בגרות במתמטיקה 572 - קיץ 2023 מועד מיוחד

נקודה כללית $(x,y)$ במקום הגאומטרי נמצאת באותו מרחק משני הישרים.

מרחק מ-$\ell_1$ (נרשום אותו כ-$3x-4y+20=0$) לפי נוסחת המרחק, ומרחק מהישר האנכי $x=-4$ הוא פשוט $|x+4|$:

שני ערכים מוחלטים שווים כשהביטויים שווים או נגדיים. מקרה ראשון:

מקרה שני:

המקום הגאומטרי הוא שני הישרים $y=-\frac12x$ ו-$y=2x+10$ - חוצי הזוויות בין $\ell_1$ ל-$\ell_2$ (ואכן הם מאונכים זה לזה: $-\frac12\cdot2=-1$).

טעות נפוצה: לכתוב את המרחק מ-$\ell_2$ כ-$|x-4|$ - המרחק מהישר $x=-4$ הוא $|x-(-4)|=|x+4|$.

הנקודה A על $\ell_1$ ו-$x=4$: $4y-12-20=0$, כלומר $y=8$ ו-$A(4,8)$.

הרדיוס לנקודת ההשקה מאונך למשיק. שיפוע $\ell_1$ הוא $\frac34$, ולכן שיפוע הרדיוס $MA$ הוא $-\frac43$:

המרכז נמצא במרחקים שווים משני הישרים שהמעגל משיק להם, ולכן הוא על אחד מחוצי הזווית מסעיף א.

הישר $y=-\frac12x$ אינו עובר ברביע הראשון (לכל $x>0$ מתקבל $y<0$), ולכן המרכז על $y=2x+10$:

בדיקה: $MA=\sqrt{3^2+4^2}=5$, והמרחק מ-$M$ לישר $x=-4$ הוא $1+4=5$.

טעות נפוצה: לחתוך את $MA$ עם חוצה הזווית $y=-\frac12x$ - מתקבלת הנקודה $(16,-8)$ שברביע הרביעי, ולא המרכז המבוקש.

לפרבולה הקנונית $y^2=2px$ המדריך הוא $x=-\frac p2$. כאן $-\frac p2=-4$, ולכן $p=8$:

הנקודה $A(4,8)$ על הפרבולה: $8^2=64=16\cdot4$.

משוואת המשיק לפרבולה $y^2=2px$ בנקודה $(x_0,y_0)$ שעליה היא $y_0y=p(x+x_0)$:

שיפוע המשיק הוא 1, ושיפוע $\ell_1$ הוא $\frac34$. שני ישרים שונים עוברים ב-A, ולכן $\ell_1$ אינו משיק לפרבולה ב-A (הוא חותך אותה).

טעות נפוצה: לקבוע $p=4$ מהמדריך $x=-4$ ולקבל $y^2=8x$ - המדריך נמצא במרחק $\frac p2$ מהראשית, ולכן $p=8$.

הפרבולה סימטרית לציר ה-$x$. מעגל המשיק לה בשתי נקודות סימטרי גם הוא לציר, ולכן מרכזו על ציר ה-$x$ ונקודת ההשקה השנייה היא $(4,-8)$.

במעגל המשיק לעקום, הרדיוס לנקודת ההשקה מאונך למשיק המשותף - כלומר המרכז על הנורמל לפרבולה ב-A.

שיפוע המשיק ב-A הוא 1 (סעיף ג), ולכן שיפוע הנורמל $-1$:

חיתוך עם ציר ה-$x$ ($y=0$): $x=12$. המרכז $(12,0)$.

המעגל: $(x-12)^2+y^2=128$.

בדיקה: הצבת $y^2=16x$ נותנת $x^2-8x+16=0$, כלומר $(x-4)^2=0$ - שורש כפול, השקה.

טעות נפוצה: לשים את המרכז על הישר המאונך ל-$\ell_1$ ב-A (כמו בסעיף ב) - $\ell_1$ אינו המשיק לפרבולה, ולכן מתקבל מעגל שחותך את הפרבולה ולא משיק לה.

הולכים מ-$B$ ל-$D'$ לאורך מקצועות: חוזרים מ-$B$ ל-$A$, מ-$A$ ל-$D$, ועולים מ-$D$ ל-$D'$. בתיבה $\overrightarrow{DD'}=\overrightarrow{AA'}=\underline w$:

$DE:ED'=3:2$, כלומר $DE$ הוא $\frac35$ מהמקצוע $DD'$: $\overrightarrow{DE}=\frac35\underline w$.

מ-$F$ חוזרים ל-$B$ ($\overrightarrow{FB}=-t\cdot\overrightarrow{BD'}$), ומשם הולכים ל-$A$, ל-$D$ ול-$E$:

טעות נפוצה: לכתוב $\overrightarrow{DE}=\frac32\underline w$ (היחס $3:2$ כשבר) - $DE$ הוא 3 חלקים מתוך 5 של המקצוע כולו, ולכן $\frac35\underline w$.

$\underline u$ ו-$\underline v$ נמצאים במישור הבסיס, ו-$\underline w$ יוצא ממנו. שלושת הווקטורים אינם במישור אחד, ולכן ההצגה של $\overrightarrow{FE}$ באמצעותם יחידה.

וקטור מקביל למישור הבסיס הוא צירוף של $\underline u$ ו-$\underline v$ בלבד, ולכן המקדם של $\underline w$ חייב להתאפס:

(בדיקה: אז $F$ נמצאת בגובה $\frac35$ מהתיבה - בדיוק בגובה של $E$.)

טעות נפוצה: לאפס את המקדם של $\underline u$ או של $\underline v$ ולקבל $t=1$ - דווקא הרכיב בכיוון $\underline w$, היוצא מהבסיס, צריך להתאפס.

הצלע $CB$ על ציר $x$ ושווה ל-$AD$, ולכן $B(|\underline v|,0,0)$. הצלע $CD$ על ציר $y$ ושווה ל-$AB$, ולכן $D(0,|\underline u|,0)$. המקצוע $DD'$ מקביל לציר $z$: $D'(0,|\underline u|,|\underline w|)$.

לפי סעיף ב, $t=\frac35$:

משווים ל-$F(4,12,18)$:

טעות נפוצה: לקשר את $|\underline u|$ לשיעור ה-$x$ (כאילו $AB$ על ציר $x$) ולקבל $|\underline u|=10$, $|\underline v|=20$ - על ציר $x$ נמצאת $CB$, שאורכה $|\underline v|$.

מסעיף ג: $B(10,0,0)$, $D(0,20,0)$, ו-$DE=\frac35\cdot30=18$, ולכן $E(0,20,18)$.

שני וקטורים במישור: $\overrightarrow{DB}=(10,-20,0)$, $\overrightarrow{DE}=(0,0,18)$. נורמל $\underline n=(a,b,c)$ מאונך לשניהם:

משוואת המישור $2x+y+d=0$, ומהצבת $B$: $20+d=0$, כלומר $2x+y=20$. (בדיקה: $F$: $8+12=20$.)

הישר דרך $F$ בכיוון הנורמל: $\underline x=(4,12,18)+s(2,1,0)$.

הפאה $CDD'C'$ עוברת דרך $C(0,0,0)$, $D(0,20,0)$ ו-$C'(0,0,30)$, ולכן נמצאת במישור $x=0$:

$0\le10\le20$ ו-$0\le18\le30$, ולכן $P$ אכן על הפאה.

טעות נפוצה: לזהות את הפאה $CDD'C'$ עם המישור $y=0$ - שם נמצאות $C$, $B$ ו-$C'$; הנקודה שמתקבלת, $(-20,0,18)$, בכלל מחוץ לתיבה.

מחשבים את $z^2$ בהצגה אלגברית:

לכן $z^2-3i=(x^2-y^2)+(2xy-3)i$ ו-$z^2+5i=(x^2-y^2)+(2xy+5)i$.

שני הערכים המוחלטים שווים, ולכן גם ריבועיהם:

החלק הממשי מצטמצם: $(2xy-3)^2=(2xy+5)^2$.

שני ריבועים שווים כשהבסיסים שווים או נגדיים. $2xy-3=2xy+5$ בלתי אפשרי, ולכן:

$x\neq0$ (אחרת $xy=0$), ולכן $y=-\frac1{2x}$.

טעות נפוצה: לכתוב $|z^2-3i|=|z^2|-3$ ולהפריד את הערך המוחלט - ערך מוחלט של סכום אינו סכום הערכים המוחלטים; צריך לכתוב את המספר בצורה $a+bi$ ולחשב $\sqrt{a^2+b^2}$.

בוחרים ערך $x\neq0$ ומחשבים $y=-\frac1{2x}$. למשל $x=1$: $y=-\frac12$.

המספר $z=1-\frac12i$. בדיקה: $z^2=1-\frac14-i=\frac34-i$, ואז $|z^2-3i|=\left|\frac34-4i\right|$ ו-$|z^2+5i|=\left|\frac34+4i\right|$ - שווים.

טעות נפוצה: לכתוב $z=1-2i$ (להציב $y=-2x$ במקום $y=-\frac1{2x}$) - אז $xy=-2$ והמספר אינו על המקום הגאומטרי.

נכתוב $1=\text{cis}0^\circ$ ונחפש $z=r\,\text{cis}\theta$. לפי משפט דה-מואבר $z^6=r^6\text{cis}6\theta$.

$r^6=1$, ולכן $r=1$; $6\theta=0^\circ+360^\circ k$, כלומר:

הפתרונות: $\text{cis}0^\circ$, $\text{cis}60^\circ$, $\text{cis}120^\circ$, $\text{cis}180^\circ$, $\text{cis}240^\circ$, $\text{cis}300^\circ$.

טעות נפוצה: למצוא רק את הפתרונות הממשיים $z=\pm1$ - למשוואה ממעלה 6 יש 6 פתרונות מרוכבים.

כל הפתרונות בעלי מודול 1, ולכן המעגל החוסם הוא מעגל היחידה: $x^2+y^2=1$.

A מקיימת גם $xy=-\frac12$. נחבר את המשוואה הראשונה לפעמיים השנייה:

הצבה ב-$xy=-\frac12$: $-x^2=-\frac12$, $x=\pm\frac{\sqrt2}2$. ברביע הרביעי $x>0$, $y<0$:

טעות נפוצה: לשכוח את הסימן ולכתוב $A\left(\frac{\sqrt2}2,\frac{\sqrt2}2\right)$ - אז $xy=+\frac12$ והנקודה אינה על המקום הגאומטרי.

הצגה קוטבית של A: $|A|=1$, והזווית ברביע הרביעי שבה $\cos\theta=\frac{\sqrt2}2$, $\sin\theta=-\frac{\sqrt2}2$ היא $315^\circ$. כלומר $A=\text{cis}315^\circ$.

מצולע II הוא משושה משוכלל החסום במעגל היחידה, ולכן הזווית בין קודקודים סמוכים היא $\frac{360^\circ}6=60^\circ$.

מוסיפים $60^\circ$ שוב ושוב (ומורידים $360^\circ$ כשצריך):

הקודקודים: $\text{cis}15^\circ$, $\text{cis}75^\circ$, $\text{cis}135^\circ$, $\text{cis}195^\circ$, $\text{cis}255^\circ$, $\text{cis}315^\circ$.

טעות נפוצה: לקחת לארגומנט של A את $\arctan\frac yx=-45^\circ$ ולהוסיף $90^\circ$ בכל פעם (כמו בריבוע) - במשושה ההפרש הוא $60^\circ$.

כפל ב-$w=r\,\text{cis}\alpha$ מסובב כל נקודה בזווית $\alpha$ סביב הראשית ומותח את המרחק שלה מהראשית פי $r$.

קודקודי I וקודקודי II נמצאים על אותו מעגל היחידה, ולכן אין מתיחה: $r=1$.

הקודקוד $\text{cis}0^\circ$ של I צריך לעבור לקודקוד של II: $\alpha\in\{15^\circ,75^\circ,\dots\}$. בתחום $0<\alpha<60^\circ$ רק $\alpha=15^\circ$.

בדיקה: $\text{cis}(60^\circ k)\cdot\text{cis}15^\circ=\text{cis}(15^\circ+60^\circ k)$ - בדיוק קודקודי II.

טעות נפוצה: להקטין את הארגומנט של A, $315^\circ$, בכפולות של $90^\circ$ (כמו בריבוע) ולקבל $w=\text{cis}45^\circ$ - המצולע הוא משושה, וסיבוב שמעביר אותו על עצמו הוא בכפולות של $60^\circ$: $315^\circ-300^\circ=15^\circ$.

גוזרים את $f'(x)$ לפי כלל המכפלה, ואת $e^{-\frac{x^2}a}$ לפי כלל השרשרת (הנגזרת של המעריך היא $-\frac{2x}a$):

בנקודת פיתול $f''=0$. $e^{-\frac{x^2}a}>0$, ולכן הסוגריים מתאפסים ב-$x=\sqrt2$:

בדיקה: $f''=e^{-\frac{x^2}4}(x^2-2)$ מחליפה סימן ב-$x=\sqrt2$, ולכן זו אכן נקודת פיתול.

טעות נפוצה: לגזור את $e^{-\frac{x^2}a}$ כאילו הייתה $e^x$ ולקבל $f''=-2e^{-\frac{x^2}a}-2xe^{-\frac{x^2}a}$ - בלי הנגזרת הפנימית $-\frac{2x}a$ הפרמטר לא נשאר במשוואה.

$f'(x)=-2xe^{-\frac{x^2}4}$. הנגזרת של המעריך $-\frac{x^2}4$ היא $-\frac x2$, ולכן $-2x=4\cdot\left(-\frac x2\right)$ - האינטגרנד הוא 4 כפול "נגזרת פנימית כפול $e$ בחזקת הפונקציה הפנימית":

$f(0)=a=4$: $4e^0+C=4$, ולכן $C=0$.

טעות נפוצה: לכתוב $f(x)=-2e^{-\frac{x^2}4}+C$ (לשמור את המקדם $-2$) - גוזרים בחזרה: $\left(-2e^{-\frac{x^2}4}\right)'=xe^{-\frac{x^2}4}$, ולא $f'(x)$.

לכל $x$ מתקיים $f(-x)=f(x)$, ולכן $f$ זוגית (הגרף סימטרי לציר ה-$y$).

טעות נפוצה: להסיק שהפונקציה אי-זוגית כי הנגזרת $-2xe^{-\frac{x^2}4}$ אי-זוגית - הנגזרת של פונקציה זוגית היא אי-זוגית; בודקים את $f$ עצמה.

$f$ מוגדרת ורציפה לכל $x$, ולכן אין אסימפטוטה אנכית.

כש-$x\to\pm\infty$: $-\frac{x^2}4\to-\infty$, ולכן $e^{-\frac{x^2}4}\to0$ ו-$f(x)\to0$.

האסימפטוטה: $y=0$ (בשני הצדדים).

טעות נפוצה: לחשוב ש-$e^{-\frac{x^2}4}\to\infty$ כש-$x\to-\infty$ (כמו $e^{-x}$) ולענות שהאסימפטוטה $y=0$ קיימת רק מימין - המעריך $-\frac{x^2}4$ שלילי בשני הכיוונים, ולכן $f\to0$ גם כש-$x\to-\infty$.

$f'(x)=-2xe^{-\frac{x^2}4}$. $e^{-\frac{x^2}4}>0$, ולכן $f'=0$ רק כש-$x=0$.

הסימן של $f'$ הוא הסימן של $-2x$: חיובי ל-$x<0$ ושלילי ל-$x>0$ - הפונקציה עולה ואחר כך יורדת.