מתכונת במתמטיקה 572 - מתכונת 5 בדרך לבגרות

פרבולה $y^2=2px$ שמוקדה $\left(\frac p2,0\right)=(3,0)$: $p=6$, ולכן $y^2=12x$.

אליפסה: $c=3$, $2a=18$ ולכן $a=9$.

משוואת האליפסה: $\frac{x^2}{81}+\frac{y^2}{72}=1$.

טעות נפוצה: לחשב $b^2=a^2+c^2=90$ ולקבל $\frac{x^2}{81}+\frac{y^2}{90}=1$ - אבל אז $b>a$, והמוקדים היו על ציר ה-$y$.

מדריך הפרבולה $y^2=2px$ הוא $x=-\frac p2=-3$.

מציבים $x=-3$ באליפסה: $\frac{9}{81}+\frac{y^2}{72}=1$, כלומר $\frac{y^2}{72}=\frac89$.

$y^2=64$, ולכן $y=\pm8$: $A(-3,8)$, $B(-3,-8)$.

טעות נפוצה: לקחת את המדריך $x=-p=-6$, ולקבל $y^2=72\cdot\frac{45}{81}=40$, כלומר $A(-6,2\sqrt{10})$.

מציבים $x=3$ בפרבולה: $y^2=12\cdot3=36$, ולכן $y=\pm6$.

$C(3,6)$, $D(3,-6)$.

טעות נפוצה: להציב $x=3$ באליפסה ולקבל $y=\pm8$, כלומר $C(3,8)$ - אבל $C$ ו-$D$ על הפרבולה.

$AB$ על $x=-3$ ו-$CD$ על $x=3$: שני הקטעים אנכיים, ולכן מקבילים. $AB=16$, $CD=12$ - לא שווים, ולכן $ABDC$ טרפז.

השוקיים: $AC=\sqrt{6^2+2^2}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$, $BD=\sqrt{6^2+(-6+8)^2}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$. השוקיים שוות.

בטרפז שווה-שוקיים זוויות הבסיס שוות, ולכן סכום כל שתי זוויות נגדיות $180^\circ$ - המרובע בר-חסימה במעגל.

טעות נפוצה: לטעות בסימן בחישוב $BD$ ולכתוב $(-6-8)^2$ במקום $(-6-(-8))^2$, לקבל $BD=\sqrt{232}\ne AC$ ולהסיק שהטרפז אינו שווה-שוקיים.

המרכז נמצא על האנך האמצעי של כל מיתר. האנך האמצעי של $AB$ (ושל $CD$) הוא ציר ה-$x$, ולכן $M(x_0,0)$.

$MA=MC$:

טעות נפוצה: לקחת את המרכז בראשית (באמצע בין $x=-3$ ל-$x=3$), ולקבל רדיוס $\sqrt{9+64}=\sqrt{73}$ - אבל אז המרחק ל-$C$ הוא $\sqrt{45}$, לא $\sqrt{73}$.

$\underline u=(m,4-m,-2)$, $\underline n=(2,m,m+5)$:

ישר מקביל למישור רק כאשר המכפלה הזאת 0. ל-$m^2-4m+10=0$ הדיסקרימיננטה $16-40=-24<0$, ולכן אין $m$ כזה.

טעות נפוצה: לחשוב שמכפלה סקלרית 0 פירושה שהישר ניצב למישור - היא אומרת שהישר ניצב לנורמל, כלומר מקביל למישור.

$m=2$: $\underline u=(2,2,-2)$, $\underline n=(2,2,7)$. היחס ברכיב הראשון 1 ובשלישי $-\frac27$ - לא מקבילים.

$m=-4$: $\underline u=(-4,8,-2)$, $\underline n=(2,-4,1)$, $\underline u=-2\underline n$ - מקבילים.

לכן $m=-4$.

טעות נפוצה: לבדוק רק את שני הרכיבים הראשונים - בהם היחס שווה לשני הפתרונות בכל מקרה, כי מהם נבנתה המשוואה.

עבור $m=-4$: $\pi:\ 2x-4y+z+3=0$, ונקודה כללית על $\ell$: $(5-4t,\ -6+8t,\ 5-2t)$.

טעות נפוצה: לטעות בסימן בפתיחת $-4(-6+8t)$ ולכתוב $-24-32t$ - מתקבל $-6-42t=0$, $t=-\frac17$, והנקודה השגויה $\left(\frac{39}7,-\frac{50}7,\frac{37}7\right)$, שאינה על המישור.

$(5-4t,\ -6+8t,\ 5-2t)=(9,-14,7)$: מהרכיב הראשון $t=-1$; $-6-8=-14$ ו-$5+2=7$. כל הרכיבים מתקיימים.

$Q$ על $\ell$, ולכן כל מישור שמכיל את $\ell$ מכיל גם את $Q$: יש אינסוף מישורים כאלה.

(אילו $Q$ לא הייתה על הישר - היה מישור אחד בלבד.)

טעות נפוצה: לענות "מישור אחד" אוטומטית, כי "ישר ונקודה קובעים מישור" - זה נכון רק לנקודה שאינה על הישר.

כפל: מכפילים גדלים ומחברים זוויות. חילוק: מחלקים גדלים ומחסרים זוויות.

מחברים: $w=-\sin2\alpha+i\left(\cos2\alpha-r^2\right)$.

טעות נפוצה: לכתוב $\sin(2\alpha+90^\circ)=\sin2\alpha$. אז מתקבל $w=-\sin2\alpha+i\left(\sin2\alpha-r^2\right)$, שאינו הביטוי הנדרש.

$-\sin2\alpha=-\frac{\sqrt3}{2}$, כלומר $\sin2\alpha=\frac{\sqrt3}{2}$.

$0^\circ<2\alpha<90^\circ$, ולכן $2\alpha=60^\circ$ ו-$\alpha=30^\circ$.

טעות נפוצה: למצוא $2\alpha=60^\circ$ ולשכוח לחלק ב-2, כלומר לענות $\alpha=60^\circ$ - ערך שאינו בתחום $0^\circ<\alpha<45^\circ$.

שני החלקים שליליים, ולכן $w$ ברביע השלישי. זווית הייחוס: $\tan\theta_0=\frac{1/2}{\sqrt3/2}=\frac{1}{\sqrt3}$, $\theta_0=30^\circ$, והזווית $180^\circ+30^\circ=210^\circ$.

$w=\operatorname{cis}210^\circ$.

טעות נפוצה: לקחת את $\arctan\frac{1}{\sqrt3}=30^\circ$ כזווית עצמה ולכתוב $w=\operatorname{cis}30^\circ$ - נקודה ברביע הראשון.

$z_1=\operatorname{cis}30^\circ$, ולכן $z_1w=\operatorname{cis}240^\circ$ ו-$(z_1w)^2=\operatorname{cis}480^\circ=\operatorname{cis}120^\circ$.

$|z|=\sqrt[4]{16}=2$, והזוויות $\frac{120^\circ+360^\circ k}{4}=30^\circ+90^\circ k$, $k=0,1,2,3$:

טעות נפוצה: להוציא שורש ריבועי לגודל במקום שורש רביעי, ולקבל $4\operatorname{cis}(30^\circ+90^\circ k)$.

$B=2\operatorname{cis}30^\circ$, $C=2\operatorname{cis}120^\circ$: $OB=OC=2$.

הזווית $BOC$ היא ההפרש בין הזוויות: $120^\circ-30^\circ=90^\circ$.

טעות נפוצה: לשכוח את החצי ולענות 4.

$x>0$ בגלל $\ln x$, והמכנה מתאפס כאשר $\ln x=1$, כלומר $x=e$.

תחום: $x>0$, $x\neq e$.

טעות נפוצה: לכתוב $x\neq1$ (איפה ש-$\ln x=0$) - המכנה הוא $\ln x-1$, והוא מתאפס ב-$x=e$.

$f'=0$ כאשר $\ln x=2$, $x=e^2$. משמאל ל-$e^2$ (בתחום) $\ln x<2$ ו-$f'<0$; מימין $f'>0$. מינימום.

$f(e^2)=\frac{e^2}{2-1}=e^2$. נקודת המינימום: $\left(e^2,e^2\right)\approx(7.39,7.39)$.

טעות נפוצה: לכתוב את המונה בסדר הפוך, $1-(\ln x-1)=2-\ln x$, ולקבוע בטעות מקסימום ב-$\left(e^2,e^2\right)$.

עבור $0<x<e$: $\ln x-1<0$ ו-$f<0$; עבור $x>e$: $f>0$.

ליד $x=e$: המונה $e\neq0$ והמכנה מתאפס - אסימפטוטה אנכית. משמאל $f\to-\infty$, מימין $f\to+\infty$.

$x\to\infty$: $f\to\infty$ ($x$ גדל מהר יותר מ-$\ln x$).

טעות נפוצה: לסרטט אסימפטוטה $x=0$ - לפי הנתון $f\to0$ כאשר $x\to0^+$, ולכן שם נקודה ריקה.

$f$ לא מתאפסת ($x>0$), ולכן התחום של $g$ כמו של $f$: $x>0$, $x\neq e$.

$g'=-\frac{f'}{f^2}$: היכן ש-$f$ יורדת $g$ עולה, ולהפך. ב-$x=e^2$ ל-$f$ מינימום, ולכן ל-$g$ מקסימום:

$g(e^2)=\frac{1}{e^2}$. נקודת המקסימום: $\left(e^2,\frac{1}{e^2}\right)$.

טעות נפוצה: להשאיר את סוג הקיצון של $f$ ולענות מינימום $\left(e^2,\frac{1}{e^2}\right)$.

$g(x)=\frac{\ln x-1}{x}$, ו-$G'(x)=\frac{2(\ln x-1)\cdot\frac1x}{2}=\frac{\ln x-1}{x}=g(x)$.

בקטע $e^2\le x\le e^3$: $\ln x>1$, ולכן $g>0$:

טעות נפוצה: לכתוב פונקציה קדומה $\frac{(\ln x)^2}{2}$ (לשכוח את $-1$), ולקבל $\frac{3^2-2^2}{2}=\frac52$.

$\ln(x^2)$ מוגדר כש-$x\ne0$.

חיתוך: $x=0$ לא בתחום, ולכן $\ln(x^2)=3$, $x^2=e^3$, $x=\pm e^{1.5}=\pm e\sqrt e\approx\pm4.48$.

טעות נפוצה: לכתוב $x=\pm\sqrt3$ (לבלבל בין $\ln(x^2)=3$ ל-$x^2=3$) - צריך להפעיל $e$ בחזקה: $x^2=e^3$.

התחום סימטרי, ולכן $f$ אי-זוגית.

טעות נפוצה: לבדוק מספר אחד ($f(-1)=-f(1)$) ולהסתפק בזה - צריך להראות לכל $x$ בתחום.

כלל המכפלה, עם $\left(\ln(x^2)\right)'=\frac2x$:

$f'=0$: $x^2=e$, $x=\pm\sqrt e$. $f'>0$ כש-$|x|>\sqrt e$ ו-$f'<0$ כש-$0<|x|<\sqrt e$.

ומאי-זוגיות $f(-\sqrt e)=2\sqrt e$.

מקסימום $\left(-\sqrt e,2\sqrt e\right)$, מינימום $\left(\sqrt e,-2\sqrt e\right)$.

טעות נפוצה: להציב $\ln\left((\sqrt e)^2\right)=\frac12$ - $(\sqrt e)^2=e$ ו-$\ln e=1$.

נקודות: חיתוך $\pm4.48$, מקסימום $(-1.65,\ 3.30)$, מינימום $(1.65,\ -3.30)$ בקירוב.

ליד 0: $x\ln(x^2)\to0$, ולכן $f\to0$ - עיגול ריק בראשית. בקצוות $f\to\pm\infty$ בהתאמה לסימן של $x$.

טעות נפוצה: לצייר את הגרף עובר דרך הראשית כנקודה מלאה - $x=0$ אינו בתחום.

$g$ מוגדרת כש-$x\ne0$ וגם $f(x)\ne0$: $x\ne\pm e\sqrt e$.

אנכיות: היכן ש-$f\to0$ - ב-$x=\pm e\sqrt e$ וב-$x=0$ (כי $f\to0$ ליד 0).

אופקית: $|f|\to\infty$ בקצוות, ולכן $g\to0$: $y=0$.

טעות נפוצה: לשכוח את $x=0$ - $f$ אינה מוגדרת שם אבל שואפת ל-0, ולכן $\frac1f$ שואפת לאינסוף.

(בתחום של $g$, ששם $f\ne0$.)

ב-$x>0$: ב-$(0,e\sqrt e)$ הערכים של $f$ יורדים מ-0 למינימום $-2\sqrt e\approx-3.30$ ועולים חזרה ל-0. $-1$ בין המינימום ל-0, ולכן $f=-1$ פעמיים. ב-$x>e\sqrt e$, $f$ עולה מ-0 לאינסוף: $f=1$ פעם אחת.

ב-$x>0$ שלוש נקודות, ומאי-זוגיות שלוש ב-$x<0$. סך הכול 6.

טעות נפוצה: לספור את $f=-1$ פעם אחת בלבד ב-$x>0$ - בקטע $(0,e\sqrt e)$ הגרף יורד ואחר כך עולה, ולכן כל ערך בין המינימום ל-0 מתקבל פעמיים.

גוזרים לפי כלל השרשרת: $\left(\ln|h|\right)'=\frac{h'}{h}$ עם $h=\ln(x^2)-3$, $h'=\frac2x$:

טעות נפוצה: לגזור $\ln|h|$ כ-$\frac1h$ ולשכוח את $h'$ - מקבלים $\frac{1}{2(\ln(x^2)-3)}$, שאינו $g$.