בגרות במתמטיקה 572 - קיץ 2023 מועד א'

במכנה של $x^2$ המספר הגדול יותר ($144>144-4k^2$), ולכן המוקדים על ציר ה-$x$: $a^2=144$, $b^2=144-4k^2$.

$k>0$, ולכן $c=2k$, ו-$F_1(2k,0)$ (ימני), $F_2(-2k,0)$ (שמאלי).

טעות נפוצה: לחבר במקום לחסר ($c^2=a^2+b^2$, כמו במשפט פיתגורס) - באליפסה $a$ הוא הגדול, ו-$c^2=a^2-b^2$.

פרבולה קנונית שמוקדה על החלק החיובי של ציר ה-$x$: $y^2=2px$, המוקד $\left(\frac p2,0\right)$ והמדריך $x=-\frac p2$.

המוקד הוא $F_1(2k,0)$, ולכן $\frac p2=2k$ והמדריך הוא הישר $x=-2k$ (ומשוואת הפרבולה $y^2=8kx$).

טעות נפוצה: לכתוב את המדריך $y=-2k$ - המוקד על ציר ה-$x$, ולכן המדריך ישר אנכי.

לפי הגדרת הפרבולה, המרחק של A מהמוקד שווה למרחק שלה מהמדריך $x=-2k$:

מציבים במשוואת הפרבולה $y^2=8kx$: $y_A^2=8k\cdot8k=64k^2$. A ברביע הראשון, ולכן $y_A=8k$.

$A(8k,8k)$.

טעות נפוצה: לחשב את המרחק מהמדריך כ-$x_A-2k$ - המדריך משמאל לציר ה-$y$, והמרחק של נקודה מהישר $x=-2k$ הוא $x_A+2k$.

מרכז המעגל הוא אמצע הקוטר $AF_1$, בין $A(8k,8k)$ ל-$F_1(2k,0)$:

הרדיוס הוא חצי מהקוטר: $R=\frac{AF_1}{2}=5k$.

ישר משיק למעגל כשהמרחק ממרכז המעגל לישר שווה לרדיוס:

$73k-138=65k$ נותן $k=17.25$ - נפסל, כי $0<k<6$.

$73k-138=-65k$ נותן $138k=138$, כלומר $k=1$.

טעות נפוצה: לפתוח את הערך המוחלט רק עם סימן אחד ולקבל את $k=17.25$, שאינו בתחום.

עבור $k=1$: $a=12$, $F_1(2,0)$, $F_2(-2,0)$, $A(8,8)$.

D על האליפסה, ולכן לפי הגדרת האליפסה $DF_1+DF_2=2a=24$, ו-$F_1F_2=2c=4$:

(ההיקף זהה לכל נקודה D על האליפסה.)

במשולש $F_1AF_2$: $AF_1=10k=10$, $AF_2=\sqrt{(8+2)^2+8^2}=\sqrt{164}\approx12.81$, $F_1F_2=4$:

לכן היקף המשולש $F_1AF_2$ קטן מהיקף המשולש $F_1DF_2$. (זה מתאים לכך ש-A נמצאת בתוך האליפסה: $\frac{64}{144}+\frac{64}{140}<1$.)

טעות נפוצה: לקחת את היקף המשולש $F_1DF_2$ כ-$DF_1+DF_2=2a=24$ בלבד ולשכוח את הצלע $F_1F_2=4$ - אז $26.81>24$ ומתקבלת התשובה "גדול"; ההיקף הוא $2a+2c=28$.

ישר מאונך למישור אם הוא מאונך לשני וקטורים בלתי תלויים במישור. נבחר את $\overrightarrow{DB}$ ו-$\overrightarrow{DC'}$.

$\overrightarrow{CA'}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AA'}=-\underline v-\underline u+\underline w$

$\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}=\underline u-\underline v$, $\overrightarrow{DC'}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CC'}=\underline u+\underline w$

בקובייה $\underline u$, $\underline v$, $\underline w$ מאונכים זה לזה ושווים באורכם ($a$), ולכן כל המכפלות המעורבות 0 ו-$\underline u^2=\underline v^2=\underline w^2=a^2$:

$\overrightarrow{DB}$ ו-$\overrightarrow{DC'}$ אינם מקבילים, ולכן $CA'$ מאונך למישור $BC'D$.

טעות נפוצה: להוכיח ניצבות לווקטור אחד בלבד במישור - ניצבות לישר אחד במישור אינה מספיקה.

נסמן ב-M את אמצע $BC'$. מפגש התיכונים מחלק את התיכון $DM$ ביחס $2:1$ מהקודקוד, ולכן $\overrightarrow{DE}=\frac23\overrightarrow{DM}$.

$\overrightarrow{CM}=\frac12(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CC'})=\frac12(-\underline v+\underline w)$, $\overrightarrow{CD}=-\underline u$.

$\overrightarrow{DM}=\overrightarrow{CM}-\overrightarrow{CD}=\underline u-\frac12\underline v+\frac12\underline w$

טעות נפוצה: לכתוב $\overrightarrow{DE}=\frac13\overrightarrow{DM}$ - מפגש התיכונים קרוב לצלע, במרחק שני שלישים מהקודקוד.

מסעיף א $\overrightarrow{CA'}=-\underline u-\underline v+\underline w$, ומסעיף ב(1):

שני הווקטורים פרופורציוניים ויש להם נקודה משותפת C, ולכן C, E ו-$A'$ על ישר אחד.

טעות נפוצה: להסתפק בכך שהווקטורים מקבילים בלי לציין את הנקודה המשותפת - שני ישרים מקבילים שונים אינם ישר אחד.

$\overrightarrow{DA}=(4,n,p)$, $\overrightarrow{DC}=(3,4,0)$. בקובייה $DA\perp DC$:

המקצועות שווים: $|\overrightarrow{DC}|=5$, ולכן $|\overrightarrow{DA}|^2=16+9+p^2=25$, כלומר $p=0$. $A(4,-3,0)$.

$B=A+\overrightarrow{DC}=(4,-3,0)+(3,4,0)=(7,1,0)$.

לארבעת הקודקודים $z=0$, ולכן ABCD נמצא במישור $z=0$.

טעות נפוצה: לשכוח את תנאי שוויון המקצועות ולהישאר עם $p$ לא ידוע - הניצבות לבדה קובעת רק את $n$.

$CC'$ מאונך לבסיס, שנמצא במישור $z=0$, ולכן הוא בכיוון ציר ה-$z$. אורכו כאורך המקצוע, 5, ושיעור ה-$z$ של $C'$ חיובי:

טעות נפוצה: להוסיף 5 לשיעור ה-$x$ או ה-$y$ - המקצוע הצדדי מאונך לבסיס, כלומר מקביל לציר ה-$z$.

הנקודות B ו-$C'$ נמצאות בשני המישורים (שתיהן קודקודים של המשולש $BC'D$ ושל הפאה $BCC'B'$), ולכן ישר החיתוך הוא $BC'$.

$B(7,1,0)$ (מסעיף ג(1)), $\overrightarrow{BC'}=(3,4,5)-(7,1,0)=(-4,3,5)$:

טעות נפוצה: לקחת את $\overrightarrow{BC}$ ככיוון - C אינה במישור $BC'D$.

מישור שאינו חותך את ציר ה-$x$ מקביל לו, ולכן $(1,0,0)$ יכול לשמש וקטור כיוון שני (הוא אינו מקביל ל-$(-4,3,5)$):

בודקים שציר ה-$x$ אינו מוכל במישור: בנקודה של המישור $y=1+3t$, $z=5t$. על ציר ה-$x$ צריך $5t=0$ ו-$1+3t=0$ - סתירה. לכן המישור מקביל לציר ואינו חותך אותו.

טעות נפוצה: לבחור כיוון שני $(0,1,0)$ (מקביל לציר ה-$y$ ולא לציר ה-$x$) - מתקבל המישור $5x+4z=35$, שחותך את ציר ה-$x$ בנקודה $(7,0,0)$.

$z\ne0$, ולכן אפשר להכפיל ב-$z^3$: $z^6=1$.

$1=\text{cis}0^\circ$, ולפי נוסחת השורשים:

הארגומנטים: $0^\circ,60^\circ,120^\circ,180^\circ,240^\circ,300^\circ$. ברביע הרביעי רק $300^\circ$:

טעות נפוצה: לפתור $z^3=1$ (להכפיל רק צד אחד) ולמצוא שלושה פתרונות בלבד - אף אחד מהם אינו ברביע הרביעי.

$A$: $d\,\text{cis}(-60^\circ)$.

$B$: כפל ב-$i=\text{cis}90^\circ$ מסובב ב-$90^\circ$: $d\,\text{cis}(30^\circ)$.

$C$: לפי דה-מואבר $(z_0)^4=\text{cis}(-240^\circ)=\text{cis}120^\circ$: $d\,\text{cis}120^\circ$.

שלוש הנקודות במרחק $d$ מהראשית, כלומר על מעגל שמרכזו O ורדיוסו $d$.

הארגומנטים של A ו-C נבדלים ב-$180^\circ$, ולכן AC קוטר ($AC=2d$). הזווית בין OB ל-OA היא $90^\circ$, ולכן $OB\perp AC$ ו-OB הוא הגובה לצלע AC:

$d=6$ או $d=-1$, ו-$d>0$, ולכן $d=6$.

טעות נפוצה: לחשב $(z_0)^4$ כ-$\text{cis}(-60^\circ+4)$ או כ-$\text{cis}(-64^\circ)$ - בחזקה כופלים את הארגומנט: $4\cdot(-60^\circ)$.

$(z_0)^2=\text{cis}(-120^\circ)$, ו-$\frac{1}{(z_0)^2}=\text{cis}120^\circ$ (בחילוק הארגומנט מתהפך).

$|w|=\sqrt{3+3}=\sqrt6$. הנקודה ברביע הרביעי עם $\tan\theta=\frac{-\sqrt3}{\sqrt3}=-1$, ולכן $\arg(w)=-45^\circ$ (או $315^\circ$).

טעות נפוצה: לחשב את $\theta=\arctan(-1)$ ולקחת $135^\circ$ - צריך לבדוק ברביע: החלק הממשי חיובי והמדומה שלילי, רביע רביעי.

לפי דה-מואבר: $w^n=(\sqrt6)^n\,\text{cis}(-45^\circ n)$.

מדומה טהור: הארגומנט $90^\circ+180^\circ k$, כלומר $-45n=90+180k$, ומכאן $n$ מהצורה $4m+2$: $n=2,6,10,\dots$

המעגל החוסם את ABC הוא המעגל שמרכזו O ורדיוסו $d=6$ (סעיף ב). מחוץ למעגל: $|w^n|=6^{\frac n2}>6$, כלומר $n>2$.

$n=2$: $|w^2|=6$ - על המעגל, לא מחוצה לו. הערך הבא, $n=6$: $|w^6|=216>6$. לכן $n=6$.

טעות נפוצה: לענות $n=2$ - $w^2=-6i$ אכן מדומה טהור, אבל מרחקו מהראשית בדיוק 6, כלומר הוא על המעגל.

כאשר $x\to\infty$: $e^x-1\to\infty$, ולכן $f(x)\to\infty$ - אין אסימפטוטה אופקית.

כאשר $x\to-\infty$: $e^x\to0$, ולכן $f(x)\to(-1)^n-4$.

$n$ זוגי: $(-1)^n=1$, האסימפטוטה $y=1-4=-3$.

$n$ אי-זוגי: $(-1)^n=-1$, האסימפטוטה $y=-1-4=-5$.

טעות נפוצה: לכתוב $(0-1)^n=-1$ לכל $n$ ולקבל $y=-5$ גם עבור $n$ זוגי.

לפי כלל השרשרת:

$e^x>0$, ולכן $f'(x)=0$ רק כאשר $e^x=1$, כלומר $x=0$.

הסימן של $e^x-1$: שלילי עבור $x<0$, חיובי עבור $x>0$.

$n$ זוגי: $n-1$ אי-זוגי, ו-$(e^x-1)^{n-1}$ מחליף סימן מ-$-$ ל-$+$ ב-$x=0$: מינימום. $f(0)=0-4=-4$: $\min(0,-4)$.

$n$ אי-זוגי: $n-1$ זוגי, ו-$(e^x-1)^{n-1}\ge0$ משני הצדדים - אין החלפת סימן, ולכן אין קיצון (הפונקציה עולה).

טעות נפוצה: להסיק קיצון מכך ש-$f'(0)=0$ בלי לבדוק החלפת סימן - עבור $n$ אי-זוגי זו נקודה עם משיק אופקי, לא קיצון.

$n$ זוגי: משמאל הגרף מתחת לאסימפטוטה $y=-3$ וקרוב אליה, יורד עד המינימום $(0,-4)$, ואחר כך עולה, חוצה את ציר ה-$x$ ועולה ל-$\infty$.

$n$ אי-זוגי: משמאל הגרף מעל האסימפטוטה $y=-5$ וקרוב אליה, עולה כל הזמן, בנקודה $(0,-4)$ המשיק אופקי (בלי קיצון), וממשיך לעלות ל-$\infty$.

טעות נפוצה: לצייר עבור $n$ אי-זוגי מינימום ב-$(0,-4)$ - שם הפונקציה עולה משני הצדדים.

נציב $t=e^x>0$: $t^2-5t+4=0$, כלומר $t=1$ או $t=4$.

$e^x=1\Rightarrow x=0$, $y=g(0)=-4$. $e^x=4\Rightarrow x=\ln4$, $y=3\cdot4-7=5$.

טעות נפוצה: לפתוח $(e^x-1)^2=e^{2x}-1$ ולשכוח את האיבר האמצעי $-2e^x$.

בין נקודות החיתוך: $g(x)-f(x)=-e^{2x}+5e^x-4=-(t-1)(t-4)>0$ עבור $1<t<4$, ולכן $g$ מעל $f$.

טעות נפוצה: לכתוב $\int e^{2x}dx=e^{2x}$ - הפונקציה הקדומה היא $\frac{e^{2x}}{2}$.

עבור $n=2$: $f$ שלילית עבור $x<\ln3$ ($(e^x-1)^2=4\Rightarrow e^x=3$) וחיובית עבור $x>\ln3$.

$h$ משקפת את החלק השלילי מעל ציר ה-$x$: האסימפטוטה $y=-3$ הופכת ל-$y=3$, המינימום $(0,-4)$ הופך למקסימום $(0,4)$.

בנקודת האפס $x=\ln3$ הגרף של $h$ "נוגע" בציר ונהיה חד: מינימום $(\ln3,0)$.

לכן ל-$h$ שתי נקודות קיצון: $\max(0,4)$, $\min(\ln3,0)$.

טעות נפוצה: לשכוח את נקודת האפס - שם הנגזרת אינה קיימת, אבל זו נקודת מינימום של $h$.

מהלך $h$: משמאל עולה מהאסימפטוטה $y=3$ עד $4$, יורדת ל-$0$ ב-$\ln3$, ועולה ל-$\infty$.

עבור $3<k<4$: נקודה אחת בעלייה השמאלית, אחת בירידה ואחת בעלייה הימנית - 3 נקודות.

עבור $k=4$: 2 נקודות (המקסימום והענף הימני). עבור $0<k\le3$: 2 נקודות. עבור $k>4$: נקודה אחת.

טעות נפוצה: לכלול את $k=3$ - הגרף מתקרב לאסימפטוטה ואינו מגיע אליה, ולכן ב-$k=3$ יש רק 2 נקודות.