בגרות במתמטיקה 572 - קיץ 2022 מועד א'

המעגלים משיקים מבחוץ, ולכן המרחק בין המרכזים שווה לסכום הרדיוסים:

היחס בין הרדיוסים הוא $1:2$ ו-$r<R$, ולכן $R=2r$:

המרכז N הוא $(15,0)$, ולכן משוואת המעגל שמרכזו N היא $(x-15)^2+y^2=36$.

המרכז M הוא $(a,0)$ - גם הוא על ציר ה-$x$ - ומרחקו מ-N הוא 9:

שני הערכים חיוביים, ולכן יש שתי אפשרויות: $(x-6)^2+y^2=9$ או $(x-24)^2+y^2=9$.

טעות נפוצה: להשתמש בתנאי $R-r=9$ (השקה מבפנים) ולקבל $r=9$, $R=18$ - כשהמעגלים משיקים מבחוץ, המרחק בין המרכזים הוא סכום הרדיוסים.

$a<15$, ולכן $a=6$: המעגל הקטן הוא $(x-6)^2+y^2=9$ (מ-$x=3$ עד $x=9$ על ציר ה-$x$), והגדול $(x-15)^2+y^2=36$ (מ-$x=9$ עד $x=21$). הם נוגעים זה בזה בנקודה $(9,0)$.

לשני מעגלים המשיקים מבחוץ יש שלושה משיקים משותפים:

•משיק אחד בנקודת ההשקה, מאונך לקו המרכזים (ציר ה-$x$) - ישר אנכי.

•שני משיקים "חיצוניים", שכל אחד מהם נוגע בשני המעגלים מאותו צד. הציור סימטרי ביחס לציר ה-$x$ (שני המרכזים עליו), ולכן שני המשיקים האלה סימטריים ונחתכים על ציר ה-$x$, משמאל למעגל הקטן.

את נקודת החיתוך P אפשר למקם בעזרת משולשים דומים (הרדיוסים לנקודות ההשקה מקבילים): $\frac{PM}{PN}=\frac{3}{6}$, ו-$PN=PM+9$, ולכן $PM=9$ ו-$P(-3,0)$.

טעות נפוצה: לצייר ארבעה משיקים משותפים, כולל שניים שחוצים את הקטע בין המרכזים - כך זה רק כשהמעגלים זרים. כשהם משיקים, שני המשיקים ה"פנימיים" מתלכדים למשיק האחד בנקודת ההשקה.

נקודת ההשקה נמצאת על קו המרכזים, במרחק $r=3$ מ-$M(6,0)$ לכיוון $N$: הנקודה $(9,0)$.

המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה. הרדיוס מונח על ציר ה-$x$ (אופקי), ולכן המשיק אנכי:

טעות נפוצה: למקם את נקודת ההשקה באמצע הקטע MN, בנקודה $(10.5,0)$, ולקבל $x=10.5$ - הרדיוסים שונים, ונקודת ההשקה נמצאת במרחק $r=3$ מ-M, כלומר ב-$(9,0)$.

ישר משיק למעגל כשמרחק המרכז ממנו שווה לרדיוס. מרחק נקודה $(x_0,y_0)$ מהישר $mx-y+n=0$ הוא $\frac{|mx_0-y_0+n|}{\sqrt{m^2+1}}$.

למעגל שמרכזו $M(6,0)$ ורדיוסו 3, ולמעגל שמרכזו $N(15,0)$ ורדיוסו 6:

מחלקים את המשוואה השנייה בראשונה: $|15m+n|=2|6m+n|$.

אם הביטויים באותו סימן: $15m+n=12m+2n$, כלומר $n=3m$.

אם הם בסימנים הפוכים: $15m+n=-12m-2n$, כלומר $n=-9m$. מציבים במשוואה הראשונה: $|-3m|=3\sqrt{m^2+1}$, כלומר $m^2=m^2+1$ - אין פתרון. (זה המשיק האנכי $x=9$, שאינו מהצורה $mx-y+n=0$.)

מציבים $n=3m$ במשוואה הראשונה:

$m=\frac1{\sqrt8}$, $n=\frac3{\sqrt8}$ או $m=-\frac1{\sqrt8}$, $n=-\frac3{\sqrt8}$.

טעות נפוצה: לכתוב את המרחק בלי המכנה $\sqrt{m^2+1}$ ולקבל $|9m|=3$, כלומר $m=\pm\frac13$ - שיפוע של ישר שאינו משיק.

שני הישרים מסעיף ד הם $y=\pm\frac{1}{\sqrt8}(x+3)$. שניהם עוברים בנקודה $(-3,0)$ וסימטריים ביחס לציר ה-$x$.

כופלים את $\frac1{\sqrt8}x-y+\frac3{\sqrt8}=0$ ב-$\sqrt8$: $x-\sqrt8y+3=0$. מרחק נקודה $(c,0)$ על ציר ה-$x$ מהישר:

מאותה סימטריה זה גם המרחק מהישר השני, ולכן מעגל שמרכזו על ציר ה-$x$ ומשיק לאחד הישרים משיק גם לשני.

המעגל שרדיוסו $R=6$: $\frac{|k+3|}{3}=6$, כלומר $k=15$ או $k=-21$.

המעגל שרדיוסו $r=3$: $\frac{|t+3|}{3}=3$, כלומר $t=6$ או $t=-12$.

המעגלים משיקים מבחוץ, ולכן $|k-t|=r+R=9$. בודקים את הזוגות:

$k=15,t=6$: מרחק 9 - אלה המעגלים הנתונים, ולא "מעגלים אחרים".

$k=15,t=-12$ ו-$k=-21,t=6$: מרחק 27 - המעגלים אינם משיקים.

$k=-21,t=-12$: מרחק 9 - מתאים.

לכן כן, זה ייתכן: $k=-21$, $t=-12$.

טעות נפוצה: לקחת את שני הערכים ה"חדשים" בלי לבדוק את תנאי ההשקה, או לצרף $k=-21$ ל-$t=6$ - המרחק בין המרכזים יוצא 27, והמעגלים אינם משיקים זה לזה.

הנקודה A תלויה בפרמטר, ולכן בונים את המישור משלוש הנקודות הידועות B, C, D:

נחפש נורמל $\vec n=(a,b,c)$ המאונך לשניהם (אפשר לחלק קודם: $(2,2,1)$ ו-$(1,0,1)$):

מהשנייה $c=-a$, ומהראשונה $2a+2b-a=0$, כלומר $b=-\frac a2$. עם $a=2$: $\vec n=(2,-1,-2)$.

המישור: $2x-y-2z+d=0$. מציבים את B: $14-5-10+d=0$, ולכן $d=1$:

בדיקה: C: $2+1-4+1=0$; D: $-4-5+8+1=0$.

טעות נפוצה: לטעות בסימן בהצבת B ($14-5-10+d=0$ נפתר כ-$d=-1$) ולקבל $2x-y-2z-1=0$ - מישור מקביל שאינו עובר בנקודות: הצבת C נותנת $2+1-4-1=-2\ne0$.

A נמצאת במישור, ולכן שיעוריה מקיימים את משוואתו:

טעות נפוצה: לטעות בסימן של $-2z$ עם $z=-1$ ולכתוב $8-p-2+1=0$, כלומר $p=7$.

עם $p=11$: $A(4,11,-1)$.

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$: זוג צלעות נגדיות מקבילות ושוות, ולכן ABCD מקבילית.

צלעות סמוכות שוות - המקבילית היא מעוין.

זווית ישרה - מעוין עם זווית ישרה הוא ריבוע.

טעות נפוצה: להסתפק בשוויון הצלעות $|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{BC}|$ ובזווית ישרה בלי להראות קודם שזו מקבילית - מרובע עם שתי צלעות סמוכות שוות וזווית ישרה אחת אינו בהכרח ריבוע.

שטח הבסיס: הריבוע שצלעו 9, $S_{ABCD}=81$. (או לפי האלכסונים: $|\overrightarrow{AC}|=|(-3,-12,3)|=9\sqrt2$, $\frac12\cdot(9\sqrt2)^2=81$.)

גובה הפירמידה הוא מרחק S ממישור הבסיס:

נקודה כללית על הישר: $S(t,-4+3t,1+t)$. מרחקה מהמישור $2x-y-2z+1=0$:

$t=4$: $S(4,8,5)$; $t=-2$: $S(-2,-10,-1)$.

(בדיקה: C מתקבלת ב-$t=1$ - מרחק 0, כצפוי לנקודה במישור.)

טעות נפוצה: לשכוח את $\frac13$ בנוסחת נפח הפירמידה ולקבל $h=1$, כלומר $t=2$ או $t=0$.

$\pi$ מאונך ל-SC, ולכן וקטור הכיוון של SC, $(1,3,1)$, הוא נורמל של $\pi$.

הזווית בין מישורים היא הזווית (החדה) בין הנורמלים שלהם:

טעות נפוצה: לחשב את הזווית בין וקטור הכיוון $(1,3,1)$ לבין המישור ABCD בנוסחת הסינוס (זווית בין ישר למישור) ולקבל $17.55^\circ$ - כאן מבקשים זווית בין שני מישורים, ולכן קוסינוס בין הנורמלים.

מציבים $z=x+iy$: $z^2=x^2-y^2+2xyi$, $z\bar z=x^2+y^2$, $\bar z=x-iy$.

אגף שמאל: $2x^2+2xyi$.

אגף ימין: $x+iy+2x-2iy+9+7i=(3x+9)+(7-y)i$.

משווים חלק ממשי וחלק מדומה:

מהראשונה $2x^2-3x-9=0$, כלומר $x=3$ או $x=-\frac32$.

מהשנייה $y(2x+1)=7$: עבור $x=3$, $y=1$; עבור $x=-\frac32$, $y=-\frac72$.

ברביע הראשון: $z_1=3+i$. רדיוס המעגל הוא $|z_1|=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}$:

טעות נפוצה: לכתוב את משוואת המעגל עם הרדיוס במקום ריבועו: $x^2+y^2=\sqrt{10}$ - באגף ימין של משוואת מעגל נמצא $R^2=|z_1|^2=10$.

אלכסון של ריבוע החסום במעגל הוא קוטר המעגל: $d=2\sqrt{10}$.

שטח ריבוע לפי האלכסון:

טעות נפוצה: לקחת את הרדיוס $\sqrt{10}$ כצלע הריבוע ולקבל שטח 10 - הרדיוס הוא חצי אלכסון, לא צלע.

מרכז הריבוע הוא מרכז המעגל, הראשית. כל קודקוד מתקבל מהקודם בסיבוב של $90^\circ$ סביב הראשית, וסיבוב ב-$90^\circ$ הוא כפל ב-$i$:

הקודקודים: $(-1,3)$, $(-3,-1)$, $(1,-3)$.

טעות נפוצה: לקחת את הצמוד $\bar z_1=3-i$ כקודקוד - הצמוד הוא שיקוף בציר הממשי, והזווית בין $3+i$ ל-$3-i$ אינה $90^\circ$.

הקודקודים ברביעים הראשון והשלישי הם $z_1$ ו-$-z_1$, ואלה ברביעים השני והרביעי הם $iz_1$ ו-$-iz_1$.

אחרי ההכפלה מתקבלים $w_1z_1$, $-w_1z_1$, $w_2iz_1$, $-w_2iz_1$: כל זוג נגדי סימטרי ביחס לראשית. לכן האלכסונים של המרובע החדש חוצים זה את זה בראשית - המרובע הוא מקבילית.

אורכי האלכסונים (ערך מוחלט של מכפלה = מכפלת הערכים המוחלטים): $2r_1\sqrt{10}$ ו-$2r_2\sqrt{10}$. $r_1\neq r_2$, ולכן האלכסונים אינם שווים - זה לא מלבן.

כפל בהצגה קוטבית מסובב: האלכסון $z_1$ מסתובב ב-$\alpha$, והאלכסון $iz_1$ ב-$\alpha+60^\circ$. במקור הזווית ביניהם $90^\circ$, ועכשיו $90^\circ+60^\circ=150^\circ$ - האלכסונים אינם מאונכים, ולכן זה לא מעוין.

המרובע הוא מקבילית.

טעות נפוצה: לענות "מעוין" כי האלכסונים של הריבוע היו מאונכים - שני הזוגות מסתובבים בזוויות שונות (הפרש של $60^\circ$), והניצבות אובדת.

שטח מרובע לפי האלכסונים והזווית ביניהם: $S=\frac12d_1d_2\sin\theta$.

טעות נפוצה: להשתמש ב-$S=\frac12d_1d_2$ (נכון רק כשהאלכסונים מאונכים) ולקבל $20r_1r_2=24$, כלומר $r_1r_2=1.2$.

נכתוב $f(x)=(x-2)e^x+1$.

כאשר $x\to-\infty$: $e^x\to0$ מהר יותר מש-$x-2$ גדל בערכו המוחלט, ולכן $(x-2)e^x\to0$ ו-$f(x)\to1$. אסימפטוטה: $y=1$.

כאשר $x\to\infty$: $(x-2)e^x\to\infty$, ולכן $f(x)\to\infty$ - אין אסימפטוטה בצד הזה.

טעות נפוצה: לכתוב שהאסימפטוטה $y=1$ מתקבלת כש-$x\to\infty$ - שם $e^x$ גדל ללא גבול; האיבר המעריכי נעלם רק כש-$x\to-\infty$.

מציבים $x=0$, ו-$e^0=1$:

הנקודה: $(0,-1)$.

טעות נפוצה: להציב $e^0=0$ ולקבל $f(0)=1$.

גוזרים את $xe^x$ לפי כלל המכפלה:

$e^x>0$ לכל $x$, ולכן סימן $f'$ כסימן $x-1$: שלילי עבור $x<1$ וחיובי עבור $x>1$.

ירידה: $x<1$; עלייה: $x>1$. (מינימום ב-$(1,1-e)$.)

טעות נפוצה: לגזור $(xe^x)'=e^x$ (כאילו $x$ קבוע) ולקבל $f'(x)=-e^x$, פונקציה יורדת תמיד.

מסכמים: אסימפטוטה $y=1$ משמאל; עבור $x<2$ הביטוי $(x-2)e^x$ שלילי, ולכן הגרף מתחת ל-$y=1$ ומתקרב אליה מלמטה. ירידה עד $x=1$, מינימום $f(1)=1-e\approx-1.72$, ועלייה לאינסוף.

המינימום שלילי והגרף מגיע אליו מ-$y=1$ (חיובי) וממשיך לאינסוף - לכן יש שני חיתוכים עם ציר ה-$x$. אפשר למקם אותם: $f(-2)=1-\frac4{e^2}\approx0.46>0$, $f(-1)=1-\frac3e\approx-0.10<0$; $f(1)<0$, $f(2)=1>0$.

טעות נפוצה: לצייר את הגרף כולו מתחת לציר ה-$x$ משמאל לנקודת המינימום - הגרף מתחיל ליד $y=1$, ולכן הוא חוצה את ציר ה-$x$ לפני ש-$x$ מגיע ל-$-1$.

כאשר $x\to\infty$ מחלקים מונה ומכנה ב-$e^x$:

($xe^{-x}=\frac{x}{e^x}\to0$.)

כאשר $x\to-\infty$: המונה $1-e^x\to1$, והמכנה $e^x-x\to\infty$ (כי $-x\to\infty$), ולכן $g(x)\to0$.

האסימפטוטות: $y=-1$ כש-$x\to\infty$, $y=0$ כש-$x\to-\infty$.

טעות נפוצה: לחשוב שכש-$x\to-\infty$ המכנה שואף ל-0 (כי $e^x\to0$) ולהסיק שאין אסימפטוטה - המכנה כולל גם $-x$, שגדל לאינסוף.

$g(x)=0$ כשהמונה מתאפס (המכנה חיובי לכל $x$):

הנקודה: $(0,0)$.

טעות נפוצה: לפתור $e^x=1$ כ-$x=1$ - $e^x=1$ רק כש-$x=0$.

נגזרת של מנה:

במונה: $-(1-e^x)(e^x-1)=(e^x-1)^2=e^{2x}-2e^x+1$, ולכן:

טעות נפוצה: להפוך את סדר החיסור במונה ($N\cdot D'-N'\cdot D$) - מתקבל $-f(x)$, והסימן של כל המסקנות בהמשך מתהפך.

לפי סעיף ב(3), המכנה של $g'$ הוא ריבוע חיובי, ולכן סימן $g'(x)$ כסימן $f(x)$.

מהסקיצה: ל-$f$ שני אפסים $x_1<x_2$ ($-2<x_1<-1$, $1<x_2<2$), ו-$f$ חיובית משמאל ל-$x_1$, שלילית בין $x_1$ ל-$x_2$ וחיובית מימין ל-$x_2$.

לכן $g$ עולה, יורדת ועולה: ב-$x_1$ מקסימום וב-$x_2$ מינימום.

התשובה: נקודת מקסימום אחת ונקודת מינימום אחת.

טעות נפוצה: לחפש את הקיצון של $g$ בנקודת המינימום של $f$ ($x=1$) - הקיצון של $g$ נמצא היכן ש-$g'=0$, כלומר באפסים של $f$, ולא בקיצון של $f$.

מסכמים: אסימפטוטה $y=0$ משמאל ו-$y=-1$ מימין; חיתוך יחיד עם הצירים בראשית; מקסימום ב-$x_1$ ומינימום ב-$x_2$.

עבור $x<0$ המונה $1-e^x$ חיובי, ולכן הגרף מעל ציר ה-$x$ ומתקרב ל-0 מלמעלה. עבור $x>0$ הגרף שלילי.