מתכונת במתמטיקה 572 - מתכונת 14 בדרך לבגרות

גזירה סתומה: $2y\cdot y'=16$, ולכן $y'=\frac8y$.

בנקודה $A$ השיפוע הוא 1:

$8^2=16x_0$, ולכן $x_0=4$. $A(4,8)$.

טעות נפוצה: לגזור $y^2=16x$ כאילו $y'=16$ (לשכוח את הגזירה של אגף שמאל) - השיפוע תלוי בנקודה.

המשיק לפרבולה בנקודה $A$ משיק גם למעגל בנקודה $A$, ו-$MA$ הוא רדיוס לנקודת ההשקה. משיק למעגל ניצב לרדיוס בנקודת ההשקה, ולכן $AM$ מאונך למשיק.

שיפוע המשיק 1, ולכן שיפוע $AM$ הוא $-1$:

טעות נפוצה: לבחור לישר $AM$ את השיפוע 1 (של המשיק) - המרכז נמצא על הניצב, לא על המשיק.

$M$ היא נקודת החיתוך של הישר $AM$ עם ציר ה-$x$: מציבים $y=0$ ב-$y=-x+12$, ומקבלים $M(12,0)$.

הרדיוס הוא המרחק $MA$:

טעות נפוצה: לקחת את הרדיוס כמרחק של $M$ מהראשית (12) - המעגל עובר דרך $A$, ולכן הרדיוס הוא $MA=\sqrt{128}$.

$MB$ רדיוס ו-$BP$ על המשיק בנקודה $B$, ולכן $MB\perp BP$ והמשולש $MBP$ ישר-זווית ב-$B$:

התוצאה לא תלויה במיקום של $B$. כל הנקודות $P$ במרחק 12 מ-$M$, ולכן המקום הגאומטרי הוא מעגל שמרכזו $M(12,0)$ ורדיוסו 12:

טעות נפוצה: להציב $MB=128$ (במקום $MB^2=128$) בפיתגורס, ולקבל $MP^2=128^2+16$.

המקום הגאומטרי הוא מעגל שרדיוסו 12, והקוטר שלו 24.

מיתר במעגל יכול להיות בכל אורך מ-0 ועד הקוטר: נקודה אחת קבועה, והשנייה נעה על המעגל - המרחק ביניהן משתנה ברציפות מ-0 עד 24.

$20<24$, ולכן יש שתי נקודות על המעגל שהמרחק ביניהן 20.

טעות נפוצה: לענות "לא" כי 20 גדול מהרדיוס (12) - המרחק בין שתי נקודות על המעגל מוגבל בקוטר, לא ברדיוס.

מ-$B$ חוזרים ל-$A$, הולכים ל-$D$ ועולים ל-$D'$:

$DE:ED'=1:2$, כלומר $DE$ הוא שליש מהמקצוע $DD'$, ו-$\overrightarrow{DD'}=\underline w$: $\overrightarrow{DE}=\frac13\underline w$.

טעות נפוצה: לכתוב $\overrightarrow{DE}=\frac12\underline w$ (היחס $1:2$ כשבר) - המקצוע מחולק ל-3 חלקים שווים, ו-$DE$ הוא אחד מהם.

מ-$F$ חוזרים ל-$B$: $\overrightarrow{FB}=-t\cdot\overrightarrow{BD'}=t\underline u-t\underline v-t\underline w$.

משם הולכים ל-$A$, ל-$D$ ול-$E$:

טעות נפוצה: לכתוב $\overrightarrow{FB}=t\cdot\overrightarrow{BD'}$ - זה הווקטור מ-$B$ ל-$F$; מ-$F$ ל-$B$ הכיוון הפוך, ולכן סימן מינוס.

$\underline u$ ו-$\underline v$ נמצאים במישור הבסיס, ו-$\underline w$ מאונך לו. וקטור מקביל לבסיס הוא צירוף של $\underline u$ ו-$\underline v$ בלבד, וההצגה באמצעות $\underline u$, $\underline v$, $\underline w$ יחידה - לכן המקדם של $\underline w$ הוא 0:

טעות נפוצה: לאפס את המקדם של $\underline u$ ($t-1=0$) ולקבל $t=1$ - אז $F=D'$, ו-$FE$ הוא חלק מהמקצוע האנכי $DD'$, ולא מקביל לבסיס.

$CB$ שווה ל-$AD=6$ ונמצאת על ציר $x$: $B(6,0,0)$. $CD$ שווה ל-$AB=12$ ונמצאת על ציר $y$: $D(0,12,0)$.

$D'$ מעל $D$ בגובה 9: $D'(0,12,9)$. $E$ בשליש הגובה: $E(0,12,3)$.

טעות נפוצה: לשים את $B$ ב-$(12,0,0)$ כי $AB=12$ - על ציר $x$ נמצאת הצלע $CB$, ששווה ל-$AD$.

הצבה: $B$: $12+0=12$; $D$: $0+12=12$; $E$: $0+12=12$. שלוש הנקודות מקיימות את המשוואה (והן לא על ישר אחד), ולכן זה המישור.

וקטור נורמל למישור: $\underline n=(2,1,0)$. הישר דרך $F$: $\underline x=(4,4,3)+s(2,1,0)$.

הפאה $CDD'C'$ עוברת דרך $C(0,0,0)$, $D(0,12,0)$, $C'(0,0,9)$ - זה המישור $x=0$:

טעות נפוצה: להחליף את סדר רכיבי הנורמל ולקחת כיוון $(1,2,0)$ - אז $4+s=0$, $s=-4$, ומתקבלת הנקודה $(0,-4,3)$, שאינה על הפאה כלל ($y<0$); וקטור הנורמל של $2x+y=12$ הוא $(2,1,0)$, לפי סדר המקדמים.

$-729$ על החלק השלילי של הציר הממשי: $-729=729\,cis180^\circ$.

$k=0,\dots,5$: $3cis30^\circ$, $3cis90^\circ$, $3cis150^\circ$, $3cis210^\circ$, $3cis270^\circ$, $3cis330^\circ$.

טעות נפוצה: לחלק את $180^\circ$ ב-6 ולהוסיף $360^\circ$ (במקום $60^\circ$) בין פתרון לפתרון - כך מתקבל פתרון אחד בלבד. הצעד הוא $\frac{360^\circ}6=60^\circ$.

מדומה טהור: ארגומנט $90^\circ$ או $270^\circ$. מבין הפתרונות: $3cis90^\circ=3i$ ו-$3cis270^\circ=-3i$.

$(3i)^2=9i^2=-9$, $(-3i)^2=-9$ - ואלה שני הפתרונות של $z^2=-9$.

טעות נפוצה: לחשב $(3i)^2=9$ ולשכוח ש-$i^2=-1$.

הקודקודים: $3cis30^\circ$, $3cis150^\circ$, $3cis210^\circ$, $3cis330^\circ$, כולם על מעגל ברדיוס 3.

בין $150^\circ$ ל-$210^\circ$ זווית מרכזית $60^\circ$: משולש שווה צלעות, צלע 3.

בין $30^\circ$ ל-$150^\circ$ זווית מרכזית $120^\circ$: $d^2=9+9-18\cos120^\circ=27$, $d=3\sqrt3$.

טעות נפוצה: לקחת את המיתר של $120^\circ$ כ-$3\sqrt2$ (כאילו הזווית $90^\circ$). $\cos120^\circ=-\frac12$, ולכן $d^2=27$.

בכפל מכפילים מודולים ומחברים ארגומנטים:

טעות נפוצה: לחבר את המודולים ($3\cdot4=12$) במקום להכפיל אותם. המודול של המכפלה הוא $3^4=81$.

כל אחד מארבעת הקודקודים מוכפל ב-$cis45^\circ$, ולכן המכפלה מוכפלת ב-$(cis45^\circ)^4=cis180^\circ=-1$.

טעות נפוצה: להכפיל את המכפלה ב-$cis45^\circ$ פעם אחת ולקבל $81cis45^\circ$. כל ארבעת הגורמים מסתובבים.

תחום: $e^x\neq1$, כלומר $x\neq0$.

אנכית: ב-$x=0$ המונה $1-3=-2\neq0$ - אסימפטוטה $x=0$.

$x\to\infty$: המכנה מסדר $e^{2x}$, ולכן $f\to0$: $y=0$.

$x\to-\infty$: $f\to\frac{0-3}{(0-1)^2}=-3$: $y=-3$.

חיתוך עם ציר $x$: $e^x=3$, $x=\ln3$. חיתוך עם ציר $y$: אין, כי $x=0$ אינו בתחום.

טעות נפוצה: להציב $x=0$ ולחשב "$f(0)$" כדי למצוא חיתוך עם ציר $y$. $x=0$ מחוץ לתחום - שם יש אסימפטוטה.

כלל המנה, עם $\left[(e^x-1)^2\right]'=2(e^x-1)e^x$:

מוציאים $e^x(e^x-1)$ ומצמצמים:

$f'=0$: $e^x=5$, $x=\ln5$. סביב $\ln5$ המכנה חיובי ($e^x>1$), והסימן לפי $5-e^x$: חיובי ואחר כך שלילי - מקסימום.

טעות נפוצה: לפתוח את $(e^x-1)-2(e^x-3)$ כ-$e^x-1-2e^x-6$. המינוס מוכפל גם ב-$-3$: $-2\cdot(-3)=+6$, ולכן $5-e^x$.

$g$ מוגדרת היכן ש-$f$ מוגדרת ושונה מאפס: $x\neq0$ וגם $x\neq\ln3$.

$g(x)=\frac{(e^x-1)^2}{e^x-3}$.

$x=\ln3$: אפס של $f$, ולכן $g\to\pm\infty$ - אסימפטוטה אנכית.

$x=0$: $f\to-\infty$, ולכן $g\to0$ - אין אסימפטוטה (חור).

$x\to-\infty$: $g\to\frac1{-3}=-\frac13$. $x\to\infty$: $g\to\infty$.

טעות נפוצה: לכתוב ל-$g$ אסימפטוטה $y=0$ כמו ל-$f$. היכן ש-$f\to0$, $\frac1f\to\infty$ - אין אסימפטוטה אופקית ב-$+\infty$.

בנקודת חיתוך $f(x)=\frac1{f(x)}$. כופלים ב-$f(x)\neq0$: $f(x)^2=1$, כלומר $f(x)=\pm1$.

נסמן $t=e^x$, $t>0$, $t\neq1$.

$f=1$: $t-3=(t-1)^2\ \Rightarrow\ t^2-3t+4=0$, $\Delta=9-16<0$ - אין פתרון.

$f=-1$: $t-3=-(t-1)^2\ \Rightarrow\ t^2-t-2=0\ \Rightarrow\ t=2$ או $t=-1$. $t=e^x>0$, ולכן $t=2$, $x=\ln2$.

נקודת החיתוך: $(\ln2,-1)$.

טעות נפוצה: לקבל גם את $t=-1$ ולכתוב $x=\ln(-1)$. $e^x$ תמיד חיובי, ולכן הפתרון השלילי נפסל.

$\ln x$ מוגדר עבור $x>0$, והוא במכנה, ולכן $\ln x\ne0$: $x\ne1$.

טעות נפוצה: לדרוש $x\ne0$ בלבד (בגלל $\frac1x$) ולשכוח את התנאי של הלוגריתם, $x>0$.

$(4\ln x)'=\frac4x$.

$\left(-(\ln x)^{-1}\right)'=(\ln x)^{-2}\cdot\frac1x=\frac{1}{x(\ln x)^2}$ (כלל השרשרת).

טעות נפוצה: לגזור את $-\frac1{\ln x}$ ל-$\frac1{(\ln x)^2}$ ולשכוח את הנגזרת הפנימית $\frac1x$.

$x\to0^+$: $4\ln x\to-\infty$ ו-$\frac1{\ln x}\to0$: $g\to-\infty$.

$x\to1$: $\frac1{\ln x}\to\pm\infty$, ולכן $g\to\pm\infty$.

$x\to\infty$: $g\to\infty$, אין אסימפטוטה אופקית.

טעות נפוצה: לכתוב $y=0$ כאסימפטוטה אופקית. $4\ln x$ גדל ללא חסם.

$t=\ln x$: $4t-\frac1t=0$, $4t^2=1$, $t=\pm\frac12$.

$x=e^{\frac12}=\sqrt e$ או $x=e^{-\frac12}=\frac1{\sqrt e}$.

טעות נפוצה: לפתור $4t^2=1$ כ-$t=\pm2$ (להפוך את השבר). $t^2=\frac14$.

$g'=f=\frac1x\left(4+\frac1{(\ln x)^2}\right)>0$ לכל $x$ בתחום.

עולה בתחום $0<x<1$ ובתחום $x>1$.

טעות נפוצה: לכתוב "עולה לכל $x>0$". $x=1$ אינו בתחום, ומעבר לו הפונקציה קופצת מ-$+\infty$ ל-$-\infty$.

משלבים: אסימפטוטות $x=0$ ו-$x=1$, חיתוכים ב-$\frac1{\sqrt e}\approx0.61$ וב-$\sqrt e\approx1.65$, עולה בכל תחום.

ענף שמאלי מלמטה ליד ציר ה-$y$ עד $+\infty$ ליד $x=1$; ענף ימני מ-$-\infty$ ליד $x=1$ ועולה לאט.

טעות נפוצה: לצייר את הענף השמאלי יוצא מהראשית. כש-$x\to0^+$, $g\to-\infty$, והגרף צמוד לציר ה-$y$ למטה.