בגרות במתמטיקה 572 - קיץ 2023 מועד ב'

נסמן נקודה כללית על המקום הגאומטרי: $C(x,y)$, ונכתוב את ריבועי המרחקים בעזרת נוסחת המרחק:

מציבים בתנאי ופותחים סוגריים:

משלימים לריבוע בכל משתנה (מוסיפים $64$ ו-$196$ לשני האגפים):

זה מעגל שמרכזו $(8,14)$ (אמצע $AB$) ורדיוסו 20.

טעות נפוצה: להשלים לריבוע רק באגף השמאלי (לכתוב $(x-8)^2+(y-14)^2=140$) - את $64$ ואת $196$ שהוספנו בשמאל חייבים להוסיף גם בימין.

ההזזה מעבירה את המרכז $(8,14)$ לראשית, והרדיוס לא משתנה: $x^2+y^2=400$.

חיתוך עם ציר ה-$y$ ($x=0$): $y^2=400$, ולכן $E(0,20)$, $G(0,-20)$.

המוקדים על ציר ה-$x$, ולכן $E$ ו-$G$ הם קודקודי הציר הקטן: $b=20$. נסמן $F_1(c,0)$, $F_2(-c,0)$, $c>0$.

הישר $EF_1$ חותך את הצירים ב-$(c,0)$ וב-$(0,20)$: $\frac xc+\frac y{20}=1$, כלומר $20x+cy-20c=0$.

הישר $GF_2$ חותך את הצירים ב-$(-c,0)$ וב-$(0,-20)$: $\frac x{-c}+\frac y{-20}=1$, כלומר $20x+cy+20c=0$.

לשני הישרים אותם מקדמים של $x$ ו-$y$, ולכן הם מקבילים, והמרחק ביניהם:

מחלקים ב-8 ומעלים בריבוע:

$c>0$, ולכן $c=15$ ו-$F_1(15,0)$ (לפי הסרטוט $F_1$ הוא המוקד הימני).

טעות נפוצה: לשכוח לחלק ב-$\sqrt{A^2+B^2}$ ולכתוב $40c=24$, כלומר $c=0.6$ - זה הפרש המקדמים החופשיים, לא המרחק.

באליפסה שמוקדיה על ציר ה-$x$: $a^2=b^2+c^2$ ($a$ - חצי הציר הגדול, $b$ - חצי הציר הקטן).

טעות נפוצה: לכתוב $a^2=b^2-c^2=175$ - המוקדים נמצאים על הציר הגדול, ולכן $a$ הוא הגדול מבין השלושה: $a^2=b^2+c^2$.

הישר $EF_1$: $20x+15y-300=0$, ואחרי חלוקה ב-5: $4x+3y-60=0$.

מעגל שמשיק לשני הצירים: מרחק המרכז מכל ציר שווה לרדיוס $r$, ולכן המרכז הוא $(\pm r,\pm r)$, לפי הרביע.

תנאי ההשקה לישר: המרחק מהמרכז לישר שווה ל-$r$.

רביע ראשון, מרכז $(r,r)$:

רביע שני, מרכז $(-r,r)$:

רביע רביעי, מרכז $(r,-r)$: $|r-60|=5r$. האפשרות $r-60=5r$ נותנת $r<0$, והאפשרות $60-r=5r$ נותנת $r=10$.

(ברביע השלישי $|-7r-60|=7r+60=5r$ - אין פתרון.)

שני מעגלים ברביעים שונים, למשל:

טעות נפוצה: להוריד את הערך המוחלט ולפתור רק $7r-60=5r$ - כך מאבדים את המעגל $r=5$ (החסום במשולש שהישר יוצר עם הצירים), וברביע הרביעי מקבלים $r<0$ ומסיקים בטעות שאין שם מעגל.

מבטאים קודם את המקצועות שמופיעים בנתון:

$E$ אמצע $AD$, ולכן $\overrightarrow{ED}=\frac12\overrightarrow{AD}=\frac12\underline v+\frac12\underline w$.

מ-$E$ הולכים ל-$D$ ומשם ל-$F$:

טעות נפוצה: לכתוב $\overrightarrow{DC}=\underline w$ - הווקטור $\underline w$ הוא $\overrightarrow{CD}$, ולכן $\overrightarrow{DC}=-\underline w$; אחרת מקדם $\underline w$ יוצא $\frac12+\frac k2$.

$\underline u$ ו-$\underline v$ נמצאים במישור $ABC$, ו-$\underline w$ מאונך למישור (הוא לא צירוף של $\underline u$ ו-$\underline v$).

וקטור מקביל למישור $ABC$ הוא צירוף של $\underline u$ ו-$\underline v$ בלבד. לפי יחידות ההצגה במרחב, מקדם $\underline w$ ב-$\overrightarrow{EF}$ חייב להיות 0:

טעות נפוצה: לדרוש שגם מקדם $\underline v$ יתאפס (או רק הוא) - וקטור מקביל למישור יכול להיות כל צירוף של $\underline u$ ו-$\underline v$; רק הרכיב שיוצא מהמישור מתאפס.

$\underline u=\overrightarrow{AB}=(p,6,0)$, $\underline v=\overrightarrow{AC}=(0,n,0)$:

ולכן $C(0,4,0)$.

$A$, $B$, $C$ נמצאים במישור $z=0$. $DC$ מאונך למישור הזה, ולכן $D$ נמצא בדיוק מעל $C$: $D(0,4,h)$.

ולכן $p=8$, $h=9$ (והרכיב $-2$ מתאים): $B(8,6,0)$, $D(0,4,9)$.

טעות נפוצה: לחשב את $D$ כ-$B-\overrightarrow{BD}=(16,8,-9)$ - מגיעים ל-$D$ כשמוסיפים את $\overrightarrow{BD}$ ל-$B$, לא מחסרים.

הבסיס $ABC$ במישור $z=0$. $AC$ על ציר ה-$y$ באורך 4, והגובה מ-$B$ לציר ה-$y$ הוא שיעור ה-$x$ של $B$, כלומר 8:

הגובה של הפירמידה לבסיס $ABC$ הוא $DC=9$ ($DC$ מאונך לבסיס).

טעות נפוצה: לשכוח את $\frac13$ ולקבל 144 - זה נפח המנסרה עם אותו בסיס ואותו גובה.

עם $k=\frac13$:

לווקטור יש רכיב ב-$\underline v$, ו-$\underline u$, $\underline v$ אינם מקבילים, ולכן $\overrightarrow{EF}$ אינו מקביל ל-$\underline u=\overrightarrow{AB}$: הישרים אינם מקבילים.

$\overrightarrow{EF}$ מקביל למישור $ABC$, ו-$E$ (אמצע $AD$) נמצא מעל המישור, בגובה $\frac92$: $E(0,2,4.5)$. לכן כל הישר $EF$ נמצא במישור $z=4.5$, והישר $AB$ נמצא במישור $z=0$.

לשני הישרים אין נקודה משותפת והם אינם מקבילים, ולכן הם מצטלבים.

טעות נפוצה: להסיק "נחתכים" רק מכך שהישרים אינם מקבילים - במרחב ישרים שאינם מקבילים יכולים גם לא להיפגש (מצטלבים).

לפי נוסחת האיבר הכללי בסדרה הנדסית: $z_3=z_1q^2$.

מהנתון $z_3=z_1^3$:

$z_1\ne0$ (הוא נמצא ברביע הראשון), ולכן מותר לחלק בו: $q^2=z_1^2$.

ולכן $q=z_1$ או $q=-z_1$.

טעות נפוצה: "להוציא שורש" ולכתוב רק $q=z_1$ - למשוואה $q^2=z_1^2$ יש שני פתרונות, בדיוק כמו במספרים ממשיים.

נסמן $z_1=r\,\text{cis}\theta$, $r>0$, $0^\circ<\theta<90^\circ$.

$z_3=z_1^3=r^3\text{cis}(3\theta)$, ולכן $\overline{z_3}=r^3\text{cis}(-3\theta)$.

$-2=2\,\text{cis}180^\circ$, ולכן $-2z_1=2r\,\text{cis}(\theta+180^\circ)$.

משווים מודולים: $r^3=2r$, ומכיוון ש-$r>0$: $r^2=2$, $r=\sqrt2$.

משווים ארגומנטים (עד כדי כפולה של $360^\circ$):

ברביע הראשון ($k=-1$): $\theta=45^\circ$.

בדיקה: $z_1^3=(1+i)^3=-2+2i$, $\overline{z_3}=-2-2i=-2z_1$.

טעות נפוצה: לכתוב את המודול של $-2z_1$ כ-$-2r$ - מודול תמיד חיובי; הסימן מינוס נכנס לארגומנט כתוספת של $180^\circ$.

עם $q=z_1$: $z_m=z_1q^{m-1}=z_1^m$, ולפי משפט דה-מואבר:

$z_{4n}$: הארגומנט $45^\circ\cdot4n=180^\circ n$, ו-$\text{cis}(180^\circ n)=\pm1$ - המספר ממשי.

$z_{4n-2}$: הארגומנט $45^\circ(4n-2)=180^\circ n-90^\circ$. $\cos(180^\circ n-90^\circ)=0$ ו-$\sin(180^\circ n-90^\circ)=\pm1$ - המספר מדומה.

טעות נפוצה: לכתוב $z_m=z_1q^m=z_1^{m+1}$ - בנוסחת האיבר הכללי המעריך הוא $m-1$, ואחרת הארגומנטים זזים ב-$45^\circ$ והתשובות מתבלבלות.

לפי סעיף ג: $\frac{z_m}{(\sqrt2)^m}=\text{cis}(45^\circ m)$.

זו סדרה הנדסית עם איבר ראשון $\text{cis}45^\circ$ ומנה $\text{cis}45^\circ$ (המנה שונה מ-1):

$\left(\text{cis}45^\circ\right)^{64}=\text{cis}(2880^\circ)=\text{cis}(8\cdot360^\circ)=1$, ולכן המונה 0 ו-$S=0$.

(דרך נוספת: שמונת האיברים הראשונים הם שורשי היחידה מסדר 8, שסכומם 0, והסכום כולו הוא 8 מחזורים כאלה.)

טעות נפוצה: לקחת את המנה של הסדרה החדשה כ-$q=z_1=1+i$ - החלוקה ב-$(\sqrt2)^m$ משנה את המנה ל-$\frac{z_1}{\sqrt2}=\text{cis}45^\circ$.

שני תנאים: $\ln x$ מוגדר רק עבור $x>0$, והמכנה לא מתאפס: $\ln x\ne\ln a$, כלומר $x\ne a$.

תחום ההגדרה: $0<x<a$ או $x>a$.

טעות נפוצה: לכתוב רק $x\ne a$ ולשכוח את התנאי $x>0$ של הלוגריתם.

אנכית: ב-$x=a$ המכנה מתאפס והמונה שווה $2\ln a\ne0$, ולכן $f\to\pm\infty$: $x=a$.

אופקית: כש-$x\to\infty$, $\ln x\to\infty$. מחלקים מונה ומכנה ב-$\ln x$:

האסימפטוטה האופקית: $y=1$.

(כש-$x\to0^+$, $\ln x\to-\infty$ ו-$f\to1$ - ערך סופי, ולכן $x=0$ אינו אסימפטוטה.)

טעות נפוצה: לכתוב $x=0$ כאסימפטוטה אנכית "כי $\ln x$ לא מוגדר ב-0" - צריך לבדוק את הגבול של $f$, והוא 1.

עם ציר ה-$y$: $x=0$ אינו בתחום ההגדרה - אין חיתוך.

עם ציר ה-$x$: המונה מתאפס:

$\frac1a<1<a$, ולכן הנקודה בתחום: $\left(\frac1a,0\right)$.

טעות נפוצה: לפתור $\ln x=-\ln a$ כ-$x=-a$ - הלוגריתם של $\frac1a$ הוא $-\ln a$, ולא הלוגריתם של $-a$ (שאינו מוגדר).

גוזרים לפי כלל המנה ($(\ln x)'=\frac1x$):

$a>1$, ולכן $\ln a>0$ והמונה שלילי; המכנה חיובי ($x>0$ ומשהו בריבוע).

$f'(x)<0$ בכל תחום ההגדרה: $f$ יורדת ב-$0<x<a$ וב-$x>a$.

טעות נפוצה: להחליף את סדר החיסור בכלל המנה ולקבל $f'=\frac{2\ln a}{x(\ldots)^2}>0$, כלומר "עולה" - בכלל המנה מתחילים בנגזרת המונה כפול המכנה.

מסכמים את החקירה: אסימפטוטות $x=a$, $y=1$; חיתוך $\left(\frac1a,0\right)$; יורדת בשני הענפים.

ליד $0^+$: $f\to1$ - הגרף מתחיל בנקודה ריקה $(0,1)$.

ענף שמאלי ($0<x<a$): יורד מ-1, חותך את ציר ה-$x$ ב-$\frac1a$, ושואף ל-$-\infty$ כש-$x\to a^-$.

ענף ימני ($x>a$): מ-$+\infty$ כש-$x\to a^+$, יורד ושואף ל-1 מלמעלה.

טעות נפוצה: לצייר את הענף הימני מתחת ל-$y=1$ - עבור $x>a$ המונה גדול מהמכנה ושניהם חיוביים, ולכן $f>1$.

בתחום $x>a$: $\ln x>\ln a>0$, ולכן $\ln x+\ln a>\ln x-\ln a>0$, כלומר $f(x)>1>0$.

לפי סעיף א(4), $f'(x)<0$ בתחום הזה.

אגף שמאל חיובי ואגף ימין שלילי - הם לא יכולים להיות שווים. למשוואה אין פתרון בתחום, והטענה לא נכונה.

טעות נפוצה: להסיק "יש פתרון" מכך ש-$f$ יורדת ו-$f'$ "מתקרבת" לאפס - צריך להשוות סימנים: פונקציה חיובית ונגזרת שלילית לא נפגשות.

$g$ מוגדרת כש-$f(x)>0$.

טבלת סימנים: המונה מתאפס ב-$\frac1a$ והמכנה ב-$a$ ($\frac1a<a$):

ב-$0<x<\frac1a$: מונה שלילי, מכנה שלילי - $f>0$. ב-$\frac1a<x<a$: מונה חיובי, מכנה שלילי - $f<0$. ב-$x>a$: שניהם חיוביים - $f>0$.

תחום ההגדרה של $g$: $0<x<\frac1a$ או $x>a$.

טעות נפוצה: לכלול את $x=\frac1a$ - שם $f=0$, ו-$\ln0$ אינו מוגדר.

$\ln$ פונקציה עולה, ולכן $g$ עולה ויורדת יחד עם $f$ - יורדת בשני הענפים.

ענף שמאלי: כש-$x\to0^+$, $f\to1$ ו-$g\to\ln1=0$ (נקודה ריקה $(0,0)$). כש-$x\to\frac1a^-$, $f\to0^+$ ו-$g\to-\infty$: אסימפטוטה $x=\frac1a$.

ענף ימני: כש-$x\to a^+$, $f\to\infty$ ו-$g\to\infty$: אסימפטוטה $x=a$. כש-$x\to\infty$, $f\to1^+$ ו-$g\to0^+$: אסימפטוטה $y=0$.

הענף הימני מעל ציר ה-$x$ ($f>1$), והשמאלי מתחתיו ($0<f<1$).