מתכונת במתמטיקה 572 - מתכונת 14 מעל רמת בגרות

השקה מבחוץ: $MN=2+R$. N על החלק החיובי של ציר ה-$x$, ומימין ל-M (משמאל אין מקום: $2-(2+R)<0$), ולכן $N(4+R,0)$:

נקודת ההשקה על קו המרכזים במרחק 2 מ-M: $(4,0)$ - לא תלויה ב-$R$. המשיק בה מאונך לציר ה-$x$: $x=4$.

טעות נפוצה: לכתוב $N(2+R,0)$ - זה המרחק בין המרכזים, ויש להוסיף אותו לשיעור של M: $2+(2+R)$.

הציור סימטרי ביחס לציר ה-$x$, ולכן שני המשיקים החיצוניים סימטריים ונחתכים על ציר ה-$x$, משמאל למעגל הקטן.

נסמן את נקודות ההשקה של אחד המשיקים: A על המעגל הקטן ו-B על הגדול. $MA\perp PB$ ו-$NB\perp PB$, ולכן $MA\parallel NB$ והמשולשים $PAM$ ו-$PBN$ דומים:

עם $PN=PM+2+R$:

P משמאל ל-M:

טעות נפוצה: לכתוב את היחס הפוך, $\frac{PM}{PN}=\frac R2$ - המרכז הקרוב ל-P שייך למעגל הקטן, ולכן המרחק שלו קטן יותר.

ציר ה-$x$ חוצה את הזווית בין המשיקים, ולכן כל משיק יוצר עם ציר ה-$x$ זווית של $30^\circ$.

במשולש ישר-הזווית $PAM$ (הזווית הישרה ב-A):

מציבים בביטוי מסעיף ב:

$R=6>2$, מתאים. אז $x_P=-\frac{8}{4}=-2$, והשיפועים הם $\pm\tan30^\circ=\pm\frac1{\sqrt3}$:

בדיקה: מרחק $(10,0)$ מהישר $x-\sqrt3y+2=0$ הוא $\frac{12}{2}=6=R$.

טעות נפוצה: לקחת $60^\circ$ כזווית בין כל משיק לציר ה-$x$ - הזווית בין שני המשיקים מתחלקת שווה בשווה משני צדי הציר, ולכן כל אחד יוצר $30^\circ$.

מעגל שמרכזו $(c,0)$ משיק לשני הישרים כשרדיוסו שווה למרחק מהם (הם סימטריים, ולכן המרחק זהה):

($c\neq-2$.) בודקים השקה מבחוץ לכל מעגל נתון, בשלושה תחומים של $c$.

השקה למעגל $M(2,0)$, רדיוס 2: $|c-2|=2+\rho$.

- $c<-2$: $2-c=2+\frac{-c-2}{2}$, כלומר $c=2$ - סותר את התחום.

- $-2<c<2$: $2-c=2+\frac{c+2}{2}$, כלומר $c=-\frac23$, $\rho=\frac23$.

- $c>2$: $c-2=2+\frac{c+2}{2}$, כלומר $c=10$ - זה המעגל הנתון N.

השקה למעגל $N(10,0)$, רדיוס 6: $|c-10|=6+\rho$.

- $c<-2$: $10-c=6+\frac{-c-2}{2}$, כלומר $c=10$ - סותר.

- $-2<c<10$: $10-c=6+\frac{c+2}{2}$, כלומר $c=2$ - זה המעגל הנתון M.

- $c>10$: $c-10=6+\frac{c+2}{2}$, כלומר $c=34$, $\rho=18$.

יש שני מעגלים חדשים: $\left(x+\frac23\right)^2+y^2=\frac49$ ו-$(x-34)^2+y^2=324$.

תובנה: הרדיוסים $\frac23,2,6,18$ הם שרשרת של מעגלים בתוך הזווית, וכל אחד גדול פי 3 מקודמו.

טעות נפוצה: לכתוב $\rho=\frac{c+2}{2}$ בלי ערך מוחלט ולבדוק רק מעגלים מימין למעגל הגדול - כך מפספסים את המעגל הקטן שבין P ל-M.

$(t,-2t,0)=(2+mk,-4,m)$: $m=0$, $t=2$, ולכן $A(2,-4,0)$ לכל $k$.

טעות נפוצה: להשמיט את הערך המוחלט. עבור $k<0$ מתקבל אז $\cos\alpha<0$, כלומר זווית קהה - וזווית בין ישרים אינה קהה.

לכל $k$: $|k|<\sqrt{k^2+1}$, ולכן $\frac{|k|}{\sqrt{k^2+1}}<1$ ו-$\cos\alpha<\frac1{\sqrt5}\approx0.447$.

$\cos60^\circ=\frac12>\frac1{\sqrt5}$, ולכן אין $k$ שבעבורו $\alpha=60^\circ$ (אם מנסים לפתור: $4k^2=5k^2+5$, כלומר $k^2=-5$ - אין פתרון).

טווח הערכים: עבור $k=0$, $\cos\alpha=0$ ו-$\alpha=90^\circ$. כש-$|k|$ גדל, $\frac{|k|}{\sqrt{k^2+1}}$ גדל ושואף ל-1 בלי להגיע אליו. לכן $\cos\alpha$ מקבל כל ערך ב-$\left[0,\frac1{\sqrt5}\right)$:

(בגבול, $\ell_2$ "שואף" לכיוון ציר ה-$x$, ו-$\frac1{\sqrt5}$ הוא הקוסינוס של הזווית בין $\ell_1$ לציר ה-$x$.)

טעות נפוצה: לשכוח את הגורם $\frac1{\sqrt5}$: מכך ש-$\frac{|k|}{\sqrt{k^2+1}}$ מקבל כל ערך ב-$[0,1)$ להסיק ש-$\cos\alpha$ מקבל כל ערך כזה, ולענות "כן, יש $k$ עבור $60^\circ$" ו-$0^\circ<\alpha\le90^\circ$. החסם העליון של $\cos\alpha$ הוא $\frac1{\sqrt5}$, ולכן $\alpha>63.43^\circ$.

נורמל $(a,b,c)$ ניצב ל-$(1,-2,0)$ ול-$(k,0,1)$:

$b=1$: $a=2$, $c=-2k$. המישור עובר דרך הראשית (על $\ell_1$):

טעות נפוצה: טעות סימן בפתרון $ka+c=0$, כלומר נורמל $(2,1,2k)$. בבדיקה מול $(k,0,1)$ מתקבל $2k+2k=4k\neq0$ - תמיד מציבים את הנורמל בחזרה בשני וקטורי הכיוון.

$AO=\sqrt{20}=2\sqrt5$, ולכן $AB=AS=2\sqrt5$.

הזווית $OAB$ היא $\alpha$ או משלימתה, ולכן $S_{AOB}=\frac12\cdot20\cdot\sin\alpha=10\sin\alpha$.

$AS$ ניצב למישור הבסיס, ולכן הוא הגובה:

לכן $\cos^2\alpha=1-\frac9{10}=\frac1{10}$. מסעיף א:

$k=1$ או $k=-1$ ($\cos\alpha=\frac1{\sqrt{10}}<\frac1{\sqrt5}$, בתוך הטווח מסעיף ב).

טעות נפוצה: לחשב את שטח הבסיס כ-$\frac12\cdot20\cdot\cos\alpha$. אז $\cos\alpha=\frac3{\sqrt{10}}$, $\cos^2\alpha=\frac9{10}$, ומ-$\frac{k^2}{5(k^2+1)}=\frac9{10}$ מתקבל $k^2=-\frac97$ - ומסיקים בטעות שאין $k$ כזה. שטח משולש הוא חצי מכפלת צלעות בסינוס הזווית ביניהן.

$64i=64\operatorname{cis}90^\circ$. לפתרונות מודול 4 וארגומנט $\frac{90^\circ+360^\circ k}3=30^\circ+120^\circ k$:

טעות נפוצה: לכתוב $64i=64\operatorname{cis}0^\circ$ או לחלק את 64 ב-3 במקום להוציא שורש שלישי.

שתי נקודות $P$, $Q$ (שונות מ-$O$) נמצאות על ישר אחד שעובר דרך $O$ אם ורק אם הקרניים $OP$ ו-$OQ$ מתלכדות או הפוכות, כלומר הפרש הארגומנטים הוא כפולה של $180^\circ$.

בתחום $20^\circ<\alpha<140^\circ$: $\alpha=30^\circ, 60^\circ, 90^\circ, 120^\circ$.

טעות נפוצה: לדרוש רק $6\alpha=360^\circ k$ ולקבל $60^\circ$, $120^\circ$ בלבד.

$w_1$ פתרון, ולכן $r=4$ ו-$\alpha\in\{30^\circ,150^\circ,270^\circ\}$.

החיתוך עם $\{30^\circ,60^\circ,90^\circ,120^\circ\}$ הוא $\alpha=30^\circ$ ($150^\circ$ מחוץ לתחום).

טעות נפוצה: לבחור $\alpha=90^\circ$ כי $4i$ "נראה כמו" פתרון - $(4i)^3=-64i$.

$A=4\operatorname{cis}30^\circ$, $C=w_2=8\operatorname{cis}210^\circ$ ($7\alpha=210^\circ$): קרניים הפוכות, $AC=4+8=12$.

$B=ki$ ($k>0$) ו-$D=\frac8i=-8i$ על הציר המדומה משני צדי $O$: $BD=k+8$.

האלכסונים נחתכים ב-$O$; הזווית ביניהם היא בין $OA$ ($30^\circ$) ל-$OB$ ($90^\circ$): $60^\circ$.

טעות נפוצה: לקחת $BD=|k-8|$ כאילו $B$ ו-$D$ באותו צד של $O$ - $\frac8i=-8i$ נמצא מתחת לציר הממשי.

חוצה הזווית בין $OA$ ($30^\circ$) ל-$OB$ ($90^\circ$) הוא הקרן בזווית $60^\circ$: $u=\rho\operatorname{cis}60^\circ$, $\rho>1$.

$\bar u$ ו-$\frac1u$ שניהם בארגומנט $-60^\circ=300^\circ$, ולכן:

לכן צריך $c=\rho+\frac1\rho$ עם $\rho>1$.

הפונקציה $h(\rho)=\rho+\frac1\rho$ עולה עבור $\rho>1$ ($h'(\rho)=1-\frac1{\rho^2}>0$), $h(1)=2$ ו-$h\to\infty$. לכן היא מקבלת כל ערך גדול מ-2, וכל ערך כזה פעם אחת בדיוק.

התשובה: $c>2$ (ולכל $c$ כזה יש $u$ יחיד).

טעות נפוצה: לכלול את $c=2$ - הוא מתקבל רק ב-$\rho=1$, שנפסל בתנאי $|u|>1$.

$\rho>1$, ולכן $\rho=4$ ו-$u=4\operatorname{cis}60^\circ$.

טעות נפוצה: לכתוב את התשובה עם הארגומנט $300^\circ$ ($u=4\operatorname{cis}300^\circ$) - זה הארגומנט של $\bar u$, ו-$u$ עצמו ברביע הראשון.

אפסים: $x=0$ ו-$x_0=\sqrt[3]{\frac23}$. $f'<0$ ל-$x<0$, $f'>0$ ל-$0<x<x_0$, $f'<0$ ל-$x>x_0$.

מינימום $(0,0)$; מקסימום ב-$x_0$: $f(x_0)=x_0^2e^{a-x_0^3}=\left(\frac23\right)^{\frac23}e^{a-\frac23}$.

טעות נפוצה: לכתוב $f(x_0)=\frac49e^{a-\frac23}$ - $x_0^2=\left(\frac23\right)^{\frac23}$, לא $\left(\frac23\right)^2$.

נעזרים בחקירה:

- $x<0$: $f$ יורדת מ-$+\infty$ (כש-$x\to-\infty$) עד $f(0)=0$, ולכן יש בדיוק פתרון אחד לכל $a$.

- $x>0$: $f$ עולה מ-0 עד המקסימום ואז יורדת ושואפת ל-0. לישר $y=1$ שתי נקודות חיתוך כשהמקסימום גדול מ-1, אחת כשהוא שווה 1, ואף אחת כשהוא קטן.

שלושה פתרונות בדיוק כאשר:

טעות נפוצה: לשכוח את הענף השמאלי ולדרוש רק שהמקסימום יהיה גדול מ-1 כתנאי ל"שני פתרונות" - הענף $x<0$ תמיד נותן פתרון נוסף.

$g''=f'$, ולכן נקודות הפיתול של $g$ הן נקודות הקיצון של $f$: $x=0$ ו-$x_0=\sqrt[3]{\frac23}$ (לכל $a$).

$g'=f\ge0$, ולכן $g$ עולה: B ב-$x_0$ ו-D ב-$0$.

טעות נפוצה: לחפש את נקודות הפיתול של $g$ מהמשוואה $f(x)=0$ - אלה נקודות הקיצון של $g$ (כאן אין כאלה); נקודות הפיתול הן אפסי $g''=f'$.

כש-$x\to\infty$: $e^{1-x^3}\to0$ ולכן $g\to C$. כש-$x\to-\infty$: $g\to-\infty$. האסימפטוטה האופקית היחידה היא $y=C$, ולכן $C=1$:

טעות נפוצה: לבדוק את הגבול ב-$x\to-\infty$ ולהסיק שאין אסימפטוטה - האסימפטוטה האופקית יכולה להיות רק בצד אחד; כאן היא ב-$x\to\infty$.

$x>0$, ו-$\ln x\neq1$, כלומר $x\neq e$.

נפרק: $\frac{3-\ln x}{\ln x-1}=\frac{-(\ln x-1)+2}{\ln x-1}=-1+\frac2{\ln x-1}$.

כש-$x\to e$: $\frac2{\ln x-1}\to\pm\infty$ - אסימפטוטה $x=e$. כש-$x\to\infty$: $f\to-1$ - אסימפטוטה $y=-1$ (וכש-$x\to0^+$ נקודה ריקה $(0,-1)$).

יורדת בכל אחד מהתחומים $0<x<e$, $x>e$.

טעות נפוצה: לשים את האסימפטוטה האנכית ב-$x=1$ (כמו בפונקציות עם $\ln x$ במכנה) - המכנה כאן $\ln x-1$, והוא מתאפס ב-$x=e$.

צריך $f<0$: עם $t=\ln x$, $\frac{3-t}{t-1}<0\iff t<1$ או $t>3$, כלומר $0<x<e$ או $x>e^3$.