בגרות במתמטיקה 572 - חורף 2022

פרבולה קנונית שמוקדה על ציר ה-$x$: $y^2=2px$, ומוקדה בנקודה $\left(\frac p2,0\right)$.

$\frac p2=t$, ולכן $p=2t$ ומשוואת הפרבולה: $y^2=4tx$.

באליפסה קנונית $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ המוקדים הם $(\pm c,0)$ ו-$b^2=a^2-c^2$.

המוקד $(t,0)$, ולכן $c=t$. אורך הציר הראשי $2a=4t$, ולכן $a=2t$.

משוואת האליפסה: $\frac{x^2}{4t^2}+\frac{y^2}{3t^2}=1$.

טעות נפוצה: לחשוב שהמוקד של $y^2=2px$ הוא $(p,0)$, כלומר $p=t$, ולקבל את הפרבולה $y^2=2tx$.

מדריך הפרבולה $y^2=2px$ הוא הישר $x=-\frac p2$, כאן $x=-t$.

מציבים $x=-t$ במשוואת האליפסה:

$y=\pm\frac{3t}{2}$. $A$ מעל $B$, ולכן $A\left(-t,\frac{3t}{2}\right)$, $B\left(-t,-\frac{3t}{2}\right)$.

טעות נפוצה: לכפול את $\frac34$ ב-$t^2$ במקום ב-$b^2=3t^2$, לקבל $y^2=\frac34t^2$ ומכאן $A\left(-t,\frac{\sqrt3}{2}t\right)$.

הישר המאונך לציר ה-$x$ דרך המוקד $(t,0)$ הוא $x=t$.

מציבים במשוואת הפרבולה: $y^2=4t\cdot t=4t^2$, ולכן $y=\pm2t$.

$C$ מעל $D$: $C(t,2t)$, $D(t,-2t)$.

טעות נפוצה: להשתמש בפרבולה $y^2=2tx$ (מוקד ב-$(p,0)$ במקום $\left(\frac p2,0\right)$), לקבל $y^2=2t^2$ ומכאן $C(t,\sqrt2t)$.

הקטעים $AB$ (על $x=-t$) ו-$CD$ (על $x=t$) מאונכים שניהם לציר ה-$x$, ולכן $AB\parallel CD$.

$AB=3t$ ו-$CD=4t$ - הם לא שווים, ולכן המרובע $ABDC$ (בסדר הקודקודים סביב ההיקף) הוא טרפז.

$A$ ו-$B$ סימטריות זו לזו ביחס לציר ה-$x$, וכך גם $C$ ו-$D$. לכן ציר ה-$x$ הוא ציר סימטריה של הטרפז, ו-$AC=BD$: הטרפז שווה-שוקיים.

בטרפז שווה-שוקיים זוויות הבסיס שוות, ולכן סכום כל שתי זוויות נגדיות בו $180^\circ$ - והוא בר-חסימה במעגל. לכן ארבע הנקודות על מעגל אחד.

(דרך אחרת: האנך האמצעי של $AB$ ושל $CD$ הוא ציר ה-$x$; נקודת החיתוך שלו עם האנך האמצעי של $AC$ נמצאת במרחק שווה מארבע הנקודות.)

טעות נפוצה: לנמק "כי $ABDC$ טרפז" - לא כל טרפז בר-חסימה במעגל; צריך להראות שהוא שווה-שוקיים.

המרכז נמצא על האנך האמצעי של $AB$ ועל האנך האמצעי של $CD$ - שניהם ציר ה-$x$. נסמן את המרכז $M(x_0,0)$.

$MA=MC$:

מרכז המעגל: $\left(\frac{7t}{16},0\right)$.

טעות נפוצה: לקחת את המרכז באמצע בין הישרים $x=-t$ ו-$x=t$, כלומר בראשית $(0,0)$ - זה נכון רק כשהצלעות המקבילות שוות (מלבן), וכאן $AB\ne CD$.

הזווית בין מישורים היא הזווית בין וקטורי הנורמל שלהם (החדה): $\underline n_1=(0,0,1)$, $\underline n_2=(0,a,1)$.

$\frac{1}{\sqrt{a^2+1}}=\frac{1}{\sqrt2}$, ולכן $a^2+1=2$, $a^2=1$: $a=1$ או $a=-1$.

טעות נפוצה: להציב $\cos45^\circ=\frac12$, לקבל $\sqrt{a^2+1}=2$ ומכאן $a=\pm\sqrt3$.

קודם בודקים על איזה מישור נמצאת $A$:

$\pi_1$: $6-3=3\ne0$ - לא על $\pi_1$.

$\pi_2$: $a\cdot(-2)+6-8=0$ מתקיים רק עבור $a=-1$. לכן $a=-1$, $\pi_2: -y+z-8=0$, ו-$A$ על $\pi_2$.

מורידים אנך מ-$A$ ל-$\pi_1: z=3$. כיוון האנך הוא הנורמל $(0,0,1)$, ולכן $B=(2,-2,3)$.

טעות נפוצה: לא לבדוק על איזה מישור $A$, להניח $a=1$ ולחשב את המרחק מ-$A$ ל-$\pi_2: y+z-8=0$: $\frac{|-2+6-8|}{\sqrt2}=2\sqrt2$ - אבל $A$ לא על $\pi_1$, ולכן היא על $\pi_2$ ו-$a=-1$.

עם $a=-1$: $\pi_1: z=3$, $\pi_2: -y+z-8=0$.

מציבים $z=3$ ב-$\pi_2$: $-y+3-8=0$, ולכן $y=-5$. ה-$x$ חופשי.

הישר: כל הנקודות $(x,-5,3)$: $\ell:\ \underline x=(0,-5,3)+s(1,0,0)$.

(בדיקה: וקטור הכיוון ניצב לשני הנורמלים, $(1,0,0)\cdot(0,0,1)=0$ ו-$(1,0,0)\cdot(0,-1,1)=0$.)

טעות נפוצה: להשתמש ב-$a=1$, לקבל $y=5$ ואת הישר $(0,5,3)+s(1,0,0)$ - שאינו על המישור שעליו $A$.

$B(2,-2,3)$. נקודה כללית על $\ell$: $(s,-5,3)$. האנך מ-$B$ מאונך לכיוון $(1,0,0)$:

שלוש הנקודות $A(2,-2,6)$, $B(2,-2,3)$, $C(2,-5,3)$ במישור $x=2$.

$\overrightarrow{BA}=(0,0,3)$, $\overrightarrow{BC}=(0,-3,0)$, $\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=0$ - הזווית ב-$B$ ישרה ($AB$ מאונך ל-$\pi_1$, ו-$BC$ במישור $\pi_1$).

טעות נפוצה: לחשוב שהזווית הישרה ב-$C$ (כי $BC\perp\ell$) ולחשב $\frac12\cdot AC\cdot BC=\frac12\cdot3\sqrt2\cdot3=\frac{9\sqrt2}{2}$ - $AC$ הוא היתר.

$z_1$ ו-$z_2$ צמודים כאשר החלקים הממשיים שווים והחלקים המדומים נגדיים.

חלק ממשי: $2a^2+5a+4=a^2+8a+8$, כלומר $a^2-3a-4=0$: $a=4$ או $a=-1$.

חלק מדומה: $2a^2+3a+2=-(2-a^2+2a)=a^2-2a-2$, כלומר $a^2+5a+4=0$: $a=-1$ או $a=-4$.

שני התנאים מתקיימים יחד רק עבור $a=-1$.

הצבה: $z_1=(2-5+4)+(2-3+2)i=1+i$, $z_2=(1-8+8)+(2-1-2)i=1-i$.

טעות נפוצה: לפתור רק את משוואת החלקים הממשיים ולענות $a=4$ או $a=-1$ - עבור $a=4$: $z_1=56+46i$, $z_2=56-6i$, שאינם צמודים.

$|z_1|=\sqrt2$, ולכן $\frac{z_1}{\sqrt2}=\frac{1+i}{\sqrt2}=\cos45^\circ+i\sin45^\circ=\operatorname{cis}45^\circ$.

לפי משפט דה-מואבר:

$\sin(180^\circ n)=0$ לכל $n$ טבעי, ולכן $w_1=\cos(180^\circ n)=(-1)^n$ - מספר ממשי.

טעות נפוצה: לכתוב $\operatorname{cis}(180^\circ n)=1$ לכל $n$ - עבור $n$ אי-זוגי $w_1=-1$.

$\frac{z_2}{\sqrt2}=\frac{1-i}{\sqrt2}=\operatorname{cis}(-45^\circ)$.

החלק הממשי: $\cos(180^\circ n+90^\circ)=0$ לכל $n$ (זווית שהיא כפולה אי-זוגית של $90^\circ$), והחלק המדומה $-\sin(180^\circ n+90^\circ)=\pm1\ne0$.

לכן $w_2$ מדומה טהור: $w_2=i$ עבור $n$ אי-זוגי ו-$w_2=-i$ עבור $n$ זוגי.

(דרך אלגברית: $\left(\frac{1-i}{\sqrt2}\right)^2=\frac{1-2i+i^2}{2}=-i$, ולכן $w_2=(-i)^{2n+1}=(-1)^n\cdot(-i)$.)

טעות נפוצה: לפתח $(1-i)^2=1-i^2=2$ (כמו $(a-b)^2=a^2-b^2$), לקבל $w_2=1^{2n+1}=1$ ולהסיק ש-$w_2$ ממשי.

$|z-p|=m$ (עם $m>0$) הוא מעגל שמרכזו בנקודה $p$ על הציר הממשי ורדיוסו $m$.

מהסעיפים הקודמים: $w_1$ מקבל את הערכים $-1$ ($n$ אי-זוגי) ו-$1$ ($n$ זוגי), ו-$w_2$ את $i$ ו-$-i$.

המעגל צריך לעבור דרך $1$ ודרך $-1$: $|1-p|=|-1-p|$, ולכן $(1-p)^2=(1+p)^2$, $p=0$. אז $m=|1-0|=1$.

בדיקה: $|i|=|-i|=1$ - גם $w_2$ על המעגל $|z|=1$.

לכן $p=0$, $m=1$: מעגל היחידה.

טעות נפוצה: לקחת את המרחק בין $-1$ ל-$1$ כרדיוס ולענות $m=2$ - זה הקוטר; הרדיוס $1$.

$e^x$ ו-$e^{2x}$ מוגדרות לכל $x$, והמכנה 4 קבוע. לכן $f$ מוגדרת לכל $x$.

טעות נפוצה: לכתוב $x>0$, כאילו זו פונקציה לוגריתמית - $e^x$ מוגדרת גם ל-$x\le0$.

כאשר $x\to\infty$, $e^{2x}-3e^x=e^x(e^x-3)\to\infty$, ולכן אין שם אסימפטוטה אופקית.

כאשר $x\to-\infty$, $e^x\to0$ ו-$e^{2x}\to0$, ולכן $f(x)\to\frac m4$.

האסימפטוטה $y=-1$ היא אפוא בצד $-\infty$: $\frac m4=-1$, כלומר $m=-4$.

טעות נפוצה: להציב $x=0$ במקום לחשב גבול: $\frac{1-3+m}{4}=-1$ ומכאן $m=-2$.

$f(x)=\frac{e^{2x}-3e^x-4}{4}$.

חיתוך עם ציר ה-$y$: $f(0)=\frac{1-3-4}{4}=-\frac32$, הנקודה $\left(0,-\frac32\right)$.

חיתוך עם ציר ה-$x$: נסמן $u=e^x>0$: $u^2-3u-4=0$, $(u-4)(u+1)=0$.

$u=-1$ נפסל ($e^x>0$). $e^x=4$, כלומר $x=\ln4$: הנקודה $(\ln4,0)$.

טעות נפוצה: להציב $e^0=0$ ולקבל $f(0)=-1$, כלומר נקודה $(0,-1)$ - אבל $e^0=1$.

$e^x>0$, ולכן $f'=0$ כאשר $e^x=\frac32$, כלומר $x=\ln\frac32$.

עבור $x<\ln\frac32$: $2e^x<3$ ו-$f'<0$; עבור $x>\ln\frac32$: $f'>0$. לכן מינימום.

נקודת מינימום: $\left(\ln\frac32,-\frac{25}{16}\right)$.

טעות נפוצה: לפתור $2e^x=3$ כ-$e^x=\frac23$, ולקבל נקודה $\left(\ln\frac23,-\frac{25}{18}\right)$.

מה שידוע: אסימפטוטה $y=-1$ כאשר $x\to-\infty$; $f\to\infty$ כאשר $x\to\infty$; יורדת עד המינימום $\left(\ln1.5,-1.5625\right)$ ואחריו עולה; חיתוכים $(0,-1.5)$ ו-$(\ln4,0)\approx(1.39,0)$.

מאיזה צד מתקרבים לאסימפטוטה: $f(x)+1=\frac{e^{2x}-3e^x}{4}=\frac{e^x(e^x-3)}{4}<0$ עבור $x<\ln3$. לכן משמאל הגרף מתחת לישר $y=-1$.

הגרף: מתחיל קרוב ל-$y=-1$ מלמטה, יורד דרך $(0,-1.5)$ (שנמצאת לפני המינימום, כי $0<\ln1.5\approx0.41$) עד המינימום, עולה, חוצה את $y=-1$ ב-$x=\ln3$, חותך את ציר ה-$x$ ב-$\ln4$ ועולה לאינסוף.

טעות נפוצה: לשרטט את הענף השמאלי מעל האסימפטוטה $y=-1$ - הביטוי $f(x)+1$ שלילי שם, והגרף מתקרב אליה מלמטה.

$g$ מוגדרת כאשר $f(x)\ne0$ (וגם $f$ מוגדרת - לכל $x$).

$f(x)=0$ רק ב-$x=\ln4$ (סעיף א(3)). תחום ההגדרה: $x\ne\ln4$.

טעות נפוצה: לענות "כל $x$" כי $f$ מוגדרת לכל $x$ - שוכחים שהמכנה $f(x)$ מתאפס ב-$\ln4$.

אנכית: ב-$x=\ln4$ המכנה $f(x)\to0$ והמונה 1, ולכן $\frac1{f(x)}\to\pm\infty$: $x=\ln4$.

$x\to-\infty$: $f\to-1$, ולכן $g\to\frac{1}{-1}+1=0$: $y=0$.

$x\to\infty$: $f\to\infty$, ולכן $\frac1f\to0$ ו-$g\to1$: $y=1$.

טעות נפוצה: לשכוח את ה-$+1$ בצד $-\infty$ ולכתוב אסימפטוטה $y=\frac{1}{-1}=-1$.