בגרות במתמטיקה 572 - קיץ 2024 מועד א'

מרכז מעגל I הוא $K(3,4)$ והרדיוס $3$; מרכז מעגל II הוא $L(-5,2)$ והרדיוס $1$.

רדיוס ניצב למשיק בנקודת ההשקה, ולכן המשולש $MAK$ ישר-זווית ב-$A$. לפי פיתגורס: $MA^2=MK^2-KA^2=MK^2-9$.

באותו אופן במשולש $MBL$ (ישר-זווית ב-$B$): $MB^2=ML^2-1$.

נסמן $M(x,y)$. התנאי $MA=MB$ שקול ל-$MA^2=MB^2$:

פותחים סוגריים. האיברים $x^2$ ו-$y^2$ מופיעים בשני האגפים ומתבטלים:

זו משוואה ממעלה ראשונה, ולכן המקום הגאומטרי הוא קו ישר: $y=-4x-3$.

טעות נפוצה: לכתוב $MA^2=MK^2+9$ (לחבר את ריבוע הרדיוס במקום לחסר). $MK$ הוא היתר במשולש $MAK$, ולכן הוא הגדול - מחסרים ממנו את ריבוע הרדיוס, ומקבלים ישר אחר לגמרי.

שיפוע הישר מסעיף א ($y=-4x-3$) הוא $-4$.

שיפוע הישר $KL$ לפי $K(3,4)$ ו-$L(-5,2)$:

מכפלת השיפועים: $\frac14\cdot(-4)=-1$, ולכן הישרים מאונכים.

טעות נפוצה: לחשב את השיפוע כ-$\frac{\Delta x}{\Delta y}=\frac81=4$, לקבל מכפלת שיפועים $4\cdot(-4)=-16\neq-1$ ולהסיק שהישרים אינם מאונכים. שיפוע הוא הפרש ה-$y$ חלקי הפרש ה-$x$: $\frac28=\frac14$.

כל נקודה $M$ במקום הגאומטרי מקיימת $MA=MB$, כלומר (מסעיף א):

אילו גם $ML=MK$, היה מתקבל $MK^2-ML^2=0$, ולכן $0=8$ - סתירה.

לכן אין נקודה $M$ כזאת.

(דרך אחרת: הנקודות שמקיימות $ML=MK$ נמצאות על האנך האמצעי לקטע $KL$. גם הוא מאונך ל-$KL$, ולכן הוא מקביל לישר מסעיף א. אמצע $KL$ הוא $(-1,3)$, והוא אינו על $y=-4x-3$ כי $-4\cdot(-1)-3=1\neq3$ - שני ישרים מקבילים שונים אינם נחתכים.)

טעות נפוצה: לענות "כן, אמצע הקטע $KL$" - אמצע $KL$ אכן מקיים $ML=MK$, אבל הוא אינו על המקום הגאומטרי, ולכן ממנו המשיקים לשני המעגלים אינם שווים.

הבסיס של המשולש הוא $KL$:

הגובה לבסיס הוא המרחק של $M$ מהישר $KL$. משוואת $KL$: שיפוע $\frac14$ דרך $K(3,4)$: $y-4=\frac14(x-3)$, כלומר $x-4y+13=0$.

$M$ על הישר מסעיף א, ולכן $M(t,-4t-3)$. המרחק שלה מ-$KL$:

השטח:

$17t+25=9\Rightarrow t=-\frac{16}{17}$, או $17t+25=-9\Rightarrow t=-2$.

$t=-2$: $M(-2,5)$. על $KL$, ב-$x=-2$: $y=\frac{-2+13}4=2.75<5$ - הנקודה מעל הישר.

$t=-\frac{16}{17}$: $y=\frac{13}{17}\approx0.76$, ועל $KL$ ב-$x=-\frac{16}{17}$: $y\approx3.01$ - מתחת לישר, נפסלת.

$M(-2,5)$.

טעות נפוצה: לפתור $17t+25=9$ בלבד, בלי ערך מוחלט, ולקבל רק $t=-\frac{16}{17}$ - דווקא הנקודה שמתחת ל-$KL$. מרחק נותן שתי אפשרויות, ובוחרים לפי "מעל הישר".

מציבים את $M(-2,5)$ במשוואת הפרבולה כדי למצוא את $p$:

משוואת המשיק לפרבולה $y^2=2px$ בנקודה $(x_1,y_1)$ שעליה: $yy_1=p(x+x_1)$.

כופלים ב-4: $20y=-25x+50$, ומחלקים ב-5: $4y=-5x+10$.

טעות נפוצה: להציב בנוסחת המשיק $x+x_1=x+2$ במקום $x-2$ (לשכוח שהשיעור $x_1=-2$ שלילי). כך מתקבל ישר שאינו עובר כלל דרך $M$.

נקודה כללית על $\ell_1$: $(-t,\,3t,\,0)$. נקודה כללית על $\ell_2$: $(1,\,-3+mk,\,m)$.

בנקודת החיתוך כל הרכיבים שווים:

מהרכיב השלישי $m=0$, ומהראשון $t=-1$. בדיקה ברכיב השני: $3\cdot(-1)=-3+0\cdot k$ ✓ (לכל $k$).

$A(1,-3,0)$.

טעות נפוצה: להשתמש באותו פרמטר לשני הישרים (להציב $t=m$). לכל ישר יש פרמטר משלו, ובנקודת החיתוך ערכיהם בדרך כלל שונים.

הזווית בין ישרים נקבעת לפי וקטורי הכיוון, עם ערך מוחלט (זווית בין ישרים אינה קהה):

משווים ל-$\frac{3\sqrt2}5$ ומעלים בריבוע:

$k=2$ או $k=-2$ (שני הערכים מתאימים, כי בגלל הערך המוחלט הסימן של $k$ לא משנה).

טעות נפוצה: לכתוב $\frac{3k}{\sqrt{10}\sqrt{k^2+1}}$ בלי ערך מוחלט ולמצוא רק $k=2$. הזווית בין ישרים תלויה בערך המוחלט של המכפלה הסקלרית, ולכן גם $k=-2$ פתרון.

וקטורי הכיוון: $(-1,3,0)$ ו-$(0,2,1)$. וקטור נורמל $(a,b,c)$ ניצב לשניהם:

נבחר $b=1$: $a=3$, $c=-2$. הנורמל: $(3,1,-2)$.

המישור: $3x+y-2z+d=0$. הראשית נמצאת על $\ell_1$ (ב-$t=0$), ולכן על המישור: $d=0$.

בדיקה: $A(1,-3,0)$: $3-3-0=0$ ✓.

טעות נפוצה: לפתור $-a+3b=0$ כ-$a=-3b$ ולקבל נורמל $(-3,1,-2)$. בבדיקה מול וקטור הכיוון $(-1,3,0)$ מתקבל $3+3=6\neq0$ - תמיד בודקים שהנורמל ניצב לשני הכיוונים.

$O$ נמצאת על $\ell_1$ (ב-$t=0$), ו-$A$ היא נקודת חיתוך, כלומר על $\ell_1$ ועל $\ell_2$.

$B$ נמצאת על $\ell_2$.

המישור $\pi$ מכיל את שני הישרים, ולכן מכיל את כל נקודותיהם - בפרט את $O$, $A$ ו-$B$.

לכן שלושת קודקודי המשולש במישור $\pi$, וכל המשולש מוכל בו.

טעות נפוצה: לנמק בעזרת הנתון $AO=AB$. השוויון לא קשור לשאלה אם המשולש במישור - הנימוק הוא שכל קודקוד נמצא על ישר המוכל ב-$\pi$.

בסיס הפירמידה הוא המשולש $AOB$, והגובה הוא $AS$ (האנך למישור הבסיס).

$AO=\sqrt{1+9+0}=\sqrt{10}$, ולכן גם $AB=\sqrt{10}$.

הזווית $OAB$ היא זווית בין הישרים, $\alpha$ או $180^\circ-\alpha$, ובשני המקרים הסינוס זהה:

מהנפח:

$S$ על האנך למישור דרך $A$, כלומר בכיוון הנורמל $(3,1,-2)$, שאורכו $\sqrt{14}$. וקטור יחידה: $\frac{(3,1,-2)}{\sqrt{14}}$.

$S(7,-1,-4)$ או $S(-5,-5,4)$.

טעות נפוצה: לשכוח את $\frac13$ בנוסחת נפח הפירמידה ($V=S_{\text{בסיס}}\cdot h$). כך מתקבל גובה קטן פי 3, $AS=\frac{2\sqrt{14}}3$, ונקודות $S$ שגויות.

אלכסוני מעוין חוצים זה את זה, ונפגשים בראשית - לכן $O$ היא אמצע $AC$ ואמצע $BD$.

$C$ סימטרית ל-$A$ ביחס לראשית, ולכן $C=-z$.

אלכסוני מעוין מאונכים זה לזה, ולכן $OB\perp OA$. $B$ ברביע השני ו-$A$ ברביע הראשון, ולכן $B$ מתקבלת מ-$A$ בסיבוב של $90^\circ$ נגד כיוון השעון - כפל ב-$i$.

אורכים: $OB=\frac{BD}2=\frac{2AC}2=AC=2\cdot OA$, ולכן צריך גם מתיחה פי 2:

טעות נפוצה: לכתוב $B=-2iz$ (סיבוב של $90^\circ$ עם כיוון השעון). סיבוב כזה מעביר נקודה מהרביע הראשון לרביע הרביעי, וזו $D$.

נכתוב את הקודקודים בהצגה קוטבית. $i=cis90^\circ$ ו-$-1=cis180^\circ$, ובכפל מחברים זוויות:

מספר הופכי: $\frac1{R\,cis\varphi}=\frac1R\,cis(-\varphi)$ - הופכים את המודול ומחליפים את סימן הזווית:

טעות נפוצה: להפוך רק את המודול ולהשאיר את הזווית, $\frac1z=\frac1r\,cis\theta$. בדיקה מראה שזה לא ההופכי: $r\,cis\theta\cdot\frac1r\,cis\theta=cis2\theta\neq1$.

$\frac1z$ ו-$\frac1{-z}$ נגדיים (הזוויות שלהם שונות ב-$180^\circ$ והמודולים שווים), ולכן הקטע ביניהם עובר בראשית ואורכו $\frac2r$.

באותו אופן $\frac1{2iz}$ ו-$\frac1{-2iz}$ נגדיים, והקטע ביניהם באורך $2\cdot\frac1{2r}=\frac1r$.

הזווית בין $-\theta$ ל-$-\theta-90^\circ$ היא $90^\circ$, ולכן שני הקטעים מאונכים. הם האלכסונים של המרובע: חוצים זה את זה ומאונכים - המרובע מעוין.

טעות נפוצה: לקחת את המודולים $\frac1r$ ו-$\frac1{2r}$ כאורכי האלכסונים ולקבל $\frac1{4r^2}$. המודול הוא המרחק מהראשית, כלומר חצי אלכסון.

משווים מודולים: $|w^{11}|=|\bar w|$, כלומר $|w|^{11}=|w|$. $w\neq0$, ולכן $|w|^{10}=1$ ו-$|w|=1$.

כופלים את שני אגפי המשוואה ב-$w$:

(ולהפך: כל $w$ עם $w^{12}=1$ מקיים $|w|=1$, ולכן $\bar w=\frac1w=\frac{w^{12}}w=w^{11}$.)

הפתרונות הם 12 שורשי היחידה: $w_k=cis(30^\circ k)$, $k=0,1,\ldots,11$.

לכל פתרון $w_k$ גם $-w_k=cis(30^\circ k+180^\circ)$ פתרון, והם מתבטלים בזוגות:

(או: סכום סדרה הנדסית $\frac{w_1^{12}-1}{w_1-1}=\frac{1-1}{w_1-1}=0$.)

טעות נפוצה: להשוות ארגומנטים בלי מחזוריות, $11\theta=-\theta$, ולקבל רק $\theta=0$, כלומר $w=1$ וסכום 1. צריך $12\theta=360^\circ k$, ומכאן 12 פתרונות.

המצולע הוא 12-גון משוכלל החסום במעגל היחידה. מחלקים אותו ל-12 משולשים שקודקודם בראשית: בכל אחד שתי צלעות באורך 1 והזווית ביניהן $\frac{360^\circ}{12}=30^\circ$.

משווים לשטח מסעיף ב(2):

טעות נפוצה: לשכוח את $\frac12$ בשטח המשולש ולקבל שטח 6, ואז $r=\frac1{\sqrt6}$.

המכנה אינו יכול להתאפס: $e^x-4\neq0$, כלומר $e^x\neq4$.

מוציאים $\ln$ משני האגפים: $x\neq\ln4$.

אין הגבלה נוספת: $e^x$ מוגדרת לכל $x$.

תחום ההגדרה: $x\neq\ln4$.

טעות נפוצה: לכתוב $x\neq4$. המכנה מתאפס כאשר $e^x=4$, לא כאשר $x=4$.

אנכית: ב-$x=\ln4$ המכנה מתאפס, והמונה שווה $4-b\neq0$ (כי $b\neq4$). לכן $x=\ln4$ אסימפטוטה אנכית.

אופקית כאשר $x\to\infty$: מחלקים מונה ומכנה ב-$e^{2x}$:

אסימפטוטה $y=0$.

אופקית כאשר $x\to-\infty$: $e^x\to0$, ולכן

אסימפטוטה $y=-\frac b{16}$.

טעות נפוצה: למצוא אסימפטוטה אופקית אחת ולהניח שהיא משותפת לשני הכיוונים. בפונקציה עם $e^x$ ההתנהגות ב-$\infty$ וב-$-\infty$ שונה, ובודקים כל כיוון בנפרד.

ציר $y$: $x=0$ בתחום ($0\neq\ln4$):

ציר $x$: $f(x)=0$ כאשר המונה מתאפס: $e^x=b$. $b>0$, ולכן $x=\ln b$ (והנקודה בתחום, כי $b\neq4$).

הנקודות: $\left(0,\frac{1-b}9\right)$ ו-$(\ln b,0)$.

טעות נפוצה: להציב $e^0=0$ ולקבל $f(0)=-\frac b{16}$ - זה ערך האסימפטוטה ב-$-\infty$, לא החיתוך עם ציר $y$. $e^0=1$.

גוזרים לפי כלל המנה. הנגזרת של $(e^x-4)^2$ היא $2(e^x-4)\cdot e^x$ (כלל השרשרת):

מוציאים גורם משותף $e^x(e^x-4)$ ומצמצמים:

בנקודת הקיצון $f'(\ln12)=0$, ו-$e^{\ln12}=12$:

סוג הקיצון: סביב $x=\ln12$ מתקיים $e^x>4$, ולכן המכנה חיובי, וגם $e^x>0$. הסימן נקבע לפי $12-e^x$: חיובי משמאל ל-$\ln12$ ושלילי מימין - הפונקציה עולה ואחר כך יורדת.

נקודת מקסימום $\left(\ln12,\frac1{16}\right)$.

טעות נפוצה: לגזור את $(e^x-4)^2$ כ-$2(e^x-4)$ בלי הגורם $e^x$. אז מתקבל $f'(x)=\frac{e^x(e^x-4)-2(e^x-b)}{(e^x-4)^3}$, ומהצבת $e^x=12$: $96-2(12-b)=0$, כלומר $b=-36$ - בסתירה לנתון ש-$b$ חיובי.

$f(x)=\frac{e^x-8}{(e^x-4)^2}$.

$g(x)=\frac1{f(x)}$ מוגדרת כאשר $f$ מוגדרת וגם $f(x)\neq0$:

$f$ לא מוגדרת ב-$x=\ln4$; $f(x)=0$ כאשר $e^x=8$, כלומר $x=\ln8$.

תחום ההגדרה: $x\neq\ln4$, $x\neq\ln8$.

טעות נפוצה: לכתוב $g(x)=\frac{(e^x-4)^2}{e^x-8}$ ולקבוע את התחום לפי הביטוי המפושט בלבד ($x\neq\ln8$). $g$ מוגדרת דרך $f$, ולכן גם $x=\ln4$ מחוץ לתחום.

$g(x)=\frac{(e^x-4)^2}{e^x-8}$ (בתחום).