של המשוואה הריבועית. $x=-34$ נותן $y^2=36\cdot(-34)<0$ - אין נקודה כזאת על הפרבולה.

משיק לפרבולה $y^2=2px$ בנקודה $(x_0,y_0)$: $y_0y=p(x+x_0)$. עם $p=18$ ו-$C(16,24)$:

משיק למעגל המקביל ל-$\ell$: $3x-4y+k=0$, ומרחקו ממרכז המעגל $(9,0)$ שווה לרדיוס $25$:

$k=98$ או $k=-152$.

המרחק בין שני ישרים מקבילים באותה צורה הוא $\frac{|k_1-k_2|}{5}$:

טעות נפוצה: לשכוח את הערך המוחלט במשוואת המרחק ולמצוא רק משיק אחד ($k=98$) - למעגל יש שני משיקים בכל כיוון, אחד מכל צד.

$\vec{D'A}=\underline u-\underline w$, $\vec{D'C}=\underline v-\underline w$, ולכן:

טעות נפוצה: לשכוח את $\vec{DD'}$ ולכתוב $\overrightarrow{DF}=\vec{D'F}=t\underline u+\frac13\underline v-\left(t+\frac13\right)\underline w$ - זה הווקטור מ-$D'$ ל-$F$, לא מ-$D$.

$\underline u^2=\underline v^2=36$, $\underline u\cdot\underline v=6\cdot6\cdot\cos60^\circ=18$, $\underline u\cdot\underline w=\underline v\cdot\underline w=0$ (מנסרה ישרה), $\underline w^2=h^2$ לא ידוע.

$DF$ מאונך למישור, ולכן מאונך ל-$\vec{D'A}$ ול-$\vec{D'C}$:

מחסרים: $18t-6=0$, ולכן $t=\frac13$.

טעות נפוצה: לדרוש ניצבות ל-$\overrightarrow{DA}=\underline u$, שאינו במישור $ACD'$: $36t+6=0$, ומקבלים $t=-\frac16$.

מציבים $t=\frac13$: $36\cdot\frac13+6-\frac13h^2=0$, כלומר $18=\frac13h^2$, $h^2=54$, $h=3\sqrt6$.

שטח הבסיס: $6\cdot6\cdot\sin60^\circ=18\sqrt3$.

טעות נפוצה: לחשב את שטח הבסיס כ-$\frac12\cdot6\cdot6\cdot\sin60^\circ=9\sqrt3$ (שטח משולש) ולקבל $V=81\sqrt2$.

$\underline u=(6,0,0)$, $\underline v=(3,\sqrt{27},0)$ (בדיקה: $|\underline v|=\sqrt{9+27}=6$), ולפי סעיף ג $\underline w=(0,0,3\sqrt6)$.

עם $t=\frac13$: $\overrightarrow{DF}=\frac13\underline u+\frac13\underline v+\frac13\underline w$:

$D$ בראשית, ולכן $F\left(3,\sqrt3,\sqrt6\right)$.

טעות נפוצה: לקחת את $\vec{D'F}=\frac13\vec{D'A}+\frac13\vec{D'C}=\left(3,\sqrt3,-2\sqrt6\right)$ כשיעורי $F$, בלי להוסיף את $D'$.

$64$ על החלק החיובי של הציר הממשי: $64=64\text{cis}0^\circ$.

עבור $w=r\text{cis}\theta$: $r^6=64$, $r=2$, ו-

הפתרונות: $2\text{cis}0^\circ$, $2\text{cis}60^\circ$, $2\text{cis}120^\circ$, $2\text{cis}180^\circ$, $2\text{cis}240^\circ$, $2\text{cis}300^\circ$.

טעות נפוצה: לעצור אחרי הפתרונות הממשיים $w=\pm2$ - למשוואה מסדר 6 יש שישה פתרונות מרוכבים.

עם $w=z-1$ משוואה II היא $w^6=64$, ולכן $z=w+1$.

הפתרונות של I בהצגה אלגברית: $2$, $1+\sqrt3i$, $-1+\sqrt3i$, $-2$, $-1-\sqrt3i$, $1-\sqrt3i$ (למשל $2\text{cis}60^\circ=2\left(\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i\right)$).

מוסיפים 1 לחלק הממשי:

טעות נפוצה: לחשב $z=w-1$ - מ-$z-1=w$ מקבלים $z=w+1$.

לכל פתרון: $|z-1|=|w|=2$. זה המרחק של $z$ מהנקודה $(1,0)$, ולכן כל הפתרונות על המעגל שמרכזו $(1,0)$ ורדיוסו 2:

טעות נפוצה: לכתוב רדיוס 64 או 4 בתור $r$ - הרדיוס הוא המודול של הפתרונות, $\sqrt[6]{64}=2$, ובמשוואת המעגל מופיע $r^2=4$.

פתרונות I נמצאים במרחק 2 מהראשית בזוויות $0^\circ,60^\circ,\dots,300^\circ$. כל שני שכנים יוצרים עם הראשית משולש שווה-שוקיים עם זווית ראש $60^\circ$, כלומר שווה-צלעות: כל הצלעות 2 וכל זוויות המשושה $120^\circ$ - משושה משוכלל.

פתרונות II מתקבלים מהם בהוספת 1 - הזזה של כל הנקודות ימינה ביחידה אחת. הזזה שומרת על אורכים וזוויות, ולכן גם הם קודקודי משושה משוכלל.

טעות נפוצה: לבדוק רק שהצלעות שוות - מצולע בעל צלעות שוות אינו בהכרח משוכלל; כאן זה מתקיים כי הקודקודים על מעגל אחד, אבל צריך לומר זאת (או להראות שגם הזוויות שוות).

הממשיים: $3$ ו-$-1$. המדומים: $\sqrt3i$ ו-$-\sqrt3i$. הקודקודים: $(3,0)$, $(0,\sqrt3)$, $(-1,0)$, $(0,-\sqrt3)$.

האלכסונים על הצירים - מאונכים. הציר הממשי חוצה את האלכסון האנכי (מ-$\sqrt3$ עד $-\sqrt3$), ולכן הוא אנך אמצעי שלו.

הצלעות: מ-$(3,0)$ לשני המדומים $\sqrt{9+3}=2\sqrt3$; מ-$(-1,0)$ לשניהם $\sqrt{1+3}=2$.

שני זוגות של צלעות סמוכות שוות, והזוגות שונים - דלתון.

טעות נפוצה: לענות "מעוין" - האלכסון האופקי (מ-$-1$ עד $3$) אינו נחצה על ידי הציר המדומה, ולכן האלכסונים לא חוצים זה את זה.

המשושה: צלע 2, שישה משולשים שווי-צלעות:

הדלתון: אלכסונים $4$ (מ-$-1$ עד $3$) ו-$2\sqrt3$:

טעות נפוצה: לקחת את האלכסון האופקי כ-$3-1=2$ - הנקודות הן $3$ ו-$-1$, והמרחק ביניהן 4.

הפונקציה מוגדרת ורציפה לכל $x$ (המכנה $e^x-x$ חיובי תמיד), ולכן אין לה אסימפטוטה אנכית.

$x\to\infty$: מחלקים מונה ומכנה ב-$e^x$. $\frac{x}{e^x}\to0$ (המעריכית גדלה מהר יותר), ולכן:

$x\to-\infty$: $e^x\to0$, ולכן המנה מתקרבת ל-$\frac{3x}{-x}=-3$.

לכן $y=1+b$ אסימפטוטה אופקית כש-$x\to\infty$, ו-$y=-3+b$ כש-$x\to-\infty$.

טעות נפוצה: לקבל ב-$-\infty$ את הגבול $3$ (לשכוח את הסימן של $-x$ במכנה) - $\frac{3x}{-x}=-3$.

טעות נפוצה: לשכוח את $b$ ולכתוב $(0,1)$.

גוזרים לפי כלל המנה. נגזרת המונה $e^x+3x$ היא $e^x+3$, ונגזרת המכנה $e^x-x$ היא $e^x-1$:

פותחים את המונה: $e^{2x}-xe^x+3e^x-3x-\left(e^{2x}-e^x+3xe^x-3x\right)=4e^x-4xe^x$.

הסימן של $f'$ הוא הסימן של $1-x$: חיובי ל-$x<1$, שלילי ל-$x>1$ - מקסימום ב-$x=1$.

טעות נפוצה: לחשב את $f(1)$ בלי $b$ ולתת את הנקודה $\left(1,\ \frac{e+3}{e-1}\right)\approx(1,\ 3.33)$. נקודת הקיצון היא על גרף $f$, כולל הפרמטר.

טעות נפוצה: לפתור רק $1+b=2$ - גם האסימפטוטה השמאלית יכולה להיות $y=2$.

$b=1$: אסימפטוטות $y=2$ (ימין) ו-$y=-2$ (שמאל), חיתוך עם ציר ה-$y$ ב-$(0,2)$, ומקסימום ב-$x=1$: $f(1)=\frac{e+3}{e-1}+1=\frac{2e+2}{e-1}\approx4.33$.

$f(x)-2=\frac{4x}{e^x-x}>0$ ל-$x>0$ - מימין הגרף מתקרב ל-$y=2$ מלמעלה.

הגרף עולה מ-$y=-2$, חותך את ציר ה-$x$ פעם אחת (ב-$x<0$), עובר דרך $(0,2)$, מגיע למקסימום ויורד אל $y=2$.

טעות נפוצה: לצייר את $(0,2)$ כנקודת קיצון כי היא בגובה האסימפטוטה - הפונקציה עולה ב-$x=0$; הקיצון היחיד ב-$x=1$.

$f'(x)=\frac{4e^x(1-x)}{(e^x-x)^2}$ מוגדרת ורציפה לכל $x$.

$x\to\infty$: מחלקים ב-$e^{2x}$: $\frac{4(1-x)e^{-x}}{(1-xe^{-x})^2}\to0$.

$x\to-\infty$: המונה $\to0$ ($e^x$ ו-$xe^x$ שואפים ל-0), המכנה $\to\infty$ - הגבול 0.

אסימפטוטה $y=0$ בשני הכיוונים; אין אסימפטוטה אנכית.

טעות נפוצה: לחשוב שכש-$x\to-\infty$ הגורם $1-x\to\infty$ ולכן $f'\to\infty$, ולענות שיש אסימפטוטה $y=0$ רק כש-$x\to\infty$. הגורם $e^x$ שואף ל-0 מהר יותר מכל ביטוי ליניארי, והמכנה שואף לאינסוף - הגבול 0 גם שם.

$f'>0$ ל-$x<1$, $f'(1)=0$, $f'<0$ ל-$x>1$, ובשני הקצוות $f'\to0$.

לכן ל-$f'$ מקסימום בתחום $x<1$ ומינימום בתחום $x>1$ - אלה שתי נקודות הפיתול של $f$.

נקודת הפיתול $x=0$ היא אפוא המקסימום של $f'$: $f'(0)=\frac{4\cdot1\cdot1}{1}=4$.

הסקיצה: עולה מ-0 ל-$(0,4)$, יורדת דרך $(1,0)$ למינימום, ועולה אל 0.

טעות נפוצה: לצייר את $f'$ חיובית גם אחרי $x=1$ - מעבר למקסימום של $f$ הפונקציה יורדת, והנגזרת שלילית.

$h(x)=f(x)-2=\frac{4x}{e^x-x}$: $h(0)=0$, $h(1)=\frac{4}{e-1}$.

המשולש שמתחת למיתר מ-$(0,0)$ ל-$\left(1,\frac4{e-1}\right)$:

בתחום $0<x<1$ הנגזרת יורדת (מהמקסימום ב-0 ל-0 ב-1), ולכן $f$ קעורה שם והגרף מעל המיתר.

לכן הטענה אינה נכונה. (בדיקה מספרית: האינטגרל $\approx1.54$, ו-$\frac2{e-1}\approx1.16$.)

טעות נפוצה: לחשוב שהגרף מתחת למיתר כי הוא "מתעקם" לקראת המקסימום - בפונקציה קעורה כל מיתר נמצא מתחת לגרף.

$\ln x$ מוגדר עבור $x>0$.

המכנה מתאפס כאשר $2\ln x=-x$ - נקודת החיתוך של $f$ עם הישר $y=-x$, כלומר $x=a$ (יחידה, כי $2\ln x+x$ עולה).

תחום ההגדרה: $x>0$, $x\neq a$.

טעות נפוצה: לכתוב $x\neq1$ (איפה ש-$\ln x=0$) - המכנה הוא $2\ln x+x$, ובנקודה $x=1$ הוא שווה 1.

$g=0$ כאשר $2\ln x=x$ - חיתוך של $f$ עם הישר $y=x$.

לפי הסרטוט גרף $f(x)=2\ln x$ נמצא כולו מתחת לישר $y=x$, ולכן אין פתרון ואין חיתוך עם ציר ה-$x$.