מתכונת במתמטיקה 572 - מתכונת 3 בדרך לבגרות

זווית היקפית בת $90^\circ$ נשענת על קוטר. לכן $P$, שממנה רואים את $AB$ בזווית ישרה, נמצאת על המעגל שקוטרו $AB$.

המרכז הוא אמצע $AB$: $\left(\frac{-8+17}{2},0\right)=(4.5,0)$.

הקוטר $AB=17-(-8)=25$, ולכן הרדיוס $12.5$ ו-$12.5^2=156.25$.

טעות נפוצה: לכתוב את הרדיוס עצמו באגף ימין ($=12.5$) במקום את ריבועו.

הבסיס $AB=25$ קבוע. הגובה לבסיס הוא המרחק של $P$ מציר ה-$x$, כלומר $|y_P|$.

הערך הגדול ביותר של $|y|$ על המעגל הוא הרדיוס $12.5$ (בנקודות $(4.5,\pm12.5)$).

טעות נפוצה: לקחת כגובה את הקוטר $25$ ולקבל $312.5$ - הנקודה הגבוהה ביותר על המעגל נמצאת במרחק רדיוס אחד מציר ה-$x$.

לפרבולה הקנונית $y^2=2px$ המוקד הוא $\left(\frac p2,0\right)$.

המוקד הוא $(4.5,0)$, ולכן $\frac p2=4.5$, $p=9$:

טעות נפוצה: להשוות $p=4.5$ ולכתוב $y^2=9x$ - שיעור המוקד הוא $\frac p2$, לא $p$.

מציבים $y^2=18x$ במשוואת המעגל:

בפרבולה $x\ge0$, ולכן $x=8$, $y^2=144$, וברביע הראשון $y=12$.

טעות נפוצה: לפתוח את $(x-4.5)^2$ כ-$x^2+20.25$ בלי האיבר האמצעי $-9x$.

משיק לפרבולה $y^2=2px$ בנקודה $(x_0,y_0)$ שעליה: $y_0y=p(x+x_0)$.

עם $p=9$ ו-$C(8,12)$:

טעות נפוצה: לכתוב $y_0y=2p(x+x_0)$ (כמו המקדם במשוואת הפרבולה) ולקבל שיפוע כפול.

ישר המקביל ל-$\ell$ הוא מהצורה $3x-4y+k=0$.

הוא משיק למעגל כשמרחקו מהמרכז $(4.5,0)$ שווה לרדיוס $12.5$:

$k=49$ או $k=-76$.

טעות נפוצה: לשכוח לחלק ב-$\sqrt{3^2+4^2}=5$ בנוסחת המרחק ולקבל $|13.5+k|=12.5$.

לישרים מקבילים $3x-4y+k_1=0$ ו-$3x-4y+k_2=0$ המרחק הוא $\frac{|k_1-k_2|}{\sqrt{3^2+4^2}}$.

טעות נפוצה: לחסר בלי לשים לב לסימן ($|24-76|$ במקום $|24+76|$) ולקבל $10.4$.

$\vec{D'A}=\vec{D'D}+\overrightarrow{DA}=-\underline w+\underline u$, ובאותו אופן $\vec{D'C}=\underline v-\underline w$.

טעות נפוצה: לכתוב $\vec{D'A}=\underline w-\underline u$ ו-$\vec{D'C}=\underline w-\underline v$ (נקודת ההתחלה פחות נקודת הסיום) ולקבל $\overrightarrow{DF}=-\frac13\underline u-\frac13\underline v+\frac53\underline w$.

בבסיס ריבוע: $\underline u^2=\underline v^2=36$, $\underline u\cdot\underline v=0$. המנסרה ישרה: $\underline u\cdot\underline w=\underline v\cdot\underline w=0$. נסמן $\underline w^2=h^2$.

הווקטורים מאונכים, ולכן $36-h^2=0$ ו-$h=6$. הגובה שווה לצלע הבסיס - המנסרה היא קובייה.

טעות נפוצה: להציב $\underline u^2=6$ (האורך במקום ריבוע האורך) ולקבל $h=\sqrt6$.

$DF$ מאונך ל-$D'A$ (נתון) ול-$D'C$, שני ישרים נחתכים במישור $ACD'$, ולכן הוא מאונך למישור.

נפח: $V=6\cdot6\cdot6=216$.

טעות נפוצה: להשתמש בנוסחת נפח של פירמידה, $\frac13\cdot36\cdot6=72$ - זו מנסרה, והנפח הוא שטח הבסיס כפול הגובה.

$\underline u=(6,0,0)$, $\underline v=(0,6,0)$, $\underline w=(0,0,6)$.

$D$ בראשית, ולכן $F(2,2,2)$.

$DF$ מאונך למישור (סעיף ג) ו-$F$ במישור, ולכן המרחק של $D$ מהמישור הוא $|\overrightarrow{DF}|=\sqrt{4+4+4}=2\sqrt3$.

טעות נפוצה: לקחת את $\vec{D'F}=\frac13(6,0,-6)+\frac13(0,6,-6)=(2,2,-4)$ כשיעורי $F$, בלי להוסיף את $D'(0,0,6)$.

$-64=64\text{cis}180^\circ$. עבור $w=r\text{cis}\theta$: $r^6=64$, $r=2$; $6\theta=180^\circ+360^\circ k$, ולכן $\theta=30^\circ+60^\circ k$.

בהצגה אלגברית, עם $\cos30^\circ=\frac{\sqrt3}{2}$, $\sin30^\circ=\frac12$:

טעות נפוצה: לחלק רק את $180^\circ$ ב-6 ולקבל פתרון אחד, $2\text{cis}30^\circ$ - צריך להוסיף $360^\circ k$ לפני החלוקה כדי לקבל את כל ששת הפתרונות.

מציבים $z=w+i$ במשוואה II:

ולכן $z$ פתרון של II. (וכל פתרון של II מתקבל כך, עם $w=z-i$.)

מוסיפים $i$ לכל פתרון של I:

טעות נפוצה: להוסיף 1 (לחלק הממשי) במקום $i$ - ההזזה היא בכיוון הציר המדומה.

לכל פתרון: $|z-i|=|w|=2$, כלומר המרחק מהנקודה $(0,1)$ הוא 2.

טעות נפוצה: לכתוב $x^2+(y+1)^2=4$ - המרכז $(0,1)$ ולכן מופיע $y-1$.

הממשיים: $\sqrt3$, $-\sqrt3$. המדומים: $3i$, $-i$.

הצלעות מ-$(0,3)$: אל $(\sqrt3,0)$ ואל $(-\sqrt3,0)$ - שתיהן $\sqrt{3+9}=2\sqrt3$.

הצלעות מ-$(0,-1)$: שתיהן $\sqrt{3+1}=2$.

המרובע $(0,3),(\sqrt3,0),(0,-1),(-\sqrt3,0)$ בנוי משני זוגות של צלעות סמוכות שוות (והזוגות שונים) - דלתון.

טעות נפוצה: לסדר את הקודקודים כך ששני הקודקודים הממשיים סמוכים - המרובע נבנה לפי הסדר סביב המעגל, והקודקודים הממשיים הם קצוות של אלכסון.

המשושה המשוכלל: צלע 2 (כמו הרדיוס).

הדלתון: אלכסונים מאונכים, $2\sqrt3$ (בין $\pm\sqrt3$) ו-$4$ (מ-$-1$ עד $3$):

טעות נפוצה: לחשב את השטח של משולש שווה-צלעות כ-$\frac{a^2}{2}$ - הנוסחה היא $\frac{\sqrt3}{4}a^2$.

הפונקציה מוגדרת ורציפה לכל $x$ (המכנה $e^x-x$ חיובי תמיד), ולכן אין לה אסימפטוטה אנכית.

$x\to\infty$: מחלקים מונה ומכנה ב-$e^x$. $\frac{x}{e^x}\to0$ (המעריכית גדלה מהר יותר), ולכן:

$x\to-\infty$: $e^x\to0$, ולכן המנה מתקרבת ל-$\frac{2x}{-x}=-2$.

לכן $y=1$ אסימפטוטה אופקית כש-$x\to\infty$, ו-$y=-2$ כש-$x\to-\infty$.

טעות נפוצה: לחשב את הגבול ב-$-\infty$ כיחס המקדמים של $e^x$ ($\frac11=1$) - כש-$x\to-\infty$, $e^x\to0$ ונשארים האיברים הלינאריים.

טעות נפוצה: לכתוב $(1,0)$ - בחיתוך עם ציר ה-$y$, $x=0$ והשיעור השני הוא $f(0)$.

גוזרים לפי כלל המנה. נגזרת המונה $e^x+2x$ היא $e^x+2$, ונגזרת המכנה $e^x-x$ היא $e^x-1$:

פותחים את המונה: $e^{2x}-xe^x+2e^x-2x-\left(e^{2x}-e^x+2xe^x-2x\right)=3e^x-3xe^x$.

טעות נפוצה: לכתוב שנגזרת המונה היא $e^x$ (לשכוח את הנגזרת של $2x$) - נגזרת המונה היא $e^x+2$, ובלי ה-2 המונה לא מצטמצם ל-$3e^x(1-x)$.

$3e^x>0$ והמכנה חיובי, ולכן הסימן של $f'$ הוא הסימן של $1-x$.

$f'>0$ ל-$x<1$ ו-$f'<0$ ל-$x>1$: מקסימום ב-$x=1$.

טעות נפוצה: לקבוע מינימום כי "הסימן של $1-x$ שלילי משמאל" - $1-x$ חיובי כש-$x<1$.

מסעיפים א-ב: אסימפטוטות $y=-2$ (שמאל) ו-$y=1$ (ימין), חיתוך $(0,1)$, מקסימום $(1,\ 2.75)$.

$f(x)-1=\frac{3x}{e^x-x}>0$ ל-$x>0$, ולכן מימין הגרף מעל $y=1$.

טעות נפוצה: לצייר את הגרף חוצה את $y=1$ פעם נוספת מימין - $f(x)-1$ מתאפס רק ב-$x=0$.

הקודקודים: $A(0,1)$, $(1,1)$ ו-$B\left(1,\frac{e+2}{e-1}\right)$. המשולש ישר-זווית בקודקוד $(1,1)$.

הניצב האופקי באורך 1, והאנכי באורך $f(1)-1=\frac{e+2}{e-1}-1=\frac{3}{e-1}$:

טעות נפוצה: לקחת את הגובה $f(1)$ במקום $f(1)-1$ - הצלע התחתונה של המשולש על $y=1$, לא על ציר ה-$x$.

הנגזרת יורדת בתחום, ולכן $f$ קעורה שם, וגרף $f$ נמצא מעל המיתר $AB$.

האינטגרל $\int_0^1\left(f(x)-1\right)dx$ הוא השטח בין גרף $f$ ובין הישר $y=1$ בתחום (בתחום $f\ge1$).

השטח הזה מכיל את המשולש של סעיף ד (שהצלע העליונה שלו היא המיתר), ולכן גדול ממנו:

(בדיקה מספרית: האינטגרל $\approx1.15$.)

טעות נפוצה: להסיק מ"הנגזרת יורדת" שהפונקציה יורדת - הנגזרת עדיין חיובית בתחום; ירידתה אומרת שהפונקציה עולה בקצב הולך וקטן (קעורה).

$\ln x$ מוגדר עבור $x>0$.

המכנה $\ln x+2x=0$ פירושו $\ln x=-2x$ - זו בדיוק נקודת החיתוך $A$ של $f$ עם הישר $y=-2x$, ולכן $x=a$ מוצא מהתחום.

טעות נפוצה: להוציא מהתחום את $x=1$ (איפה ש-$\ln x=0$) - שם המכנה שווה 2.

$g=0$ כאשר $\ln x-2x=0$, כלומר $\ln x=2x$ - חיתוך של $f$ עם הישר $y=2x$.

בסרטוט גרף $\ln x$ כולו מתחת לישר $y=2x$, ולכן אין פתרון ואין חיתוך עם ציר ה-$x$.

טעות נפוצה: לחפש את החיתוך עם הישר $y=-2x$ - הוא קשור למכנה, לא למונה.

מחלקים מונה ומכנה ב-$x$:

טעות נפוצה: לכתוב $\frac{-2x}{2x}$ ולהסיק $y=1$ בטעות סימן - המונה שואף ל-$-2$ והמכנה ל-$2$.

$\left(\frac1x-2\right)(\ln x+2x)=\frac{\ln x}{x}+2-2\ln x-4x$.

$(\ln x-2x)\left(\frac1x+2\right)=\frac{\ln x}{x}+2\ln x-2-4x$.

ההפרש: $\frac{\ln x}{x}+2-2\ln x-4x-\frac{\ln x}{x}-2\ln x+2+4x=4-4\ln x=4(1-\ln x)$.

טעות נפוצה: לחסר את המכפלה השנייה בלי סוגריים, כך ש-$-2$ שבתוכה לא הופך ל-$+2$, ולקבל $-4\ln x$ בלבד.

המכנה של $g'$ חיובי בתחום, ולכן הסימן לפי $1-\ln x$: חיובי עבור $x<e$, שלילי עבור $x>e$.

מקסימום ב-$x=e$: $g(e)=\frac{1-2e}{1+2e}\approx-0.689$.

$a\approx0.43<e$ אינו בתחום, ולכן העלייה בשני קטעים: $0<x<a$ ו-$a<x<e$. ירידה: $x>e$.