מתכונת במתמטיקה 572 - מתכונת 15 בדרך לבגרות

שיפוע $AB$: $m=\frac{5-0}{0-10}=-\frac12$, ונקודת החיתוך עם ציר ה-$y$ היא $5$:

מרחק הראשית מהישר:

טעות נפוצה: בנוסחת המרחק לחלק ב-$1^2+2^2=5$ בלי שורש, ולקבל מרחק $\frac{10}5=2$. במכנה יש $\sqrt{A^2+B^2}=\sqrt5$.

המעגל משיק לכל הצלעות, ולכן הרדיוס הוא המרחק מהמרכז (הראשית) לצלע, שמצאנו בסעיף א: $r=2\sqrt5$.

טעות נפוצה: לבחור רדיוס 5 (חצי האלכסון הקצר). המעגל ברדיוס 5 עובר דרך $B$ ו-$D$ ויוצא מהמעוין.

האנך מהראשית ל-$AB$: שיפוע $AB$ הוא $-\frac12$, ולכן שיפוע האנך הוא $2$, והאנך עובר בראשית: $y=2x$.

בדיקה: $4+16=20$ - $M$ על המעגל.

טעות נפוצה: לקחת את אמצע הקטע $AB$, $(5,2.5)$, כנקודת ההשקה. במעוין שאינו ריבוע נקודת ההשקה אינה אמצע הצלע.

$K$ נמצאת מתחת ל-$M(2,4)$ על ציר ה-$x$: $K(2,0)$, כלומר $a=2$, והישר הוא $x=-2$.

$G$ על האנך האמצעי של $EK$, ולכן $GK=GE$.

$GE$ מונח על ישר אופקי ו-$E$ על הישר $x=-2$, ולכן $GE$ הוא המרחק של $G$ מהישר $x=-2$.

לכן $G$ במרחק שווה מ-$K$ ומהישר $x=-2$. עבור $G(x,y)$:

זו פרבולה שמוקדה $K(2,0)$ ומדריכה $x=-2$.

טעות נפוצה: בפתיחת הריבועים לרשום $(x+2)^2=x^2+4$ ולקבל $y^2=4x$. האיבר האמצעי $4x$ חייב להופיע בשני האגפים.

$y^2=8\cdot10=80$, ברביע הראשון $y=\sqrt{80}=4\sqrt5$: $N(10,4\sqrt5)$.

בהשקה מבחוץ מרחק המרכזים שווה לסכום הרדיוסים: $R+2\sqrt5=6\sqrt5$, ולכן $R=4\sqrt5$, $R^2=80$.

טעות נפוצה: להשתמש בהפרש הרדיוסים, $R-r=ON$, ולקבל $R=8\sqrt5$. זו השקה מבפנים, שבה המעגל החסום נמצא בתוך המעגל החדש.

$\overrightarrow{CA'}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AA'}=-\underline v-\underline u+\underline w$

$\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}=-\underline v+\underline u$

$\overrightarrow{DC'}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CC'}=\underline u+\underline w$

טעות נפוצה: לכתוב $\overrightarrow{CB}=\underline v$ - הכיוון מ-C ל-B הפוך ל-$\overrightarrow{AD}$, ולכן $-\underline v$.

בקובייה: $\underline u\cdot\underline v=\underline u\cdot\underline w=\underline v\cdot\underline w=0$ ו-$\underline u^2=\underline v^2=\underline w^2$.

$DB$ ו-$DC'$ שני ישרים נחתכים במישור $BC'D$, ו-$CA'$ מאונך לשניהם - לכן הוא מאונך למישור.

טעות נפוצה: לשכוח את הסימן של $-\underline v$ ב-$\overrightarrow{DB}$ ולקבל $-\underline u^2-\underline v^2\ne0$.

$\overrightarrow{CB}=-\underline v$, $\overrightarrow{CC'}=\underline w$, $\overrightarrow{CD}=-\underline u$:

הווקטורים פרופורציוניים ויוצאים מאותה נקודה C, ולכן C, E ו-$A'$ על ישר אחד.

טעות נפוצה: לכתוב $\overrightarrow{CD}=\underline u$ - $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}=\underline u$, והכיוון מ-C ל-D הפוך.

$B=A+\overrightarrow{DC}=(4,0,0)+(0,4,0)=(4,4,0)$.

אורך המקצוע 4, והמקצוע $CC'$ מאונך לבסיס (מישור $z=0$) עם $z$ חיובי: $C'=(0,4,0)+(0,0,4)=(0,4,4)$.

טעות נפוצה: לכתוב $B(4,0,4)$ - B נמצאת בבסיס, ולכן $z=0$.

B ו-$C'$ הן קודקודים של המשולש $BC'D$ וגם של הפאה $BCC'B'$, ולכן הן בשני המישורים - כלומר על ישר החיתוך.

$\overrightarrow{BC'}=(0,4,4)-(4,4,0)=(-4,0,4)$:

טעות נפוצה: לקחת את $\overrightarrow{BC}=(-4,0,0)$ ככיוון - C אינה במישור $BC'D$, ולכן $BC$ אינו ישר החיתוך.

מישור שאינו חותך את ציר ה-$y$ מקביל לו, ולכן $(0,1,0)$ וקטור כיוון שני:

בדיקה: על ציר ה-$y$ צריך $x=4-4t=0$ ו-$z=4t=0$ - סתירה, ולכן הציר אינו מוכל במישור.

טעות נפוצה: לבחור וקטור כיוון שני $(1,0,0)$ - המישור שמתקבל ($y=4$) מקביל לציר ה-$x$, לא לציר ה-$y$.

החלק הממשי $x^2-y^2$ והחלק המדומה $2xy$.

טעות נפוצה: לכתוב $(iy)^2=y^2$ - מאחר ש-$i^2=-1$, $(iy)^2=-y^2$.

לפי א(1): $z^2+5=(x^2-y^2+5)+2xyi$ ו-$z^2-1=(x^2-y^2-1)+2xyi$.

נסמן $u=x^2-y^2$: $(u+5)^2=(u-1)^2$. המקרה $u+5=u-1$ בלתי אפשרי, ולכן $u+5=-(u-1)$, כלומר $2u=-4$, $u=-2$:

טעות נפוצה: לפתור $u+5=u-1$ ולהסיק שאין מקום גאומטרי - ריבועים שווים גם כשהבסיסים נגדיים.

$16=16\,\text{cis}0^\circ$. עבור $z=r\,\text{cis}\theta$: $r^4=16$, ולכן $r=2$; $4\theta=360^\circ k$, $\theta=90^\circ k$.

הפתרונות: $2\text{cis}0^\circ=2$, $2\text{cis}90^\circ=2i$, $2\text{cis}180^\circ=-2$, $2\text{cis}270^\circ=-2i$.

טעות נפוצה: לעצור ב-$z=\pm2$ - יש גם שני פתרונות מדומים, $\pm2i$.

משוואת המעגל: $x^2+y^2=4$. יחד עם $y^2-x^2=2$:

חיבור: $2y^2=6$, $y^2=3$. חיסור: $2x^2=2$, $x^2=1$.

ברביע הראשון: $A(1,\sqrt3)$.

טעות נפוצה: לכתוב את המעגל כ-$x^2+y^2=2$ (הרדיוס במקום ריבועו) - אז $y^2=2$, $x^2=0$, ומתקבלת הנקודה $(0,\sqrt2)$ שאינה ברביע הראשון; בצד ימין של משוואת המעגל נמצא ריבוע הרדיוס, 4.

$|A|=\sqrt{1^2+(\sqrt3)^2}=2$.

$\tan\theta=\frac{\sqrt3}1=\sqrt3$ והנקודה ברביע הראשון, ולכן $\theta=60^\circ$.

טעות נפוצה: לחשב $\tan\theta=\frac1{\sqrt3}$ ($x$ חלקי $y$) ולקבל $2\text{cis}30^\circ$ - הטנגנס הוא $\frac yx$.

בריבוע החסום במעגל, הזווית המרכזית בין קודקודים סמוכים $\frac{360^\circ}4=90^\circ$:

טעות נפוצה: להוסיף $60^\circ$ בכל פעם ($2\text{cis}60^\circ$, $2\text{cis}120^\circ$, $2\text{cis}180^\circ$, ...) - זה מתאים למשושה, ונותן שש נקודות שאינן ריבוע.

כפל ב-$w$ מותח את המרחק מהראשית פי $r$. שני הריבועים חסומים באותו מעגל (רדיוס 2), ולכן המרחק לא משתנה: $r=1$.

הכפל מסובב בזווית $\alpha$. הקודקוד $2\text{cis}0^\circ$ עובר ל-$2\text{cis}\alpha$, שצריך להיות קודקוד של II: $\alpha=60^\circ$ (היחיד בתחום $0<\alpha<90^\circ$).

טעות נפוצה: להעביר את הקודקוד $2\text{cis}90^\circ$ של I לקודקוד הקרוב אליו, $2\text{cis}60^\circ$, ולקבל $w=\text{cis}(-30^\circ)$ - גם הוא מעביר ריבוע על ריבוע, אבל הזווית אינה בתחום $0<\alpha<90^\circ$.

$x>0$, ולכן $f(x)=0\iff2-\ln x=0\iff x=e^2$. הנקודה $(e^2,0)$.

טעות נפוצה: לכתוב $x=2e$ - הפתרון של $\ln x=2$ הוא $x=e^2$.

כלל המכפלה:

$f'(x)=0\iff\ln x=1\iff x=e$. לפני $e$: $f'>0$; אחרי: $f'<0$. מקסימום.

$f(e)=e(2-1)=e$. הנקודה $(e,e)$.

טעות נפוצה: לכתוב $f'(x)=-\frac1x$ (לגזור רק את הסוגריים) - $x$ הוא גורם במכפלה וגם הוא נגזר.

$x\to0^+$: $f(x)=2x-x\ln x\to0$. $x\to\infty$: $f\to-\infty$.

עולה עד $(e,e)\approx(2.72,2.72)$, יורדת, חותכת את ציר ה-$x$ ב-$e^2\approx7.39$ וממשיכה לרדת.

טעות נפוצה: לסמן את הראשית כנקודה על הגרף - $x=0$ לא בתחום, הגרף רק מתקרב אליה.

$g$ מוגדרת היכן ש-$f$ מוגדרת ושונה מ-0: $x>0$, $x\ne e^2$.

טעות נפוצה: להוציא מהתחום את $x=e$ - שם $f=e$, ו-$g$ מוגדרת.

$f\to0$ ב-$x=e^2$ וכאשר $x\to0^+$, ולכן $x=e^2$ ו-$x=0$ אסימפטוטות אנכיות.

$x\to\infty$: $f\to-\infty$, ולכן $g\to0$: $y=0$.

טעות נפוצה: לכתוב אסימפטוטה $y=e$ (הערך המקסימלי של $f$) - אסימפטוטה אופקית של $g$ נקבעת לפי $f$ באינסוף.

$g'=0$ רק היכן ש-$f'=0$, כלומר ב-$x=e$. סימן $g'$ הפוך לסימן $f'$: לפני $e$ שלילי, אחרי חיובי - מינימום.

$g(e)=\frac1{f(e)}=\frac1e$.

טעות נפוצה: לקבוע שזה מקסימום כמו ב-$f$ - ההופכי של מספר חיובי שמגיע למקסימום מגיע למינימום.

כלל השרשרת: $(\ln h)'=\frac{h'}h$, עם $h=2-\ln x$ ו-$h'=-\frac1x$:

טעות נפוצה: לכתוב $\frac1{2-\ln x}$ בלבד, בלי הנגזרת הפנימית $-\frac1x$.

בקטע $1\le x\le e^{1.5}$, $g>0$. לפי ה(1), קדומה של $g(x)=\frac1{x(2-\ln x)}$ היא $-\ln(2-\ln x)$:

טעות נפוצה: להשתמש בקדומה $\ln(2-\ln x)$ בלי המינוס - מתקבל שטח שלילי $-\ln4$.

כלל המכפלה:

הנגזרת אי-שלילית ומתאפסת רק כאשר $\ln x=-2$, כלומר $x=e^{-2}$. היא לא מחליפה סימן, ולכן $f$ עולה בכל התחום.

טעות נפוצה: לכתוב את הנגזרת של $2\ln x$ כ-$2$ (במקום $\frac2x$). אז הכפל ב-$x$ נותן $2x$, והביטוי לא מתקבץ לריבוע.

$f''=0$ כאשר $\ln x=-2$, $x=e^{-2}$; הסימן מתחלף משלילי לחיובי - נקודת פיתול.

טעות נפוצה: לחשב $(\ln e^{-2})^2=-4$. ריבוע של $-2$ הוא $4$.

$x>0$, ולכן מספיק להראות שהסוגריים חיוביים:

מכפלה של שני גורמים חיוביים חיובית.

טעות נפוצה: לחשב את הדיסקרימיננטה של $t^2+2t+2$ ($t=\ln x$) כ-$4+8=12$ (טעות סימן), לקבל שורשים $t=-1\pm\sqrt3$ ולהסיק שהטענה לא נכונה - ש-$f<0$ בין $e^{-1-\sqrt3}$ ל-$e^{-1+\sqrt3}$. הנכון: $\Delta=4-8=-4<0$.