מתכונת במתמטיקה 572 - מתכונת 4 בדרך לבגרות

$A$ הוא נקודת החיתוך של שני הישרים. מ-$2x-y-8=0$: $y=2x-8$. מציבים:

$A(1,-6)$.

שיפוע $AB$: $y=-\frac12x-\frac{11}{2}$, כלומר $-\frac12$. שיפוע $AC$: $y=2x-8$, כלומר $2$.

$-\frac12\cdot2=-1$, ולכן $AB\perp AC$.

טעות נפוצה: לבודד $y=2x+8$ (טעות סימן) ולקבל $A\left(-\frac{27}{5},-\frac{14}{5}\right)$ - נקודה שאינה על הישר $AC$; כדאי להציב את התוצאה בשתי המשוואות.

מרכז המעגל $M(-1,0)$ ורדיוסו $\sqrt{20}=2\sqrt5$.

ישר משיק למעגל כאשר המרחק מהמרכז אליו שווה לרדיוס:

שני המרחקים שווים לרדיוס, ולכן המעגל משיק לשני הישרים.

טעות נפוצה: לחלק ב-$a^2+b^2=5$ במקום ב-$\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt5$, לקבל $d=\frac{10}{5}=2\neq2\sqrt5$ ולהסיק בטעות שהישר אינו משיק.

$B$ על ציר ה-$x$ ($y=0$) ועל $AB$: $x+11=0$, ולכן $B(-11,0)$.

ישר דרך $B$ בשיפוע $m$: $y=m(x+11)$, כלומר $mx-y+11m=0$. (הישר האנכי $x=-11$ רחוק מהמרכז $10\neq2\sqrt5$.)

תנאי ההשקה:

השיפוע $-\frac12$ הוא של $AB$. לכן לצלע $BC$ שיפוע $\frac12$: $y=\frac12(x+11)$, כלומר $x-2y+11=0$.

טעות נפוצה: לבחור $m=-\frac12$ ולקבל $x+2y+11=0$ - זו משוואת הצלע $AB$.

$C$ - חיתוך $BC$ ו-$AC$: מציבים $y=2x-8$ ב-$x-2y+11=0$: $x-4x+16+11=0$, $x=9$, $y=10$. $C(9,10)$.

לפי סעיף א, המשולש ישר-זווית ב-$A$, ולכן מרכז המעגל החוסם הוא אמצע היתר $BC$:

ל-$M(-1,0)$ ול-$O(-1,5)$ אותו שיעור $x$, ולכן המרחק ביניהם $5$.

טעות נפוצה: לחשב את נקודת מפגש התיכונים $\left(-\frac13,\frac43\right)$ ולקבל מרחק $\frac{2\sqrt5}{3}$ - זה לא מרכז המעגל החוסם.

$\overrightarrow{AE}=(4,2,0)$, $\overrightarrow{BC}=C-B=(2,-4,0)$.

המכפלה הסקלרית 0, ולכן הווקטורים מאונכים.

טעות נפוצה: לחשב את $E$ כחצי ההפרש $\frac{B-C}{2}=(-1,2,0)$ ולקבל מכפלה $-10$ - אמצע קטע הוא ממוצע השיעורים, $\frac{B+C}{2}$.

הבסיס $ABC$ נמצא במישור $z=0$ (לשלושת הקודקודים $z=0$).

הגובה $SE$ מאונך לבסיס, כלומר מקביל לציר ה-$z$. לכן ל-$S$ אותם שיעורי $x$ ו-$y$ כמו ל-$E$, ו-$z=6$:

טעות נפוצה: להוסיף את הגובה 6 לכל השיעורים ($S(10,8,6)$) - הגובה מוסיף רק לרכיב ה-$z$.

כיוון $AC$: $(5,0,0)$, או בקיצור $(1,0,0)$.

טעות נפוצה: לכתוב את הישר דרך $A$ במקום דרך $F$ ($\underline{x}=t(1,0,0)$) - זה הישר $AC$ עצמו.

מישור נקבע לפי שלוש נקודות שאינן על ישר אחד. מספיק לבדוק ששלוש הנקודות מקיימות את המשוואה:

$A(0,0,0)$: $0=0$.

$B(3,4,0)$: $12\cdot3-9\cdot4-0=36-36=0$.

$S(4,2,6)$: $12\cdot4-9\cdot2-5\cdot6=48-18-30=0$.

(דרך נוספת: הנורמל $(12,-9,-5)$ מאונך ל-$\overrightarrow{AB}=(3,4,0)$ ול-$\overrightarrow{AS}=(4,2,6)$.)

טעות נפוצה: לבדוק רק שתי נקודות - דרך שתי נקודות עוברים אינסוף מישורים.

מציבים את הנקודה הכללית של הישר $(4.5+t,\ 1,\ 3)$ במשוואת המישור:

טעות נפוצה: למצוא את $t$ ולשכוח להציב אותו בחזרה בישר - $t=-2.5$ אינו הנקודה.

הבסיסים $ABC$ ו-$AEC$ במישור $z=0$, ולכן הגובה של כל פירמידה הוא שיעור ה-$z$ של הקודקוד שמעל הבסיס.

ל-$M$ ול-$F$ אותו שיעור $z=3$, ולכן הגבהים שווים.

$AE$ תיכון במשולש $ABC$, ולכן $S_{AEC}=\frac12S_{ABC}$.

טעות נפוצה: לקחת כגובה של $FAEC$ את אורך הקטע $FE=\sqrt{0.25+1+9}=\sqrt{10.25}$ ולקבל יחס $\frac{6}{\sqrt{10.25}}\approx1.87$. הגובה הוא המרחק של $F$ מהמישור $z=0$, כלומר 3.

טעות נפוצה: לחשב את המכנה $(-4+i)(-4-i)$ כ-$16-1=15$ - מכפלת מספר בצמודו היא $a^2+b^2=16+1$.

$z_1+z_2=-8=8cis180^\circ$.

טעות נפוצה: לחלק את הערך המוחלט ב-3 ($\frac83$) במקום להוציא שורש שלישי - $r^3=8$ ולכן $r=2$.

$z^3=8cis3\theta$. מספר ממשי חיובי נמצא על החלק החיובי של הציר הממשי, כלומר ארגומנט $0^\circ$ (עד כדי $360^\circ$):

$\theta=0^\circ,120^\circ,240^\circ$: $z=2$, $z=2cis120^\circ=-1+\sqrt3i$, $z=2cis240^\circ=-1-\sqrt3i$.

טעות נפוצה: לדרוש $3\theta=180^\circ k$ - כך נכללים גם המספרים ש-$z^3$ שלהם ממשי שלילי.

לכל ששת המספרים ערך מוחלט 2. הארגומנטים: $0^\circ,60^\circ,120^\circ,180^\circ,240^\circ,300^\circ$ - מרווחים שווים של $60^\circ$.

מחברים לפי הסדר: משושה משוכלל.

טעות נפוצה: לסמן את $1+\sqrt3i$ בנקודה $(\sqrt3,1)$ - החלק הממשי 1 והמדומה $\sqrt3$, כלומר הנקודה $(1,\sqrt3)$.

המשושה מורכב משישה משולשים מרכזיים, בכל אחד שתי צלעות 2 וזווית $60^\circ$ - משולשים שווי-צלעות:

טעות נפוצה: להכפיל ב-3 משולשים בלבד (רק אלה של סעיף ב) - יש 6 קודקודים ו-6 משולשים מרכזיים.

הכפל מסובב כל קודקוד ב-$\alpha$ ומכפיל את מרחקו מהראשית ב-3 - מתקבל משושה משוכלל החסום במעגל ברדיוס 6.

יחס הדמיון 3, ולכן השטח גדל פי 9: $9\cdot6\sqrt3=54\sqrt3$.

טעות נפוצה: להכפיל את השטח ב-3 ולקבל $18\sqrt3$ - השטח גדל בריבוע יחס הדמיון.

$e^{2x}-6e^x+5=(e^x-1)(e^x-5)$ מתאפס כש-$e^x=1$ או $e^x=5$, כלומר $x=0$ או $x=\ln5$.

תחום: $x\ne0$, $x\ne\ln5$.

טעות נפוצה: לפסול $x=1$ ו-$x=5$ - אלה הערכים של $e^x$; הערכים של $x$ הם $\ln1=0$ ו-$\ln5$.

אנכיות: $x=0$, $x=\ln5$ (המונה חיובי).

$x\to\infty$: מחלקים ב-$e^{2x}$: $f(x)=\frac{2}{1-6e^{-x}+5e^{-2x}}\to2$.

$x\to-\infty$: המונה $\to0$, המכנה $\to5$, ולכן $f\to0$.

טעות נפוצה: לכתוב אסימפטוטה $y=2$ גם כש-$x\to-\infty$ - כש-$x\to-\infty$ החזקות של $e$ שואפות ל-0, והאיבר הקבוע במכנה הוא שקובע.

נגזרת מנה, $D=e^{2x}-6e^x+5$, $D'=2e^{2x}-6e^x$:

הסימן לפי $5-3e^x$: חיובי כש-$x<\ln\frac53\approx0.51$. $\ln\frac53$ בין $0$ ל-$\ln5\approx1.61$.

עלייה: $x<0$, $0<x<\ln\frac53$; ירידה: $\ln\frac53<x<\ln5$, $x>\ln5$.

טעות נפוצה: לגזור את $2e^{2x}$ כ-$2e^{2x}$ (בלי הנגזרת הפנימית 2) - $\left(e^{2x}\right)'=2e^{2x}$, ולכן $\left(2e^{2x}\right)'=4e^{2x}$.

המכנים שווים, ולכן משווים מונים: $2e^{2x}=6e^x$, $e^x=3$, $x=\ln3$ (בתחום).

טעות נפוצה: לטעות בסימן המכנה ($9-18+5=-4$) ולקבל $+\frac92$ - בין שתי האסימפטוטות המכנה שלילי, ולכן הפונקציות שליליות שם.

למכנים ערך זהה, ולכן מחסרים מונים:

גזירת המכנה: $\left(e^{2x}\right)'=2e^{2x}$, $\left(-6e^x\right)'=-6e^x$, $(5)'=0$:

וזה בדיוק המונה.

טעות נפוצה: לגזור את $e^{2x}$ כ-$e^{2x}$ - שוכחים את הנגזרת הפנימית, והמונה "לא מתאים" לנגזרת.

מימין ל-$\ln5$: המכנה חיובי ו-$e^x-3>0$ - $f>g$. העליון (1) הוא $f$ (ואכן $f\to2$, $g\to0$), התחתון (2) הוא $g$.

משמאל ל-$0$: המכנה חיובי (שני גורמים שליליים) ו-$e^x-3<0$ - $f<g$. העליון (4) הוא $g$, התחתון (3) הוא $f$.

בין האסימפטוטות המכנה שלילי. משמאל לחיתוך $x=\ln3$ (סעיף ב) $e^x-3<0$, ולכן $f-g>0$: שם $f$ מעל $g$. החלק שגבוה יותר משמאל לחיתוך, והשיא שלו שמאלי יותר (המקסימום של $f$ ב-$\ln\frac53$), 5, הוא $f$; 6 הוא $g$.

טעות נפוצה: לשכוח שבין האסימפטוטות המכנה שלילי ולקבוע $f<g$ כמו משמאל ל-0 - סימן המכנה מתחלף בכל אסימפטוטה.

בקטע (מימין ל-$\ln5$) $f>g$, ולפי ג(1) האינטגרנד הוא $\frac{h'}{h}$ עם $h=e^{2x}-6e^x+5$:

טעות נפוצה: להציב $e^{\ln10}=10$ גם ב-$e^{2x}$ ולקבל $10$ במקום $100$ - $e^{2\ln10}=10^2$.

$f'=0$ ב-1 וב-5. בגלל הגורם $-2$: שלילית משמאל ל-1, חיובית בין 1 ל-5, שלילית מימין ל-5.

מינימום $f(1)=6\ln6-2\approx8.75$; מקסימום $f(5)=6\ln30-10\approx10.41$.

טעות נפוצה: להתעלם מהגורם $-2$ בטבלת הסימנים, ולהפוך את סוגי הקיצון: מקסימום ב-1 ומינימום ב-5.

חיובית כאשר $|x|<\sqrt5$, שלילית כאשר $|x|>\sqrt5$.

טעות נפוצה: להפוך את סדר החיסור בכלל המנה ולקבל $12\left(x^2-5\right)$ במונה - תחומים הפוכים.

$x\to-\infty$: שני המחוברים חיוביים וגדלים, $f\to+\infty$. $x\to+\infty$: $-2x$ גובר על הלוגריתם, $f\to-\infty$.

יורדת עד המינימום $(1,8.75)$, עולה עד המקסימום $(5,10.41)$, ויורדת. החיתוך היחיד עם ציר ה-$x$ מימין ל-5 (בערך $x\approx17$).

טעות נפוצה: לצייר $f\to+\infty$ גם מימין - הגרף לא יחתוך את ציר ה-$x$, בסתירה לנתון.

$x<1$: $f$ יורדת מ-$+\infty$ ל-$8.75<10$ - פתרון אחד.

$1<x<5$: עולה מ-$8.75$ ל-$10.41>10$ - פתרון אחד.

$x>5$: יורדת מ-$10.41$ ל-$-\infty$ - פתרון אחד.

בסך הכול 3 פתרונות.

טעות נפוצה: לספור רק את שני הפתרונות ליד המקסימום ולענות 2.