מתכונת במתמטיקה 572 - מתכונת 13 מעל רמת בגרות

מרכז מעגל שעובר ב-A וב-B שווה מרחק משתיהן, ולכן נמצא על האנך האמצעי ל-AB (וכל נקודה עליו היא מרכז של מעגל כזה).

אמצע: $\left(\frac{12-5}{2},\frac{10-7}{2}\right)=(3.5,\,1.5)$.

שיפוע מאונך $-1$:

טעות נפוצה: לחשב את אמצע הקטע כהפרש השיעורים חלקי 2 ($\frac{12-(-5)}{2}=8.5$) - אמצע הוא ממוצע, סכום חלקי 2.

המוקדים של אליפסה קנונית $(\pm c,0)$ סימטריים ביחס לציר ה-$y$. הם מיתר של המעגל M, ולכן מרכז M על האנך האמצעי שלהם - ציר ה-$y$.

טעות נפוצה: להניח שמרכז המעגל הוא מרכז האליפסה, הראשית - הראשית אינה על $y=-x+5$.

המעגל: $x^2+(y-5)^2=169$. בציר ה-$x$: $x^2+25=169$, $x=\pm12$. לכן $c=12$, והישר הוא $x=-12$.

חיתוך הישר עם המעגל:

$KL=10$.

באליפסה $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ עם $b^2=a^2-144$, מציבים $x=-c$:

לשני המשולשים קודקוד F ובסיס על אותו ישר - אותו גובה, ויחס השטחים הוא יחס הבסיסים:

$a=13$ או $a<0$ (נפסל, $a$ הוא אורך). $a=13>c$ כנדרש, ו-$b^2=169-144=25$.

טעות נפוצה: לכתוב $b^2=a^2+c^2=a^2+144$ (הקשר של היפרבולה) - מתקבל $\frac{5a}{a^2+144}=\frac{13}{5}$, כלומר $13a^2-25a+1872=0$, משוואה בלי פתרון (הדיסקרימיננטה שלילית). באליפסה $b^2=a^2-c^2$.

נסמן את הישר $x=t$, עם $-13<t<13$ ו-$t\neq12$ (כך שהוא חותך את שני העקומים ואינו עובר ב-F).

מיתר המעגל:

מיתר האליפסה:

לשני המשולשים אותו גובה (המרחק $|12-t|$ של F מהישר), ולכן:

היחס אינו תלוי ב-$t$. הסיבה: מרכז המעגל על ציר ה-$y$ ורדיוסו שווה ל-$a$, ולכן לכל $t$ מיתר המעגל הוא $2\sqrt{a^2-t^2}$ ומיתר האליפסה הוא פי $\frac ba$ ממנו; היחס הוא $\frac ab=\frac{13}{5}$.

טעות נפוצה: לענות שהיחס תלוי במיקום הישר כי נקודות החיתוך זזות איתו - אורכי שני המיתרים אכן משתנים, אבל שניהם פרופורציונליים ל-$\sqrt{169-t^2}$, והיחס ביניהם קבוע, $\frac{13}{5}$.

$\overrightarrow{EB}=-\frac12\underline w$, $\overrightarrow{BA}=-\underline v$, $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}=\underline u$:

טעות נפוצה: לכתוב $\overrightarrow{BC}=\underline v$ - בסימון כאן $\overrightarrow{AB}=\underline v$, ו-$BC$ מקביל ל-$AD$.

$M$ במישור $AEC$, ולכן יש $s$, $t$ כך ש-$\overrightarrow{EM}=s\overrightarrow{EA}+t\overrightarrow{EC}$:

נסמן $c=\frac{1-s-t}2$. מקצועות התיבה ניצבים זה לזה, ולכן $\underline u\cdot\underline v=\underline u\cdot\underline w=\underline v\cdot\underline w=0$, ו-$\underline u\cdot\underline u=|\underline u|^2$ וכן הלאה. $|\underline u|^2=1$, $|\underline v|^2=|\underline w|^2=4$.

$\overrightarrow{BM}\perp\overrightarrow{EA}$: $\left(t\underline u-s\underline v+c\underline w\right)\cdot\left(-\underline v-\frac12\underline w\right)=4s-2c=0$, ולכן $c=2s$.

$\overrightarrow{BM}\perp\overrightarrow{EC}$: $\left(t\underline u-s\underline v+c\underline w\right)\cdot\left(\underline u-\frac12\underline w\right)=t-2c=0$, ולכן $t=2c=4s$.

מציבים בהגדרה של $c$:

טעות נפוצה: לכתוב $\overrightarrow{BM}=s\overrightarrow{EA}+t\overrightarrow{EC}$ בלי $\overrightarrow{BE}$ - הצירוף מתאר וקטור שיוצא מ-$E$, ולא מ-$B$.

$M$ היא עקב האנך מ-$B$, ולכן המרחק הוא $|\overrightarrow{BM}|$:

טעות נפוצה: להציב $|\underline u|=|\underline v|=|\underline w|=1$ ולקבל $\frac{\sqrt{21}}9$ - האורכים כאן שונים, ויש להכפיל כל מקדם בריבוע האורך המתאים.

בשיקוף ביחס למישור, $M$ (עקב האנך) היא אמצע $BN$, ולכן $\overrightarrow{BN}=2\overrightarrow{BM}$:

נקודה $X$ נמצאת בתוך התיבה אם ורק אם ב-$\overrightarrow{AX}=x\underline u+y\underline v+z\underline w$ שלושת המקדמים בין 0 ל-1 (כל מקדם הוא החלק מהמקצוע המתאים).

כאן $\frac89$, $\frac79$, $\frac49$ - כולם בין 0 ל-1, ולכן $N$ בתוך התיבה.

טעות נפוצה: לכתוב $\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}$ - כך מגיעים ל-$M$, שנמצאת במחצית הדרך ל-$N$.

האלכסונים חוצים זה את זה בראשית: $C=-z$, $D=-B$.

האלכסונים מאונכים ו-$B$ ברביע השני: סיבוב ב-$90^\circ$ נגד כיוון השעון (כפל ב-$i$), ו-$OB=\frac{BD}2=AC=2\,OA$:

טעות נפוצה: לכתוב $B=-2iz$. כפל ב-$-i$ הוא סיבוב עם כיוון השעון, ומעביר את $A$ לרביע הרביעי.

$\frac1{-z}=-\frac1z$ ו-$\frac1{-2iz}=-\frac1{2iz}$: ההופכיים מסודרים בשני זוגות נגדיים, ולכן הקטעים בין בני כל זוג עוברים בראשית ונחצים בה.

בהצגה קוטבית: $\frac1z=\frac1r\,cis(-\theta)$ ו-$\frac1{2iz}=\frac1{2r}\,cis(-\theta-90^\circ)$ - הזוויות שונות ב-$90^\circ$, ולכן הקטעים מאונכים.

מרובע שאלכסוניו חוצים זה את זה ומאונכים הוא מעוין.

אורכי האלכסונים: $2\cdot\frac1r=\frac2r$ (בין $\pm\frac1z$) ו-$2\cdot\frac1{2r}=\frac1r$ (בין $\pm\frac1{2iz}$). הארוך הוא בין $\frac1z$ ל-$-\frac1z$ - ההופכיים של $A$ ו-$C$, שבמעוין המקורי היו על האלכסון הקצר.

טעות נפוצה: להניח שהאלכסון הארוך נשאר "של B ו-D". הפיכה הופכת את המודולים, ולכן הנקודות הרחוקות מהראשית הופכות לקרובות.

מודולים: $|w|^{n-1}=|w|$, ו-$w\neq0$, ולכן $|w|^{n-2}=1$ ו-$|w|=1$ (כי $n\ge3$).

כופלים ב-$w$: $w^n=w\bar w=1$. הפתרונות הם $n$ שורשי היחידה $cis\frac{360^\circ k}n$, $k=0,\ldots,n-1$ - קודקודי מצולע משוכלל בן $n$ צלעות החסום במעגל היחידה.

מחלקים ל-$n$ משולשים שקודקודם בראשית, עם שתי צלעות באורך 1 וזווית $\frac{360^\circ}n$ ביניהן:

טעות נפוצה: לחשוב שלמשוואה $w^{n-1}=\bar w$ יש $n-1$ פתרונות (לפי החזקה) ולקבל $S=\frac{n-1}2\sin\frac{360^\circ}{n-1}$. אחרי הכפל ב-$w$ מתקבלת $w^n=1$, שיש לה $n$ פתרונות.

שטח המעוין: $\frac1{r^2}=2$. צריך $\frac n2\sin\frac{360^\circ}n=2$.

$n=3$: $\frac32\sin120^\circ=\frac{3\sqrt3}4\approx1.30$.

$n=4$: $2\sin90^\circ=2$ ✓.

$n=5$: $\frac52\sin72^\circ\approx2.38$; $n=6$: $3\sin60^\circ\approx2.60$.

השטח עולה עם $n$: נסמן $x=\frac{360^\circ}n$ ברדיאנים, $x=\frac{2\pi}n$. אז $S_n=\pi\cdot\frac{\sin x}x$, והפונקציה $\frac{\sin x}x$ יורדת ב-$(0,\pi)$ (נגזרתה $\frac{x\cos x-\sin x}{x^2}<0$ שם, כי $\tan x>x$ ב-$\left(0,\frac\pi2\right)$ ו-$\cos x\le0$ ב-$\left[\frac\pi2,\pi\right)$). כש-$n$ גדל $x$ קטן, ולכן $S_n$ גדל.

לכן לכל $n\ge5$ השטח גדול מ-2, ו-$n=4$ הוא הפתרון היחיד.

טעות נפוצה: לבדוק רק $n=4$, למצוא התאמה ולעצור. השאלה מבקשת את כל הערכים, ולכן צריך לנמק למה אין $n$ נוסף.

תחום: $x>0$ ו-$\ln x\ne\ln a$, כלומר $x>0$, $x\ne a$.

ב-$x=a$ המונה $3\ln a\ne0$ (כי $a\ne1$) - אסימפטוטה אנכית $x=a$.

כש-$x\to\infty$: $f=\frac{1+\frac{2\ln a}{\ln x}}{1-\frac{\ln a}{\ln x}}\to1$ - אסימפטוטה $y=1$.

חיתוך עם ציר ה-$x$: $\ln x=-2\ln a=\ln a^{-2}$, כלומר $x=\frac1{a^2}$ (ו-$\frac1{a^2}\ne a$ כי $a\ne1$). אין חיתוך עם ציר ה-$y$.

טעות נפוצה: לכתוב את אפס המונה כ-$x=-2a$ או $x=a^2$ - $\ln x=-2\ln a$ פירושו $x=a^{-2}$.

המכנה חיובי, ולכן סימן $f'$ הוא סימן $-3\ln a$.

$a>1$: $\ln a>0$, $f'<0$ - יורדת בשני הענפים.

$0<a<1$: $\ln a<0$, $f'>0$ - עולה בשני הענפים.

טעות נפוצה: להניח $\ln a>0$ "כי $a$ חיובי" - $\ln a$ חיובי רק כש-$a>1$.

כש-$0<a<1$: $a<1<\frac1{a^2}$, כלומר נקודת החיתוך מימין לאסימפטוטה.

$x\to0^+$: $f\to1$ (נקודה ריקה $(0,1)$). הענף השמאלי עולה, ולכן כש-$x\to a^-$: $f\to+\infty$.

(בדיקה: ליד $a$ משמאל $\ln x-\ln a\to0^-$ והמונה $\to3\ln a<0$ - המנה $\to+\infty$.)

הענף הימני עולה מ-$-\infty$ (ליד $a^+$), חותך את ציר ה-$x$ ב-$\frac1{a^2}$ ושואף ל-1 כש-$x\to\infty$, מלמטה.

טעות נפוצה: לצייר את הסקיצה של המקרה $a>1$ (נקודת החיתוך משמאל לאסימפטוטה) - כש-$a<1$ גם $\frac1{a^2}>1>a$ וגם כיוון העלייה מתהפכים.

צריך $f>0$. כש-$0<a<1$ סדר הנקודות: $a<\frac1{a^2}$.

$0<x<a$: $\ln x<\ln a<0$, ולכן המכנה שלילי, וגם המונה $\ln x+2\ln a<0$ - $f>0$.

$a<x<\frac1{a^2}$: המכנה חיובי והמונה שלילי - $f<0$.

$x>\frac1{a^2}$: שניהם חיוביים - $f>0$.

תחום ההגדרה: $0<x<a$ או $x>\frac1{a^2}$.

טעות נפוצה: להעתיק את התשובה של המקרה $a>1$ ($0<x<\frac1{a^2}$ או $x>a$) - כש-$a<1$ הנקודות מחליפות מקום.

$x\to a^-$: $f\to+\infty$, ולכן $g\to+\infty$ - אסימפטוטה $x=a$.

$x\to\left(\frac1{a^2}\right)^+$: $f\to0^+$, ולכן $g\to-\infty$ - אסימפטוטה $x=\frac1{a^2}$.

$x\to\infty$: $f\to1$, ולכן $g\to0$ - אסימפטוטה $y=0$.

($x\to0^+$: $g\to0$, אבל זה קצה התחום - לא אסימפטוטה.)

טעות נפוצה: לשכוח את $x=\frac1{a^2}$ - שם $f$ מוגדרת ומתאפסת, ו-$\ln f\to-\infty$.

$\frac12<a<1$, ולכן $1<\frac1{a^2}<4$: הקטע $4\le x\le8$ כולו בענף $x>\frac1{a^2}$.

בענף הזה $f$ עולה מ-0 ושואפת ל-1, ולכן $0<f<1$ ו-$g=\ln f<0$. הגרף מתחת לציר ה-$x$, ולכן $\int_4^8g\,dx=-S$.

$\ln\frac fe=\ln f-\ln e=g-1$:

טעות נפוצה: לכתוב $\int_4^8g\,dx=S$ ולקבל $S-4$ - שטח תמיד חיובי, ואינטגרל של פונקציה שלילית הוא מינוס השטח.

$x^2-k>0$, כלומר $x<-\sqrt k$ או $x>\sqrt k$.

בקצוות התחום הלוגריתם שואף ל-$-\infty$: אסימפטוטות $x=\pm\sqrt k$. כאשר $x\to\pm\infty$, האיבר $x$ קובע ו-$f\to\pm\infty$ - אין אסימפטוטות אופקיות.

טעות נפוצה: לכתוב את התחום כ-$x>k$ - הארגומנט הוא $x^2-k$, ולכן הגבול הוא $\sqrt k$ משני הצדדים.

המונה מתאפס ב-$x_{1,2}=-1\pm\sqrt{1+k}$.

$x_2=-1+\sqrt{1+k}>0$. הוא בתחום רק אם $x_2>\sqrt k$, כלומר $\sqrt{1+k}>1+\sqrt k$. מעלים בריבוע (שני האגפים חיוביים): $1+k>1+2\sqrt k+k$, כלומר $0>2\sqrt k$ - לא ייתכן. לכן $x_2$ תמיד מחוץ לתחום.

$x_1=-1-\sqrt{1+k}<0$, ו-$|x_1|=1+\sqrt{1+k}>\sqrt{1+k}>\sqrt k$ - תמיד בתחום, בענף השמאלי.