מתכונת במתמטיקה 572 - מתכונת 7 ברמת בגרות

מציבים $y=2x$ במשוואת הפרבולה:

$x=0$ הוא ראשית הצירים (לא ברביע הראשון), ולכן $x=\frac p2$ ו-$y=2\cdot\frac p2=p$.

$A\left(\frac p2,p\right)$.

טעות נפוצה: לכתוב $(2x)^2=2x^2$. אז $2x^2=2px$, $x=p$, ומתקבלת $A(p,2p)$ - נקודה שאינה על הפרבולה ($4p^2\ne2p^2$).

משיק לפרבולה $y^2=2px$ בנקודה $(x_0,y_0)$: $yy_0=p(x+x_0)$. מציבים $A\left(\frac p2,p\right)$:

כלומר $\ell$: $x-y+\frac p2=0$.

המוקד: $F\left(\frac p2,0\right)$. הרדיוס הוא המרחק של F מהמשיק:

$R^2=\frac{p^2}{2}$, ולכן מעגל I:

טעות נפוצה: לקחת את המוקד ב-$(p,0)$. אז $R=\frac{3p}{2\sqrt2}$ ומתקבל $(x-p)^2+y^2=\frac98p^2$.

הרדיוס FB מאונך למשיק בנקודת ההשקה, ולכן B היא עקב האנך מ-F לישר $\ell$.

שיפוע $\ell$ הוא 1, ולכן שיפוע האנך $-1$. האנך דרך $F\left(\frac p2,0\right)$:

חיתוך עם $\ell$:

$y=\frac p2$, ולכן $B\left(0,\frac p2\right)$ נמצאת על ציר ה-$y$.

טעות נפוצה: לקחת את המוקד ב-$(p,0)$. האנך $y=-x+p$ פוגש את $\ell$ ב-$\left(\frac p4,\frac{3p}4\right)$, שאינה על ציר ה-$y$. המוקד של $y^2=2px$ הוא $\left(\frac p2,0\right)$.

$A\left(\frac p2,p\right)$ ו-$B\left(0,\frac p2\right)$:

טעות נפוצה: לחבר את הפרשי השיעורים במקום להשתמש בפיתגורס: $AB=\frac p2+\frac p2=p$, ולקבל $p=3\sqrt2\approx4.24$.

מציבים $p=6$: מעגל I הוא $(x-3)^2+y^2=18$, מרכזו $F(3,0)$ ורדיוסו $R=\sqrt{18}=3\sqrt2$.

הרדיוס $r=3\sqrt2-2$ קטן מ-$R$. השקה מבפנים: מרחק המרכזים שווה להפרש הרדיוסים:

כל המרכזים במרחק 2 מ-$F(3,0)$ - מעגל שמרכזו F ורדיוסו 2:

טעות נפוצה: להשתמש בסכום הרדיוסים: $d=6\sqrt2-2$, ולקבל $(x-3)^2+y^2=(6\sqrt2-2)^2=76-24\sqrt2\approx42.1$.

נסמן $|\underline{w}|=b$, ואז $|\underline{u}|=|\underline{v}|=2b$. הזוויות ב-O ישרות, ולכן כל המכפלות הסקלריות בין שני וקטורים שונים מבין $\underline{u},\underline{v},\underline{w}$ הן 0.

$\overrightarrow{OH}$ מאונך למישור ABC, ולכן ל-$\overrightarrow{AB}=\underline{v}-\underline{u}$ ול-$\overrightarrow{AC}=\underline{w}-\underline{u}$:

טעות נפוצה: לכתוב $k=\frac t4$ - האורך הקצר שייך ל-$\underline{w}$, ולכן המקדם שלו צריך להיות הגדול כדי לאזן: $k\cdot b^2=t\cdot4b^2$.

$\overrightarrow{OD}=\frac12\underline{u}+\frac12\underline{v}$. M מחלקת את CD ביחס $1:2$ מ-C, ולכן $\overrightarrow{CM}=\frac13\overrightarrow{CD}$:

המקדמים מקיימים $s=t=\frac16$ ו-$k=\frac23=4\cdot\frac16$. לפי החישוב של סעיף א, וקטור שמקדמיו מקיימים $s=t$, $k=4t$ מאונך ל-$\overrightarrow{AB}$ ול-$\overrightarrow{AC}$ (שתי המכפלות מתאפסות), ולכן לבסיס.

O קודקוד ו-M בבסיס, ולכן OM הוא הגובה לבסיס.

טעות נפוצה: לכתוב $\overrightarrow{CM}=\frac12\overrightarrow{CD}$ - יחס $1:2$ מחלק את הקטע לשלושה חלקים, ו-CM הוא שליש מ-CD.

בסיס משותף - יחס הנפחים הוא יחס הגבהים, ולכן $PM=3\cdot OM$.

P על הישר OM: $\overrightarrow{OP}=\mu\overrightarrow{OM}$, ו-M מתקבלת עבור $\mu=1$. אז $PM=|\mu-1|\cdot OM$:

טעות נפוצה: לכתוב $\overrightarrow{OP}=3\overrightarrow{OM}$ - אז $PM=2\cdot OM$ והנפח רק כפול. הגובה של PABC נמדד מ-P עד הבסיס.

$|\underline{u}|=|\underline{v}|=2a$ ו-$|\underline{w}|=a$:

הישר עובר ב-O:

טעות נפוצה: לקחת את $(1,1,1)$ ככיוון כמו בפירמידה שמקצועותיה שווים - כאן המקדם של $\underline{w}$ גדול פי 4, אבל $|\underline{w}|$ קטן פי 2, והרכיב השלישי כפול.

$\ell$ מאונך לבסיס, ולכן $(1,1,2)$ הוא נורמל למישור ABC: $x+y+2z+D=0$.

מציבים $A(2a,0,0)$: $2a+D=0$, $D=-2a$.

(בדיקה: $C(0,0,a)$: $2a-2a=0$.)

טעות נפוצה: להציב את C בלי לשים לב שהשיעור שלה $a$ ולא $2a$, ולקבל $D=-4a$ - הצבה של כל קודקוד צריכה לתת אותו D.

בסיס OAB - משולש ישר זווית ב-O עם ניצבים $2a$ ו-$2a$; הגובה OC באורך $a$:

טעות נפוצה: לקחת את כל שלושת המקצועות באורך $a$ ($V=\frac{a^3}{6}$) - כאן $|\underline{u}|=|\underline{v}|=2a$.

חלקים ממשיים שווים: $(a^2-2a+1)\sqrt3=(3a-5)\sqrt3$, כלומר $a^2-5a+6=0$: $a=2$ או $a=3$.

חלקים מדומים נגדיים: $a^2-3=-(1-a)=a-1$, כלומר $a^2-a-2=0$: $a=2$ או $a=-1$.

המשותף: $a=2$. אז $z_1=\sqrt3+i$, $z_2=\sqrt3-i$.

טעות נפוצה: לפתור רק את משוואת החלקים הממשיים ולענות $a=2$ או $a=3$ - עבור $a=3$: $z_1=4\sqrt3+6i$, $z_2=4\sqrt3-2i$, לא צמודים.

$|z_1|=\sqrt{3+1}=2$, ו-$\tan\theta=\frac{1}{\sqrt3}$ ברביע הראשון: $\theta=30^\circ$. לכן $\frac{z_1}{2}=\operatorname{cis}30^\circ$.

$\sin(180^\circ n)=0$, ולכן $w_1$ ממשי.

טעות נפוצה: לחשב את הארגומנט מ-$\tan\theta=\frac{\sqrt3}{1}$ (הפוך), לקבל $60^\circ$ ומכאן $w_1=\operatorname{cis}(360^\circ n)=1$ לכל $n$ - אבל עבור $n$ אי-זוגי $w_1=-1$.

$\frac{z_2}{2}=\operatorname{cis}(-30^\circ)$.

$\cos(180^\circ n+90^\circ)=0$, ולכן החלק הממשי 0, והחלק המדומה $\pm1$: $w_2$ מדומה טהור ($i$ עבור $n$ אי-זוגי, $-i$ עבור $n$ זוגי).

טעות נפוצה: להשתמש בארגומנט $-60^\circ$, לקבל $\operatorname{cis}(-360^\circ n-180^\circ)=-1$ ולהסיק ש-$w_2$ ממשי.

המעגל: מרכז $p$ על הציר הממשי, רדיוס $m$.

$w_1\in\{-1,1\}$ ו-$w_2\in\{i,-i\}$ (לפי $n$ אי-זוגי/זוגי).

מרכז על הציר הממשי ששווה מרחק מ-$1$ ומ-$-1$: $p=0$, ואז $m=1$. גם $|\pm i|=1$.

$p=0$, $m=1$.

טעות נפוצה: לקחת את הרדיוס $|z_1|=2$ (המודול של $z_1$ לפני החלוקה ב-2) ולענות $p=0$, $m=2$.

גוזרים את $g$ לפי נגזרת מנה:

$f(x)=g'(x)$ לכל $x$ כאשר המונים שווים: $a-x^2=9-x^2$, כלומר $a=9$.

טעות נפוצה: לפתוח $-(x^2+2x-7)$ כ-$-x^2-2x-7$ (לשכוח להפוך את סימן ה-7) - מתקבל מונה $-x^2-5$, ו-$a=-5$.

$f(x)=\frac{9-x^2}{e^x}$.

חיתוך עם ציר $y$: $f(0)=\frac91=9$, הנקודה $(0,9)$.

חיתוך עם ציר $x$: $e^x>0$ לכל $x$, ולכן השבר מתאפס רק כשהמונה מתאפס: $9-x^2=0$, $x=\pm3$.

הנקודות $(-3,0)$ ו-$(3,0)$.

טעות נפוצה: לכתוב רק $x=3$ - ל-$x^2=9$ שני פתרונות, ולכן יש גם נקודת חיתוך $(-3,0)$.

חיתוך עם ציר $y$: $g(0)=\frac{-7}{1}=-7$, הנקודה $(0,-7)$.

חיתוך עם ציר $x$: $x^2+2x-7=0$:

הנקודות $(-1-2\sqrt2,0)\approx(-3.83,0)$ ו-$(-1+2\sqrt2,0)\approx(1.83,0)$.

טעות נפוצה: לחשב את הדיסקרימיננטה כ-$4-28<0$ ולהסיק שאין חיתוך עם ציר ה-$x$ - $b^2-4ac=4-4\cdot1\cdot(-7)=32$.

הפונקציה $g$: לפי סעיף א, $g'(x)=f(x)$. נקודות החשודות לקיצון של $g$ הן האפסים של $f$: $x=-3$, $x=3$.

סימן $g'=f$ נקבע לפי $9-x^2$: שלילי עבור $x<-3$, חיובי עבור $-3<x<3$, שלילי עבור $x>3$.

לכן ב-$x=-3$ מינימום: $g(-3)=\frac{9-6-7}{e^{-3}}=-4e^3\approx-80.3$; ב-$x=3$ מקסימום: $g(3)=\frac{8}{e^3}\approx0.398$.

הפונקציה $f$:

$x^2-2x-9=0$: $x=1\pm\sqrt{10}$. המונה פרבולה "מחייכת": חיובי מחוץ לשורשים ושלילי ביניהם.

ב-$x=1-\sqrt{10}\approx-2.16$: $f'$ עובר מחיובי לשלילי - מקסימום. $9-x^2=9-(11-2\sqrt{10})=2\sqrt{10}-2$:

ב-$x=1+\sqrt{10}\approx4.16$: $f'$ עובר משלילי לחיובי - מינימום. $9-x^2=9-(11+2\sqrt{10})=-2-2\sqrt{10}$:

טעות נפוצה: לקבוע את סוג הקיצון של $g$ לפי סימן $f'$ ולא לפי סימן $f$ - מתקבל "מקסימום ב-$x=-3$ ומינימום ב-$x=3$", ההפך; סוג הקיצון של $g$ נקבע לפי סימן $g'=f$.

התנהגות באינסוף: כאשר $x\to\infty$ המכנה $e^x$ גדל מהר יותר מכל פולינום, ולכן $f\to0$ ו-$g\to0$ - ציר ה-$x$ אסימפטוטה אופקית מימין.

כאשר $x\to-\infty$: $\frac{1}{e^x}=e^{-x}\to\infty$, ולכן $g\to\infty$ (המונה $x^2+2x-7$ חיובי) ו-$f\to-\infty$ (המונה $9-x^2$ שלילי).

$g$: יורדת מ-$\infty$, חוצה את ציר ה-$x$ ב-$-1-2\sqrt2\approx-3.83$, ממשיכה לרדת עד המינימום $(-3,-4e^3)$, עולה דרך $(0,-7)$, חוצה את הציר ב-$-1+2\sqrt2\approx1.83$, מגיעה למקסימום $(3,\frac8{e^3})$ ויורדת ל-0 מלמעלה.

$f$: עולה מ-$-\infty$ דרך $(-3,0)$ עד המקסימום $(1-\sqrt{10},37.58)$, יורדת דרך $(0,9)$ ו-$(3,0)$ עד המינימום $(1+\sqrt{10},-0.130)$, ושואפת ל-0 מלמטה.

בדיקת התאמה: $g$ עולה בדיוק בקטע $-3<x<3$ שבו $f>0$, ונקודות הקיצון של $g$ הן האפסים של $f$.

טעות נפוצה: לשרטט את $g$ מתחת לציר ה-$x$ גם משמאל ל-$x=-3$ (כי שם המינימום) - $g$ חוצה את הציר ב-$-1-2\sqrt2\approx-3.83$ ושואפת ל-$\infty$, ולכן משמאל לנקודה הזאת היא חיובית.

$f$ חותכת את ציר ה-$x$ ב-$x=-3$ וב-$x=3$, וביניהם $f\ge0$. השטח הסגור הוא בין שתי הנקודות האלה.

לפי סעיף א, $g$ היא פונקציה קדומה של $f$:

טעות נפוצה: לחשב $g(-3)=\frac{-4}{e^3}$ (לכתוב $e^{-3}$ במכנה במקום $e^{-(-3)}=e^3$ במונה) - מתקבל $\frac{12}{e^3}\approx0.60$; $\frac{-4}{e^{-3}}=-4e^3$.