בגרות במתמטיקה 572 - חורף 2024

$BC$ מקבילה לציר ה-$x$, ולכן ל-$B$ ול-$C$ אותו שיעור $y$. נסמן אותו ב-$t$ ($t\neq0$, אחרת $B$, $A$, $C$ על ציר ה-$x$ ואין משולש): $B(-a,t)$, $C(c,t)$.

הזווית ב-$A$ ישרה, ולכן $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=0$ (או: מכפלת השיפועים $-1$):

$M$ אמצע $BC$:

מסלקים את הפרמטר $t$: מציבים $t=y$ בביטוי של $x$ ומקבלים $x=\frac{y^2}{4a}$, כלומר:

זו פרבולה שקודקודה בראשית; הראשית עצמה ($t=0$) אינה מתקבלת.

טעות נפוצה: לכתוב $x_M=\frac{c+a}{2}$ (לחבר את $a$ במקום את $-a$ של $B$) ולקבל $y^2=4a(x-a)$ - שיעור ה-$x$ של $B$ הוא $-a$.

הצורה $y^2=2px$ עם $2p=4a$: פרבולה שקודקודה בראשית וציר הסימטריה שלה ציר ה-$x$.

$y^2\ge0$, ולכן $4ax\ge0$: כאשר $a>0$ כל הנקודות עם $x\ge0$ - הפרבולה פתוחה ימינה.

כאשר $a<0$ כל הנקודות עם $x\le0$ - הפרבולה פתוחה שמאלה.

משרטטים את שתי הפרבולות באותה מערכת: שתיהן עוברות בראשית (נקודה ריקה, כי היא לא שייכת למקום) וסימטריות לציר ה-$x$; כל אחת היא שיקוף של האחרת בציר ה-$y$ (כשהערך המוחלט של $a$ שווה).

טעות נפוצה: לשרטט פרבולות שפתוחות למעלה ולמטה (כמו $y=x^2$) - במשוואה $y^2=4ax$ המשתנה בריבוע הוא $y$, ולכן ציר הסימטריה הוא ציר ה-$x$.

ברביע הראשון $y_M=t>0$ ו-$x_M>0$, ולכן $a>0$. נסמן $M(x_1,t)$ עם $x_1=\frac{t^2}{4a}$.

משוואת המשיק לפרבולה $y^2=2px$ בנקודה $(x_1,y_1)$ שעליה היא $yy_1=p(x+x_1)$. כאן $p=2a$:

שיפוע $\ell$ הוא $\frac{2a}{t}$.

שיפוע $AC$, לפי סעיף א ($c-a=\frac{t^2}{2a}$):

השיפועים שווים, ו-$\ell$ אינו מתלכד עם $AC$ ($A$ אינה על $\ell$: הצבה נותנת $0=2a(a+x_1)$, וזה לא מתקיים כי $a>0$ ו-$x_1>0$). לכן $\ell\parallel AC$.

טעות נפוצה: לכתוב את המשיק כ-$yy_1=4a(x+x_1)$ (להציב $2p$ במקום $p$) ולקבל שיפוע $\frac{4a}{t}$, שאינו שווה לשיפוע $AC$.

$x_B=-a=-2$, ולכן $a=2$ והפרבולה היא $y^2=8x$.

לפרבולה $y^2=8x$: $p=4$, המוקד $(\frac p2,0)=(2,0)$ והמדריך $x=-2$. כלומר $A$ היא המוקד.

לפי הגדרת הפרבולה, המרחק של $M$ מהמוקד שווה למרחקה מהמדריך:

$y_M^2=8\cdot8=64$, ו-$M$ ברביע הראשון: $y_M=8$. $M(8,8)$.

(אפשר גם בלי המוקד: $(x-2)^2+y^2=100$ עם $y^2=8x$ נותן $x^2+4x-96=0$, $x=8$ או $x=-12$, והשני נפסל.)

$B$ על הישר $x=-2$ ובגובה של $M$: $B(-2,8)$. $M$ אמצע $BC$:

טעות נפוצה: לחשב $x_C=2x_M+x_B=14$ - מנוסחת האמצע $x_M=\frac{x_B+x_C}{2}$ מקבלים $x_C=2x_M-x_B$.

משוואת $AC$ (דרך $A(2,0)$ ו-$C(18,8)$, שיפוע $\frac12$): $y=\frac12(x-2)$, כלומר $x-2y-2=0$.

משוואת $\ell$ (משיק ל-$y^2=8x$ ב-$M(8,8)$, $p=4$): $8y=4(x+8)$, כלומר $x-2y+8=0$.

$A$ נמצאת על $AC$ ועל המעגל, ולכן היא נקודת ההשקה של המעגל עם $AC$. המעגל משיק לשני ישרים מקבילים, ולכן הקוטר שלו שווה למרחק ביניהם:

המרכז נמצא על האנך ל-$AC$ ב-$A$, במרחק $r$ מ-$A$, בצד של $\ell$. וקטור נורמל ל-$AC$: $(1,-2)$, ובכיוון של $\ell$: $(-1,2)$ (ב-$A$ הביטוי $x-2y+8$ שווה 10, וצריך להקטין אותו).

בדיקה: המרחק של $(1,2)$ מ-$\ell$ הוא $\frac{|1-4+8|}{\sqrt5}=\sqrt5=r$.

טעות נפוצה: ללכת לכיוון השני, $(3,-2)$ - המרחק שלה מ-$AC$ אמנם $\sqrt5$, אבל מ-$\ell$ הוא $3\sqrt5$, כך שהמעגל לא משיק ל-$\ell$.

ישר מקביל למישור (או מוכל בו) בדיוק כאשר וקטור הכיוון שלו ניצב לנורמל של המישור, כלומר המכפלה הסקלרית שלהם 0.

וקטור הכיוון: $\underline u=(m-1,5-m,-2)$. הנורמל: $\underline n=(3,m,m+6)$.

בודקים אם הביטוי יכול להתאפס: למשוואה $m^2-6m+15=0$ הדיסקרימיננטה היא $36-60=-24<0$, ולכן אין לה פתרון.

המכפלה הסקלרית אינה 0 לאף $m$, ולכן הישר אינו מקביל למישור (וגם לא מוכל בו) - הוא תמיד חותך אותו.

טעות נפוצה: לבדוק אם וקטור הכיוון מקביל לנורמל (פרופורציה) - זה התנאי לניצבות של הישר למישור, לא להקבלה.

ישר ניצב למישור כאשר וקטור הכיוון שלו מקביל לנורמל: $(m-1,5-m,-2)=k\cdot(3,m,m+6)$.

משווים את היחס בין שני הרכיבים הראשונים:

בודקים כל פתרון בכל הרכיבים:

$m=3$: $\underline u=(2,2,-2)$, $\underline n=(3,3,9)$. היחס ברכיב הראשון $\frac23$ וברכיב השלישי $-\frac29$ - לא מקבילים. נפסל.

$m=-5$: $\underline u=(-6,10,-2)$, $\underline n=(3,-5,1)$, ו-$\underline u=-2\underline n$. מתאים.

לכן $m=-5$.

טעות נפוצה: לעצור אחרי המשוואה הריבועית ולענות $m=3$ או $m=-5$ - היחס צריך להתקיים גם ברכיב השלישי, ו-$m=3$ נפסל.

עבור $m=-5$: $\ell:\ \underline x=(-1,5,-11)+t(-6,10,-2)$ ו-$\pi:\ 3x-5y+z+4=0$.

נקודה כללית על הישר: $(-1-6t,\ 5+10t,\ -11-2t)$. מציבים במשוואת המישור:

בדיקה: $3\cdot2-0-10+4=0$.

טעות נפוצה: להציב במישור את $m=-5$ רק במקדם של $y$ ולשכוח שגם המקדם של $z$ תלוי ב-$m$ ($m+6=1$).

מישור נקבע ביחידות על ידי ישר ונקודה שאינה עליו. לכן קודם בודקים אם הנקודה על הישר.

עבור $m=-5$: $(-1-6t,\ 5+10t,\ -11-2t)=(5,-5,-9)$.

מהרכיב הראשון $t=-1$. בדיקה: $5+10\cdot(-1)=-5$ ו-$-11-2\cdot(-1)=-9$. שלושת הרכיבים מתקיימים.

הנקודה נמצאת על הישר $\ell$, ולכן כל מישור שמכיל את $\ell$ עובר דרכה - יש אינסוף מישורים כאלה (כל המישורים שמסתובבים סביב $\ell$).

הטענה לא נכונה.

טעות נפוצה: לבדוק רק רכיב אחד או שניים ולהסיק מהם - צריך את אותו $t$ בכל שלושת הרכיבים.

מחשבים את הערכים המוחלטים המספריים:

$6-8i-\bar z$ הוא הצמוד של $6+8i-z$, ולמספר ולצמוד שלו אותו ערך מוחלט:

זו קבוצת הנקודות שמרחקן מהנקודה $(6,8)$ הוא 5 - מעגל שמרכזו $(6,8)$ ורדיוסו 5.

(בדרך אלגברית: $6-\bar z-8i=(6-x)+(y-8)i$, ולכן $(x-6)^2+(y-8)^2=25$.)

טעות נפוצה: לקרוא $|6-\bar z-8i|$ כמרחק מהנקודה $(6,-8)$ - בגלל ה-$\bar z$ המרכז מתהפך ל-$(6,8)$.

$z_M=6+8i$, $|z_M|=\sqrt{36+64}=10$, ולכן $|z_A|=5$.

אותו ארגומנט פירושו ש-$A$ נמצאת על הקרן מהראשית דרך $M$. לכן $z_A$ הוא $z_M$ כפול מספר ממשי חיובי - היחס בין הערכים המוחלטים:

$A(3,4)$.

טעות נפוצה: לקחת $z_A=-\frac12z_M=-3-4i$ - גם לו ערך מוחלט 5, אבל הארגומנט שלו שונה ב-$180^\circ$.

האיבר הכללי: $z_n=z_1q^{n-1}$, ולכן $z_5=z_1q^4$:

פותרים $q^4=2$, כאשר $2=2\,cis\,0^\circ$. לפי נוסחת השורשים:

טעות נפוצה: לענות רק $q=\sqrt[4]{2}$ (או רק את שני השורשים הממשיים) - במרוכבים למשוואה $q^4=2$ יש ארבעה פתרונות.

לכל מספר מרוכב $z\cdot\bar z=|z|^2$. לכן מחברים את ריבועי הערכים המוחלטים.

בכל ארבע האפשרויות $|q|=\sqrt[4]{2}$, ו-$|z_1|=5$:

זו סדרה הנדסית ממשית עם איבר ראשון 25 ומנה $\sqrt2$ (הסכום זהה לכל המנות). סכום 10 איברים:

טעות נפוצה: לקחת את מנת הסדרה החדשה כ-$|q|=\sqrt[4]{2}$ במקום $|q|^2=\sqrt2$ - ריבוע הערך המוחלט גדל פי $|q|^2$ בכל צעד.

גוזרים את $g$ לפי נגזרת מנה:

מוציאים גורם משותף $(x+1)$:

$f(x)=g'(x)$ לכל $x$ כאשר המונים שווים: $a-x^2=1-x^2$, כלומר $a=1$.

טעות נפוצה: לגזור את $e^x$ במכנה כאילו הוא קבוע ולקבל $g'(x)=\frac{2(x+1)}{e^x}$ - שתי הפונקציות במנה תלויות ב-$x$.

$f(x)=\frac{1-x^2}{e^x}$.

חיתוך עם ציר $y$: $f(0)=\frac{1}{1}=1$, הנקודה $(0,1)$.

חיתוך עם ציר $x$: $e^x>0$ לכל $x$, ולכן השבר מתאפס רק כשהמונה מתאפס: $1-x^2=0$, $x=\pm1$.

הנקודות $(-1,0)$ ו-$(1,0)$.

טעות נפוצה: לפתור $1-x^2=0$ ולכתוב רק $x=1$ - ל-$x^2=1$ שני פתרונות, ולכן יש גם נקודת חיתוך $(-1,0)$.

חיתוך עם ציר $y$: $g(0)=\frac{1}{1}=1$, הנקודה $(0,1)$.

חיתוך עם ציר $x$: $(x+1)^2=0$, $x=-1$ - נקודה אחת, $(-1,0)$. (הגרף נוגע בציר ולא חוצה אותו, כי $g\ge0$.)

טעות נפוצה: לפתוח את הסוגריים ולפתור $x^2+2x+1=0$ בנוסחת השורשים ולכתוב "שתי נקודות" - הדיסקרימיננטה 0, ויש נקודה אחת.

הפונקציה $g$: לפי סעיף א, $g'(x)=f(x)$. נקודות החשודות לקיצון של $g$ הן האפסים של $f$: $x=-1$, $x=1$.

סימן $g'=f$ נקבע לפי $1-x^2$: שלילי עבור $x<-1$, חיובי עבור $-1<x<1$, שלילי עבור $x>1$.

לכן ב-$x=-1$ מינימום: $g(-1)=0$; ב-$x=1$ מקסימום: $g(1)=\frac{4}{e}$.

הפונקציה $f$:

$x^2-2x-1=0$: $x=1\pm\sqrt2$. המונה פרבולה "מחייכת": חיובי מחוץ לשורשים ושלילי ביניהם.

ב-$x=1-\sqrt2\approx-0.414$: $f'$ עובר מחיובי לשלילי - מקסימום. $1-x^2=1-(3-2\sqrt2)=2\sqrt2-2$:

ב-$x=1+\sqrt2\approx2.414$: $f'$ עובר משלילי לחיובי - מינימום. $1-x^2=1-(3+2\sqrt2)=-2-2\sqrt2$:

טעות נפוצה: לקבוע את סוג הקיצון של $g$ לפי סימן $f'$ - סוג הקיצון של $g$ נקבע לפי סימן $g'$, כלומר לפי סימן $f$ עצמה.

התנהגות באינסוף: כאשר $x\to\infty$ המכנה $e^x$ גדל מהר יותר מכל פולינום, ולכן $f\to0$ ו-$g\to0$ - ציר ה-$x$ אסימפטוטה אופקית מימין.

כאשר $x\to-\infty$: $\frac{1}{e^x}=e^{-x}\to\infty$, ולכן $g\to\infty$ (מונה חיובי) ו-$f\to-\infty$ (מונה שלילי).

$g$: יורדת עד המינימום $(-1,0)$ (נוגעת בציר), עולה עד המקסימום $(1,\frac4e\approx1.47)$ ויורדת לאפס, תמיד מעל הציר.

$f$: עולה מ-$-\infty$ דרך $(-1,0)$ עד המקסימום $(1-\sqrt2,1.254)$, יורדת דרך $(0,1)$ ו-$(1,0)$ עד המינימום $(1+\sqrt2,-0.432)$, ושואפת ל-0 מלמטה.

בדיקת התאמה: איפה ש-$f>0$ הגרף של $g$ עולה, ואיפה ש-$f<0$ הוא יורד; המקסימום של $g$ ב-$x=1$ הוא בדיוק האפס של $f$.