בגרות במתמטיקה 572 - חורף 2023

המוקדים על ציר ה-$x$, ולכן הציר הגדול אופקי: $a^2=9$, $a=3$, והקשר בין הפרמטרים הוא $c^2=a^2-b^2=9-b^2$.

המוקדים: $F_1(-c,0)$, $F_2(c,0)$. נקודות החיתוך עם ציר ה-$y$: $D_1(0,b)$, $D_2(0,-b)$.

האלכסונים של המרובע $F_1D_1F_2D_2$ הם $F_1F_2$ (על ציר ה-$x$) ו-$D_1D_2$ (על ציר ה-$y$). הם מאונכים וחוצים זה את זה בראשית, ולכן המרובע מעוין. מעוין הוא ריבוע כשהאלכסונים שלו שווים:

מציבים בקשר בין הפרמטרים:

$b$ חיובי, ולכן $b=\sqrt{4.5}=\frac{3}{\sqrt2}$.

טעות נפוצה: לכתוב $c^2=a^2+b^2$ (כמו בהיפרבולה) - כך מתקבלת המשוואה $b^2=9+b^2$ שאין לה פתרון. באליפסה $a$ הוא הגדול, ו-$c^2=a^2-b^2$.

שטח של מרובע שאלכסוניו מאונכים הוא מחצית מכפלת האלכסונים.

האלכסונים: $F_1F_2=2c=2b$ ו-$D_1D_2=2b$, כאשר $b^2=4.5$:

בדיקה: צלע הריבוע היא $F_1D_1=\sqrt{c^2+b^2}=\sqrt{9}=3$, ו-$3^2=9$.

טעות נפוצה: לחשב את השטח כמכפלת האלכסונים בלי לחלק ב-2 ולקבל 18.

האליפסה: $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4.5}=1$, $a=3$, $c=\sqrt{9-4.5}=\sqrt{4.5}$, ולכן $F_1\left(-\sqrt{4.5},0\right)$.

הנקודה $E$ נמצאת בין $F_1$ ל-$M$ על אותו ישר, ולכן:

לפי הנתון $EM=EF_2$:

לפי הגדרת האליפסה, סכום המרחקים של כל נקודה עליה מהמוקדים קבוע ושווה $2a$:

כלומר כל נקודה $M$ נמצאת במרחק 6 מהנקודה הקבועה $F_1$ - היא על המעגל שמרכזו $F_1$ ורדיוסו 6.

להפך: לכל נקודה $M$ על המעגל, הקרן $F_1M$ חותכת את האליפסה בנקודה $E$ (כי $F_1$ בתוך האליפסה), ו-$EM=6-EF_1=EF_2$. לכן המקום הגאומטרי הוא המעגל כולו:

טעות נפוצה: לקחת את הרדיוס $a=3$ במקום $2a=6$, או למקם את המרכז בראשית. הנקודה הקבועה שממנה המרחק קבוע היא המוקד $F_1$, והמרחק הוא סכום שני המרחקים - $2a$.

$\frac{3}{\sqrt2}=\sqrt{4.5}$, ולכן הזזה ימינה ב-$\sqrt{4.5}$ מביאה את המרכז $\left(-\sqrt{4.5},0\right)$ לראשית:

מכפילים את שיעור ה-$y$ ב-$\frac23$: נקודה $(x_0,y_0)$ על המעגל עוברת לנקודה $(X,Y)$ שבה $X=x_0$, $Y=\frac23y_0$, כלומר $y_0=\frac32Y$.

מציבים במשוואת המעגל:

מחלקים ב-36:

העקום החדש הוא אליפסה שמרכזה בראשית, $a=6$ (על ציר ה-$x$) ו-$b=4$.

טעות נפוצה: להציב $y=\frac23Y$ במקום $y=\frac32Y$ ולקבל $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{81}=1$ - אליפסה שנמתחה במקום שתתכווץ. אם השיעור החדש הוא $\frac23$ מהישן, הישן הוא $\frac32$ מהחדש.

נקודות החיתוך של $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{16}=1$ עם ציר ה-$x$: $(-6,0)$ ו-$(6,0)$. הבסיס שלהם קבוע: אורכו 12.

הקודקוד השלישי $(x_0,y_0)$ על האליפסה. הגובה לבסיס (שנמצא על ציר ה-$x$) הוא $|y_0|$:

השטח גדל כש-$|y_0|$ גדל. על האליפסה $y_0^2=16\left(1-\frac{x_0^2}{36}\right)\le16$, ולכן $|y_0|\le4$, עם שוויון בקודקודים $(0,\pm4)$.

טעות נפוצה: לקחת כגובה את חצי הציר הגדול, 6, ולקבל $\frac{12\cdot6}{2}=36$ - הקודקוד השלישי על האליפסה, והגובה שלו מעל ציר ה-$x$ הוא לכל היותר חצי הציר הקטן, 4.

שני מישורים במרחב הם מקבילים (או מתלכדים) או נחתכים בישר. הם מקבילים רק אם וקטורי הנורמל שלהם מקבילים.

הנורמלים: $\underline n_1=(k+2,1,k+1)$, $\underline n_2=(k+1,1,1)$.

אילו $\underline n_1=t\cdot\underline n_2$, אז לפי הרכיב השני $1=t\cdot1$, כלומר $t=1$, ולפי הרכיב הראשון:

סתירה - לכן לאף ערך של $k$ הנורמלים אינם מקבילים, והמישורים נחתכים בישר.

טעות נפוצה: לבדוק מקבילות בתנאי $\underline n_1\cdot\underline n_2=0$ (זה תנאי ניצבות): מתקבל $(k+2)(k+1)+1+(k+1)=(k+2)^2=0$, ומסיקים בטעות שב-$k=-2$ המישורים מקבילים. נורמלים מקבילים הם כפולה זה של זה.

ישר החיתוך מוכל בשני המישורים, ולכן וקטור הכיוון שלו מאונך לשני הנורמלים. $\ell_1\parallel\ell_2$, ולכן גם $\underline u=(-1,k,k)$ מאונך לשני הנורמלים.

עם $\underline n_2$:

בדיקה עם $\underline n_1$:

ב-$k=1$: $1+1-2=0$ ✓. (למשוואה $k^2+k-2=0$ יש גם הפתרון $k=-2$, אבל הוא אינו מקיים את התנאי עם $\underline n_2$.)

$k=1$.

טעות נפוצה: לפתור רק $k^2+k-2=0$ ולענות $k=1$ או $k=-2$. וקטור הכיוון צריך להיות מאונך לשני הנורמלים בבת אחת, ולכן מצליבים את שני התנאים.

ב-$k=1$: $\pi_1: 3x+y+2z+11=0$, $\pi_2: 2x+y+z-5=0$.

וקטור הכיוון: מקביל ל-$\ell_2$, כלומר $(-1,1,1)$ (בדיקה: $-3+1+2=0$, $-2+1+1=0$).

נקודה על הישר: מציבים $x=0$ בשתי המשוואות:

מחסרים: $z=-16$, ואז $y=21$. הנקודה $(0,21,-16)$.

טעות נפוצה: לבחור נקודה שמקיימת רק את $\pi_1$, למשל $(0,-11,0)$, ולכתוב $\underline x=(0,-11,0)+t(-1,1,1)$ - הנקודה אינה ב-$\pi_2$ ($-11-5\ne0$), וזה ישר מקביל ל-$\ell_1$ ולא $\ell_1$ עצמו.

הזווית בין מישורים היא הזווית החדה בין הנורמלים:

$\underline n_1=(3,1,2)$, $\underline n_2=(2,1,1)$:

טעות נפוצה: להשתמש בנוסחת הסינוס (של זווית בין ישר למישור) ולקבל $\sin\alpha=\frac{9}{\sqrt{84}}$, כלומר $\alpha\approx79.11^\circ$ - הזווית בין מישורים היא הזווית בין הנורמלים, ולכן קוסינוס.

$P$ במישור $[yz]$, כלומר $x=0$. על $\ell_1$: $x=-t=0$, ולכן $t=0$ ו-$P(0,21,-16)$ (זו הנקודה שמצאנו ב-ב(2)).

$A$ על ציר ה-$y$: $x=z=0$. מציבים ב-$\pi_1$: $y+11=0$, $y=-11$: $A(0,-11,0)$.

$B$: מציבים $x=z=0$ ב-$\pi_2$: $y-5=0$: $B(0,5,0)$.

טעות נפוצה: לפרש "מישור $[yz]$" כ-$y=0$ או $z=0$. המישור שמכיל את צירי $y$ ו-$z$ הוא המישור שבו $x=0$.

לשלוש הנקודות $x=0$, ולכן המשולש נמצא במישור $[yz]$.

$A$ ו-$B$ על ציר ה-$y$: $AB=5-(-11)=16$.

הגובה מ-$P$ לציר ה-$y$ (בתוך המישור $[yz]$) הוא $|z_P|=16$.

טעות נפוצה: לקחת את הגובה כ-$|y_P|=21$ - הבסיס $AB$ נמצא על ציר ה-$y$, ולכן הגובה הוא המרחק מציר ה-$y$, כלומר $|z_P|$.

כותבים את אגף ימין בהצגה קוטבית: $-27$ נמצא על החלק השלילי של הציר הממשי, ולכן

נחפש $w=r\text{cis}\theta$. לפי דה-מואבר $w^6=r^6\text{cis}(6\theta)$, ולכן:

הפתרונות: $\sqrt3\text{cis}30^\circ$, $\sqrt3\text{cis}90^\circ$, $\sqrt3\text{cis}150^\circ$, $\sqrt3\text{cis}210^\circ$, $\sqrt3\text{cis}270^\circ$, $\sqrt3\text{cis}330^\circ$.

טעות נפוצה: לכתוב $-27=27\text{cis}0^\circ$ (להתעלם מהסימן) ולקבל את הזוויות $0^\circ,60^\circ,\dots$ - אלה הפתרונות של $w^6=27$.

אם נסמן $w=z+\frac{\sqrt3}{2}i$, משוואה II היא בדיוק $w^6=-27$. לכן $z=w-\frac{\sqrt3}{2}i$, כאשר $w$ עובר על פתרונות משוואה I.

מעבירים כל $w$ להצגה אלגברית ($\cos30^\circ=\frac{\sqrt3}{2}$, $\sin30^\circ=\frac12$):

טעות נפוצה: להוסיף $\frac{\sqrt3}{2}i$ במקום לחסר ($z=w+\frac{\sqrt3}{2}i$). מ-$z+\frac{\sqrt3}{2}i=w$ מבודדים $z$ על ידי חיסור.

לכל פתרון של משוואה II: $\left|z+\frac{\sqrt3}{2}i\right|=|w|=\sqrt3$.

הביטוי $\left|z-\left(-\frac{\sqrt3}{2}i\right)\right|$ הוא המרחק של $z$ מהנקודה $\left(0,-\frac{\sqrt3}{2}\right)$. כל הפתרונות נמצאים באותו מרחק, $\sqrt3$, מהנקודה הזאת - כלומר על מעגל שמרכזו $\left(0,-\frac{\sqrt3}{2}\right)$ ורדיוסו $\sqrt3$.

(במילים אחרות: פתרונות I נמצאים על המעגל $|w|=\sqrt3$, ו-II מתקבלת מהם בהזזה של $\frac{\sqrt3}{2}$ כלפי מטה.)

טעות נפוצה: לכתוב $y-\frac{\sqrt3}{2}$ - המרכז הוא $-\frac{\sqrt3}{2}i$, כי $\left|z+\frac{\sqrt3}{2}i\right|=\left|z-\left(-\frac{\sqrt3}{2}i\right)\right|$.

פתרונות משוואה I נמצאים כולם במרחק $\sqrt3$ מהראשית, והזוויות שלהם $30^\circ,90^\circ,\dots,330^\circ$ - הפרש קבוע של $60^\circ$ בין שכנים.

לכן כל שני פתרונות סמוכים יוצרים עם הראשית משולש שווה-שוקיים ($\sqrt3$, $\sqrt3$) עם זווית ראש $60^\circ$ - משולש שווה-צלעות. כל הצלעות $w_kw_{k+1}$ שוות ל-$\sqrt3$, וכל הזוויות של המשושה שוות $120^\circ$ (שתי זוויות של $60^\circ$ בכל קודקוד): פתרונות I הם קודקודים של משושה משוכלל.

כל פתרון של II מתקבל מפתרון של I בחיסור אותו מספר, $\frac{\sqrt3}{2}i$ - הזזה של כל הנקודות באותו וקטור. הזזה שומרת על מרחקים ועל זוויות, ולכן גם פתרונות II הם קודקודים של משושה משוכלל.

טעות נפוצה: להראות רק שכל הפתרונות על מעגל - שש נקודות על מעגל אינן בהכרח משושה משוכלל. צריך גם את המרווחים השווים בין הזוויות.

הפתרונות הממשיים: $\frac32$ ו-$-\frac32$. הפתרונות המדומים (טהורים): $\frac{\sqrt3}{2}i$ ו-$-\frac{3\sqrt3}{2}i$.

הקודקודים: $\left(\frac32,0\right)$, $\left(0,\frac{\sqrt3}{2}\right)$, $\left(-\frac32,0\right)$, $\left(0,-\frac{3\sqrt3}{2}\right)$.

האלכסונים נמצאים על הצירים, ולכן מאונכים. הציר המדומה חוצה את האלכסון שעל הציר הממשי (מ-$-\frac32$ עד $\frac32$), ולכן הוא אנך אמצעי שלו: שני הקודקודים שעל הציר המדומה רחוקים באותה מידה משני הקודקודים הממשיים.

חישוב הצלעות: מ-$\left(0,\frac{\sqrt3}{2}\right)$ לקודקודים הממשיים - $\sqrt{\frac94+\frac34}=\sqrt3$ לכל אחד; מ-$\left(0,-\frac{3\sqrt3}{2}\right)$ - $\sqrt{\frac94+\frac{27}{4}}=3$ לכל אחד.

שני זוגות של צלעות סמוכות שוות ($\sqrt3$, $\sqrt3$ ו-$3$, $3$), והזוגות שונים זה מזה - המרובע הוא דלתון (ולא מעוין).

טעות נפוצה: לענות "מעוין" כי האלכסונים מאונכים - במעוין האלכסונים גם חוצים זה את זה, וכאן הציר הממשי אינו חוצה את האלכסון האנכי (מ-$\frac{\sqrt3}{2}$ עד $-\frac{3\sqrt3}{2}$).

המשושה המשוכלל: צלעו שווה לרדיוס $\sqrt3$, והוא מורכב משישה משולשים שווי-צלעות:

הדלתון: האלכסונים מאונכים, באורך $3$ (מ-$-\frac32$ עד $\frac32$) ו-$2\sqrt3$ (מ-$\frac{\sqrt3}{2}$ עד $-\frac{3\sqrt3}{2}$):

טעות נפוצה: לשכוח לחלק את מכפלת האלכסונים ב-2 (שטח דלתון $6\sqrt3$) - ואז היחס יוצא $0.75$.

המכנה לא יכול להתאפס. נציב $t=e^x$ ($t>0$):

$e^x=1\Rightarrow x=0$, $e^x=4\Rightarrow x=\ln4$.

תחום ההגדרה: $x\ne0$, $x\ne\ln4$.

טעות נפוצה: לפסול $x=1$ ו-$x=4$ - אלה הערכים של $t=e^x$, ולא של $x$. צריך לחזור מ-$t$ ל-$x$ בעזרת $\ln$.

אסימפטוטות אנכיות: במקומות שבהם המכנה מתאפס והמונה אינו מתאפס ($2e^{2x}>0$ תמיד): $x=0$, $x=\ln4$.

כש-$x\to\infty$: מחלקים מונה ומכנה ב-$e^{2x}$:

כש-$x\to-\infty$: $e^x\to0$, ולכן המונה $\to0$ והמכנה $\to4$:

האסימפטוטות האופקיות: $y=2$ (כש-$x\to\infty$) ו-$y=0$ (כש-$x\to-\infty$).

טעות נפוצה: לכתוב אסימפטוטה אופקית אחת $y=2$ לשני הכיוונים, כמו בפונקציה רציונלית - בפונקציה מעריכית ההתנהגות ב-$\infty$ וב-$-\infty$ שונה, ובודקים כל כיוון בנפרד.

נגזרת מנה, עם $D=e^{2x}-5e^x+4$ ו-$D'=2e^{2x}-5e^x$:

מוציאים $2e^{2x}$ מהמונה:

$2e^{2x}>0$ ו-$D^2>0$, ולכן הסימן נקבע לפי $8-5e^x$: חיובי כש-$e^x<\frac85$, כלומר $x<\ln\frac85$.

$\ln\frac85\approx0.47$ נמצא בין $0$ ל-$\ln4$. בהתחשב בתחום:

עלייה: $x<0$, $0<x<\ln\frac85$. ירידה: $\ln\frac85<x<\ln4$, $x>\ln4$.

טעות נפוצה: לכתוב עלייה $x<\ln\frac85$ כקטע אחד - $x=0$ אינו בתחום (אסימפטוטה), ולכן תחום העלייה מתפצל לשני קטעים.

למכנים ערך זהה, ולכן בתוך התחום $f(x)=g(x)$ כשהמונים שווים:

$e^x>0$, ולכן $e^x=\frac52$, $x=\ln\frac52$ (בתחום: $\frac52\ne1,4$).