בגרות במתמטיקה 572 - קיץ 2022 מועד ב'

מרכז של מעגל שעובר ב-A וב-B נמצא במרחק רדיוס משתי הנקודות, כלומר במרחק שווה מ-A ומ-B. לכן המרכז נמצא על האנך האמצעי לקטע AB, וכל נקודה על האנך האמצעי היא מרכז של מעגל כזה (הרדיוס הוא המרחק שלה מ-A).

אמצע הקטע:

שיפוע AB:

השיפוע של ישר מאונך הוא ההופכי והנגדי: $m=1$.

המקום הגאומטרי: $x-y+3=0$.

טעות נפוצה: להציב את השיפוע של AB עצמו ($-1$) ולקבל $y=-x-2$ - זה הישר AB, ולא האנך האמצעי לו.

לאליפסה שמשוואתה קנונית המרכז בראשית והמוקדים על ציר ה-$x$ בנקודות $(-c,0)$ ו-$(c,0)$ - סימטריים ביחס לציר ה-$y$.

שתי נקודות החיתוך של המעגל עם ציר ה-$x$ הן מיתר של המעגל, ומרכז המעגל נמצא על האנך האמצעי למיתר הזה. האנך האמצעי לקטע שבין $(-c,0)$ ל-$(c,0)$ הוא ציר ה-$y$, ולכן מרכז המעגל M על ציר ה-$y$: $x=0$.

המרכז נמצא גם על המקום הגאומטרי מסעיף א:

הרדיוס הוא המרחק מהמרכז ל-B:

(בדיקה: $MA=\sqrt{5^2+0^2}=5$.)

טעות נפוצה: לקבוע שמרכז המעגל הוא ראשית הצירים, כי מרכז האליפסה בראשית. הראשית אינה על הישר $y=x+3$, ולכן אינה מרכז של מעגל שעובר ב-A וב-B.

משוואת המעגל M: $x^2+(y-3)^2=25$.

חיתוך עם ציר ה-$x$ ($y=0$):

המוקדים $(\pm4,0)$, ולכן $c=4$.

הציר הראשי שווה לקוטר: $2a=2R=10$, ולכן $a=5$.

באליפסה: $b^2=a^2-c^2=25-16=9$.

טעות נפוצה: לחשב $b^2=a^2+c^2=41$ (הקשר של היפרבולה) - באליפסה $a$ הוא הגדול, ו-$b^2=a^2-c^2$.

המוקד השמאלי $(-4,0)$, ולכן הישר הוא $x=-4$. המוקד הימני $F(4,0)$.

חיתוך עם האליפסה:

$TQ=\frac95-\left(-\frac95\right)=\frac{18}{5}$.

חיתוך עם המעגל:

$KL=6$.

לשני המשולשים יש בסיס על הישר $x=-4$ וקודקוד משותף F. הגובה של שניהם הוא המרחק של F מהישר: $4-(-4)=8$. לכן יחס השטחים שווה ליחס הבסיסים:

טעות נפוצה: לקחת מהאליפסה רק את $y=\frac95$ ולחשב $TQ=\frac95$ - אורך הקטע הוא המרחק בין שתי נקודות החיתוך, $\frac{18}{5}$, ואז היחס יוצא בטעות $\frac{10}{3}$.

נסמן את האורך המשותף $|\underline{u}|=|\underline{v}|=|\underline{w}|=a$. הזוויות בקודקוד O ישרות, ולכן $\underline{u}\cdot\underline{v}=\underline{v}\cdot\underline{w}=\underline{u}\cdot\underline{w}=0$.

וקטור מאונך למישור מאונך לכל שני וקטורים לא מקבילים במישור. במישור ABC: $\overrightarrow{AB}=\underline{v}-\underline{u}$, $\overrightarrow{BC}=\underline{w}-\underline{v}$.

ולכן $s=t$.

ולכן $k=s$. מכאן $t=s=k$.

טעות נפוצה: להסתפק בניצבות ל-$\overrightarrow{AB}$ בלבד - היא נותנת רק $s=t$. ניצבות למישור דורשת שני וקטורים לא מקבילים במישור.

נסמן ב-D את אמצע BC: $\overrightarrow{OD}=\frac12\underline{v}+\frac12\underline{w}$.

מפגש התיכונים מחלק את התיכון AD ביחס $2:1$ מהקודקוד, ולכן $\overrightarrow{AM}=\frac23\overrightarrow{AD}$:

ל-$\overrightarrow{OM}$ שלושה מקדמים שווים. לפי החישוב של סעיף א, וקטור כזה מאונך ל-$\overrightarrow{AB}$ ול-$\overrightarrow{BC}$ (המכפלות שם יוצאות $(s-t)a^2=0$ ו-$(k-s)a^2=0$), ולכן מאונך לבסיס.

O היא הקודקוד ו-M נמצאת בבסיס, ולכן OM הוא הגובה לבסיס ABC.

טעות נפוצה: לכתוב $\overrightarrow{AM}=\frac13\overrightarrow{AD}$ - היחס $2:1$ נמדד מהקודקוד, והחלק הארוך ($\frac23$) הוא מ-A עד M.

לשתי הפירמידות אותו בסיס ABC, ולכן יחס הנפחים הוא יחס הגבהים. הגובה של OABC הוא OM, והגובה של PABC הוא PM (P על הישר $\ell$ המאונך לבסיס). צריך: $PM=2\cdot OM$.

P על הישר OM, ולכן $\overrightarrow{OP}=\lambda(\underline{u}+\underline{v}+\underline{w})$, ו-M מתקבלת עבור $\lambda=\frac13$.

$\vec{OP_1}=\underline{u}+\underline{v}+\underline{w}$ (מעבר לבסיס), $\vec{OP_2}=-\frac13\underline{u}-\frac13\underline{v}-\frac13\underline{w}$ (בצד של O, מעבר ל-O).

טעות נפוצה: לכתוב $\overrightarrow{OP}=2\overrightarrow{OM}$ - הגובה של PABC נמדד מ-P עד הבסיס (PM), ולא מ-O; עבור $\overrightarrow{OP}=2\overrightarrow{OM}$ מתקבל $PM=OM$ ונפח שווה.

$|\underline{u}|=|\underline{v}|=|\underline{w}|=a$, והקודקודים על החלקים החיוביים של הצירים:

כיוון הישר $\ell$ הוא כיוון $\overrightarrow{OM}$, כלומר $\underline{u}+\underline{v}+\underline{w}=(a,a,a)$, המקביל ל-$(1,1,1)$. הישר עובר ב-O, הראשית:

טעות נפוצה: להעביר את הישר דרך A במקום דרך O ולכתוב $(x,y,z)=(a,0,0)+t(1,1,1)$ - זה ישר מקביל ל-$\ell$ שאינו עובר בראשית; $\ell$ הוא הגובה מ-O, ולכן עובר בראשית.

$\ell$ מאונך לבסיס, ולכן $(1,1,1)$ הוא וקטור נורמל למישור ABC:

מציבים את $A(a,0,0)$: $a+D=0$, $D=-a$.

(בדיקה: $B(0,a,0)$ ו-$C(0,0,a)$ מקיימות.)

טעות נפוצה: לכתוב $x+y+z=0$ - זה המישור המקביל שעובר ב-O, ו-O אינה בבסיס.

נבחר את OAB כבסיס: משולש ישר זווית ב-O, ששטחו $\frac{a\cdot a}{2}$. OC מאונך למישור OAB, ולכן הוא הגובה:

טעות נפוצה: לשכוח את $\frac13$ בנוסחת נפח הפירמידה ($V=\frac{a^3}{2}$) ולקבל $a^3=\frac{125}{3}$.

הצמוד של $z$ הוא $\bar z=R(\cos(-\alpha)+i\sin(-\alpha))$. בחילוק מחלקים מודולים ומחסרים ארגומנטים:

$-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i$ הוא מספר שהמודול שלו 1 והארגומנט שלו $120^\circ$, ולכן:

בתחום $0^\circ\le\alpha<360^\circ$: $\alpha=60^\circ$ או $\alpha=240^\circ$. $z$ ברביע השלישי, ולכן $\alpha=240^\circ$.

טעות נפוצה: לחלק את $120^\circ$ ב-2 ולעצור ב-$\alpha=60^\circ$ - זה ברביע הראשון; המחזוריות $360^\circ n$ מתחלקת גם היא ב-2 ונותנת פתרון נוסף.

ערך מוחלט של מכפלה הוא מכפלת הערכים המוחלטים, ושל מנה - המנה. $|i|=1$, $|\bar z|=|z|=R$:

טעות נפוצה: לפשט $\frac1i=-i$ ולהמשיך כאילו $\left|\frac{\bar z}{i}\right|=-R$: מתקבל $2R-R-1=8$, כלומר $R=9$ - הערך המוחלט של $-i$ הוא 1, וערך מוחלט אינו שלילי.

$z=3\,\text{cis}\,240^\circ$. לפי משפט דה-מואבר:

$\frac{z}{\bar z}=\text{cis}\,120^\circ$ (סעיף א):

שני האגפים שווים 1, ולכן $\frac{z}{\bar z}$ פותר את המשוואה.

טעות נפוצה: להעלות בחזקה רק את הארגומנט ולכתוב $z^3=3\,\text{cis}\,720^\circ$ - גם המודול מועלה בחזקה: $3^3=27$.

$B=\frac{z}{\bar z}=-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}i$ ו-$C=\frac{\bar z}{z}=-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i$ - מספרים צמודים, כלומר נקודות סימטריות ביחס לציר הממשי. האנך האמצעי לבסיס BC הוא הציר הממשי.

במשולש שווה שוקיים קודקוד הראש נמצא על האנך האמצעי לבסיס, ולכן $z+k$ ממשי.

חיבור מספר מדומה טהור $k=bi$ משנה רק את החלק המדומה:

($A=-\frac32$.)

טעות נפוצה: לבחור $k=-\frac{3\sqrt3}{2}i$ - החלק המדומה של $z$ שלילי, ולכן כדי להגיע לציר הממשי מוסיפים מספר מדומה חיובי.

$A\left(-\frac32,0\right)$, $B\left(-\frac12,\frac{\sqrt3}{2}\right)$, $O(0,0)$, $C\left(-\frac12,-\frac{\sqrt3}{2}\right)$.

$AB=AC$ (שוקיים) ו-$OB=OC=1$, ולכן ABOC דלתון. האלכסון AO על הציר הממשי והאלכסון BC אנכי - הם מאונכים. BC חותך את AO בנקודה $\left(-\frac12,0\right)$ שבין A ל-O, ולכן הדלתון קמור.

טעות נפוצה: לחשב רק את שטח המשולש ABC ($\frac12\cdot\sqrt3\cdot1=\frac{\sqrt3}{2}$) ולשכוח את המשולש OBC שגם הוא חלק מהמרובע.

$e^{a-x^3}>0$ לכל $x$ (חזקה של $e$ תמיד חיובית).

$x^2\ge0$, ושווה 0 רק ב-$x=0$.

לכן $f(x)>0$ לכל $x\neq0$, ו-$f(0)=0$.

טעות נפוצה: לענות $x>0$ - הגורם הוא $x^2$, שחיובי גם עבור $x$ שלילי.

גוזרים לפי כלל המכפלה; הנגזרת של $e^{a-x^3}$ היא $-3x^2e^{a-x^3}$ (כלל השרשרת):

$e^{a-x^3}\neq0$, ולכן $f'(x)=0$ כש-$x=0$ או $x^3=\frac23$, כלומר $x=\sqrt[3]{\frac23}\approx0.874$.

טבלת סימנים:

- $x<0$: $x<0$ ו-$2-3x^3>0$, ולכן $f'<0$ (יורדת).

- $0<x<\sqrt[3]{\frac23}$: שני הגורמים חיוביים, $f'>0$ (עולה).

- $x>\sqrt[3]{\frac23}$: $2-3x^3<0$, $f'<0$ (יורדת).

מינימום ב-$x=0$, מקסימום ב-$x=\sqrt[3]{\frac23}$.

טעות נפוצה: לשכוח את הנגזרת הפנימית $-3x^2$ ולכתוב $f'=2xe^{a-x^3}+x^2e^{a-x^3}$ - מתקבלים אפסים $0$ ו-$-2$, שאינם נקודות הקיצון.

האפסים של $f'$ הם $x=0$ ו-$x_0=\sqrt[3]{\frac23}$. משמאל ל-0 ומימין ל-$x_0$ הגרף של $f'$ לא חוזר לציר, ולכן השטח הכלוא היחיד הוא בין $0$ ל-$x_0$, שם $f'>0$.

$f$ היא פונקציה קדומה של $f'$:

מצד שני:

משווים: $e^{a-\frac23}=e^{\frac13}$, ולכן $a-\frac23=\frac13$, $a=1$.

טעות נפוצה: לחלץ $\sqrt[3]{\frac{4e}{9}}=\left(\frac23\right)^{\frac23}e$ (לשכוח שהשורש השלישי חל גם על $e$) ולקבל $a-\frac23=1$, כלומר $a=\frac53$ - $\sqrt[3]{e}=e^{\frac13}$.

מאספים את מה שידוע עבור $f(x)=x^2e^{1-x^3}$:

- $f\ge0$, ומתאפסת רק ב-$x=0$.

•מינימום $(0,0)$, מקסימום ב-$x=\sqrt[3]{\frac23}\approx0.87$: $f=\left(\frac23\right)^{\frac23}e^{\frac13}\approx1.06$.

- $x\to-\infty$: $x^2\to\infty$ ו-$1-x^3\to\infty$, ולכן $f\to\infty$.

- $x\to\infty$: $e^{1-x^3}\to0$ מהר יותר מש-$x^2$ גדל, ולכן $f\to0$ מלמעלה ($y=0$ אסימפטוטה מימין).

טעות נפוצה: לצייר את הענף השמאלי מתחת לציר ה-$x$ - $f>0$ לכל $x\neq0$ (סעיף א(1)).

$g'(x)=f(x)$, ולפי סעיף א(1) $f(x)>0$ לכל $x\neq0$ ו-$f(0)=0$.

נגזרת חיובית בכל מקום, פרט לנקודה בודדת שבה היא מתאפסת ולא מחליפה סימן - הפונקציה עולה בכל התחום.

טעות נפוצה: לענות לפי תחום העלייה של $f$ ($0<x<\sqrt[3]{\frac23}$) - העלייה של $g$ נקבעת לפי הסימן של $f$, לא לפי העלייה שלה.

$g''(x)=f'(x)$. נקודת פיתול של $g$ היא נקודה שבה $g''$ מחליפה סימן, כלומר נקודת קיצון של $f$.

ל-$f$ שתי נקודות קיצון ($x=0$ ו-$x=\sqrt[3]{\frac23}$), ובשתיהן $f'$ מחליפה סימן. לכן ל-$g$ שתי נקודות פיתול.

טעות נפוצה: לחשוב ש-$x=0$ היא נקודת קיצון של $g$ (כי $g'(0)=0$) ולענות "נקודת פיתול אחת" - $g'$ לא מחליפה סימן ב-0, ולכן זו נקודת פיתול עם משיק אופקי.

$g$ עולה (סעיף ד(1)), ולכן הערך הגבוה בנקודת הפיתול הימנית: $x_B=\sqrt[3]{\frac23}$.

הנגזרת של $e^{1-x^3}$ היא $-3x^2e^{1-x^3}$, ולכן:

מציבים את B: $x_B^3=\frac23$, $1-\frac23=\frac13$:

טעות נפוצה: לכתוב $\int x^2e^{1-x^3}dx=\frac13e^{1-x^3}+C$ בלי סימן המינוס - הנגזרת הפנימית $-3x^2$ שלילית.

מאספים את התכונות:

- $f$ אי-זוגית: הגרף סימטרי ביחס לראשית, ו-$f(0)=-f(0)$, כלומר $f(0)=0$.

•המינימום $(-1,-a)$ משתקף בראשית למקסימום $(1,a)$.

- $y=0$ אסימפטוטה, ומהסימטריה - משני הצדדים.

•רציפה, ולכן עוברת מהמינימום למקסימום דרך הראשית.

טעות נפוצה: לשקף את המינימום ביחס לציר ה-$y$ ולצייר מינימום שני ב-$(1,-a)$ - שיקוף כזה מתאים לפונקציה זוגית; באי-זוגית משקפים בראשית.

$\ln$ מוגדר רק למספרים חיוביים, ולכן צריך $f(x)>0$.

לפי הסקיצה, $f>0$ בדיוק עבור $x>0$ (משמאל לראשית הגרף מתחת לציר, וב-$x=0$ הוא מתאפס).